Как по графику найти наибольшее значение функции: Как найти наибольшее значение функции по графику. Как найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале

alexxlab / / Разное

Содержание

Как найти наибольшее значение функции по графику. Как найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале

Процесс поиска наименьшего и наибольшего значения функции на отрезке напоминает увлекательный облёт объекта (графика функции) на вертолёте с обстрелом из дальнобойной пушки определённых точек и выбором из этих точек совсем особенных точек для контрольных выстрелов. Точки выбираются определённым образом и по определённым правилам. По каким правилам? Об этом мы далее и поговорим.

Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ] , то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значений . Это может произойти либо в точках экстремума , либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции , непрерывной на отрезке [a , b ] , нужно вычислить её значения во всех критических точках и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции

f (x ) на отрезке [a , b ] . Для этого следует найти все её критические точки, лежащие на [a , b ] .

Критической точкой называется точка, в которой функция определена , а её производная либо равна нулю, либо не существует. Затем следует вычислить значения функции в критических точках. И, наконец, следует сравнить между собой по величине значения функции в критических точках и на концах отрезка (f (a ) и f (b ) ). Наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции на отрезке [a , b ] .

Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений функции .

Ищем наименьшее и наибольшее значения функции вместе

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 2] .

Решение. Находим производную данной функции .

Приравняем производную нулю () и получим две критические точки: и . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке достаточно вычислить её значения на концах отрезка и в точке , так как точка не принадлежит отрезку [-1, 2] . Эти значения функции — следующие: , , . Из этого следует, что наименьшее значение функции (на графике ниже обозначено красным), равное -7, достигается на правом конце отрезка — в точке , а наибольшее (тоже красное на графике), равно 9, — в критической точке .

Если функция непрерывна в некотором промежутке и этот промежуток не является отрезком (а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок), то среди значений функции может и не быть наименьшего и наибольшего. Так, например, функция, изображённая на рисунке ниже, непрерывна на ]-∞, +∞[ и не имеет наибольшего значения.

Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо следующее свойство непрерывных функций.

Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 3] .

Решение. Находим производную данной функции как производную частного:

.

Приравниваем производную нулю, что даёт нам одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку [-1, 3] . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

Сравниваем эти значения. Вывод: , равного -5/13, в точке и наибольшего значения , равного 1, в точке .

Продолжаем искать наименьшее и наибольшее значения функции вместе

Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция — многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой — многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами, поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных).

Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция.

Пример 6. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

Решение. Находим производную данной функции как производную произведения :

Приравниваем производную нулю, что даёт одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

Результат всех действий: функция достигает наименьшего значения , равного 0, в точке и в точке и наибольшего значения

, равного e ² , в точке .

Пример 7. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

Решение. Находим производную данной функции:

Приравниваем производную нулю:

Единственная критическая точку принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

Вывод: функция достигает наименьшего значения , равного , в точке и наибольшего значения , равного , в точке .

В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значений функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес имеют не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении прикладных задач возникает дополнительная трудность — составление функций, описывающих рассматриваемое явление или процесс.

Пример 8. Резервуар ёмкостью 4 , имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытый сверху, нужно вылудить оловом. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его покрытие ушло наименьшее количество материала?

Решение. Пусть x — сторона основания, h — высота резервуара, S — площадь его поверхности без крышки, V — его объём. Площадь поверхности резервуара выражается формулой , т.е. является функцией двух переменных . Чтобы выразить S как функцию одной переменной, воспользуемся тем, что , откуда . Подставив найденное выражение h в формулу для S :

Исследуем эту функцию на экстремум. Она определена и дифференцируема всюду в ]0, +∞[ , причём

.

Приравниваем производную нулю () и находим критическую точку . Кроме того, при производная не существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума. Итак, — единственная критическая точка. Проверим её на наличие экстремума, используя второй достаточный признак. Найдём вторую производную . При вторая производная больше нуля (). Значит, при функция достигает минимума . Поскольку этот

минимум — единственный экстремум данной функции, он и является её наименьшим значением . Итак, сторона основания резервуара должна быть равна 2 м, а его высота .

Пример 9. Из пункта A , находящегося на линии железной дороги, в пункт С , отстоящий от неё на расстоянии l , должны переправляться грузы. Стоимость провоза весовой единицы на единицу расстояния по железной дороге равна , а по шоссе она равна . К какой точке М линии железной дороги следует провести шоссе, чтобы транспортировка груза из А в С была наиболее экономичной (участок

АВ железной дороги предполагается прямолинейным)?

Пусть функция $z=f(x,y)$ определена и непрерывна в некоторой ограниченной замкнутой области $D$. Пусть в этой области заданная функция имеет конечные частные производные первого порядка (за исключением, быть может, конечного количества точек). Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в данной замкнутой области требуется выполнить три шага простого алгоритма.

Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений функции $z=f(x,y)$ в замкнутой области $D$.

  1. Найти критические точки функции $z=f(x,y)$, принадлежащие области $D$. Вычислить значения функции в критических точках.
  2. Исследовать поведение функции $z=f(x,y)$ на границе области $D$, найдя точки возможного наибольшего и наименьшего значений. Вычислить значения функции в полученных точках.
  3. Из значений функции, полученных в предыдущих двух пунктах, выбрать наибольшее и наименьшее.

Что такое критические точки? показать\скрыть

Под критическими точками подразумевают такие точки, в которых обе частные производные первого порядка равны нулю (т. 2-4x$ в замкнутой области, ограниченной линиями $x=3$, $y=0$ и $y=x+1$.

Будем следовать указанному выше , но для начала разберёмся с чертежом заданной области, которую обозначим буквой $D$. Нам заданы уравнения трёх прямых, кои эту область ограничивают. Прямая $x=3$ проходит через точку $(3;0)$ параллельно оси ординат (оси Oy). Прямая $y=0$ — это уравнение оси абсцисс (оси Ox). Ну, а для построения прямой $y=x+1$ найдём две точки, через которые и проведём данную прямую. Можно, конечно, подставить вместо $x$ парочку произвольных значений. Например, подставляя $x=10$, получим: $y=x+1=10+1=11$. Мы нашли точку $(10;11)$, лежащую на прямой $y=x+1$. Однако лучше отыщем те точки, в которых прямая $y=x+1$ пересекается с линиями $x=3$ и $y=0$. Почему это лучше? Потому, что мы одним выстрелом уложим пару зайцев: получим две точки для построения прямой $y=x+1$ и заодно выясним, в каких точках эта прямая пересекает иные линии, ограничивающие заданную область. Прямая $y=x+1$ пересекает прямую $x=3$ в точке $(3;4)$, а прямую $y=0$ — в точке $(-1;0)$.

Дабы не загромождать ход решения вспомогательными пояснениями, то вопрос о получении этих двух точек вынесу в примечание.

Как были получены точки $(3;4)$ и $(-1;0)$? показать\скрыть

Начнём с точки пересечения прямых $y=x+1$ и $x=3$. Координаты искомой точки принадлежат и первой, и второй прямой, поэтому для нахождения неизвестных координат нужно решить систему уравнений:

$$ \left \{ \begin{aligned} & y=x+1;\\ & x=3. \end{aligned} \right. $$

Решение такой системы тривиально: подставляя $x=3$ в первое уравнение будем иметь: $y=3+1=4$. Точка $(3;4)$ и есть искомая точка пересечения прямых $y=x+1$ и $x=3$.

Теперь отыщем точку пересечения прямых $y=x+1$ и $y=0$. Вновь составим и решим систему уравнений:

$$ \left \{ \begin{aligned} & y=x+1;\\ & y=0. \end{aligned} \right. $$

Подставляя $y=0$ в первое уравнение, получим: $0=x+1$, $x=-1$. Точка $(-1;0)$ и есть искомая точка пересечения прямых $y=x+1$ и $y=0$ (оси абсцисс).

Всё готово для построения чертежа, который будет иметь такой вид:

Вопрос примечания кажется очевидным, ведь всё видно по рисунку. Однако стоит помнить, что рисунок не может служить доказательством. Рисунок — лишь иллюстрация для наглядности.

Наша область была задана с помощью уравнений прямых, которые её ограничивают. Очевидно, что эти прямые определяют треугольник, не так ли? Или не совсем очевидно? А может, нам задана иная область, ограниченная теми же прямыми:

Конечно, в условии сказано, что область замкнута, поэтому показанный рисунок неверен. Но чтобы избегать подобных двусмысленностей, области лучше задавать неравенствами. Нас интересует часть плоскости, расположенная под прямой $y=x+1$? Ок, значит, $y ≤ x+1$. Наша область должна располагаться над прямой $y=0$? Отлично, значит $y ≥ 0$. Кстати, два последних неравенства легко объединяются в одно: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \{ \begin{aligned} & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end{aligned} \right. $$

Эти неравенства и задают область $D$, причём задают её однозначно, не допуская никаких двусмысленностей. Но как это поможет нам в том вопросе, что указан в начале примечания? Ещё как поможет:) Нам нужно проверить, принадлежит ли точка $M_1(1;1)$ области $D$. 2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end{aligned}

На следует выбрать наибольшее и наименьшее значения из тех, что мы получили на первом и втором шагах. Но в данном случае выбор невелик:) Имеем:

$$ z_{min}=-75; \; z_{max}=125. $$

Ответ : $z_{min}=-75; \; z_{max}=125$.

Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:

  1. Проверить, какие стационарные точки входят в заданный отрезок.
  2. Вычислить значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
  3. Выбрать из полученных результатов наибольшее или наименьшее значение.

Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:

  1. Найти производную функции $f»(х)$
  2. Найти стационарные точки, решив уравнение $f»(х)=0$
  3. Разложить производную функции на множители.
  4. Начертить координатную прямую, расставить на ней стационарные точки и определить знаки производной в полученных интервалах, пользуясь записью п. 2}$

    4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

    $f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

    $f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= — sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

    Найдите точку минимума функции $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

    1. Найдем ОДЗ функции: $х+11>0; х>-11$

    2. Найдем производную функции $y»=2-{1}/{x+11}={2x+22-1}/{x+11}={2x+21}/{x+11}$

    3. Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю

    ${2x+21}/{x+11}=0$

    Дробь равна нулю если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю

    $2x+21=0; x≠-11$

    4. Начертим координатную прямую, расставим на ней стационарные точки и определим знаки производной в полученных интервалах. Для этого подставим в производную любое число из крайней правой области, например, нуль.

    $y»(0)={2∙0+21}/{0+11}={21}/{11}>0$

    5. В точке минимума производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, точка $-10,5$ — это точка минимума.

    Ответ: $-10,5$

    Найдите наибольшее значение функции $y=6x^5-90x^3-5$ на отрезке $[-5;1]$

    1. 2=0 ; х-3=0; х+3=0$

    $х=0;х=3;х=-3$

    3. Выберем стационарные точки, которые принадлежат заданному отрезку $[-5;1]$

    Нам подходят стационарные точки $х=0$ и $х=-3$

    4. Вычислим значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3

    Постановка задачи 2:

    Дана функция , определенная и непрерывная на некотором промежутке . Требуется найти наибольшее (наименьшее) значение функции на этом промежутке.

    Теоретические основы.
    Теорема (Вторая теорема Вейерштрасса):

    Если функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке , то она достигает в этом промежутке своих наибольшего и наименьшего значений.

    Функция может достигать своих наибольших и наименьших значений либо на внутренних точках промежутка, либо на его границах. Проиллюстрируем все возможные варианты.

    Пояснение:
    1) Функция достигает своего наибольшего значения на левой границе промежутка в точке , а своего наименьшего значения на правой границе промежутка в точке .
    2) Функция достигает своего наибольшего значения в точке (это точка максимума) , а своего наименьшего значения на правой границе промежутка в точке .
    3) Функция достигает своего наибольшего значения на левой границе промежутка в точке , а своего наименьшего значения в точке (это точка минимума).
    4) Функция постоянна на промежутке, т.е. она достигает своего минимального и максимального значения в любой точке промежутка, причем минимальное и максимальное значения равны между собой.
    5) Функция достигает своего наибольшего значения в точке , а своего наименьшего значения точке (несмотря на то, что функция имеет на этом промежутке как максимум, так и минимум).
    6) Функция достигает своего наибольшего значения в точке (это точка максимума), а своего наименьшего значения в точке (это точка минимума).
    Замечание:

    «Максимум» и «максимальное значение» — разные вещи. Это следует из определения максимума и интуитивного понимания словосочетания «максимальное значение».

    Алгоритм решения задачи 2.

    4) Выбрать из полученных значений наибольшее (наименьшее) и записать ответ.

    Пример 4:

    Определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .
    Решение:
    1) Найти производную функции .

    2) Найти стационарные точки (и точки, подозрительные на экстремум), решив уравнение . Обратить внимание на точки, в которых не существует двусторонней конечной производной.

    3) Вычислить значения функции в стационарных точках и на границах интервала.

    4) Выбрать из полученных значений наибольшее (наименьшее) и записать ответ.

    Функция на этом отрезке достигает своего наибольшего значения в точке с координатами .

    Функция на этом отрезке достигает своего наименьшего значения в точке с координатами .

    В правильность вычислений можно убедиться, взглянув на график исследуемой функции.


    Замечание: Наибольшего значения функция достигает в точке максимума, а наименьшего – на границе отрезка.

    Частный случай.

    Предположим, требуется найти максимально и минимальное значение некоторой функции на отрезке. После выполнение первого пункта алгоритма, т.е. вычисления производной, становится ясно, что, например, она принимает только отрицательные значения на всем рассматриваемом отрезке. Помним, что если производная отрицательна, то функция убывает. Получили, что на всем отрезке функция убывает. Эта ситуация отображена на графике № 1 в начале статьи.

    На отрезке функция убывает, т.е. точек экстремумов у нее нет. Из картинки видно, что наименьшее значение функция примет на правой границе отрезка, а наибольшее значение — на левой. если же производная на отрезке всюду положительна, то функция возрастает. Наименьшее значение — на левой границе отрезка, наибольшее — на правой.

    Как найти значение функции по графику

    Наибольшее и наименьшее значение функции

    На практике довольно часто приходится использовать производную для того, чтобы вычислить самое большое и самое маленькое значение функции. Мы выполняем это действие тогда, когда выясняем, как минимизировать издержки, увеличить прибыль, рассчитать оптимальную нагрузку на производство и др., то есть в тех случаях, когда нужно определить оптимальное значение какого-либо параметра. Чтобы решить такие задачи верно, надо хорошо понимать, что такое наибольшее и наименьшее значение функции.

    Обычно мы определяем эти значения в рамках некоторого интервала x , который может в свою очередь соответствовать всей области определения функции или ее части. Это может быть как отрезок [ a ; b ] , так и открытый интервал ( a ; b ) , ( a ; b ] , [ a ; b ) , бесконечный интервал ( a ; b ) , ( a ; b ] , [ a ; b ) либо бесконечный промежуток — ∞ ; a , ( — ∞ ; a ] , [ a ; + ∞ ) , ( — ∞ ; + ∞ ) .

    В этом материале мы расскажем, как вычисляется наибольшее и наименьшее значение явно заданной функции с одной переменной y=f(x) y = f ( x ) .

    Основные определения

    Начнем, как всегда, с формулировки основных определений.

    Наибольшее значение функции y = f ( x ) на некотором промежутке x – это значение m a x y = f ( x 0 ) x ∈ X , которое при любом значении x x ∈ X , x ≠ x 0 делает справедливым неравенство f ( x ) ≤ f ( x 0 ) .

    Наименьшее значение функции y = f ( x ) на некотором промежутке x – это значение m i n x ∈ X y = f ( x 0 ) , которое при любом значении x ∈ X , x ≠ x 0 делает справедливым неравенство f(X f ( x ) ≥ f ( x 0 ) .

    Данные определения являются достаточно очевидными. Еще проще можно сказать так: наибольшее значение функции – это ее самое большое значение на известном интервале при абсциссе x 0 , а наименьшее – это самое маленькое принимаемое значение на том же интервале при x 0 .

    Стационарными точками называются такие значения аргумента функции, при которых ее производная обращается в 0 .

    Зачем нам нужно знать, что такое стационарные точки? Для ответа на этот вопрос надо вспомнить теорему Ферма. Из нее следует, что стационарная точка – это такая точка, в которой находится экстремум дифференцируемой функции (т.е. ее локальный минимум или максимум). Следовательно, функция будет принимать наименьшее или наибольшее значение на некотором промежутке именно в одной из стационарных точек.

    Еще функция может принимать наибольшее или наименьшее значение в тех точках, в которых сама функция является определенной, а ее первой производной не существует.

    Первый вопрос, который возникает при изучении этой темы: во всех ли случаях мы может определить наибольшее или наименьшее значение функции на заданном отрезке? Нет, мы не можем этого сделать тогда, когда границы заданного промежутка будут совпадать с границами области определения, или если мы имеем дело с бесконечным интервалом. Бывает и так, что функция в заданном отрезке или на бесконечности будет принимать бесконечно малые или бесконечно большие значения. В этих случаях определить наибольшее и/или наименьшее значение не представляется возможным.

    Более понятными эти моменты станут после изображения на графиках:

    Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

    Первый рисунок показывает нам функцию, которая принимает наибольшее и наименьшее значения ( m a x y и m i n y ) в стационарных точках, расположенных на отрезке [ — 6 ; 6 ] .

    Разберем подробно случай, указанный на втором графике. Изменим значение отрезка на [ 1 ; 6 ] и получим, что наибольшее значение функции будет достигаться в точке с абсциссой в правой границе интервала, а наименьшее – в стационарной точке.

    На третьем рисунке абсциссы точек представляют собой граничные точки отрезка [ — 3 ; 2 ] . Они соответствуют наибольшему и наименьшему значению заданной функции.

    Наибольшее и наименьшее значение функции на открытом интервале

    Теперь посмотрим на четвертый рисунок. В нем функция принимает m a x y (наибольшее значение) и m i n y (наименьшее значение) в стационарных точках на открытом интервале ( — 6 ; 6 ) .

    Если мы возьмем интервал [ 1 ; 6 ) , то можно сказать, что наименьшее значение функции на нем будет достигнуто в стационарной точке. Наибольшее значение нам будет неизвестно. Функция могла бы принять наибольшее значение при x , равном 6 , если бы x = 6 принадлежала интервалу. Именно этот случай нарисован на графике 5 .

    На графике 6 наименьшее значение данная функция приобретает в правой границе интервала ( — 3 ; 2 ] , а о наибольшем значении мы не можем сделать определенных выводов.

    Наибольшее и наименьшее значение функции на бесконечности

    На рисунке 7 мы видим, что функция будет иметь m a x y в стационарной точке, имеющей абсциссу, равную 1 . Наименьшего значения функция достигнет на границе интервала с правой стороны. На минус бесконечности значения функции будут асимптотически приближаться к y = 3 .

    Если мы возьмем интервал x ∈ 2 ; + ∞ , то увидим, что заданная функция не будет принимать на нем ни наименьшего, ни наибольшего значения. Если x стремится к 2 , то значения функции будут стремиться к минус бесконечности, поскольку прямая x = 2 – это вертикальная асимптота. Если же абсцисса стремится к плюс бесконечности, то значения функции будут асимптотически приближаться к y = 3 . Именно этот случай изображен на рисунке 8 .

    Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на заданном отрезке

    В этом пункте мы приведем последовательность действий, которую нужно выполнить для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на некотором отрезке.

    1. Для начала найдем область определения функции. Проверим, входит ли в нее заданный в условии отрезок.
    2. Теперь вычислим точки, содержащиеся в данном отрезке, в которых не существует первой производной. Чаще всего их можно встретить у функций, аргумент которых записан под знаком модуля, или у степенных функций, показатель которых является дробно рациональным числом.
    3. Далее выясним, какие стационарные точки попадут в заданный отрезок. Для этого надо вычислить производную функции, потом приравнять ее к 0 и решить получившееся в итоге уравнение, после чего выбрать подходящие корни. Если у нас не получится ни одной стационарной точки или они не будут попадать в заданный отрезок, то мы переходим к следующему шагу.
    4. Определим, какие значения будет принимать функция в заданных стационарных точках (если они есть), или в тех точках, в которых не существует первой производной (если они есть), либо же вычисляем значения для x = a и x = b .
    5. 5. У нас получился ряд значений функции, из которых теперь нужно выбрать самое больше и самое маленькое. Это и будут наибольшее и наименьшее значения функции, которые нам нужно найти.

    Посмотрим, как правильно применить этот алгоритм при решении задач.

    Условие: задана функция y = x 3 + 4 x 2 . Определите ее наибольшее и наименьшее значение на отрезках [ 1 ; 4 ] и [ — 4 ; — 1 ] .

    Решение:

    Начнем с нахождения области определения данной функции. В этом случае ей будет множество всех действительных чисел, кроме 0 . Иными словами, D ( y ) : x ∈ ( — ∞ ; 0 ) ∪ 0 ; + ∞ . Оба отрезка, заданных в условии, будут находиться внутри области определения.

    Теперь вычисляем производную функции согласно правилу дифференцирования дроби:

    y ‘ = x 3 + 4 x 2 ‘ = x 3 + 4 ‘ · x 2 — x 3 + 4 · x 2 ‘ x 4 = = 3 x 2 · x 2 — ( x 3 — 4 ) · 2 x x 4 = x 3 — 8 x 3

    Мы узнали, что производная функции будет существовать во всех точках отрезков [ 1 ; 4 ] и [ — 4 ; — 1 ] .

    Теперь нам надо определить стационарные точки функции. Сделаем это с помощью уравнения x 3 — 8 x 3 = 0 . У него есть только один действительный корень, равный 2 . Он будет стационарной точкой функции и попадет в первый отрезок [ 1 ; 4 ] .

    Вычислим значения функции на концах первого отрезка и в данной точке, т.е. для x = 1 , x = 2 и x = 4 :

    y ( 1 ) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y ( 2 ) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y ( 4 ) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

    Мы получили, что наибольшее значение функции m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y ( 2 ) = 3 будет достигнуто при x = 1 , а наименьшее m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y ( 2 ) = 3 – при x = 2 .

    Второй отрезок не включает в себя ни одной стационарной точки, поэтому нам надо вычислить значения функции только на концах заданного отрезка:

    y ( — 1 ) = ( — 1 ) 3 + 4 ( — 1 ) 2 = 3

    Значит, m a x y x ∈ [ — 4 ; — 1 ] = y ( — 1 ) = 3 , m i n y x ∈ [ — 4 ; — 1 ] = y ( — 4 ) = — 3 3 4 .

    Ответ: Для отрезка [ 1 ; 4 ] — m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y ( 2 ) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y ( 2 ) = 3 , для отрезка [ — 4 ; — 1 ] — m a x y x ∈ [ — 4 ; — 1 ] = y ( — 1 ) = 3 , m i n y x ∈ [ — 4 ; — 1 ] = y ( — 4 ) = — 3 3 4 .

    Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на открытом или бесконечном интервале

    Перед тем как изучить данный способ, советуем вам повторить, как правильно вычислять односторонний предел и предел на бесконечности, а также узнать основные методы их нахождения. Чтобы найти наибольшее и/или наименьшее значение функции на открытом или бесконечном интервале, выполняем последовательно следующие действия.

    1. Для начала нужно проверить, будет ли заданный интервал являться подмножеством области определения данной функции.
    2. Определим все точки, которые содержатся в нужном интервале и в которых не существует первой производной. Обычно они бывают у функций, где аргумент заключен в знаке модуля, и у степенных функций с дробно рациональным показателем. Если же эти точки отсутствуют, то можно переходить к следующему шагу.
    3. Теперь определим, какие стационарные точки попадут в заданный промежуток. Сначала приравняем производную к 0 , решим уравнение и подберем подходящие корни. Если у нас нет ни одной стационарной точки или они не попадают в заданный интервал, то сразу переходим к дальнейшим действиям. Их определяет вид интервала.
    • Если интервал имеет вид [ a ; b ) , то нам надо вычислить значение функции в точке x = a и односторонний предел lim x → b — 0 f ( x ) .
    • Если интервал имеет вид ( a ; b ] , то нам надо вычислить значение функции в точке x = b и односторонний предел lim x → a + 0 f ( x ) .
    • Если интервал имеет вид ( a ; b ) , то нам надо вычислить односторонние пределы lim x → b — 0 f ( x ) , lim x → a + 0 f ( x ) .
    • Если интервал имеет вид [ a ; + ∞ ) , то надо вычислить значение в точке x = a и предел на плюс бесконечности lim x → + ∞ f ( x ) .
    • Если интервал выглядит как ( — ∞ ; b ] , вычисляем значение в точке x = b и предел на минус бесконечности lim x → — ∞ f ( x ) .
    • Если — ∞ ; b , то считаем односторонний предел lim x → b — 0 f ( x ) и предел на минус бесконечности lim x → — ∞ f ( x )
    • Если же — ∞ ; + ∞ , то считаем пределы на минус и плюс бесконечности lim x → + ∞ f ( x ) , lim x → — ∞ f ( x ) .
    1. В конце нужно сделать вывод на основе полученных значений функции и пределов. Здесь возможно множество вариантов. Так, если односторонний предел равен минус бесконечности или плюс бесконечности, то сразу понятно, что о наименьшем и наибольшем значении функции сказать ничего нельзя. Ниже мы разберем один типичный пример. Подробные описания помогут вам понять, что к чему. При необходимости можно вернуться к рисункам 4 — 8 в первой части материала.

    Условие: дана функция y = 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 . Вычислите ее наибольшее и наименьшее значение в интервалах — ∞ ; — 4 , — ∞ ; — 3 , ( — 3 ; 1 ] , ( — 3 ; 2 ) , [ 1 ; 2 ) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞ ) .

    Решение

    Первым делом находим область определения функции. В знаменателе дроби стоит квадратный трехчлен, который не должен обращаться в 0 :

    x 2 + x — 6 = 0 D = 1 2 — 4 · 1 · ( — 6 ) = 25 x 1 = — 1 — 5 2 = — 3 x 2 = — 1 + 5 2 = 2 ⇒ D ( y ) : x ∈ ( — ∞ ; — 3 ) ∪ ( — 3 ; 2 ) ∪ ( 2 ; + ∞ )

    Мы получили область определения функции, к которой принадлежат все указанные в условии интервалы.

    Теперь выполним дифференцирование функции и получим:

    y ‘ = 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 ‘ = 3 · e 1 x 2 + x — 6 ‘ = 3 · e 1 x 2 + x — 6 · 1 x 2 + x — 6 ‘ = = 3 · e 1 x 2 + x — 6 · 1 ‘ · x 2 + x — 6 — 1 · x 2 + x — 6 ‘ ( x 2 + x — 6 ) 2 = — 3 · ( 2 x + 1 ) · e 1 x 2 + x — 6 x 2 + x — 6 2

    Следовательно, производные функции существуют на всей области ее определения.

    Перейдем к нахождению стационарных точек. Производная функции обращается в 0 при x = — 1 2 . Это стационарная точка, которая находится в интервалах ( — 3 ; 1 ] и ( — 3 ; 2 ) .

    Вычислим значение функции при x = — 4 для промежутка ( — ∞ ; — 4 ] , а также предел на минус бесконечности:

    y ( — 4 ) = 3 e 1 ( — 4 ) 2 + ( — 4 ) — 6 — 4 = 3 e 1 6 — 4 ≈ — 0 . 456 lim x → — ∞ 3 e 1 x 2 + x — 6 = 3 e 0 — 4 = — 1

    Поскольку 3 e 1 6 — 4 > — 1 , значит, m a x y x ∈ ( — ∞ ; — 4 ] = y ( — 4 ) = 3 e 1 6 — 4 . Это не дает нам возможности однозначно определить наименьшее значение функции. Мы можем только сделать вывод, что внизу есть ограничение — 1 , поскольку именно к этому значению функция приближается асимптотически на минус бесконечности.

    Особенностью второго интервала является то, что в нем нет ни одной стационарной точки и ни одной строгой границы. Следовательно, ни наибольшего, ни наименьшего значения функции мы вычислить не сможем. Определив предел на минус бесконечности и при стремлении аргумента к — 3 с левой стороны, мы получим только интервал значений:

    lim x → — 3 — 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 — 0 3 e 1 ( x + 3 ) ( x — 3 ) — 4 = 3 e 1 ( — 3 — 0 + 3 ) ( — 3 — 0 — 2 ) — 4 = = 3 e 1 ( + 0 ) — 4 = 3 e + ∞ — 4 = + ∞ lim x → — ∞ 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = 3 e 0 — 4 = — 1

    Значит, значения функции будут расположены в интервале — 1 ; + ∞

    Чтобы найти наибольшее значение функции в третьем промежутке, определим ее значение в стационарной точке x = — 1 2 , если x = 1 . Также нам надо будет знать односторонний предел для того случая, когда аргумент стремится к — 3 с правой стороны:

    y — 1 2 = 3 e 1 — 1 2 2 + — 1 2 — 6 — 4 = 3 e 4 25 — 4 ≈ — 1 . 444 y ( 1 ) = 3 e 1 1 2 + 1 — 6 — 4 ≈ — 1 . 644 lim x → — 3 + 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 + 0 3 e 1 ( x + 3 ) ( x — 2 ) — 4 = 3 e 1 — 3 + 0 + 3 ( — 3 + 0 — 2 ) — 4 = = 3 e 1 ( — 0 ) — 4 = 3 e — ∞ — 4 = 3 · 0 — 4 = — 4

    У нас получилось, что наибольшее значение функция примет в стационарной точке m a x y x ∈ ( 3 ; 1 ] = y — 1 2 = 3 e — 4 25 — 4 . Что касается наименьшего значения, то его мы не можем определить. Все, что нам известно, – это наличие ограничения снизу до — 4 .

    Для интервала ( — 3 ; 2 ) возьмем результаты предыдущего вычисления и еще раз подсчитаем, чему равен односторонний предел при стремлении к 2 с левой стороны:

    y — 1 2 = 3 e 1 — 1 2 2 + — 1 2 — 6 — 4 = 3 e — 4 25 — 4 ≈ — 1 . 444 lim x → — 3 + 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = — 4 lim x → 2 — 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 + 0 3 e 1 ( x + 3 ) ( x — 2 ) — 4 = 3 e 1 ( 2 — 0 + 3 ) ( 2 — 0 — 2 ) — 4 = = 3 e 1 — 0 — 4 = 3 e — ∞ — 4 = 3 · 0 — 4 = — 4

    Значит, m a x y x ∈ ( — 3 ; 2 ) = y — 1 2 = 3 e — 4 25 — 4 , а наименьшее значение определить невозможно, и значения функции ограничены снизу числом — 4 .

    Исходя из того, что у нас получилось в двух предыдущих вычислениях, мы можем утверждать, что на интервале [ 1 ; 2 ) наибольшее значение функция примет при x = 1 , а найти наименьшее невозможно.

    На промежутке ( 2 ; + ∞ ) функция не достигнет ни наибольшего, ни наименьшего значения, т. е. она будет принимать значения из промежутка — 1 ; + ∞ .

    lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = lim x → — 3 + 0 3 e 1 ( x + 3 ) ( x — 2 ) — 4 = 3 e 1 ( 2 + 0 + 3 ) ( 2 + 0 — 2 ) — 4 = = 3 e 1 ( + 0 ) — 4 = 3 e + ∞ — 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x — 6 — 4 = 3 e 0 — 4 = — 1

    Вычислив, чему будет равно значение функции при x = 4 , выясним, что m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞ ) = y ( 4 ) = 3 e 1 14 — 4 , и заданная функция на плюс бесконечности будет асимптотически приближаться к прямой y = — 1 .

    Сопоставим то, что у нас получилось в каждом вычислении, с графиком заданной функции. На рисунке асимптоты показаны пунктиром.

    Это все, что мы хотели рассказать о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции. Те последовательности действий, которые мы привели, помогут сделать необходимые вычисления максимально быстро и просто. Но помните, что зачастую бывает полезно сначала выяснить, на каких промежутках функция будет убывать, а на каких возрастать, после чего можно делать дальнейшие выводы. 2+bx+c\) и нужно по этому графику определить коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.

    1 способ – ищем коэффициенты на графике

    Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью \(y\) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.

    Коэффициент \(a\) можно найти с помощью следующих фактов:

    — Если \(a>0\), то ветви параболы направленных вверх, если \(a<0\), то ветви параболы направлены вниз.

    — Если \(a>1\), то график вытянут вверх в \(a\) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого \(a=1\)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

    — Аналогично с \(a<-1\), только график вытянут вниз.

    — Если \(a∈(0;1)\), то график сжат в \(a\) раз (по сравнению с «базовым» графиком с \(a=1\)). Вершина при этом остается на месте.

    — Аналогично \(a∈(-1;0)\), только ветви направлены вниз. 2\).

    По графику функции найти y по x

    В прошлый раз мы находили значение функции по значению аргумента с помощью формулы.

    Рассмотрим, как по данному графику функции найти y по x.

    1) Пользуясь графиком линейной функции, изображенной на рисунке 1, найдите значение функции,если значение аргумента равно 1; 3; -3, -1; 0.

    Аргумент — это x, функция — y.

    Найти значение функции по значению аргумента — значит, по данному значению x найти, чему равен y.

    Начнём с x=1. На оси абсцисс Ox находим x=1. Чтобы найти соответствующее значение y, надо из точки на Ox идти либо вверх, либо вниз, чтобы попасть на график.

    От x=1 идём вверх. От полученной точки на графике надо двигаться либо влево, либо вправо, чтобы попасть на ось Oy. В данном случае идем влево и попадаем с ординатой y=2 (стрелочки помогают увидеть направление движения).

    Следовательно, при x=1 y=2.

    Аналогично, если x=3, идем вверх до пересечения с графиком, затем влево до пересечения с осью ординат Oy.

    Получаем, что при x=3 y=4.

    Если x=-3, чтобы попасть на график функции, нужно идти вниз, затем — вправо, до пересечения с осью Oy.

    При x=-1 ни вверх, ни вниз двигаться не надо — эта точка уже на графике функции. Следовательно, y=0.

    Записываем: при x=-1 y=0.

    При x=0 идем до графика вверх и попадаем в точку с ординатой y=2.

    2) На рисунке 2 изображен график функции y=f(x).

    Пользуясь графиком, найдите значение функции, если значение аргумента равно 1; 3; 5; 7; -1; -5.

    Чтобы по графику функции найти y по x, сначала надо от точки с данной абсциссой попасть на график, двигаясь вверх либо вниз, а затем от точки на графике идти к оси Oy, двигаясь влево или вправо.

    При x=1 идем до графика функции вверх, затем влево — на ось Oy. Попадаем в точку с ординатой y=2.

    Пишем: при x=1 y=2.

    При x равном -1 и -5 идем сначала вверх, затем — вправо.

    При иксах равных 3; 5 и 7 идём вниз и влево.

    Обратите внимание: различным значениям икса может соответствовать одно значение y:

    алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции

    алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции

    Вы искали алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и значение производной наибольшее и наименьшее значение функции, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции».

    Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции,значение производной наибольшее и наименьшее значение функции,значение функции наибольшее и наименьшее определение,как искать наибольшее и наименьшее значение функции,как искать наименьшее и наибольшее значение функции,как найти y наибольшее и y наименьшее,как найти y наименьшее и y наибольшее,как найти наиб и наим значение функции,как найти наибольшее,как найти наибольшее значение,как найти наибольшее значение функции,как найти наибольшее значение функции на отрезке,как найти наибольшее значение функции на промежутке,как найти наибольшее значение функции по графику,как найти наибольшее значение функции по графику функции,как найти наибольшее значение функции по уравнению,как найти наибольшее и наименьшее значение,как найти наибольшее и наименьшее значение функции,как найти наибольшее и наименьшее значение функции 10 класс,как найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке,как найти наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке,как найти наибольшее и наименьшее значения функции,как найти наибольшее или наименьшее значение функции,как найти наименьшее,как найти наименьшее значение функции,как найти наименьшее значение функции на отрезке,как найти наименьшее значение функции по графику,как найти наименьшее и наибольшее значение,как найти наименьшее и наибольшее значение функции,как найти наименьшее и наибольшее значение функции 10 класс,как найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке,как найти наименьшее и наибольшее значения функции,как найти наименьшее или наибольшее значение функции,как найти у наибольшее и у наименьшее,как найти у наименьшее и у наибольшее,как находить наибольшее значение функции,как находить наибольшее и наименьшее значение функции,как находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке,как находить наименьшее значение функции,как находить наименьшее и наибольшее значение функции,как находить наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке,как определить наибольшее значение функции,как определить наибольшее и наименьшее значение функции,как определить наибольшее и наименьшее значение функции по графику,как определить наименьшее значение функции,как определить наименьшее и наибольшее значение функции,как определить наименьшее и наибольшее значение функции по графику,как определить по графику наибольшее и наименьшее значение функции,как по графику найти наибольшее значение функции,как по графику найти наименьшее значение функции,как по графику определить наибольшее и наименьшее значение функции,на отрезке,наибольшее значение,наибольшее значение функции,наибольшее значение функции как искать,наибольшее значение функции как найти,наибольшее значение функции на отрезке,наибольшее значение функции это,наибольшее и наименьшее,наибольшее и наименьшее значение,наибольшее и наименьшее значение найти,наибольшее и наименьшее значение функции,наибольшее и наименьшее значение функции и производной,наибольшее и наименьшее значение функции на графике,наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке,наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке,наибольшее и наименьшее значение функции определение,наибольшее и наименьшее значение функции примеры,наибольшее и наименьшее значение функции это,наибольшее и наименьшее значения функции,наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке,наибольшее или наименьшее значение функции как найти,наибольшее наименьшее значение функции,наибольшее наименьшее значение функции как найти,наименьшее значение,наименьшее значение найти,наименьшее значение функции,наименьшее значение функции как искать,наименьшее значение функции как найти,наименьшее значение функции как найти по графику,наименьшее значение функции на графике функции,наименьшее значение функции на отрезке,наименьшее значение функции по графику функции,наименьшее значение функции это,наименьшее и наибольшее,наименьшее и наибольшее значение,наименьшее и наибольшее значение функции,наименьшее и наибольшее значение функции как определить,наименьшее и наибольшее значение функции на графике,наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке,наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке 2 1,наименьшее и наибольшее значение функции на промежутке,наименьшее и наибольшее значение функции определение,наименьшее и наибольшее значение функции примеры,наименьшее и наибольшее значение функции это,наименьшее и наибольшее значения функции,наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке,наименьшее наибольшее значение функции,найдите наибольшее,найдите наибольшее значение,найдите наибольшее значение и наименьшее,найдите наибольшее значение функции,найдите наибольшее значение функции на отрезке,найдите наибольшее значение функции на промежутке,найдите наибольшее и наименьшее,найдите наибольшее и наименьшее значение функции,найдите наибольшее и наименьшее значение функции y,найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке,найдите наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке,найдите наибольшее и наименьшее значения функции,найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке,найдите наименьшее значение функции,найдите наименьшее значение функции на отрезке,найдите наименьшее и наибольшее значение,найдите наименьшее и наибольшее значение функции,найдите наименьшее и наибольшее значение функции y,найдите наименьшее и наибольшее значение функции на заданном отрезке,найдите наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке,найдите наименьшее и наибольшее значение функции на промежутке,найдите наименьшее и наибольшее значения функции,найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке,найти наибольшее,найти наибольшее значение и наименьшее,найти наибольшее значение функции,найти наибольшее значение функции на отрезке,найти наибольшее и наименьшее,найти наибольшее и наименьшее значение,найти наибольшее и наименьшее значение функции,найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке,найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке примеры,найти наибольшее и наименьшее значения функции,найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке,найти наименьшее,найти наименьшее значение,найти наименьшее значение функции,найти наименьшее значение функции на отрезке,найти наименьшее и наибольшее значение,найти наименьшее и наибольшее значение функции,найти наименьшее и наибольшее значение функции на заданном отрезке,найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке,найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке примеры,найти наименьшее и наибольшее значения функции,найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке,нахождение наибольшего значения функции,нахождение наибольшего и наименьшего значения функции,нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке,нахождение наименьшего значения функции,нахождение наименьшего и наибольшего значения функции,нахождение наименьшего и наибольшего значения функции на отрезке,определение наибольшее и наименьшее значение функции,определение наименьшее и наибольшее значение функции,примеры наибольшее и наименьшее значение функции,у наибольшее и у наименьшее как найти,укажите наибольшее значение функции,что значит найти наибольшее значение функции,что такое наибольшее и наименьшее значение функции,что такое наименьшее значение функции,что такое наименьшее и наибольшее значение функции. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, значение функции наибольшее и наименьшее определение).

    Где можно решить любую задачу по математике, а так же алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции Онлайн?

    Решить задачу алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

    Страница не найдена — Фонд Наффилда

    Страница не найдена — Фонд Наффилда

    Страница, которую вы ищете, не может быть найдена. Пожалуйста, попробуйте использовать либо главное меню, либо поиск по сайту.

    Поиск проектов, новостей, воздействия, событий

    Поиск

    Образование 640 Когнитивные и некогнитивные навыки 32curriculum и субъект.Образование и навыки после 16 лет 93Начальное образование 128Q-Step 26Эффективность школы 45Среднее образование 153Специальные образовательные потребности и инвалидность 53Проблемы системного образования 97Правосудие 230Доступ к правосудию 36Административное правосудие 23Гражданское правосудие 21Судебный опыт и доказательства 18Уголовное право 22Домашнее насилие 5Равенство и права человека 2Семейное правосудие и 130Частное право закон о социальном обеспечении 9Юстиция в отношении молодежи 21Благосостояние 758Искусственный интеллект 3Помощь при смерти 1Дополненная реальность 0Преимущества 52Обязанности по уходу 27Сообщества и социальная сплоченность 63Страна рождения 24COVID-19327Прогнозирование преступности 2Данные для общественного блага 27Цифровой вред и дезинформация 33Цифровая интеграция и исключение 14Цифровые навыки 16Цифровое общество 47Инвалидность 13Экономика, государственные расходы и услуги 176Этническая принадлежность 47Семья и семейная динамика 115Гендер 42Глобальное неравенство в отношении здоровья и нуждающиеся дети 73Психическое здоровье 90Заболевания опорно-двигательного аппарата 11Пенсии 16Физическое здоровье 43Бедность и уровень жизни 107Производительность и инновации 6Общественное здравоохранение 150Социальные сети 2Социоэкономика старения 24Социоэкономика раннего взросления 40Спортивная наука 1Злоупотребление психоактивными веществами 11Налоги 47Доверие к демократии 65Оценка данных 5

    ProjectsNewsEventsImpactOpinionPublicationsSeriesReportsEducation 640Cognitive and non-cognitive skills 32Curriculum and subject choice 30Early years 161Education workforce 74Educational assessment 28Higher education 91Language and literacy 78Lifelong learning 14Nuffield Research Placements 23Numeracy 83Parenting 73Pedagogy 19Post-16 education and skills 93Primary education 128Q-Step 26School effectiveness 45Secondary education 153Special educational needs и инвалидность 53Системные проблемы образования 97justice 230 к правосудию 36 Административное правосудие 23Civil юстиции 21 Корт. Опыт и доказательства 18 КРИМИНАЛЬНОЕ ПРАВДОВОСТИ 22DOMESTIC ЗАПОЛНЕНИЕ 5 ИСПРАВЛЕНИЕ И ПРАВАМИ 16 СВЯЗАНСКОЙ ПРАВИТЕЛЬСТВО 130 ПРИВАТ И ПРОМЕМОЙ ЗАКОН 2SOCIAL LAWERESEDALE 9-й юстиции 21-й. 19 327Прогнозирование преступности 2Данные для общественного блага 27Цифровой вред и дезинформация 33Цифровая интеграция и исключение 14Цифровые навыки 16Цифровое общество 47Инвалидность 13Экономика, государственные расходы и услуги 176Этническая принадлежность 47Семья и семейная динамика 115Гендер 42Глобальное неравенство в отношении здоровья 11Жилище 24Вопросы дохода и богатства 115Неравенство между поколениями 3Равенство и социальная мобильность 2 дети и нуждающиеся дети 73Психическое здоровье 90Заболевания опорно-двигательного аппарата 11Пенсии 16Физическое здоровье 43Бедность и уровень жизни 107Производительность и инновации 6Общественное здравоохранение 150Социальные сети 2Социоэкономика старения 24Социоэкономика раннего взросления 40Спортивная наука 1Злоупотребление психоактивными веществами 11Налоги 47Доверие к демократии 65Оценка данных 5

    Ознакомьтесь с нашими проектами

    Благосостояние | 2022 – 2023

    Пересмотр политики на рынке труда для будущего работы

    Посмотреть проект

    Новый

    Образование | 2022 – 2023

    Перевод в школу Северной Ирландии без экзаменов в 2021 году

    Посмотреть проект

    Новый

    Образование | 2022 – 2023

    Повышение успеваемости учащихся с ООП и инвалидностью

    Посмотреть проект

    Новый

    Правосудие | 2022 – 2024

    Child First: изучение сотрудничества детей в системе правосудия по делам несовершеннолетних

    Посмотреть проект

    Новый

    Образование | 2022 – 2024

    Опыт дополнительного образования детей от 14 до 16 лет в Англии

    Посмотреть проект

    Новый

    Благосостояние | 2022 – 2024

    Связь между когнитивными нарушениями и эксплуатацией в Англии

    Посмотреть проект

    Новый

    Благосостояние | 2022 – 2023

    Влияние автоматического зачисления на пенсию и COVID-19 на поведение сбережений

    Посмотреть проект

    Новый

    Правосудие | 2022 – 2024

    Административная справедливость в цифровом государстве всеобщего благосостояния

    Посмотреть проект

    Новый

    Благосостояние | 2022 – 2024

    Жизнь детей в переменчивых местах

    Посмотреть проект

    Новый

    Благосостояние | 2022 – 2023

    Влияние автоматического зачисления на пенсию и COVID-19 на поведение сбережений

    Посмотреть проект

    Новый

    Образование | 2022 – 2024

    Долгосрочное влияние пособия на содержание образования

    Посмотреть проект

    Новый

    Образование | 2023 – 2025

    Помогают ли субтитры на одном языке детям научиться читать?

    Посмотреть проект

    Новый

    Благосостояние | 2022 – 2024

    Связь между когнитивными нарушениями и эксплуатацией в Англии

    Посмотреть проект

    Новый

    Образование | 2022 – 2024

    Опыт дополнительного образования детей от 14 до 16 лет в Англии

    Посмотреть проект

    Новый

    Правосудие | 2022 – 2024

    Child First: изучение сотрудничества детей в системе правосудия по делам несовершеннолетних

    Посмотреть проект

    Новый

    Образование | 2022 – 2023

    Повышение успеваемости учащихся с ООП и инвалидностью

    Посмотреть проект

    Новый

    Образование | 2022 – 2023

    Перевод в школу Северной Ирландии без экзаменов в 2021 году

    Посмотреть проект

    Образование | 2022 – 2023

    Практика преподавания начальных наук, опыт и достижения учеников

    Посмотреть проект

    Новый

    Образование | 2022 – 2024

    Долгосрочное влияние пособия на содержание образования

    Посмотреть проект

    Новый

    Образование | 2023 – 2025

    Помогают ли субтитры на одном языке детям научиться читать?

    Посмотреть проект

    Новый

    Благосостояние | 2022 – 2024

    Связь между когнитивными нарушениями и эксплуатацией в Англии

    Посмотреть проект

    Новый

    Правосудие | 2022 – 2024

    Child First: изучение сотрудничества детей в системе правосудия по делам несовершеннолетних

    Посмотреть проект

    В процессе

    Образование | 2022 – 2023

    Движение и рассказывание историй для приемных детей

    Посмотреть проект

    В процессе

    Образование | 2022 – 2024

    Исследовательское обучение языку и грамотности: рандомизированное контрольное исследование

    Посмотреть проект

    В процессе

    2022 – 2025

    Разработка классов математики с учетом языка

    Посмотреть проект

    В процессе

    Благосостояние | 2022 – 2024

    Сельские активы: взгляды на политику и практику децентрализованных стран

    Посмотреть проект

    В процессе

    Благосостояние | 2022 – 2024

    Интеграция на основе природы: соединение сообществ с природой/в природе

    Посмотреть проект

    Сообщено

    Образование | 2020 – 2022

    Этические принципы, лежащие в основе совместного производства с молодежью

    Посмотреть проект

    Сообщено

    Образование | 2020 – 2022

    Могут ли математические приложения повысить ценность обучения?

    Посмотреть проект

    Сообщено

    Благосостояние | 2020 – 2022

    Реалии COVID: малообеспеченные семьи во время пандемии

    Посмотреть проект

    Сообщено

    Благосостояние | 2020 – 2020

    Как население Великобритании получает информацию о COVID-19

    Посмотреть проект

    Сообщено

    Образование | 2019 – 2020

    Систематический обзор дипломов и путей трудоустройства

    Посмотреть проект

    Сообщено

    Образование | Благосостояние | 2020 – 2020

    Измерение разрыва в уровне образования в 16-19 лет

    Посмотреть проект

    Сообщено

    Образование | 2019 – 2022

    «Неуправляемые» школы: может ли решение Ofsted помешать устойчивому улучшению?

    Посмотреть проект

    Сообщено

    Образование | 2014 – 2015

    Исследовательская программа Nuffield Languages ​​​​Inquiry и Nuffield Languages ​​Program

    Посмотреть проект

    Сообщено

    Образование | 2003 – 2003

    Nuffield Review of 14-19 Education and Training

    Посмотреть проект

    Увидеть все

    Последние

    Последние

    Максимальные и минимальные значения — Исчисление с документацией Python Fall 2018

    И Пьер де Ферма, и Г. Вильгельм Лейбниц писали о проблемах включая максимумы и минимумы кривых. Ферма интересовался задача о разрезании прямой так, чтобы произведение длины результирующие сегменты были максимальными. 92\) для \(i\) в \([-2,2]\).

    В 1]:
 
    %matplotlib встроенный
импортировать matplotlib.pyplot как plt
импортировать numpy как np
импортировать sympy как sy
 
    В [2]:
 
    f = [i**2 для i в np.linspace(-2,2,10)]
 
    В [3]:
 
    plt.plot(f, '--o')
 
    Выход[3]:
 
    []

    Теперь рассмотрим различия этих терминов. Напомним, что мы можем найти это с функцией np.diff() . Мы также включаем горизонтальную ось отметить пересечение и отметить что-то о соединении с где кажется, что минимальное значение происходит.

    В [4]:
 
    diffs = np.diff(f)
 
    В [5]:
 
    plt.plot(diffs, '--o')
plt.axhline (цвет = «черный»)
plt.title("Сюжет различий")
 
    Выход[5]:
 
    Текст(0. 5, 1.0, "График различий")

    Другой пример — аналогичная парабола, перевернутая и поднявшаяся на одну единицу. Результат имеет максимальное значение вместо минимального, как мы видели в первый пример.

    В [6]:
 
    f = [-(i**2)+ 1 для i в np.linspace(-2,2,10)]
 
    В [7]:
 
    plt.plot(f, '--o')
 
    Выход[7]:
 
    []
 
    В [8]:
 
    diffs = np.diff(f)
 
    В [9]:
 
    plt.plot(diffs, '--o')
plt.axhline (цвет = «черный»)
 
    Выход[9]:

    Допустим, у нас гораздо меньшие интервалы между точками. За Например, предположим, что мы берем 100 точек на интервале \(x = [-2,2]\). Нас бы интересовало изменение между терминами, однако сейчас это номер:

    \[\Delta x = \frac{2 — (-2)}{100} = \frac{1}{25}\]

    В [10]:
 
    защита f(x):
    вернуть (х+2) * (х) * (х - 1)
 
    В [11]:
 
    х = np. linspace (-2,2, 100)
дх = (4)/(100)
 
    В [12]:
 
    diffs = np.diff(f(x))/dx
 
    В [13]:
 
    plt.figure(figsize = (11, 6))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(x, f(x), '--o')
plt.axhline (цвет = «черный»)
plt.axvline (цвет = «черный»)
plt.title("Исходная функция $f(x) = x(x+2)(x-1)$")
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(x[1:], diffs, '--o')
plt.axhline (цвет = «черный»)
plt.axvline (цвет = «черный»)
plt.title("Различия в терминах")
#plt.savefig('images/calc_diffs_2.png')
 
    Исход[13]:
 
    Текст(0.5, 1.0, "Различия в терминах")

    Сравнение функции и ее различий

    Мы замечаем кое-что о максимальном и минимальном значениях, по крайней мере локально. Когда график функции меняет направление, разницы ноль. Также точка считается локальным максимумом . что происходит между \(x = -1,5\) и \(x = -1,0\), различия меняются с положительных на отрицательные. Аналогично для местного минимум вблизи \(x = 0,5\), различия меняются с отрицательных на положительный.

    В [14]:
 
    защита f(x):
    вернуть -1 * (х + 2) * (х) * (х - 1)
 
    В [15]:
 
    х = np.linspace (-2,2, 100)
дх = (4)/(100)
diffs = np.diff(f(x))/dx
 
    В [16]:
 
     plt.figure(figsize = (11, 6))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(x, f(x), '--o')
plt.axhline (цвет = «черный»)
plt.axvline (цвет = «черный»)
plt.title("Исходная функция $f(x) = -x(x+2)(x-1)$")
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(x[1:], diffs, '--o')
plt.axhline (цвет = «черный»)
plt.axvline (цвет = «черный»)
plt.title("Различия в терминах")
plt.savefig('images/example_derivatives_2.png')
 92\)
  • Напишите уравнение касательной к приведенным выше графикам. функций в заданных точках
    1. \(а = 3\)
    2. \(а = \пи\)
    3. \(а = \пи/4\)
    1. Для данных функций в (а) постройте график функции и ее производной рядом друг с другом.
    2. Для заданной функции постройте график функции и найдите, где производная равна нулю. Это максимум, минимум или ни то, ни другое? Есть ли в домене несколько максимальных и минимальных значений? 92−4x+3\) на интервале \(x = [1,4]\).
    3. Предположим, что остров находится в 1 миле от берега, а расстояние от кабина до ближайшей к острову точки на берегу 15 миль. Предположим, посетитель плывет со скоростью 2,5 мили в час и бежит со скоростью 6 миль в час. Пусть x обозначает расстояние, которое пробежит посетитель перед тем, как проплыть, и найти функцию для времени, которое требуется посетителю, чтобы добраться от домик на острове.
    4. Владельцы компании по аренде автомобилей определили, что если они взимают клиентов p долларов в день на аренду автомобиля, где \(50≤p≤200\), количество автомобилей n, которые они арендуют в день, может быть смоделировано линейной функция \(n(p)=1000−5p\). Если они берут 50 долларов в день или меньше, они будут арендовать все свои автомобили. Если они берут 200 долларов за день или более, они не будут арендовать автомобили. Предположим, что владельцы планируют взимать с клиентов от 50 до 200 в день за аренду автомобиля, сколько они должны взимать, чтобы максимизировать свой доход?

    Поиск минимумов и максимумов

    Поиск минимумов и максимумов

    Относительный минимум — это точка, расположенная ниже всех остальных точек. вокруг него. Относительный максимум – это точка, расположенная выше всех остальных точки вокруг него. Конечно, есть и другие, более точные определения, но это будет работать на то, что мы хотим сделать. Общее слово для минимума или максимума экстремум.

    Все калькуляторы

    1. Решите уравнение для Y, если оно еще не решено.
    2. Перейти до Y=
    3. Войдите в функцию
    4. График попаданий
    5. При необходимости измените окно просмотра, чтобы вы могли видеть, где находится график. имеет минимум или максимум. Вы должны убедиться, что там достаточно слева и справа от экстремума, чтобы выбрать точку.
    6. Перейдите к конкретным шагам для вашего калькулятора. Если есть доп. экстремумов, вам может потребоваться изменить окно просмотра и повторите шаги для каждого экстремума.

    ТИ-82

    1. Press Calc (2 и след)
    2. Выберите минимум (#3) или максимум (#4)
    3. Для нижней границы наведите стрелку влево от экстремума и нажмите клавишу ввода.
    4. Для верхней границы наведите стрелку вправо от экстремума и нажмите клавишу ввода.
    5. Для Угадывания наведите стрелку на экстремум и нажмите Enter.
    6. TI-82 вернет значение для x и y. х где экстремум происходит, а y является минимальным или максимальным значением.

    ТИ-83

    Для TI-83 вы можете ввести левые границы, правые границы и догадки из клавиатуры вместо стрелки и нажатия Enter. Когда он запрашивает значение, просто введите свой номер и нажмите ввод.

    1. Press Calc (2 и след)
    2. Выберите минимум (#3) или максимум (#4)
    3. Для левой границы, стрелка слева от экстремума и нажмите ввод.
    4. Для правой границы, стрелка справа от экстремума и нажмите ввод.
    5. Для Угадывания наведите стрелку на экстремум и нажмите Enter.
    6. TI-83 будет вернуть значение для x и y. х где экстремум происходит, а y является минимальным или максимальным значением.

    ТИ-85 / ТИ-86

    1. Пресс Граф
    2. Нажмите «Дополнительно», а затем «Математика» (F1)
    3. Нажмите Нижнее (F1). Стрелка слева от экстремума и нажмите Enter.
    4. Нажмите Верх (F2). Стрелка справа от экстремума и нажмите Enter.
    5. Нажмите More, а затем FMin (F1) для минимума или FMax (F2) для максимума.
    6. Наведите стрелку на экстремум и нажмите Enter.
    7. TI-85 вернет значение для x и y. х где экстремум происходит, а y является минимальным или максимальным значением.

    ТИ-89 / ТИ-92

    Для TI-89 и TI-92 вы можете ввести нижние или верхние границы из клавиатуры вместо стрелки и нажатия Enter. Когда это спрашивает для ценность, просто введите свой номер и нажмите ввод.

    1. Пресс Математика (F5)
    2. Выберите минимум (#3) или максимум (#4)
    3. Для нижней границы наведите стрелку влево от экстремума и нажмите клавишу ввода.
    4. Для верхней границы наведите стрелку вправо от экстремума и нажмите клавишу ввода.
    5. TI-89 вернет значение для x и y. х где экстремум происходит, а y является минимальным или максимальным значением.

    Угадывать TI-89 не нужно. Вы должны убедиться, что там является только одним экстремумом в указанном интервале, или вы не будете знать, какой именно оно собирается дать вам.

    Пример (TI-83+)

    Найдите относительный максимум для y = x 3 - 2x 2 - 4x

    Введите функцию в y 1 и затем постройте график. Возможно, вам придется изменить ваше смотровое окно так, чтобы было видно максимум. Я использовал десятичное масштабирование для этого примера. Я также ввел левую границу, правую границу и угадал с клавиатуры, а не с помощью стрелок и нажатия Enter.

    График Ноль Левый справа Угадай Решение

    Калькулятор говорит, что решение: x = -0,6666651 и y = 1,4814815.

    No related posts.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *