Если интегрирование про нахождение площади, то как понять, где именно нахождение площади каких-то функций даст мне решение моей проблемы?
Математика и математики
104682 участника сообщества
Вопрос о том, как выработать интуицию, чтобы умело применять интегрирование в разных ситуациях (если, конечно, такое возможно). Где-то слышал, что Calculus 2 — это пустая трата времени и пережитки прошлого и что якобы все интегралы сейчас находят компьютеры. Если это действительно так, то мне как для будущего программиста хватает одного только умения видеть, где и когда применять интегралы, а все остальное за меня сделает компьютер.
Лок Эрстед · ·
5,3 K
Борис Державец
Data science
Openstack DevOps and IBM/Informix Certified DBA… · 18 окт 2021
Смотри http://vm.tstu.tver.ru/topics/pdf_tests/rudin.
pdf
Попробуйте понять главу 6 уровень сложности соответствует ТФДП
Прежде чем говорить о площади , строится теория меры . Мат.анализа хватает для инженерных задач. Но Теорию Функций Действительного переменного (ТФДП) еще никто не отменял (3 курс любой Мехмат ).
Невозможно связывать интеграл Римана ( Лебега ) с площадью, пока мы не знаем , что в нашей аксиоматике есть площадь.
4 оценили·
654
Комментировать ответ…Комментировать…
Михаил Мулюков
Математика
Математик-теоретик, занимаюсь исследованиями в… · 19 окт 2021
Если нужно найти определённый интеграл Римана от непрерывной функции на отрезке, то компьютер, как правило, справляется с этой задачей. Но, вообще говоря, компьютер не решит следующие задачи: 1) определить сходится ли… Читать далее
1 оценил·
Гульнара Гайфуллина
20 окт 2021Спасибо за ответ!
Комментировать ответ…Комментировать…
Maxim Vyalkov
Математика
Интересующие темы: история математики, история хри. .. · 18 окт 2021
А интегральные уравнения вы как собираетесь решать? А интегрально-дифференциальные? А они всплывают везде, где есть задачи на поведение и состояние системы. А новые задачи будут возникать постоянно и по мере развития технологиче… Читать далее
1 оценил·
Комментировать ответ…Комментировать…
Вадим Романский
Физика
младший научный сотрудник ФТИ им. Иоффе · 18 окт 2021 ·
astropolytech
Во-первых «интеграл это про площадь» — это очень упрощенное и однобокое представление. Интеграл это про сумму. Сумму бесконечного числа бесконечно малых. И про операцию обратную дифференцированию — что вообще-то очень… Читать далее
астрофизическое образование
Перейти на vk.com/astropolytech7 оценили·
156
Автор удалил комментарий
Комментировать ответ…Комментировать…
Леонид П
Просто проходил мимо. · 18 окт 2021
Нахождение площади, ограниченной графиком функции — это лишь одно из множества приложений определённого интеграла. Интегралы комплексных функций вообще трудно визуально представить, так же как интегралы функций многих… Читать далее
3 оценили·
Комментировать ответ…Комментировать…
Вы знаете ответ на этот вопрос?
Поделитесь своим опытом и знаниями
Войти и ответить на вопрос
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНОГО РЕДАКТОРАПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Глава 2. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА 2. Недостаточность рациональных чисел для измерения отрезков числовой оси. 3. Упорядочение множества бесконечных десятичных дробей. § 2. ОГРАНИЧЕННЫЕ СВЕРХУ (ИЛИ СНИЗУ) МНОЖЕСТВА ЧИСЕЛ, ПРЕДСТАВИМЫХ БЕСКОНЕЧНЫМИ ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ 2. Существование точных граней. § 3. ПРИБЛИЖЕНИЕ ЧИСЕЛ, ПРЕДСТАВИМЫХ БЕСКОНЕЧНЫМИ ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ, РАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ § 4. ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ. ОПИСАНИЕ МНОЖЕСТВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 2. Существование и единственность суммы и произведения вещественных чисел. § 5. СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 2. Некоторые часто употребляемые соотношения. 3. Некоторые конкретные множества вещественных чисел. § 6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 2. Аксиоматическое введение множества вещественных чисел. § 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 2. Операции над множествами. 3. Счетные и несчетные множества. Несчетность сегмента [0, 1]. Мощность множества. 4. Свойства операций над множествами. Отображение множеств. Глава 3. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ § 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ И ЕЕ ПРЕДЕЛ 2. Ограниченные, неограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. 3. Основные свойства бесконечно малых последовательностей. 4. Сходящиеся последовательности и их свойства. § 2. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2. Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности. 4. Примеры сходящихся монотонных последовательностей. § 3. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2. Расширение понятий предельной точки и верхнего и нижнего пределов. 3. Критерий Коши сходимости последовательности. § 4. ПРЕДЕЛ (ИЛИ ПРЕДЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ) ФУНКЦИИ 2. Предел функции по Гейне и по Коши. 3. Критерий Коши существования предела функции. 5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. § 5. ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ ПО БАЗЕ Глава 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ § 1. ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ 2. Арифметические операции над непрерывными функциями. 3. Сложная функция и ее непрерывность. § 2. СВОЙСТВА МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ 2. Понятие обратной функции. § 3. ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 2. Логарифмическая функция. 3. Степенная функция. 4. Тригонометрические функции. 5. Обратные тригонометрические функции. 6. Гиперболические функции. § 4. ДВА ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПРЕДЕЛА 2. Второй замечательный предел. § 5. ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ 2. О точках разрыва монотонной функции. § 6. ЛОКАЛЬНЫЕ И ГЛОБАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 2. Глобальные свойства непрерывных функций.3. Понятие равномерной непрерывности функции. 4. Понятие модуля непрерывности функции. § 7. ПОНЯТИЕ КОМПАКТНОСТИ МНОЖЕСТВА 2. О покрытиях множества системой открытых множеств. 3. Понятие компактности множества. Глава 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 1. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 2. Определение производной. 3. Геометрический смысл производной. § 2. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ 2. Дифференцируемость и непрерывность. 3. Понятие дифференциала функции. § 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ И ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ 2. Дифференцирование обратной функции. 3. Инвариантность формы первого дифференциала. 4. Применение дифференциала для установления приближенных формул. § 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СУММЫ, РАЗНОСТИ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО ФУНКЦИЙ § 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ПРОСТЕЙШИХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 2. Производная логарифмической функции. 3. Производные показательной и обратных тригонометрических функций. 4. Производная степенной функции. 5. Таблица производных простейших элементарных функций. 7. Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции. § 6. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 2. n-ые производные некоторых функций. 3. Формула Лейбница для n-й производной произведения двух функций. 4. Дифференциалы высших порядков. § 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ § 8. ПРОИЗВОДНАЯ ВЕКТОРНОЙ ФУНКЦИИ Глава 6. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ § 1. ВОЗРАСТАНИЕ (УБЫВАНИЕ) ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ § 2. ТЕОРЕМА О НУЛЕ ПРОИЗВОДНОЙ § 3. ФОРМУЛА КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ (ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА) § 4. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ ФОРМУЛЫ ЛАГРАНЖА 2. Условия монотонности функции на интервале. 3. Отсутствие разрывов первого рода и устранимых разрывов у производной. 4. Вывод некоторых неравенств. § 5. ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ (ФОРМУЛА КОШИ) § 6. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ (ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ)2. Раскрытие неопределенности вида oo/oo 3. Раскрытие неопределенностей других видов. § 7. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА § 8. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА. ФОРМУЛА МАКЛОРЕНА 2. Другая запись формулы Тейлора. 3. Формула Маклорена. § 9. ОЦЕНКА ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА. РАЗЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 2. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций. § 10. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ ФОРМУЛЫ МАКЛОРЕНА 2. Доказательство иррациональности числа е. 3. Вычисление значений тригонометрических функций. 4. Асимптотическая оценка элементарных функций и вычисление пределов. Глава 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ И ОТЫСКАНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИИ § 1. ОТЫСКАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ТОЧЕК 2. Отыскание стационарных точек. 3. Первое достаточное условие экстремума. 4. Второе достаточное условие экстремума. 5. Третье достаточное условие, экстремума. 6. Экстремум функции, недифференцируемой в данной точке. 7. Общая схема отыскания экстремумов. § 2. ВЫПУКЛОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ § 3. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА 2. Первое достаточное условие перегиба. 3. Некоторые обобщения первого достаточного условия перегиба. 4. Второе достаточное условие перегиба. 5. Третье достаточное условие перегиба. § 4. АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ § 6. ГЛОБАЛЬНЫЕ МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ НА СЕГМЕНТЕ. КРАЕВОЙ ЭКСТРЕМУМ 2. Краевой экстремум. 3. Теорема Дарбу. ДОПОЛНЕНИЕ Алгоритм отыскания экстремальных значений функции, использующий только значения этой функции Глава 8. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 2. Неопределенный интеграл. 3. Основные свойства неопределенного интеграла. 4. Таблица основных неопределенных интегралов. § 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 2. Интегрирование по частям. § 3. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ, ИНТЕГРИРУЕМЫХ в ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ 2. Краткие сведения о корнях алгебраических многочленов. 3. Разложение алгебраического многочлена с вещественными коэффициентами на произведение неприводимых множителей. 4. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. 5. Интегрируемость рациональной дроби в элементарных функциях. 6. Интегрируемость в элементарных функциях некоторых тригонометрических и иррациональных выражений. § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ Глава 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА ИНТЕГРАЛ РИМАНА: § 2. ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ СУММЫ И ИХ СВОЙСТВА 2. Основные свойства верхних и нижних сумм. § 3. ТЕОРЕМЫ О НЕОБХОДИМЫХ И ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИЙ. КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 2. Классы интегрируемых функций. § 4. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ОЦЕНКИ ИНТЕГРАЛОВ. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ 2. Оценки интегралов. § 5. ПЕРВООБРАЗНАЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ. ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ 2. Основная формула интегрального исчисления. 3. Важные правила, позволяющие вычислять определенные интегралы. 4. Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме. § 6. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ СУММ И ИНТЕГРАЛОВ 2. Неравенство Гёльдера для сумм. 3. Неравенство Минковского для сумм. 4. Неравенство Гёльдера для интегралов. 5. Неравенство Минковского для интегралов. § 7. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ РИМАНА 2. Критерий интегрируемости Лебега. ДОПОЛНЕНИЕ 1. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла первого рода. 3. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. 4. Замена переменных под знаком несобственного интеграла и формула интегрирования по частям. § 2. Несобственные интегралы второго рода § 3. Главное значение несобственного интеграла ДОПОЛНЕНИЕ 2. Интеграл Стилтьеса 2. Свойства интеграла Стилтьеса. Глава 10. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА § 1. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ 2. Понятие параметризуемой кривой. 3. Длина дуги кривой. Понятие спрямляемой кривой. m.3. Предел функции m переменных. 4. Бесконечно малые функции m переменных. 5. Повторные пределы. § 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ m ПЕРЕМЕННЫХ 2. Непрерывность функции m переменных по одной переменной. 3. Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных. § 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. Дифференцируемость функции нескольких переменных. 3. Геометрический смысл условия дифференцируемости функции двух переменных. 4. Достаточные условия дифференцируемости. 5. Дифференциал функции нескольких переменных. 6. Дифференцирование сложной функции. 7. Инвариантность формы первого дифференциала. 8. Производная по направлению. Градиент. § 5. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 2. Дифференциалы высших порядков. 3. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в интегральной форме. 4. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. § 6. ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ m ПЕРЕМЕННЫХ 2. Достаточные условия локального экстремума функции m переменных.3. Случай функции двух переменных. ДОПОЛНЕНИЕ 1. Градиентный метод поиска экстремума сильно выпуклой функции 1. Выпуклые множества и выпуклые функции. 2. Существование минимума у сильно выпуклой функции и единственность минимума у строго выпуклой функции. 3. Поиск минимума сильно выпуклой функции. ДОПОЛНЕНИЕ 2. Метрические, нормированные пространства 2. Открытые и замкнутые множества. 3. Прямое произведение метрических пространств. 4. Всюду плотные и совершенные множества. 5. Сходимость. Непрерывные отображения. 6. Компактность. 7. Базис пространства. Топологические пространства Линейные нормированные пространства, линейные операторы ДОПОЛНЕНИЕ 3. Дифференциальное исчисление в линейных нормированных пространствах 2. Формула Лагранжа конечных приращений. 3. Связь между слабой и сильной дифференцируемостью. 4. Дифференцируемость функционалов. 5. Интеграл от абстрактных функций. 6. Формула Ньютона — Лейбница для абстрактных функций. 7. Производные второго порядка. 8. Отображение m-мерного евклидова пространства в n-мерное. 9. Производные и дифференциалы высших порядков. 10. Формула Тейлора для отображений одного нормированного пространства в другое. Исследование на экстремум функционалов в нормированных пространствах 2. Достаточные условия экстремума. Глава 13. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ § 1. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ НЕЯВНО ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ 2. Вычисление частных производных неявно заданной функции. 3. Особые точки поверхности и плоской кривой. 4. Условия, обеспечивающие существование для функции y=f(x) обратной функции. § 2. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ СИСТЕМОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2. Вычисление частных производных функций, неявно определяемых посредством системы функциональных уравнений. 3. Взаимно однозначное отображение двух множеств m-мерного пространства. § 3. ЗАВИСИМОСТЬ ФУНКЦИЙ 2. Функциональные матрицы и их приложения. § 4. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 2. Метод неопределенных множителей Лагранжа. 3. Достаточные условия. 4. Пример. ДОПОЛНЕНИЕ Отображения банаховых пространств. Аналог теоремы о неявной функции 2. Случай конечномерных пространств. 3. Особые точки поверхности в пространстве n измерений. Обратное отображение. 4. Условный экстремум в случае отображений нормированных пространств. |
— Какое интуитивное объяснение интеграции?
Интеграция по вероятности часто интерпретируется как « ожидаемое значение «. Чтобы построить нашу интуицию, почему, давайте начнем с сумм.
Начиная с малого
Допустим, вы играете в кости, где вы выигрываете 2 €, если выпадает 6, и теряете 1 €, если выпадает любое другое число. Затем мы хотим рассчитать, что вы должны ожидать от в среднем. Теперь большинство людей находят практику умножения выигрыша на его вероятность и суммирования по ним относительно простой. В этом случае вы получите
$$\text{Ожидаемая выплата} = \frac{1}{6} 2€ + \frac{5}{6}(-1€) = -0,5€$$
Теперь попробуем формализовать это и подумайте о том, что здесь происходит. У нас есть набор возможных исходов $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$, где каждый исход равновероятен. И у нас есть отображение $Y:\Omega \to \mathbb{R}$, обозначающее выигрыш. т.е.
$$ Y(\omega) = \begin{case} 2 & \ омега = 6, \\ -1 & \текст{еще} \end{случаи} $$ И тогда ожидаемый выигрыш равен $$ \mathbb{E}[Y] = \frac{1}{|\Omega|}\sum_{\omega\in\Omega} Y(\omega) = \frac{1}{6}(2 + (-1) + … + (-1)) = -0,5 $$ где $|\Omega|$ — количество элементов, содержащихся в $\Omega$.
Знакомство с Infinity
Теперь это прекрасно работает для конечных $\Omega$, но что, если множество возможных результаты бесконечны? Что, если бы каждое действительное число в $[0,1]$ было возможно, равновероятно, и выигрыш будет выглядеть так?
$$ Y: \begin{случаи} [0,1] \to \mathbb{R} \\ \omega \mapsto \begin{case} 2 & \omega > \frac{5}{6} \\ -1 & \omega \le \frac{5}{6} \end{случаи} \end{случаи} $$
Интуитивно этот выигрыш должен иметь тот же ожидаемый выигрыш, что и предыдущий
один. Но если мы просто попытаемся сделать то же самое, что и раньше…
$$ \mathbb{E}[Y] = \frac{1}{|\Omega|}\sum_{\omega\in\Omega} Y(\omega) = \frac{1}\infty (\infty — \infty)… $$
Итак, мы должны быть немного умнее в этом вопросе. Если мы посмотрим на график вашего выигрыша $Y$,
мы можем заметить, что площадь под кривой именно то, что нам нужно.
$$ -1€\влево(\frac56-\frac06\вправо) + 2€ \влево(\frac66 — \frac56 \вправо) = -0,5€ $$
Почему это то же самое? Как наши суммы связаны с площадью под кривой? 91 1 д\омега $$
Теперь, если мы вспомним, как вычисляется интеграл (площадь под кривой), мы могли бы обратите внимание, что в случае индикаторных функций мы имеем весов высоты индикаторная функция с размером интервала. И размер интервал — его длина.
Точно так же мы могли бы поместить $\frac{1}{|\Omega|}$ в сумму и рассматривать ее как с весом каждого $\omega$. И вот где у нас есть ключевая разница:
В первом случае особей $\omega$ имеют вес (вероятность), а
отдельные точки в интервале не имеют длины/веса/вероятности. Но пока
множества отдельных точек не имеют длины, бесконечное объединение точек с
никакая длина/вероятность не может иметь положительную длину/вероятность.
Вот почему вероятность тесно переплетается с теорией меры, где Мера — это функция, присваивающая множествам (например, интервалам) вес (например, длину, или вероятность).
Делать это правильно
Итак, если мы снова попытаемся определить ожидаемое значение, мы начнем с
вероятностное пространство $\Omega$ и вероятностная мера $P$, сопоставляющая подмножества
$\Omega$ вероятности. Случайная величина с действительным значением (например, выигрыш) $Y$ является
функция от $\Omega$ до $\mathbb{R}$. И если это займет конечное число
значений в $\mathbb{R}$ (т. е. $Y(\Omega)\subseteq \mathbb{R}$ конечно),
затем мы можем вычислить ожидаемое значение, пройдясь по этим значениям, взвесив их по вероятности их прообразов и просуммировав их. 91 Y д\омега\\
&= 2 \frac16 — \frac56 = -0,5
\end{выровнено}
$$
Теперь оказывается, что вы можете аппроксимировать каждый $Y$ бесконечным изображением
$Y(\Omega)$ с последовательностью отображений $Y_n$ с конечным образом. И
что предел
$$
\int_\Omega Y dP := \lim_n \int_\Omega Y_n dP := \sum_{y\in Y_n(\Omega)} y P(Y=y)
$$
также определен корректно и не зависит от последовательности $Y_n$.
Интеграл Лебега
Определенный выше интеграл называется интегралом Лебега. Аккуратная вещь о том, что 9б f(x) dx$$
$$ \int_{\Omega} a d\mu = \sum_{n\in\mathbb{N}} a(n) $$
Последствия, конечно, для одного, что часто можно рассматривать интеграцию и суммирование взаимозаменяемы. Доказательство утверждений для интегралов Лебега редко сложнее, чем их доказательство для интегралов Римана, и в первом случае все результаты также применимы к рядам и суммам.
Это также означает, что мы можем правильно работать со «смешанными случаями», когда некоторые отдельные
точки имеют положительную вероятность, а некоторые точки имеют нулевую вероятность на
их собственные, но наборы из них имеют положительную вероятность.
Мой профессор стохастики любит называть интеграцию просто «бесконечным суммированием» потому что в каком-то смысле вы просто суммируете бесконечное число элементы «правильным образом».
Интеграл Лебега также делает некоторые действительные функции интегрируемые, которые не интегрируются с интегрированием по Риману. Функция $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ не интегрируема по Риману, но не представляет проблемы для интегрирования по Лебегу. Причина в том, что интегрирование по Риману подразделяет ось $x$ и ось $y$ на интервалы, не обращаясь к функции, которая предполагается интегрированным, в то время как лебеговское интегрирование лишь подразделяет Ось $y$ и использует информацию о прообразе функции, которую предполагается интегрировать. 9n X_k$$
независимых одинаково распределенных случайных величин сходятся (в различных чувств) к теоретически определенному ожидаемому значению $\mathbb{E}[X]$.
Примечание о случайных величинах
В приведенных выше примерах только выигрыш $Y$ был случайной величиной (функция из вероятностного пространства $\Omega$ в $\mathbb{R}$).
Но так как мы можем составить функции, связывая их в цепочку, ничто не помешало бы нам определить возможные грани кости как случайная величина некоторого неизвестного вероятностного пространства $\Омега$. Поскольку наш выигрыш — это всего лишь функция граней игральной кости, их композиция также была бы функцией из $\Omega$. И часто удобно не определять $\Omega$ и сразу начинать со случайных величин, так как это позволяет легкое расширение наших моделей без переопределения нашего вероятностного пространства. Поскольку мы в любом случае рассматриваем лежащее в основе вероятностное пространство как неизвестное и только работать с известными windows (случайные переменные) в него. Обратите внимание, как вы могли не различать грани $\{1,…,5\}$ только по выигрышу $Y=-1$. Так случайные величины также можно рассматривать как информационные фильтры.
Ложь
Хотя мы хотели бы, чтобы наши измерения присваивали каждому подмножеству $\Omega$ число, как правило, это невозможно без ущерба для его полезности.
Если нам нужна мера на $\mathbb{R}$, которая удовлетворяет следующим свойствам
- трансляционная инвариантность (перемещение множества не меняет его размера)
- счетная суммируемость непересекающихся множеств
- положительный
- конечно на каждом ограниченном множестве
у нас осталась только мера $0$ (назначение каждой заданной мере 0).
Proofsketch: используйте аксиому выбора, чтобы выбрать представителя каждого класса эквивалентности отношения эквивалентности $x-y\in \mathbb{Q}$ на множестве $[0,1]$. Этот набор представителей не поддается измерению, потому что переводы рациональными числами по модулю 1 преобразует его в отличное другое представление множества отношения эквивалентности. А так как они не пересекаются и счетны мы можем просуммировать их и получить меру всего интервала $[0,1]$. Но бесконечная сумма множеств одинакового размера не может быть конечной, если они не все $0$. Следовательно, множество $[0,1]$ должно иметь меру 0, а путем переноса и суммирования все остальные множества в $\mathbb{R}$ должны быть равны
По этой причине мы должны ограничиться набором «измеримых множеств».
Но все это технические детали, отвлекающие от интуиции.
Интуиция за интеграцией. Введение в интегральное исчисление… | Кошик Чаттерджи
Введение в интегральное исчисление с акцентом на основные понятия и прекрасную интуицию, лежащую в основе алгебры.
Интегральное исчисление и дифференциальное исчисление — две стороны одной медали. Интеграция, однако, может показаться более сложной, чем дифференциация, потому что она включает в себя введение иностранных обозначений и абстрактных идей. Однако сами идей прекрасно интуитивно понятны и позволяют переводить сложные идеи в простые алгебраические манипуляции. В этой статье делается попытка дать интуитивно понятный взгляд на интегральное исчисление, показав, как математика логически вытекает из идей, и подробно описав использование интеграции.
Классическое интегрирование на самом деле не более чем вычисление площадей под кривыми. В средней школе мы все научились вычислять площади различных правильных и неправильных многоугольников. Мы также выучили формулы нахождения площади круга и эллипса. Но как бы вы вычислили площадь других изогнутых фигур? А как насчет поиска площади под изогнутой функцией, такой как показанная ниже?
Как найти площадь между кривой и осью x между точками a и b? Кредит: ВикипедияВы обнаружите, что ни один из изученных вами методов не позволяет вам это сделать. Вот где в игру вступает мастерство интегрального исчисления. Однако, как оказалось, вычислить эту площадь не так сложно, как может показаться, и процедура основана на более привычных методах.
Итак, как нам найти площадь? Что, если мы разделим область на более стандартные формы — например, на прямоугольник. Мы знаем, как найти площадь прямоугольника — это просто длина х ширина. Давайте разделим область на прямоугольники одинаковой ширины, которые находятся под кривой.
Эти прямоугольники аппроксимируют площадь под кривой — они дают нам возможность заглянуть в фундаментальную концепцию интегрирования и исчисления в целом.Это наша оценка для 4 прямоугольников. Мы можем вычислить площадь каждого из этих прямоугольников, поскольку мы знаем ширину (расстояние между конечными точками a и b , деленное на 4) и высоту (функция, вычисляемая в правой конечной точке). Теперь это явно не очень хорошая оценка — посмотрите на все это пространство. Но что было бы, если бы вместо 4 прямоугольников мы использовали 10? Или 1000? Или 100 000? Что произойдет, если мы позволим ширине каждого прямоугольника приближаться к 0, а количество прямоугольников становится все ближе и ближе к бесконечности?
Тогда у нас будет точная площадь . Это интуитивно понятно: по мере того, как ширина прямоугольников становится все меньше и меньше, отдельные прямоугольники все лучше и лучше соответствуют кривой; суммы их площадей сходятся к истинной площади между кривой и осью x.
Шаг представляет собой ширину области. Мы можем видеть сходимость по мере приближения ширины к 0,. Эту идею можно сделать строгой, описав ее математически:0005
Поначалу эта формула может показаться довольно сложной, но все, что я сделал, это переписал свои слова в математическую запись. Давайте рассмотрим это по частям, работая изнутри наружу. Внутри суммирования мы просто вычисляем площадь прямоугольника, умножая значение функции в правой конечной точке на ширину прямоугольника, как описано ранее. Эта ширина определяется разницей конечных точек, деленной на количество делений (это гарантирует, что каждая ширина эквивалентна). Затем фактический интеграл можно вычислить путем суммирования площадей всех прямоугольников по мере того, как количество прямоугольников приближается к бесконечности.
Это описание только одного вида интеграла, однако. Оказывается, вам не нужно , чтобы гарантировать, что прямоугольники имеют равную ширину, и им не нужно иметь высоту, эквивалентную правой конечной точке.
Вышеупомянутое уравнение кажется сложным, но все, что оно делает, — это математически измеряет то, что было сказано ранее. По мере того, как ширина прямоугольников становится бесконечно малой (все ближе и ближе к 0), наши приближения для площади с использованием прямоугольников становятся все более и более точными. Уравнение обобщает интеграл благодаря тому факту, что ширина не обязательно должна быть постоянной, а высота прямоугольника может быть определена с помощью разных критериев; конечный интеграл, однако, всегда будет одним и тем же.
Обозначение интеграла ∫ — это просто вытянутая буква S (обозначающая сумма ), и мы вычисляем интеграл функции f(x) между двумя точками: a и b. dx просто обозначает бесконечно малое значение ширины каждого раздела (это эквивалентно Δx в нашем интеграле, поскольку Δx стремится к 0).
Интеграл, вычисляемый между двумя точками, называется определенным интегралом . Определенный интеграл позволяет нам фактически вычислить площадь между функцией и осью x (или осью y, или даже другой функцией, но это немного сложнее).
Как на самом деле вычисляется этот интеграл? К счастью, вам не нужно проходить долгий процесс суммирования множества прямоугольников. Первая часть фундаментальной теоремы исчисления утверждает, что:
F(x) — стандартное обозначение для первообразной от f(x) . Это означает, что производная F(x) равна f(x) , то есть F’(x) = f(x) .
Приведенный выше интеграл является неопределенным интегралом , так как он не имеет концов. Все, что делает этот интеграл, — это находит первообразную функции. Чтобы оценить его, вы должны быть знакомы с дифференциальным исчислением и правилами производных. Существует множество правил, которые вы можете использовать для ее решения, и они вытекают из того, как вычисляются производные.
Вот основные правила. Если вас смущает эта диаграмма или вы не понимаете, откуда берутся эти правила, я рекомендую вам дополнительно прочитать о производных (которые столь же интуитивны, как и интегралы, если не больше).
Итак, чтобы найти площадь между функцией и осью X, вы сначала выполняете антидифференцирование функции, а затем оцениваете ее в обеих конечных точках (помните, что первообразная все еще является функцией). Наконец, вычтите первый результат из второго, как указано в основной теореме.
До сих пор все это было очень абстрактно и технически, поэтому давайте на самом деле применим концепции в примере. Мы хотим найти площадь функции f(x) = 3x² между конечными точками 0 и 6. Первый шаг — найти первообразную этой функции. Антидифференцируя его, получаем F(x) = x³ (используя Правило №4 из таблицы). Если вы хотите перепроверить, просто возьмите производную от F(x) : если она равна f(x) , т.е. исходная функция, то она правильная.
Мы знаем, что вставляем значения наших конечных точек в F(x) . F(0) = 0³= 0 и F(6) = 6³ = 216. Теперь вычтем F(0) из F(6) : 216 − 0 = 216. ∴ Площадь между график функции f(x) и по оси абсцисс 216 единиц ² .