Как построить параболу y x2: Функция y=x2 и ее график

Построение графика квадратичной функции. Построить график функции y = x2 +4x – 5

Похожие презентации:

Построение графика квадратичной функции

Построение графика квадратичной функции

Построение графика квадратичной функции

Построение графика квадратичной функции

Алгоритм построения графика квадратичной функции

Построение графика квадратичной функции. (9 класс)

Построение графика квадратичной функции. (8 класс)

Построение графика квадратичной функции

Построение графиков функций содержащих знак модуля

Квадратичная функция

1

2. 1. Построить график функции y = x2 +4x – 5

у
1) Найти вершину параболы
А(n;m)
2) Записать уравнение оси
симметрии х=__
3) Найти нули функции
4) Составить таблицу значений
5) Отметить точки в системе
координат
6) Построить график функции
7
6
5
4
3
2
1
-3
-2
-1
0
-1
1
2
3
4
5
х
6
-2
-3
-4
2

Найти:
1) наименьшее значение функции;
2) значения x, при которых значение функции равно 5;
3) значения x, при которых функция принимает положительные
значения; отрицательные значения;
• 4) промежутки, на которых функция возрастает; убывает. 3$.
2. Найдем точку А, координата x, которой равна 1,5. Мы видим, что координата функции находится между значениями 3 и 4 (см. рис. 2). Значит надо заказать 4 куба.

Как построить параболу? Существует несколько способов построения графика квадратичной функции. Каждый из них имеет свои плюсы и минусы. Рассмотрим два способа.

Начнём с построения графика квадратичной функции вида y=x²+bx+c и y= -x²+bx+c.

Пример.

Построить график функции y=x²+2x-3.

Решение:

y=x²+2x-3 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы

От вершины (-1;-4) строим график параболы y=x²(как от начала координат. Вместо (0;0) — вершина (-1;-4). От (-1;-4) идём вправо на 1 единицу и вверх на 1 единицу, затем влево на 1 и вверх на 1; далее: 2 — вправо, 4 — вверх, 2- влево, 4 — вверх; 3 — вправо, 9 — вверх, 3 — влево, 9 — вверх. Если этих 7 точек недостаточно, далее — 4 вправо, 16 — вверх и т. д.

).

График квадратичной функции y= -x²+bx+c — парабола, ветви которой направлены вниз. Для построения графика ищем координаты вершины и от неё строим параболу y= -x².

Пример.

Построить график функции y= -x²+2x+8.

Решение:

y= -x²+2x+8 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы

От вершины строим параболу y= -x² (1 — вправо, 1- вниз; 1 — влево, 1 — вниз; 2 — вправо, 4 — вниз; 2 — влево, 4 — вниз и т. д.):

Этот способ позволяет построить параболу быстро и не вызывает затруднений, если вы умеете строить графики функций y=x² и y= -x². Недостаток: если координаты вершины — дробные числа, строить график не очень удобно. Если требуется знать точные значения точек пересечения графика с осью Ох, придется дополнительно решить уравнение x²+bx+c=0 (или —x²+bx+c=0), даже если эти точки непосредственно можно определить по рисунку.

Другой способ построения параболы — по точкам, то есть можно найти несколько точек графика и через них провести параболу (с учетом того, что прямая x=хₒ является её осью симметрии). Обычно для этого берут вершину параболы, точки пересечения графика с осями координат и 1-2 дополнительные точки.

Построить график функции y=x²+5x+4.

Решение:

y=x²+5x+4 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы

то есть вершина параболы — точка (-2,5; -2,25).

Ищем . В точке пересечения с осью Ох y=0: x²+5x+4=0. Корни квадратного уравнения х1=-1, х2=-4, то есть получили две точки графике (-1; 0) и (-4; 0).

В точке пересечения графика с осью Оy х=0: y=0²+5∙0+4=4. Получили точку (0; 4).

Для уточнения графика можно найти дополнительную точку. Возьмем х=1, тогда y=1²+5∙1+4=10, то есть еще одна точка графика — (1; 10). Отмечаем эти точки на координатной плоскости. С учетом симметрии параболы относительно прямой, проходящей через её вершину, отметим еще две точки: (-5; 6) и (-6; 10) и проведем через них параболу:

Построить график функции y= -x²-3x.

Решение:

y= -x²-3x — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы

Вершина (-1,5; 2,25) — первая точка параболы.

В точках пересечения графика с осью абсцисс y=0, то есть решаем уравнение -x²-3x=0. Его корни — х=0 и х=-3, то есть (0;0) и (-3; 0) — еще две точки графика. Точка (о; 0) является также точкой пересечения параболы с осью ординат.

При х=1 y=-1²-3∙1=-4, то есть (1; -4) — дополнительная точка для построения графика.

Построение параболы по точкам — более трудоёмкий, по сравнению с первым, способ. Если парабола не пересекает ось Oх, дополнительных точек потребуется больше.

Прежде чем продолжить построение графиков квадратичных функций вида y=ax²+bx+c, рассмотрим построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Графики функций вида y=x²+c также удобнее всего строить, используя одно из таких преобразований — параллельный перенос.

Рубрика: |

Построение графиков функций, содержащих модули, обычно вызывает немалые затруднения у школьников. Однако, все не так плохо. Достаточно запомнить несколько алгоритмов решения таких задач, и вы сможете без труда построить график даже самой на вид сложной функции. Давайте разберемся, что же это за алгоритмы.

1. Построение графика функции y = |f(x)|

Заметим, что множество значений функций y = |f(x)| : y ≥ 0. Таким образом, графики таких функций всегда расположены полностью в верхней полуплоскости.

Построение графика функции y = |f(x)| состоит из следующих простых четырех этапов.

1) Построить аккуратно и внимательно график функции y = f(x).

2) Оставить без изменения все точки графика, которые находятся выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, которая лежит ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

Пример 1. Изобразить график функции y = |x 2 – 4x + 3|

1) Строим график функции y = x 2 – 4x + 3. Очевидно, что график данной функции – парабола. Найдем координаты всех точек пересечения параболы с осями координат и координаты вершины параболы.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Следовательно, парабола пересекает ось 0x в точках (3, 0) и (1, 0).

y = 0 2 – 4 · 0 + 3 = 3.

Следовательно, парабола пересекает ось 0y в точке (0, 3).

Координаты вершины параболы:

x в = -(-4/2) = 2, y в = 2 2 – 4 · 2 + 3 = -1.

Следовательно, точка (2, -1) является вершиной данной параболы.

Рисуем параболу, используя полученные данные (рис. 1)

2) Часть графика, лежащую ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно оси 0x.

3) Получаем график исходной функции (рис. 2 , изображен пунктиром).

2. Построение графика функции y = f(|x|)

Заметим, что функции вида y = f(|x|) являются четными:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Значит, графики таких функций симметричны относительно оси 0y.

Построение графика функции y = f(|x|) состоит из следующей несложной цепочки действий.

1) Построить график функции y = f(x).

2) Оставить ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отобразить указанную в пункте (2) часть графика симметрично оси 0y.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 2. Изобразить график функции y = x 2 – 4 · |x| + 3

Так как x 2 = |x| 2 , то исходную функцию можно переписать в следующем виде: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. А теперь можем применять предложенный выше алгоритм.

1) Строим аккуратно и внимательно график функции y = x 2 – 4 · x + 3 (см. также рис. 1 ).

2) Оставляем ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отображаем правую часть графика симметрично оси 0y.

(рис. 3) .

Пример 3. Изобразить график функции y = log 2 |x|

Применяем схему, данную выше.

1) Строим график функции y = log 2 x (рис. 4) .

3. Построение графика функции y = |f(|x|)|

Заметим, что функции вида y = |f(|x|)| тоже являются четными. Действительно, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), и поэтому, их графики симметричны относительно оси 0y. Множество значений таких функций: y ≥ 0. Значит, графики таких функций расположены полностью в верхней полуплоскости.

Чтобы построить график функции y = |f(|x|)|, необходимо:

1) Построить аккуратно график функции y = f(|x|).

2) Оставить без изменений ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 4. Изобразить график функции y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Заметим, что x 2 = |x| 2 . Значит, вместо исходной функции y = -x 2 + 2|x| – 1

можно использовать функцию y = -|x| 2 + 2|x| – 1, так как их графики совпадают.

Строим график y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Для этого применяем алгоритм 2.

a) Строим график функции y = -x 2 + 2x – 1 (рис. 6) .

b) Оставляем ту часть графика, которая расположена в правой полуплоскости.

c) Отображаем полученную часть графика симметрично оси 0y.

d) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 7) .

2) Выше оси 0х точек нет, точки на оси 0х оставляем без изменения.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно 0x.

4) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 8) .

Пример 5. Построить график функции y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Сначала необходимо построить график функции y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Для этого возвращаемся к алгоритму 2.

a) Аккуратно строим график функции y = (2x – 4) / (x + 3) (рис. 9) .

Заметим, что данная функция является дробно-линейной и ее график есть гипербола. Для построения кривой сначала необходимо найти асимптоты графика. Горизонтальная – y = 2/1 (отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе дроби), вертикальная – x = -3.

2) Ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней, оставим без изменений.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразим симметрично относительно 0x.

4) Окончательный график изображен на рисунке (рис. 11) .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Разберем как строить график с модулем.

Найдем точки при переходе которых знак модулей меняется.
Каждое выражения, которое под модулем приравниваем к 0. У нас их два x-3 и x+3.
x-3=0 и x+3=0
x=3 и x=-3

У нас числовая прямая разделится на три интервала (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞). На каждом интервале нужно определить знак под модульных выражений.

1. Это сделать очень просто, рассмотрим первый интервал (-∞;-3). Возьмем с этого отрезка любое значение, например, -4 и подставим в каждое под модульное уравнение вместо значения х.
х=-4
x-3=-4-3=-7 и x+3=-4+3=-1

У обоих выражений знаки отрицательный, значит перед знаком модуля в уравнении ставим минус, а вместо знака модуля ставим скобки и получим искомое уравнение на интервале (-∞;-3).

y=— (x-3)-(— (x+3))=-х+3+х+3=6

На интервале (-∞;-3) получился график линейной функции (прямой) у=6

2. Рассмотрим второй интервал (-3;3). Найдем как будет выглядеть уравнение графика на этом отрезке. Возьмем любое число от -3 до 3, например, 0. Подставим вместо значения х значение 0.
х=0
x-3=0-3=-3 и x+3=0+3=3

У первого выражения x-3 знак отрицательный получился, а у второго выражения x+3 положительный. Следовательно, перед выражением x-3 запишем знак минус, а перед вторым выражением знак плюс.

y=— (x-3)-(+ (x+3))=-х+3-х-3=-2x

На интервале (-3;3) получился график линейной функции (прямой) у=-2х

3.Рассмотрим третий интервал (3;+∞). Возьмем с этого отрезка любое значение, например 5, и подставим в каждое под модульное уравнение вместо значения х.

х=5
x-3=5-3=2 и x+3=5+3=8

У обоих выражений знаки получились положительными, значит перед знаком модуля в уравнении ставим плюс, а вместо знака модуля ставим скобки и получим искомое уравнение на интервале (3;+∞).

y=+ (x-3)-(+ (x+3))=х-3-х-3=-6

На интервале (3;+∞) получился график линейной функции (прямой) у=-6

4. Теперь подведем итог.Постоим график y=|x-3|-|x+3|.
На интервале (-∞;-3) строим график линейной функции (прямой) у=6.
На интервале (-3;3) строим график линейной функции (прямой) у=-2х.
Чтобы построить график у=-2х подберем несколько точек.
x=-3 y=-2*(-3)=6 получилась точка (-3;6)
x=0 y=-2*0=0 получилась точка (0;0)
x=3 y=-2*(3)=-6 получилась точка (3;-6)
На интервале (3;+∞) строим график линейной функции (прямой) у=-6.

5. Теперь проанализируем результат и ответим на вопрос задания найдем значение k, при которых прямая y=kx имеет с графиком y=|x-3|-|x+3| данной функции ровно одну общую точку.

Прямая y=kx при любом значении k всегда будет проходить через точку (0;0). Поэтому мы можем изменить только наклон данной прямой y=kx, а за наклон у нас отвечает коэффициент k.

Если k будет любое положительное число, то будет одно пересечение прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3|. Этот вариант нам подходит.

Если k будет принимать значение (-2;0), то пересечений прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет три.Этот вариант нам не подходит.

Если k=-2, решений будет множество [-2;2], потому что прямая y=kx будет совпадать с графиком y=|x-3|-|x+3| на данном участке. Этот вариант нам не подходит.

Если k будет меньше -2, то прямая y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет иметь одно пересечение.Этот вариант нам подходит.

Если k=0, то пересечений прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| также будет одно.Этот вариант нам подходит.

Ответ: при k принадлежащей интервалу (-∞;-2)U и возрастает на промежутке }

Вершина параболы — Формула

Прежде чем узнать, что такое вершина параболы, давайте вспомним, что такое парабола. Парабола в основном представляет собой U-образную кривую, повернутую в разные стороны. Может быть в одной из 4-х форм.

• U-образная (открытая сверху) парабола
• Парабола в форме ∩ (с открытым дном)
• Парабола в форме ⊃ (левая открытая)
• Парабола в форме ‘⊂’ (правая открытая)

У каждой параболы есть точка поворота. т. е. у него есть точка, в которой он либо меняется с «возрастания» на «убывание», либо наоборот. Эта точка поворота называется вершиной параболы. Давайте узнаем больше о вершине параболы, а также о различных процессах ее нахождения.

1.	Что такое вершина параболы?
2.	Вершина параболы Формула
3.	Нахождение вершины параболы по стандартной форме
4.	Нахождение вершины параболы по форме вершины
5.	Нахождение вершины параболы из формы пересечения
6.	Свойства вершины параболы
7.	Часто задаваемые вопросы о вершине параболы

Что такое вершина параболы?

Вершина параболы — это точка, в которой парабола делает самый крутой поворот. Параболическая функция имеет либо максимальное значение (если она имеет форму «∩»), либо минимальное значение (если она имеет форму «U»). Вершина параболы также является точкой пересечения параболы и его ось симметрии.

Различные типы парабол

Могут быть два типа уравнений параболы, которые представляют 4 различных типа парабол. В уравнение любой параболы входит квадратичный многочлен.

Параболы с открытым верхом/низом:

Уравнение параболы с открытым верхом/низом может быть представлено в одной из следующих трех форм:

• Стандартная форма: y = ax ² + bx + c
• Форма вершины: y = a (x — h) ² + к
• Форма перехвата: y = a (x — p)(x — q)

В каждом из случаев парабола открывается вверх, если a > 0, и вниз, если a < 0. одну из следующих трех форм:

• Стандартная форма: x = ay ² + by + c
• Форма вершины: x = a (y — k) ² + h
• Форма перехвата: x = a (y — p)(y — q)

В каждом из случаев парабола открывается вправо, если a > 0, и влево, если a < 0.

Вершина формулы параболы

Вот формулы для нахождения вершины любой параболы, когда она находится в разных формах. Мы собираемся узнать о каждом из них подробно в следующих разделах.

	Верх/низ открыт	Левый/правый открытый
Стандартная форма	f(x) = ах 2 + Ьх + с Вершина = (-b/2a, f(-b/2a))	f(y) = ау 2 + бай + с Вершина = (f(-b/2a), -b/2a)
Форма вершины	f(x) = a(x — h) 2 + k Вершина = (ч, к)	f(y) = a(y — k) 2 + h Вершина = (ч, к)
Форма перехвата	f(x) = а (x — p) (x — q) Вершина = \(\left(\frac{p+q}{2}, f\left(\frac{p+q}{2}\right)\right)\)	f(y) = а (y — p) (y — q) Вершина = \(\left(f\left(\frac{p+q}{2}\right), \frac{p+q}{2}\right)\)

Нахождение вершины параболы по стандартной форме

Мы знаем, что уравнение параболы в стандартной форме может быть любого вида y = ax ² + bx + c (вверх/вниз) или вида x = ay ² + by + c (влево/вправо). Давайте посмотрим, как найти вершину параболы в каждом случае.

Вершина разомкнутой параболы сверху/снизу

Когда парабола раскрывается вверх или вниз, ее уравнение в стандартной форме имеет вид y = ax ² + bx + c. Вот шаги, чтобы найти вершину (h, k) таких парабол. Шаги объясняются на примере, где мы найдем вершину параболы y = 2x ² — 4x + 1.

• Шаг — 1: Сравните уравнение параболы со стандартной формой y = ax ² + bx + c.
  Сравнивая y = 2x ² — 4x + 1 с приведенным выше уравнением, a = 2, b = -4 и c = 1,
• Шаг — 2: Найдите координату x вершины по формуле h = -b/2a
  Тогда получаем h = -(-4)/(2 × 2) = 1,
• Шаг — 3: Чтобы найти координату y (k) вершины, подставьте x = h в выражение ax ² + бх + в.
  Тогда k = 2(1) ² — 4(1) + 1 = 2 — 4 + 1 = -1.
• Шаг — 4: Запишите вершину (h, k) в виде упорядоченной пары.
  Вершина = (h, k) = (1, -1).

Вершина параболы, открытой влево/вправо

Когда парабола раскрывается влево или вправо, ее уравнение в стандартной форме имеет вид x = ay ² + by + c. Вот шаги по поиску вершины (h, k) таких парабол, которые объясняются на примере, где мы найдем вершину параболы x = 2y ² — 4y + 1.

• Шаг — 1: Сравните уравнение параболы со стандартной формой x = ay ² + by + c.
  Сравнивая x = 2y ² — 4y + 1 с приведенным выше уравнением, a = 2, b = -4 и c = 1,
• Шаг — 2: Найдите координату y вершины по формуле k = -b/2a
  Тогда получаем k = -(-4) / (2 × 2) = 1,
• Шаг — 3: Чтобы найти координату x (h) вершины, подставьте y = k в выражение ay ² + by + c.
  Тогда h = 2(1) ² — 4(1) + 1 = 2 — 4 + 1 = -1.
• Шаг — 4: Запишите вершину (h, k) в виде упорядоченной пары.
  Вершина = (h, k) = (-1, 1).

Нахождение вершины параболы по форме вершины

Мы знаем, что уравнение параболы в вершинной форме может иметь форму y = a(x — h) ² + k (вверх/вниз) или форму x = a(y — k) ² + h (левый/правый). Давайте посмотрим, как найти вершину параболы в каждом случае.

Вершина открытой параболы сверху/снизу

Когда парабола открывается вверх или вниз, ее уравнение в форме вершины имеет вид y = a(x — h) ² + k. Вот шаги, чтобы найти вершину (h, k) таких парабол. Шаги поясняются на примере, где мы найдем вершину параболы y = 2(x + 3) ² + 5

• Шаг — 1: Сравните уравнение параболы с формой вершины y = a(x — h) ² + k и определите значения h и k.
  Сравнивая y = 2(x + 3) ² + 5 с приведенным выше уравнением, h = -3 и k = 5,
• Шаг — 2: Запишите вершину (h, k) в виде упорядоченной пары.
  Вершина = (h, k) = (-3, 5).

Вершина разомкнутой влево/вправо параболы

Когда парабола раскрывается влево или вправо, ее уравнение в вершинной форме имеет вид x = a(y — k) ² + h. Вот шаги, чтобы найти вершину (h, k) таких парабол. Шаги объясняются на примере, где мы найдем вершину параболы x = 2(y + 3) ² + 5

• Шаг — 1: Сравните уравнение параболы с формой вершины x = a(y — k) ² + h и определите значения h и k.
  Сравнивая x = 2(y + 3) ² + 5 с приведенным выше уравнением, h = 5 и k = -3.
• Шаг — 2: Запишите вершину (h, k) в виде упорядоченной пары.
  Вершина = (h, k) = (5, -3).

Нахождение вершины параболы из формы пересечения

Мы знаем, что уравнение параболы в форме пересечения может иметь форму y = a (x — p) (x — q) (вверх/вниз) или форму y = a(y — p)( у — q) (левый/правый). Давайте посмотрим, как найти вершину параболы в каждом случае.

Вершина разомкнутой параболы вверх/вниз

Когда парабола раскрывается вверх или вниз, ее уравнение в форме пересечения имеет вид y = a (x — p) (x — q), где (p, 0) и (q, 0) — пересечения параболы по оси x. Вот шаги, чтобы найти вершину (h, k) таких парабол. Шаги объясняются на примере, где мы найдем вершину параболы y = -(x + 3) (x — 7)

• Шаг — 1: Сравните уравнение параболы с формой пересечения y = a (x — p) (x — q) и определите значения p и q.
  Сравнивая y = -(x + 3) (x — 7) с приведенным выше уравнением, p = -3 и q = 7,
• Шаг — 2: Найдите координату x вершины h по формуле h = (p + q)/2.
  Тогда h = (-3 + 7)/2 = 4/2 = 2,
• Шаг — 3: Найдите координату y вершины k, подставив x = h в выражение a (x — p) (x — q).
  Тогда k = -(2 + 3) (2 — 7) = 25,
• Шаг — 4: Запишите вершину (h, k) в виде упорядоченной пары.
  Вершина = (h, k) = (2, 25).

Вершина разомкнутой параболы влево/вправо

Когда парабола раскрывается влево или вправо, ее уравнение в форме пересечения имеет вид x = a (y — p) (y — q), где (0 , p) и (0, q) — y-пересечения параболы. Вот шаги, чтобы найти вершину (h, k) таких парабол. Шаги объясняются на примере, где мы найдем вершину параболы x = -(y + 3) (y — 7)

• Шаг — 1: Сравните уравнение параболы с формой пересечения x = a (y — p) (y — q) и определите значения p и q.
  Сравнивая x = -(y + 3) (y — 7) с приведенным выше уравнением, p = -3 и q = 7,
• Шаг — 2: Найдите координату y вершины k по формуле k = (p + q)/2.
  Тогда k = (-3 + 7)/2 = 4/2 = 2,
• Шаг — 3: Найдите координату x вершины h, подставив y = k в выражение a (y — p) (y — q).
  Тогда h = -(2 + 3) (2 — 7) = 25,
• Шаг — 4: Запишите вершину (h, k) в виде упорядоченной пары.
  Вершина = (h, k) = (25, 2).

Свойства вершины параболы

Вот некоторые свойства вершины параболы, которые следуют из определения вершины параболы.

• Вершина параболы является ее точкой поворота.
• Поскольку вершина параболы является ее острой точкой поворота, производная функции, представляющей параболу в вершине, равна 0,
• Открытая парабола сверху/снизу имеет либо максимум, либо минимум в своей вершине.
• Вершина левой или правой незамкнутой параболы не является для нее ни максимумом, ни минимумом.
• Парабола любого типа пересекает ось симметрии в вершине.

Важные примечания, относящиеся к вершине параболы:

• Вершина параболы f(x) = ax ² + bx + c равна (-b/2a, f(-b/2a)).
  Его ось симметрии x = -b/2a.
• Вместо использования формулы x = -b/2a мы можем преобразовать стандартную форму f(x) = ax ² + bx + c в вершинную форму f(x) = a (x — h) ² + k, заполнив квадрат, чтобы найти вершину (h, k).
• Вершина параболы f(y) = ay ² + by + c есть (f(-b/2a), -b/2a).
  Его ось симметрии y = -b/2a.
• Вершина параболической функции f(x) = a (x — h) ² + k равна (h, k), где
  «h» представляет сдвиг по горизонтали, а «k» — сдвиг по вертикали родительской функции f(x) = x ² .
• Верхняя/открытая парабола y = a(x — h) ² + k имеет
  максимальное значение в вершине (h, k) при a < 0 и
  минимальное значение в вершине (h, k) при a > 0,
• Левая/правая открытая парабола не имеет ни максимума, ни минимума.
• Мы можем использовать вершину параболы для ее построения. Для этого
  Сформируйте таблицу из двух столбцов, помеченных x и y, с не менее чем 5 строками. В столбце x одно из чисел должно быть координатой x вершины и двумя случайными числами с каждой стороны (слева и справа) от нее.
  Найдите координату y каждого из пяти указанных выше значений x, подставив каждое из них в уравнение.
  Нанесите все точки и соедините их кривой.

Темы, относящиеся к вершине параболы:

• Директриса параболы
• Фокус параболы
• Калькулятор вершин параболы
• Калькулятор графика параболы
• Квадратичная функция
• Завершение Калькулятора площади

Часто задаваемые вопросы о вершине параболы

Определение вершины параболы.

Вершина параболы — это ее острая точка поворота. Это точка, в которой парабола пересекает свою ось симметрии.

Как найти вершину параболы?

Чтобы найти вершину (h, k) параболы стандартной формы y = ax ² + bx + c:

• Используйте h = -b/2a для нахождения h
• Подставьте x = h в данное уравнение, чтобы найти k.

Как найти вершину параболы по форме вершины?

Чтобы найти вершину параболы, которая находится в вершинной форме y = a (x — h) ² + k:

• Сравните данное уравнение с y = a (x — h) ² + k и определить значения h и k.
• (h, k) — вершина.

Как найти вершину параболы по форме пересечения?

Чтобы найти вершину (h, k) параболы, которая находится в форме пересечения y = a(x — p) (x — q):

• Используйте h = (p + q) / 2 для нахождения h
• Подставьте x = h в уравнение параболы, чтобы найти k.

Каковы свойства вершины параболы?

Некоторые свойства вершины параболы:

• Парабола вверх/вниз имеет максимум/минимум в своей вершине.
• Вершина — точка поворота параболы.
• Парабола пересекает ось симметрии в вершине.

Как найти фокус параболы, используя ее вершину?

Пусть (h, k) — вершина параболы. Тогда

• Фокус параболы y = a (x — h) ² + k определяется как (h, k + (1/4a))
• Фокус параболы x = a (y — k) ² + h определяется как (h + (1/4a), k)

Как построить параболу, используя ее вершину?

Чтобы построить параболу y = a(x — h) ² + k, используя ее вершину:

• Напишите таблицу с двумя столбцами, помеченными x и y.
• Запишите «h» как одно из чисел в столбце с надписью x.
• Запишите два случайных числа меньше «h» и два случайных числа больше «h» в один и тот же столбец с пометкой x.
• Заполните столбец с меткой y, подставив каждое из чисел вместо x в данном уравнении.
• Теперь у нас есть 5 точек вместе с вершиной, нанесите их все на лист графика и соедините их.

Как найти ось симметрии параболы, используя ее вершину?

Вот формулы для нахождения оси симметрии параболы по ее вершине:

• Ось симметрии открытой вверх/вниз параболы с вершиной (h, k) равна x = h.
• Ось симметрии левой/правой незамкнутой параболы с вершиной (h, k) равна y = k.

Квадратное отношение, параболы:… Пошаговое решение математических задач

ПАРАБОЛЫ: ПЕРЕВОДЫ И ПРИМЕНЕНИЯ

КВАДРАТИЧНОЕ ОТНОШЕНИЕ   Квадратное отношение двух переменных представляет собой отношение, которое можно записать в виде 92, чтобы получить y = 0, что показывает, что единственная точка пересечения находится в начале координат. Нанеся другие выбранные точки, как показано в таблице, сопровождающей рисунок 3.16, мы получим график. Домен (-inf,inf) и диапазон [0,inf]

                             

ПРИМЕЧАНИЕ Область и диапазон параболы с вертикальной осью, такой как на рис. 3.16, можно определить по формуле глядя на график. Поскольку график неограниченно расширяется вправо и влево, мы видим, что домен равен (-inf,inf). Поскольку самая нижняя точка на графике равна (0,0), минимальное значение диапазона (значение y) равно 0. График бесконечно расширяется вверх, что указывает на отсутствие максимального значения y, поэтому диапазон равен [0,inf]. (Области и диапазоны других типов отношений также можно определить, наблюдая за их графиками.) 92. Поскольку значения y отрицательны для каждого ненулевого значения x, этот график открывается вниз. Снова ось — это линия x = 0, а вершина, самая высокая точка на графике, — (0,0). Домен (-inf,inf) и диапазон (-inf,0). См. Рисунок 3.18.

                

Давайте посмотрим, как наш решатель генерирует граф этой и подобных задач. 2-4 92+6x+8           Умножьте на -1.
                          0=(x+2)(x+4). Фактор.

, из которых x=-2 или x=-4. График показан на рис. 3.21. Из графика видно, что домен (-inf,inf) и диапазон (-inf,1). Значение y вершины определяет диапазон.

                     

Примеры 2–5 предполагают следующие обобщения.

Давайте посмотрим, как наш решатель генерирует граф этой и подобных задач. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров. 92 + k, и это переписанное уравнение показывает, что осью параболы является вертикальная линия x=-1/3, а вершина равна (-1/3,4/3). Используйте эти результаты вместе с пересечениями и дополнительными упорядоченными парами по мере необходимости, чтобы получить график на рис. 3.22. Судя по графику, домен отношения равен (-∞, ∞), а диапазон равен (-∞, 4/3).

Давайте посмотрим, как наш решатель генерирует граф этой и подобных задач. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.

Решить аналогичную задачуВведите свою проблему 92 + bx + c важны в задачах, где нужно найти максимальное или минимальное значение некоторой величины. Когда a < 0, значение y вершины дает максимальное значение y, а значение x указывает, где оно встречается. Точно так же, когда a>0, значение y вершины дает минимальное значение y.

Пример 8

ПОИСК ВЕРШИНЫ В ПРИЛОЖЕНИИ

  Мисс Уитни владеет и управляет магазином пирогов тети Эммы. Она наняла консультанта для анализа ее деловых операций. Консультант сообщает ей, что ее прибыль P в долларах равна 92

  P=3600

  Вершина (60, 3600). На рис. 3.23 показана часть графика прибыли, расположенная в квадранте {йота}. (Почему здесь представляет интерес только квадрант {Йота}?) Максимальная прибыль в размере 3600 долларов достигается при изготовлении 60 единиц пирогов. В этом случае прибыль увеличивается по мере того, как производится все больше и больше пирогов до 60 единиц, а затем уменьшается по мере того, как больше пирогов производится после этой точки.

  

   Рис. Можно начать с параболы. множество точек на плоскости и найти соответствующее отношение, используя формальное геометрическое определение параболы.

   ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛЫ Геометрически парабола определяется как множество всех точек на плоскости, которые одинаково удалены от фиксированной точки и фиксированной линии, не содержащей точки. Точка называется фокусом, а линия — директрисой. Линия, проходящая через фокус и перпендикулярная директрисе, является осью параболы. Точка на оси, равноудаленная от фокуса и директрисы, является вершиной параболы.

  

92+бх+в.

  Этот результат можно распространить на параболу с вершиной в точке (h, k), с фокусом на p единиц выше (h, k) и направляющей на p единиц ниже (h, k), или на параболу с вершиной в точке (h, k) k), фокус p единиц ниже (h, k) и директриса p единиц выше (h, k).

  Геометрические свойства парабол находят множество практических применений. Например, если источник света находится в фокусе параболического отражателя, как показано на рис. 3.25, световые лучи отражаются параллельно оси, образуя прожектор или фонарик.

No related posts.