|
Заглавная страница
КАТЕГОРИИ: Археология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Техника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ? Влияние общества на человека Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
⇐ ПредыдущаяСтр 16 из 18Следующая ⇒ Типовая вещь. Для того чтобы два вектора плоскостибыли коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны .По существу, это покоординатная детализация очевидного соотношения . Пример 1 а) Проверить, коллинеарны ли векторы . Решение: Обязательно расскажу о «пижонской» разновидности применения данного правила, которая вполне прокатывает на практике. Идея состоит в том, чтобы сразу составить пропорцию и посмотреть, будет ли она верной: Составим пропорцию из отношений соответствующих координат векторов: Сокращаем: Для самопроверки можно использовать то обстоятельство, что коллинеарные векторы линейно выражаются друг через друга. б) Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы). Исследуем на коллинеарность векторы . Составим систему: Из первого уравнения следует, что , из второго уравнения следует, что , значит,система несовместна (решений нет). Таким образом, соответствующие координаты векторов не пропорциональны. Вывод: векторы линейно независимы и образуют базис. Упрощённая версия решения выглядит так: Составим пропорцию из соответствующих координат векторов : Обычно такой вариант не бракуют рецензенты, но возникает проблема в тех случаях, когда некоторые координаты равны нулю. Вот так: . Или так: . Или так: . Как тут действовать через пропорцию? (действительно, на ноль же делить нельзя). Именно по этой причине я и назвал упрощенное решение «пижонским». Ответ:а) , б) образуют. Небольшой творческий пример для самостоятельного решения: Пример 2 При каком значении параметра векторы будут коллинеарны? В образце решения параметр найден через пропорцию . Существует изящный алгебраический способ проверки векторов на коллинеарность., систематизируем наши знания и пятым пунктом как раз добавим его: Для двух векторов плоскости эквиваленты следующие утверждения: 4) векторы нельзя линейно выразить друг через друга; + 5) определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля. Соответственно, эквивалентны следующие противоположные утверждения: Я очень и очень надеюсь, что на данный момент вам уже понятны все встретившиеся термины и утверждения. Рассмотрим более подробно новый, пятый пункт: два вектора плоскостиколлинеарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю: . Для применения данного признака, естественно, нужно уметь находить определители. Решим Пример 1 вторым способом: а) Вычислим определитель, составленный из координат векторов : б) Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы). Вычислим определитель, составленный из координат векторов : Ответ:а) , б) образуют. Выглядит значительно компактнее и симпатичнее, чем решение с пропорциями. Проверка векторов на коллинеарность – простая и очень распространенная задача аналитической геометрии. С помощью рассмотренного материала можно устанавливать не только коллинеарность векторов, но и доказывать параллельность отрезков, прямых. Рассмотрим пару задач с конкретными геометрическими фигурами. Пример 3 Даны вершины четырёхугольника . Доказать, что четырёхугольник является параллелограммом. Доказательство: Чертежа в задаче строить не нужно, поскольку решение будет чисто аналитическим. Вспоминаем определение параллелограмма: Таким образом, необходимо доказать: Доказываем: 1) Найдём векторы: Вычислим определитель, составленный из координат векторов : 2) Найдём векторы: Получился один и тот же вектор («по школьному» – равные векторы). Коллинеарность совсем очевидна, но решение таки лучше оформить с толком, с расстановкой. Вычислим определитель, составленный из координат векторов : Вывод: Противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны, значит, он является параллелограммом по определению. Что и требовалось доказать. Больше фигур хороших и разных: Пример 4 Даны вершины четырёхугольника . Доказать, что четырёхугольник является трапецией. Для более строгой формулировки доказательства лучше, конечно, раздобыть определение трапеции, но достаточно и просто вспомнить, как она выглядит. Это задание для самостоятельного решения. Полное решение в конце урока. А теперь пора потихонечку перебираться из плоскости в пространство: ⇐ Предыдущая9101112131415161718Следующая ⇒ Читайте также: Где возникла философия и почему? Относительная высота сжатой зоны бетона Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии Тарифы на перевозку пассажиров |
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-14; просмотров: 827; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia. |
Все правила по сольфеджио
В данном случае имеют место равенства . Их справедливость легко проверяется через элементарные действия с векторами:
Нередко в условии заодно требуется проверить векторы и на ортогональность (базис в таких случаях, как правило, ортонормированный). Данное задание подробно рассмотрено на уроке Скалярное произведение векторов
su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь — 161.97.168.212 (0.005 с.)Как определить Коллинеарность векторов по координатам?
Как определить Коллинеарность векторов по координатам?
Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны. N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю. Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.
Как проверить Коллинеарность?
Все нулевые векторы считаются равными. И обратно: если соответствующие координаты векторов пропорциональны, то векторы эти — коллинеарны. Если коэффициент пропорциональности λ = x2/x1 = y2/y1 = z2/z1 положителен, то векторы a и b равнонаправлены, а если отрицателен — то противоположно направлены.
Как найти коллинеарны ли векторы?
Теория.
Коллинеарность векторов Определение Колинеарные вектора — вектора, которые параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой. Вектора коллинеарны если отношения их координаты равны между собой.
Как обозначается Коллинеарность векторов?
Чаще всего нулевой вектор обозначается как ¯0. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 2). Два коллинеарных вектора ¯a и ¯b называются сонаправленными, если их направления совпадают: ¯a↑↑¯b (рис.
Когда вектор равен нулю?
Нулевой вектор определяет тождественное движение пространства, при котором каждая точка пространства переходит в себя. С нулевым вектором не связывают никакого направления в пространстве. Нулевой вектор принято считать сонаправленным любому вектору.
Что значит найти модуль вектора?
То есть модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов координат.
Как задать координаты вектора?
Чтобы найти координаты вектора AB, зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.
Как обозначить координаты вектора?
Разложение вектора Коэффициенты ax и ay называются координатами вектора в данной системе координат на плоскости. Координаты вектора в данной системе координат принято записывать в круглых скобках, через запятую, при этом заданные координаты следует отделять от обозначения вектора знаком равенства.
Как правильно записывать координаты точек?
Чтобы найти координаты точки на плоскости, нужно опустить из этой точки перпендикуляры на оси координат. Точка пересечения с осью «x» называется абсциссой точки «А», а с осью y называется ординатой точки «А». Обозначают координаты точки, как указано выше (·) A (2; 3).
Пример (·) A (2; 3) и (·) B (3; 2).
Как записать координаты на карте?
Как указать координаты места
- Откройте Google Карты на компьютере.
- Введите координаты в окне поиска в верхней части экрана. Допускаются следующие форматы: Градусы, минуты и секунды: 2″N 2°10’26.
Что называют координатами вектора в пространстве?
Прямые x, y, z называются координатными осями (или осями координат), точка их пересечения O – началом координат, Единичным вектором или ортом называется вектор, длина которого равна единице и который направлен вдоль какой-либо координатной оси. …
Что такое Векторы в пространстве?
Вектором называется направленный отрезок. Любая точка пространства может рассматриваться как нулевой вектор, начало и конец которого совпадают. Нулевой вектор обозначают O → . Длиной вектора называется длина соответствующего ему отрезка.
Как называются коэффициенты разложения вектора по координатным векторам в данной системе координат?
Коэффициенты х, у и z в
Координаты вектора будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора: {х; у; z}. Нулевой вектор можно представить в виде так как все координаты нулевого вектора равны нулю.Что такое прямоугольная система координат в пространстве?
Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве.
Координаты вектора будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора: {х; у; z}. Нулевой вектор можно представить в виде так как все координаты нулевого вектора равны нулю.векторных пространств — Доказательство проверки коллинеарности и компланарности
спросил
Изменено 9 лет, 11 месяцев назад
Просмотрено 7к раз
$\begingroup$
Утверждение: если есть 3 точки с векторами положения a , b и c .
Тогда точки коллинеарны тогда и только тогда, когда существуют скаляры x, y, z, не все равные нулю, такие, что x a + y b + z c = 0, где x+y+z = 0.
Утверждение: Если есть 4 точки с векторами положения a , b , c и d . Тогда точки комаланарны тогда и только тогда, когда существуют скаляры x, y, z и w, не все равные нулю, такие, что x a + y b + z c +w d = 0, где x+y+z+w =0.
Можете ли вы привести доказательство этого с помощью векторов?
- векторные пространства
- евклидова геометрия
- корректура
- системы координат
$\endgroup$
5
$\begingroup$
Поскольку $x+y+z = 0$, хотя бы один из $x, y$ не равен нулю и : $$x\mathbf a + y\mathbf b + z\mathbf c = 0 \Leftrightarrow x( \mathbf a — \mathbf c) + y(\mathbf b — \mathbf c) = 0.
$$ Два зависимых вектора лежат на одной прямой, проходящей через начало координат. Это работает и наоборот.Удлините 1., чтобы закрыть копланарный корпус.
$$ Два зависимых вектора лежат на одной прямой, проходящей через начало координат. Это работает и наоборот.$\endgroup$
$\begingroup$
Подсказка: Часть 1
Предположим, что $x+y \neq 0$
Если a , b , c коллинеарны тогда и только тогда, когда
$${\bf c} = \frac{x{\bf a} + y{\bf b}}{x+y}$$
для некоторых $x$ и $y$. Угадай $z$ сейчас!
Теперь заметим, что если $x+y = y+z = z+x = 0$, то все они равны нулю.
$\endgroup$
3
$\begingroup$
1) Обозначим точки $A,B$ и $C$. Предположим, что они коллинеарны, тогда $\overrightarrow{\pmb {AB}}$ и $\overrightarrow{\pmb {AC}}$ также коллинеарны, так что $\overrightarrow{\pmb {AB}} = k \overrightarrow {\pmb {AC}}$.
С другой стороны, $\overrightarrow{\pmb {AB}} = \pmb b — \pmb a$ и $\overrightarrow{\pmb {AC}} = \pmb c — \pmb a$, поэтому $\pmb b — \pmb a = k (\pmb c — \pmb a)$, что означает $(k+1)\pmb a — \pmb b — k\pmb c = \pmb 0$, поэтому можно взять $x = k + 1, y = -1$ и $z = -k$.
Теперь предположим, что существуют $x, y, z$, где $x + y +z = 0$, такие, что $x \pmb a + y\pmb b + z\pmb c = \pmb 0$. Поскольку $x, y, z$ не являются нулями одновременно, по крайней мере один из них не равен нулю. Предположим, что это $x \neq 0$. Из-за того, что $x+y+z = 0$, по крайней мере еще одно число не равно нулю. Предположим, что это $y \neq 0$
$x \pmb a + y \pmb b — (x + y) \pmb c = \pmb 0\\ (\pmb a — \pmb c) x + (\pmb b — \pmb c) y = \pmb 0$.
Последнее равенство означает, что $\pmb a — \pmb c$ и $\pmb b — \pmb c$ лежат на одной прямой. Если вспомнить, что $\pmb b — \pmb a = \overrightarrow{\pmb {AB}}$ и $\pmb c — \pmb a = \overrightarrow{\pmb {AC}}$, то можно сказать, что $A , B$ и $C$ также коллинеарны.
2) То же самое можно использовать и для компланарного случая. С еще одним дополнительным термином.
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
Определить коллинеарные векторы.
Ответ
Проверено
222,9 тыс.+ просмотров
Подсказка: Начнем решение с того, что вспомним определение коллинеарных векторов, что они располагаются на одной прямой или параллельных прямых. Воспользуемся тем, что компоненты одного из коллинеарных векторов кратны другому вектору. Мы используем тот факт, что векторное произведение коллинеарного вектора равно нулю, чтобы доказать все условия о коллинеарных векторах.
Полный пошаговый ответ:
Коллинеарные векторы: — Векторы, параллельные одной или лежащие на одной прямой, называются коллинеарными векторами.
Условие коллинеарности: — Два вектора коллинеарны, если выполнено любое из этих условий.
Условие-1:- Два вектора a, b коллинеарны, если существует такое число, что приведенное ниже уравнение становится верным.
$\bar{a}=n.\bar{b}$
Условие-2: Два вектора коллинеарны, если отношение их координат равно.
Это неверно, если один из компонентов равен нулю.
Условие-3: Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.
Это действительно только в том случае, когда 2 вектора являются трехмерными (пространственными) векторами.
Перекрестное произведение:- Перекрестным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах а, b, направление перпендикулярно плоскости векторов а, б. Если векторы a, b записать как $xi+yj+zk;\text{ pi+qj+rk}$, мы получим векторное произведение a, b, представленное $a\times b$, как:
$a\times b=\left|\begin{matrix}
&i &j &k \\
&x &y &z \\
&p &q &r \\
\end{matrix} \right|$
Применить это определение к условию -3 получаем:
Перекрестное произведение a, b равно 0. Из условия 1 получаем:
$a=nb$.