Свойства деления. Деление произведения, суммы и разности на число
- Деление произведения на число
- Деление числа на произведение
- Деление суммы на число
- Деление разности на число
- Общие формулы свойств деления
Деление произведения на число
Произведение можно разделить на число двумя способами:
1) Чтобы разделить произведение на какое-нибудь число, можно сначала вычислить значение произведения (выполнить умножение) и полученный результат разделить.
Например, чтобы найти значение выражения:
(12 · 5) : 3,
можно сначала умножить 12 на 5:
12 · 5 = 60
и полученное произведение разделить на 3:
60 : 3 = 20,
значит (12 · 5) : 3 = 60 : 3 = 20.
Если один из сомножителей делится на число, на которое надо разделить произведение, то можно воспользоваться вторым способом нахождения частного от деления произведения на число.
2) Чтобы разделить произведение на какое-нибудь число, можно разделить на это число один любой сомножитель, оставив другие без изменений.
Например, чтобы найти значение выражения:
(8 · 20) : 4,
можно сначала разделить любой из сомножителей (8 или 20) на 4:
8 : 4 = 2
и полученное частное умножить на другой сомножитель:
2 · 20 = 40,
значит (8 · 20) : 4 = (8 : 4) · 20 = 2 · 20 = 40.
Данное выражение можно решить ещё так:
(8 · 20) : 4 = 8 · (20 : 4) = 8 · 5 = 40.
Деление числа на произведение
Число можно разделить на произведение двумя способами:
1) Чтобы разделить какое-нибудь число на произведение, можно сначала вычислить значение произведения (выполнить умножение), а затем разделить число на полученный результат.
Например, чтобы найти значение выражения:
60 : (3 · 2),
можно сначала умножить 3 на 2:
3 · 2 = 6
и разделить 60 на полученный результат:
60 : 6 = 10,
значит 60 : (3 · 2) = 60 : 6 = 10.
Если число, которое нужно разделить на произведение, делится на каждый сомножитель, из которого состоит данное произведение, то можно воспользоваться вторым способом нахождения частного от деления числа на произведение.
2) Чтобы разделить какое-нибудь число на произведение, можно разделить это число на первый сомножитель, полученное частное разделить на второй сомножитель, это частное на третий и т. д.
Например, чтобы найти значение выражения:
120 : (5 · 3),
можно сначала разделить 120 на 5:
120 : 5 = 24,
а теперь, полученное частное 24 разделить на 3:
24 : 3 = 8,
значит 120 : (5 · 3) = (120 : 5) : 3 = 24 : 3 = 8.
Так как от перестановки множителей произведение не изменится, то множители можно поменять местами:
120 : (3 · 5)
и разделить 120 сначала на 3, а затем полученный результат разделить на 5:
120 : (3 · 5) = (120 : 3) : 5 = 40 : 5 = 8.
Получается, что не важно на какой множитель сначала делить число, результат будет одинаковым:
120 : (5 · 3) = (120 : 5) : 3 = 24 : 3 = 8
тоже самое, что и
120 : (5 · 3) = (120 : 3) : 5 = 40 : 5 = 8.
Из данного примера можно сделать вывод, что значение частного не изменится от порядка выполнения действий.
Деление суммы на число
Сумму можно разделить на число двумя способами:
1) Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, можно сначала вычислить значение суммы (выполнить сложение) и полученный результат разделить.
Например, чтобы найти значение выражения:
(15 + 12) : 3,
можно сначала сложить числа 15 и 12:
15 + 12 = 27
и полученную сумму разделить на 3:
27 : 3 = 9,
значит (15 + 12) : 3 = 27 : 3 = 9.
Если все слагаемые в записи суммы делятся на число, на которое надо разделить сумму, то можно воспользоваться вторым способом нахождения частного от деления суммы на число.
2) Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные частные сложить.
Например, чтобы найти значение выражения:
(42 + 28 + 70) : 7,
можно каждое слагаемое разделить на число 7:
42 : 7 = 6, 28 : 7 = 4 и 70 : 7 = 10;
и полученные частные (6, 4 и 10) сложить:
6 + 4 + 10 = 20,
значит (42 + 28 + 70) : 7 = 42 : 7 + 28 : 7 + 70 : 7 = 6 + 4 + 10 = 20.
Деление разности на число
Разность можно разделить на число двумя способами:
1) Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, можно сначала вычислить значение разности (выполнить вычитание) и полученный результат разделить.
Например, чтобы найти значение выражения:
(24 — 8) : 2,
можно сначала вычесть из 24 число 8:
24 — 8 = 16,
и полученную разность разделить на 2:
16 : 2 = 8,
значит (24 — 8) : 2 = 16 : 2 = 8.
Если и уменьшаемое и вычитаемое в записи разности делятся на число, на которое надо разделить разность, то можно воспользоваться вторым способом нахождения частного от деления разности на число.
2) Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а потом из первого частного вычесть второе.
Например, чтобы найти значение выражения:
(42 — 28) : 7,
можно отдельно уменьшаемое и вычитаемое разделить на число 7:
42 : 7 = 6, 28 : 7 = 4
и найти разность полученных частных:
6 — 4 = 2,
значит (42 — 28) : 7 = 42 : 7 — 28 : 7 = 6 — 4 = 2.
Общие формулы свойств деления
Все свойства деления можно представить в виде формул:
| Распределительные свойства | |
|---|---|
| (a + b) : c = a : c + b : c | |
| (a — b) : c = a : c — b : c | |
| (a · b) : c = (a : c) · b = (b : c) · a | |
| a : (b · c) = (a : b) : c = (a : c) : b | |
| Действия с единицей и нулём | |
| a : 1 = a | |
| a : a = 1 | |
| 0 : a = 0 (a ≠ 0) | |
| На нуль делить нельзя | |
Свойства деления / Деление / Справочник по математике для начальной школы
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике для начальной школы
- Деление
- Свойства деления
1.
Чтобы разделить какое-нибудь число на произведение, можно сначала вычислить значение произведения (выполнить умножение), а затем разделить число на полученный результат:
56 : (4 • 7) = 56 : 28 = 2.
2. Чтобы разделить какое-нибудь число на произведение, можно разделить это число на первый множитель, а полученное частное разделить на второй множитель:
56 : (4 • 7) = (56 : 4) : 7 = 14 : 7 = 2.
3. Так как от перестановки множителей произведение не меняется, то можно делить число на множители в любом порядке:
56 : (4 • 7) = (56 : 7) : 4 = 8 : 4 = 2.
4. Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, можно сначала вычислить значение суммы (выполнить сложение) и полученный результат разделить:
(20 + 4) : 3 = 24 : 3 = 8.
5. Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные частные сложить:
(24 + 3) : 3 = 24 : 3 + 3 : 3 = 8 + 1 = 9.
6. Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, можно сначала вычислить значение разности (выполнить вычитание) и полученный результат разделить:
(35 — 5) : 6 = 30 : 6 = 5.
7. Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а потом из первого частного вычесть второе:
(25 — 20) : 5 = 25 : 5 + 20 : 5 = 5 + 4 = 9.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Советуем посмотреть:
Табличное деление
Внетабличное деление
Деление с остатком
Деление суммы на число
Деление на однозначное число
Деление чисел, оканчивающихся нулями
Деление
Правило встречается в следующих упражнениях:
2 класс
Страница 79. Урок 32, Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 82.
Урок 34,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 83. Урок 34, Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 86. Урок 36, Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 100. Урок 41, Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 111. Урок 45, Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 68. Урок 25, Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 69. Урок 25, Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 70. Урок 26, Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 75. Урок 28, Петерсон, Учебник, часть 3
3 класс
Страница 48.
Страница 49. Вариант 2. Проверочная работа 2, Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 83, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 105, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 106, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 16. Урок 5, Петерсон, Учебник, часть 1
Страница 43. Урок 16, Петерсон, Учебник, часть 1
Страница 70. Урок 24, Петерсон, Учебник, часть 1
4 класс
Страница 60.
Вариант 1. Проверочная работа 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 61. Вариант 2. Проверочная работа 1, Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 80. Вариант 1. Тест 1, Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 83, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 93, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 26, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
6 класс
Номер 1148, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1151, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1152, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
процентов.
Какова логическая причина разделения разницы?Задать вопрос
спросил
Изменено 6 лет, 5 месяцев назад
Просмотрено 227 раз
$\begingroup$
Это своего рода абстрактный вопрос о механизмах и логике математики.
Во-первых, позвольте мне попытаться объяснить, что я хотел передать названием темы.
Допустим, у меня есть значение, которое уменьшается до меньшего, и я хочу рассчитать процентную разницу, например, 13 уменьшается до 8. разница 5 с исходным значением 13, о чем тема.
5 / 13 = 0,3846
И затем, конечно, я бы умножил 0,3846 на 100, чтобы получить правильную процентную разницу между 13 и 8.
.
Но на самом деле я не понимаю, что должна быть логическая причина, по которой имеет смысл делить разницу 5 на исходное значение 13. Я могу понять, что мы делаем это, потому что это работает, но Я не понимаю, почему именно это работает.
Я надеюсь, что этот вопрос имеет смысл, в основном я пытаюсь сказать, что на интуитивном уровне или на уровне логических рассуждений я не могу понять, почему разница делится на исходное значение, кроме как «это работает, потому что причины».
- проценты
$\endgroup$
4
$\begingroup$
Что значит сказать что-то вроде «цена товара снижена на $20\%$»?
Это просто бессмысленная последовательность слов, пока мы не придадим ей значение что люди, использующие эти слова, могут согласиться.
Согласованное значение состоит в том, что сниженная цена
товар равен $P — \frac{20}{100} P$, где $P$ — первоначальная цена.
Величина $\frac{20}{100}P$ равна $20\%$ от $P$, то есть суммы, на которую
цена была снижена.
В более общем случае, если начальная величина имеет значение $P$ и уменьшается на $x\%$, уменьшенная величина, назовем ее $P’$, имеет значение $$P’ = P — \frac{x}{100} P. \tag1$$
Используя числа из примера в вопросе, известно, что начальное значение количества равно $13$, а Известно, что уменьшенная стоимость составляет 5 долларов США. На тот момент в расчете мы не определили процент сумма сокращения, но если мы скажем, что это уменьшение на $x\%$, тогда мы можем установить исходное количество $P$ равным $13$ и уменьшил количество $P’$ до $8$ в уравнении $(1)$, поэтому мы знаем, что $$ 8 = 13 — \frac{x}{100}\times 13. \tag2 $$
Из этого уравнения следует $$ \frac{x}{100}\times 13 = 13 — 8 = 5, $$ что подразумевает $$ х = \ гидроразрыва {5} {13} \ раз 100 = 36 \ гидроразрыва {6} {13}. \тег3 $$
Таким образом, процентное сокращение составляет $36\frac{6}{13}\%$, т.
е.
приблизительно $38,46\%$.
Причина, по которой у нас есть деление на $13$ в уравнении $(3)$, заключается в том, что определение «уменьшить на $x\%$» означает, что уравнение $(2)$ истинно, и деление на $13$ является одним из шагов правильного метода решения для $x$, когда уравнение $(2)$ истинно.
$\endgroup$
$\begingroup$
Это что-то вроде меры близости одного значения к другому, которое можно нормализовать в разных диапазонах. Представьте, что мы сейчас имеем дело только с положительными числами.
Допустим, у нас есть значение, и мы хотим измерить, насколько близко к нему другое число. Допустим, мы решили, что разумный способ измерить, насколько близки два числа, — просто посмотреть на их разницу. Допустим, у вас есть 10$ и 5$; тогда, по нашей мере близости, они близки на $5$ единиц. Теперь представьте, что у вас есть $1000000000$ и $999999995$; эти два по нашей мере близости близки на $5$ единиц.
Но можно ли сказать, что это справедливая оценка?
Иногда полезно иметь возможность сравнить, насколько близки два значения для разных значений диапазона, и здесь появляется разница в процентах. Вы берете разницу и делите ее на исходное число, чтобы взвесить тот факт, что разница в 5 между небольшими числами, такими как 10 $ и 5 $, имеет гораздо больший эффект, чем разница в 5 между двумя очень большими значениями, такими как 1000000000 $ и 9 $.99999995$. Таким образом, процентная разница между $10$ и $5$ составляет $50\%$, а процентная разница между $1000000000$ и $999999995$ составляет $0,0000005\%$, что отражает это.
Некоторая аналогия для этого может быть такой: для бедного человека, новая стоимость которого составляет 10\$, если вы отнимете у него 5\$, это повлияет на него гораздо сильнее, чем если бы вы отняли 5\$ от миллиардер. Это потому, что процентная разница , которую вы вычитаете из двух, сильно отличается.
Вот почему вы делите разницу на исходное значение.
$\endgroup$
$\begingroup$
Два других ответа слишком многословны. На ваш вопрос есть очень простой ответ. Причина, по которой вы делите 5 на 13, заключается в том, что мы измеряем процентное изменение относительно исходного значения .
Вот еще один пример. Предположим, что на моем банковском счете есть 100 долларов. Затем я покупаю рубашку за 25 долларов, так что теперь на моем счету всего 75 долларов. На сколько процентов уменьшился баланс моего счета? На самом деле этот вопрос означает следующее: сколько процентов от первоначального значения составляет фактическое уменьшение? В этом примере ответ равен 25%. Фактическое уменьшение составляет 25 долларов США, а начальный баланс составлял 100 долларов США. Процентное изменение измеряет фактическое изменение относительно относительно начальной точки.
$\endgroup$
1
кадр данных — Как рассчитать разницу между строками и разделить разницу на значение из предыдущей строки в R?
Допустим, у меня есть следующий кадр данных:
A B C 1 15 14 12 2 7 1 6 3 8 22 5 4 11 5 1 5 4 12 4
Я хочу вычислить разницу между строками, а затем разделить разницу на значение предыдущей строки.
Это делается для каждой переменной.
Результат будет примерно таким:
A B C A_r B_r C_r 1 15 14 12 НП НП НП 2 7 1 6 -0,53 -0,93 -0,50 3 8 22 5 0,14 21 -0,16 4 11 5 1……… 5 4 12 4 ... ... ...
Общая формула будет следующей:
R(n) = [S(n) — S(n-1)] / S(n-1)
Где R представляет вновь вычисляемую переменную, а S представляет текущую переменную значение R вычисляется для (A, B, C в этом примере).
Я знаю, что могу использовать функцию diff для вычисления разницы, но я не знаю, как разделить эту разницу на значения предыдущих строк.
- R
- DATAFRAME
- DIFF
- Преобразование
Мы можем использовать по всему с лаг — петля по Все колонны ( все () 6). изменив .names , т.е. добавив суффикс _r с соответствующими именами столбцов ( {.col} )
библиотека (dplyr) df1 <- df1 %>% мутировать(через(все(), ~ (.
