Как решается уравнение: Решение уравнений — урок. Математика, 6 класс.

Решение линейных уравнений с одной переменной.

В этой теме рассмотрим подробный алгоритм решения линейных уравнений с одной переменной. Что же такое решение уравнений? Уравнение считается решенным, если мы нашли корни уравнения или доказали, что их нет. Линейные уравнения – это самый простой вид уравнений в школьной программе по математике.

Формула линейного уравнения.

Принято линейное уравнение записывать так:
ax+b=0
где коэффициенты a и b произвольные числа (числа которые явно записаны),
а переменная x – это неизвестное число.
Пример линейных уравнений:
5x-6=0,
0,3-4x=0,
6x=2.

Алгоритм решения линейного уравнения.

В математике существуют различные виды уравнений. Например, квадратные уравнения, рациональные уравнения, иррациональные уравнения и т.д. И каждый вид уравнения решается определенным способом. Не существует единого алгоритма решения всех уравнений, поэтому для каждого вида уравнений свой способ решения. И каждый способ надо запоминать. Теперь вернемся к линейным уравнениям и разберем пошаговый алгоритм действий.
Как решать линейные уравнения?

Правило решения достаточно просты.

1 шаг. У всех уравнений есть две стороны левая и правая. Знак равно = эти две части разделяет. Все что написано в уравнении до знака равно находится с левой части уравнения, а все что написано после знака равно — правая часть.
Рассмотрим пример линейного уравнения:
2x+5=8
Левая часть уравнения (2x+5) = правая часть уравнения (8)

2 шаг. Необходимо перенести неизвестные (переменные или буквы) в одну сторону, а известные (цифры) в другую сторону уравнения. При переносе слева на право или наоборот справа на лево числа или переменной, нужно поменять знак. Если был знак “+” поменяется на знак минус и наоборот.
В нашем примере 2х это неизвестное, а число 5 и 8 известное.
В уравнении 2x+5=8 число 5 находится слева, необходимо, это число перенести вправо, чтобы числа посчитать с числами. У числа 5 знак + поэтому при переносе слева на право знак поменяется на минус. Получим:
2x=8-5
2x=3

3 шаг. Если перед переменной стоит число, а в нашем уравнении стоит 2 перед х, тогда все уравнение делим на это число.
2x=3 |:2
|:2 такая запись означает, что мы должны все элементы уравнения поделить на 2. Если подробно расписать, то линейное уравнение будет выглядеть так:
2x:2=3:2
2x:2 получим 1x или просто х, а 3:2=1,5
x=1,5

4 шаг. Мы нашли корень уравнения x=1,5.
Корень уравнения – это число которое превращает уравнение в верное равенство.
Чтобы проверить правильно ли решено уравнение необходимо вместо переменной х в уравнение 2x+5=8 подставить найденный корень x=1,5.
2x+5=8
2 •1,5+5=8
3+5=8
8=8
Получено верное равенство, поэтому корень найден верно.

Рассмотрим следующий пример:
2х–3,5=7х+10
Сделаем перенос неизвестных влево, а известных вправо. Неизвестные – это 2х и 7х. Необходимо 7х перенести влево и поменять знак с “+” на “–”. Перед 7х не стоит ни каких знаков поэтому считается знак плюс. Известные – это -3,5 и 10. Число -3,5 нужно перенести слева на право и поменять знак с минуса на плюс. Получим:
2х–7х=10+3,5
–5х=13,5
Так как перед переменной х стоит число -5, нужно все уравнение поделить на -5, чтобы перед переменной х стало число 1.
–5х=13,5 |:(–5)
x=13,5:( –5)
x=–2,7
Сделаем проверку. Подставим в уравнение 2х–3,5=7х+10 вместо переменной х число –2,7.
2х–3,5=7х+10
2•(–2,7)–3,5=7•(–2,7)+10
–5,4–3,5= –18,9+10
-8,9=-8,9

Линейные уравнение, которые не имеют решения.

Уравнения могут не иметь решения. Как же выглядят такие линейные равнения? Как решаются такие линейные уравнения.
Для простоты давайте рассмотрим пример:
3х-6,7=х+4+2х
Здесь мы решаем точно также, как и в предыдущих примерах. Неизвестные (3х, х и 2х) группируем с лева, а известные (-6,7 и 4) – с права. Не забываем менять знаки при переносе. Получаем:
3х-х-2х=4+6,7
0х=10,7 или 0=10,7
Всем известно, что число 0 и 10,7 не равны друг другу, следовательно, у такого уравнения нет решения, потому что при любом значении переменной х верного равенства не будет.

Линейные уравнения, у которых бесконечное количество решений.

Чаще всего у линейных уравнений один корень, но бывают случаи, когда корней бесконечное множество. Такое линейное уравнение легко распознать визуально. Левая часть и правая часть уравнения равны при любых переменных.
Рассмотрим пример:
-5+2х+1=9+2х-13
Переносим неизвестные влево, а известные вправо. Не забываем менять знак.
2х-2х=9-13+5-1
0=0
Когда левая часть и правая часть равны одинаковым выражениям, тогда такое линейное уравнение имеет бесконечное множество решений.

Решение уравнений умножением

Неизвестная величина может быть связана с известной величиной не только знаком + или -, но может быть разделена на какую-нибудь величину, как в этом уравнении: $\frac{x}{a} = b$.

Здесь решение не может быть найдено, как в предыдущих примерах, переносом члена уравнения. Но если оба члена уравнения умножить на a, уравнение примет вид
         $x = ab.$

То есть, знаменатель дроби в левой части сокращается. Это может быть доказано свойствами дробей.

Так, $x = \frac{ax}{a} = \frac{3x}{3} = \frac{(a + b)x}{a + b} = \frac{dx + 5x}{d + 5}$. Для каждого из этих примеров, x умножается и делится на одну и ту же величину, и такое действие не изменяет значения величин. Поэтому,

Когда неизвестная величина разделена на известную величину, уравнение решается путем умножения каждой стороны на эту известную величину.

Те же самые переносы должны быть сделаны в этом случае, как и в предыдущих примерах. Однако надо помнить, что умножать необходимо каждый член уравнения.

Пример 1. Решите уравнение      $\frac{x}{c} + a = b + d$
Умножаем обе стороны на      $c$
Произведение будет        $x + ac = bc + cd$
И         $x = bc + cd — ac$.

Пример 1. Решите уравнение      $\frac{x}{a+b} + d = h$
Умножаем на $a + b$      $x + ad + bd = ah + bh$.
И         $x = ag + bh — ad — bd.$

Когда неизвестное значение находится в знаменателе дроби, уравнение решается похожим способом, то есть умножением уравнения на знаменатель.

Пример 3. Решите уравнение      $\frac{6}{10-x} + 7 = 8$
Умножая на $10 — x$       $6 + 70 — 7x = 80 — 8x$
Тогда          $x = 4$.

Хотя это и не обязательно

, но часто очень удобно избавиться от знаменателя дроби, состоящего только из известных величин. Это можно сделать, похожим способом, когда избавляются от знаменателя, включающего в себя неизвестную величину.

Возьмем для примера      $\frac{x}{a} = \frac{d}{b} + \frac{h}{c}$
Умножаем на a      $x = \frac{ad}{b} + \frac{ah}{c}$
Умножаем на b      $bx = ad + \frac{abh}{c}$
Умножаем на c      $bcx = acd + abh$.

Или, мы можем умножить на произведение всех знаменателей сразу.

В этом же самом уравнении      $\frac{x}{a} = \frac{d}{b} + \frac{h}{c}$
Умножаем члены на abc      $\frac{abcx}{a} = \frac{abcd}{b} + \frac{abch}{c}$

После сокращения каждого одинакового значения в одной дроби, получим      $bcx = acd + abh$, как и в предыдущем варианте. Отсюда,

В уравнении можно избавиться от дробей

, умножая каждую сторону уравнения на все знаменатели.

При избавлении от дробей в уравнении необходимо соблюдать правильность написания знаков и коэффициентов каждой дроби в процессе раскрытия скобок

Уравнение      $\frac{a — d}{x} = c — \frac{3b — 2hm — 6n}{r}$ является
равным этому уравнению      $ar — dr = crx -3bx + 2hmx + 6nx$.

Решение уравнений — GCSE по математике

Введение

Видео о решении уравнений

Что такое уравнение?

Рабочие листы для решения уравнений

Как решать уравнения

Методы решения уравнений

1) Линейные уравнения

2) Квадратные уравнения

Практика решения уравнений вопросы

Решение уравнений Вопросы GCSE

Контрольный список обучения

Следующие уроки

Все еще застряли?

Индивидуальные занятия по математике, созданные для успеха KS4

Теперь доступны еженедельные онлайн-уроки повторения математики GCSE

Узнать больше

Введение

Видео о решении уравнений

Что такое уравнение?

Рабочие листы для решения уравнений

Как решать уравнения

Методы решения уравнений

1) Линейные уравнения

2) Квадратные уравнения

Практикуйтесь в решении уравнений

Решение уравнений Вопросы GCSE

Контрольный список обучения

Следующие уроки

Все еще застряли?

Здесь мы разберем все, что вам нужно знать о решении уравнений. Вы узнаете, что такое линейные и квадратные алгебраические уравнения и как их решать.

В конце вы найдете рабочие листы для решения уравнений на основе экзаменационных вопросов Edexcel, AQA и OCR, а также дополнительные рекомендации о том, что делать дальше, если вы все еще застряли.

Что такое уравнение?

Уравнение равно 9{2}+3x-2&=0 \end{aligned}\]

В уравнении две стороны, причем левая часть равна , что равно правой части.

Уравнения часто включают алгебру и содержат неизвестные (переменные), которые мы часто обозначаем буквами, такими как x или y.

Мы можем решать простые уравнения и более сложные уравнения, чтобы определить значение этих неизвестных; они могут включать дроби, десятичные числа или целые числа.

Что такое уравнение?

Рабочие листы для решения уравнений

Получите бесплатно рабочий лист для решения уравнений, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Икс

Рабочие листы для решения уравнений

Получите бесплатный рабочий лист для решения уравнений, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Как решать уравнения

Чтобы решить уравнения, нам нужно определить значение неизвестной переменной путем сложения, вычитания, умножения или деления обеих частей уравнения на одно и то же значение.

В выпускных экзаменах по математике есть два основных типа уравнений, которые нам нужно решить, оба из которых описаны ниже.

Объясните, как решать уравнения

Методы решения уравнений

В рамках решения уравнений вы найдете уроки по линейным уравнениям и квадратным уравнениям.

Каждый метод решения уравнений описан ниже. Для получения подробных примеров, практических вопросов и рабочих листов по каждому из них следуйте ссылкам на пошаговые руководства.

1. Линейные уравнения

Существует 5 основных типов линейных уравнений, которые мы можем решить.

Пример решения уравнения с:

  1. Одно неизвестное

2 Неизвестно с обеих сторон

3 Со скобками

4 С дробями

5 Степени (показатели) и корни

Мы можем проверить правильность нашего решения, подставив его в исходное уравнение.

Пошаговое руководство: Линейные уравнения

9{2}+4x-5=0\]

Решения/корни находятся, когда график равен 0 (пересекает ось x).

\[x=1,\qquad x=-5\]

Мы можем проверить правильность нашего решения, подставив его в исходное уравнение.

Пошаговое руководство:

Графическое решение квадратных уравнений

S ee также: Квадратные уравнения

Практика решения уравнений

4x-2=14

 

Добавить 2 с обеих сторон

 

4x=16

 

Разделите обе части на   4

 

х=4

3x-8=x+6

 

Добавьте 8 с обеих сторон

 

3х=х+14

 

Вычесть x с обеих сторон

 

2х=14

 

Разделите обе части на 2

 

х=7

3(х+3)=2(х-2)

 

Раскрытие скобок

 

3x+9=2x-4

 

Вычесть 9 с обеих сторон

 

3х=2х-13

 

Вычесть 2 раза с обеих сторон

 

х=-13

\frac{2 x+2}{3}=\frac{x-3}{2}

 

Умножить на 6 (наименьший общий знаменатель) и упростить

 

2(2х+2)=3(х-3)

 

Раскрыть скобки

 

4x+4=3x-9

 

Вычесть 4 с обеих сторон

 

4х=3х-13

 

Вычесть 3 раза с обеих сторон

 

х=-13

x=\pm 4

x=\pm 2 9{2}+3 х-20=0

 

Факторизация в виде двойной скобки

 

(2х-5)(х+4)

 

Приравняйте каждую скобку к нулю и решите, следовательно,

 

х=\фракция{5}{2}, \; х=-4

х=-4,65 \; (3. 5.f), \quad x=-0,646 \;(3.s.f)

x=4,65 \; (3.5.f), \quad x=0,646 \; (3.с.ф)

х=4,65 \; (3.5.f), \quad x=-0,646 \; (3.с.ф)

х=-4,65 \; (3.5.f), \quad x=0,646 \; (3.с.ф) 9{2}-4(1)(-3)}}{2(1)} \\
x=2+\sqrt{7} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad x= 2-\sqrt{7} \\
х=4,65 \; (3.5.f) \quad \quad \quad\quad \quad \quad x=-0,646 \; (3.с.ф)

х=0,732 \; (3.s.f),\quad x=-2,73\; (3.с.ф)

х=-0,732 \; (3.s.f),\quad x=-2,73\; (3.с.ф)

х=0,732 \; (3.s.f),\quad x=2,73 \; (3.с.ф)

х=-0,732 \; (3.s.f),\quad x=2,73 \; (3.s.f)

Подстановка в квадратную формулу дает

 

9{2}=4

 

Квадратный корень с обеих сторон

 

х-3=\pm 2

 

Добавить по 3 с обеих сторон

 

х=3\pm 2

 

Итак, x=5, \; х=1

Решение уравнений Вопросы GCSE

1. Решить: 4y = 36

Показать ответ

(1 балл)

2. Решить: x 2 − 5x − 24 = 0

900 02 Показать ответ

x = − 3 , x = 8

(3 балла)

3. Решите: 7y − 8 = 13

Показать ответ

(2 балла)

Учебный контрольный список

  • Использовать алгебраические методы для решения линейных уравнений
  • Алгебраическое решение квадратных уравнений путем факторизации
  • Решите квадратные уравнения алгебраически, заполнив квадрат (H)
  • Решите квадратные уравнения алгебраически, используя квадратную формулу (H)
  • Решите квадратные уравнения, найдя приближенные решения с помощью графика

Все еще зависает?

Подготовьте своих учеников KS4 к успешной сдаче выпускных экзаменов по математике с помощью программы Third Space Learning. Еженедельные онлайн-уроки повторения GCSE по математике, которые проводят опытные преподаватели математики.

Узнайте больше о нашей программе обучения математике GCSE.

Как решить уравнение в R – КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗДОРОВЬЯ

Автор Джордж Шуейри / 1 августа 2022 г.

В этой статье будет использоваться uniroot. all() функция из пакета rootSolve для поиска всех решений уравнения на заданном интервале (или в области).

Ввод: uniroot.all() принимает 2 аргумента: функция f и интервал.

Как это работает: Ищет в интервале все возможные корни f .

Вывод: uniroot.all() возвращает вектор всех корней f за интервал.

Вот несколько примеров:

1. Найдите решение простой функции: \(|x| + 4 = 0\)

Сначала мы вводим функцию в R:

 библиотека (rootSolve)
# написание функции
f1 = функция (х) {
  абс (х) - 4
} 

Далее мы наносим функцию на график, чтобы попытаться визуально определить, сколько у нее решений (т. е. где и сколько раз она пересекает линию y = 0). Это поможет нам определить интервал (область), в котором мы будем искать решение.

 # попробуем построить функцию
# в диапазоне [-50, 50]
х = -50:50
график (х, f1 (х), тип = 'л')
# добавляем горизонтальную линию на y = 0
abline(h = 0, col = 'синий') 

Вывод:

Итак, мы видим, что функция пересекает синюю линию в 2 точках и что область значений [-50, 50] покрывает все решения функции f.

Далее мы будем использовать uniroot.all(), чтобы найти все решения f свыше [-50, 50]

 roots = uniroot.all(f1, c(-50, 50))
# print(roots) outputs: -4 4
# построение графика корней f1
точки (x = корни, y = rep (0, длина (корни)), col = "красный", pch = 16, cex = 1,5) 

Вывод:

2.

Найдите решение более сложной функции: \(\frac{\sqrt{x}}{(x + 2)} – \frac{1}{4} = 0\)
 library(rootSolve)
# написание функции
f2 = функция (х) {
  кврт(х) / (х + 2) - 1/4
} 

Далее мы построим график функции на интервале [0, 100] (поскольку он содержит \(\sqrt{x}\, нет смысла пробовать отрицательные значения).

 # попробуем построить функцию
# в диапазоне [0, 100]
х = 0:100
график (х, f2 (х), тип = 'л')
# добавляем горизонтальную линию на y = 0
abline(h = 0, col = 'синий') 

Вывод:

Мы видим, что функция f имеет 2 решения в области [0,100].

Давайте точно найдем, что это такое:

 uniroot. all(f2, c(0, 100))
# выходы: 0,3431545 11,6568502
# построим решения
points(x = корни, y = rep(0, length(root)), col = "red", pch = 16, cex = 1.5) 

Вывод:

3. Найдите решение функции: \ (\frac{1}{x} = 0\)

Этот пример показывает, что uniroot.all() имеет некоторые недостатки. Иногда он не может найти все корни за указанный интервал, а иногда даже выдает неверный ответ.

 библиотека (rootSolve)
# написание функции
f3 = функция (х) {
  1/х
} 

Построение графика функции в области значений [-50, 50].

 х = -50:50
график (х, f3 (х), тип = 'л')
abline(h = 0, col = 'blue') 

Вывод:

Мы видим, что \(\frac{1}{x} = 0\) не имеет решений.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *