Тема 4. “Факториалы ”
Тема не так уж часто встречающаяся в ЕГЭ, но тоже заслуживает рассмотрения.
Необходимая теория.
Факториал числа n — произведение всех натуральных чисел до n включительно:
.
По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.
Примеры.
№1
Найдите все тройки натуральных чисел и , удовлетворяющие уравнению
Решение: Очевидно, что и
Предположим, что
Разделим все на
Отсюда очевидно, что , то же самое справедливо для .
Далее перебором получаем все возможные результаты.
Ответ:
№2
Найдите все натуральные значения , для которых выполняется равенство
Решение: Представим уравнение в виде
Разделим обе части на и получим
Понятно, что очень мало. Переберем значения начиная с .
Отсюда видно, что верное решение только
при
.
Ответ:
Номера для самостоятельного решения.
№1
Решите в натуральных числах уравнение
№2
Уравнение решите в целых числах
№3
Найти наибольшее натуральное число , для которого число делится на =1,2,…,
Ответы и решения.
№1
Ответ:
№2
Ответ:
№3
Указание: Рассмотреть случаи при и при
Ответ: 46
Тема 5. “Прогрессии ”
Тоже небольшая и редкая тема, но нужно уметь ее решать.
Необходимая теория.
Арифметическая прогрессия — числовая последовательность вида
,
то есть последовательность чисел (членов прогрессии), каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа d (шага или разности прогрессии):
Любой член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:
Шаг прогрессии может быть вычислен по формуле: , если
Если шаг d > 0, прогрессия является
возрастающей; если d < 0, — убывающей.
Сумма n последовательных членов арифметической прогрессии начиная с члена k:
Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии:
Геометрическая прогрессия — последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (знаменатель прогрессии), где :
Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:
Если b1 > 0 и q > 1, прогрессия является возрастающей последовательностью, если 0 < q < 1, — убывающей последовательностью, а при q < 0 — знакопеременной
Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству: то есть каждый член равен среднему геометрическому его соседей.
Сумма n первых членов геометрической прогрессии:
Примеры.
№1
В арифметической прогрессии четвертый
член равен 1.
При каком значение произведение второго и седьмого члена
будет наибольшим?
Решение:
Посчитаем производную и найдем максимум
Ответ:
№2
Могут ли числа 2,3 и 17 быть членами (не обязательно последовательными) одной геометрической прогрессии?
Решение: Все 3 числа простые, следовательно, такой геометрической прогрессии не существует.
Ответ: нет
python 3.x — Вопрос по алгоритму вычисления кратного факториала
Вопрос задан
Изменён 4 года 1 месяц назад
Просмотрен 931 раз
С задачей возникли трудности. Не понимаю, как выглядит ход решения, нужны идеи куда копать. Как вычислять факториал- знаю.
Уверен, то кратный вычисляется похожим образом, но в чем различия? Буду признателен, если сможете объяснить на пальцах как найти кратный факториал, я тут начал решать, но запутался.
тут вики
def Kfactorial(n, k = 1):
if n in [0,1]:
return 1
res = 1
for i in range(1, n+1, k):
res *= i
return res
n = 8
#k = 3
Kfactorial(n, k)
- python-3.x
- алгоритм
3
Прямой ход
def KfacF(n, k = 1):
res = 1
r = n%k if n%k > 0 else k
while r <= n:
res *= r
r += k
return res
Обратный ход короче:
def Kfac(n, k = 1):
res = 1
while n > 0:
res *= n
n -= k
return res
Рекурсивный метод ещё короче:
def KfacR(n, k = 1):
if n < 2:
return 1
return n * KfacR(n-k, k)
Или однострочно, как @mkkik предложил в комментариях:
return 1 if n < 2 else n * KfacR(n - k, k)
print(Kfac(8,3)) >>> 80 = 8 * 5 * 2 print(Kfac(6,3)) >>> 18 = 6 * 3
3
Исключительно для теоретического интереса (не для применения в рабочем коде) можно упомянуть возможность использования в python функций высшего порядка, в том числе анонимных.
Задача вычисления факториала рекурсивным методом может быть решена с помощью Y-комбинатора (материалы: Рекурсия с помощью Y–комбинатора (python), Что такое Y-комбинатор).
В коде ниже вызов комбинатора намеренно выполняется внутри print, чтобы показать возможность не прибегать к созданию имен функций.
print(
# тело комбинатора
(
lambda n, k: (lambda f, *args: f(f, *args))
(lambda f, n, k: 1 if n < 2 else n * f(f, n - k, k), n, k)
)
# аргументы, передаваемые в комбинатор
(5, 2)
) # -> 15
1
Зарегистрируйтесь или войдите
Регистрация через Google
Регистрация через Facebook
Регистрация через почту
Отправить без регистрации
Почта
Необходима, но никому не показывается
Отправить без регистрации
Почта
Необходима, но никому не показывается
Нажимая на кнопку «Отправить ответ», вы соглашаетесь с нашими пользовательским соглашением, политикой конфиденциальности и политикой о куки
Факторные вопросы с решениями
| Определение факториала Пусть n — целое положительное число. n факториал , записано n! , определяется Частный случай, когда n = 0, 0 факториал определяется как: 0! = 1 Вопрос 1 Оцените следующие выражения:
а) Оценить (10!/5!)/10 б) Упростить (n + 1)! / п! Ответы на приведенные выше упражнения а) (10! / 5!) / 10 = 3024 б) (п + 1)! / п! = п + 1 Еще Справочники и ссылки элементарная статистика и вероятности.  Калькулятор факториала для вычисления факториала положительного целого числа. Домашняя страница |
.. п (п + 1) (п + 2) ] / [ 1 2 … п ] Факториальная запись и формула — ChiliMath
ПоискКогда я впервые столкнулся с задачей по алгебре с восклицательным знаком « ! », я подумал, что это вопрос с подвохом. Я не знал, как с этим справиться, потому что понятия не имел, что это значит. Как вы знаете, символы в математике — это все. Ключ в том, чтобы признать, что каждый математический символ имеет подразумеваемое значение. В большинстве случаев он предлагает какую-то операцию, которая говорит нам, что делать с числом. Лучший способ понять, как это работает, — посмотреть на конкретный пример.
Предположим, вас попросили оценить 5! который читается как « пять факториалов ».
Вы можете подойти к этому двумя способами.
Два способа вычисления факториала числа
- Обратный отсчет:
Начните с числа 5, затем считайте в обратном порядке, пока не достигнете 1.
Затем умножьте эти числа, чтобы получить ответ.
- Считаем:
Или вы можете сделать это наоборот. Начните со счета от 1, пока не достигнете целевого числа, которое в данном случае равно 5. Умножьте эти множители, чтобы получить ответ.
Итак, вот общая формула факториала, которую, я думаю, вам нужно запомнить. Неважно, какой из них вы используете для решения проблемы, ответ будет один и тот же. Тем не менее, первый способ является «предпочтительным», поэтому спросите своего учителя, если вы не уверены.
Два способа разложения факториала переменной n Записывается как n!
Прежде чем мы перейдем к некоторым рабочим примерам, запомните специальное правило: « нулевой факториал равен единице ».
См. наш отдельный урок, который показывает, что Zero Factorial равен единице.
Примеры вычислений факториалов, включающих целые числа
Пример 1: Вычисление выражения факториала 6! .
Если вы решите использовать убывающий формат целых чисел, сосчитайте от шести до одного, а затем получите их произведение. Вот и все.
Это считается «полным расширением» 6! потому что мы перечисляем все его множители, то есть начиная с заданного числа 6 и уменьшая на 1 в каждой последовательности, пока не достигнем числа 1.
Пример 2: Вычислите выражение факториала 7! .
Следующий пример предназначен для демонстрации того, что вы можете легко решить факториальную задачу, используя значение из предыдущего вычисления. Вам не нужно всегда выписывать все факторы, потому что это может стать утомительным и ненужным в кратчайшие сроки.
Чтобы найти 7!, я буду расширять выражение, пока не увижу шесть факториалов, 6! , потому что мы уже знаем его значение, равное 6! = 720,
Так как мы не перечисляем все делители числа 7! , мы можем считать это «частичным расширением».
Некоторые калькуляторы, такие как TI-84, могут быстро вычислять факториал любого числа.