§ Как решать уравнения с пропорцией
Решение линейных уравнений Как решать уравнения с пропорцией Как решать уравнения с неизвестным в дроби
Некоторые линейные уравнения имеют вид, который сильно напоминает обыкновенную пропорцию. Например, рассмотрим такое уравнение.
Для решения уравнения с пропорцией используют правило пропорции или, как его называют по-другому, правило креста.
Подробно понятие пропорции мы рассматривали в уроке «Пропорции». В этом уроке мы вспомним только основные моменты необходимые для решения уравнений с пропорцией.
Запомните!
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.
По-другому сформулировать правило выше можно так: если нарисовать крест поверх пропорции, то произведения членов пропорции, которые лежат на концах креста, равны .
Вернемся к нашему уравнению. Решим его, использую правило пропорции.
Нарисуем поверх пропорции крест.
Теперь по правилу пропорции (правило креста) запишем пропорцию в виде равенства произведений крайних и средних членов пропорции.
Вспомним правило деления и решим уравнение до конца. В ответе не забудем выделить целую часть у дроби.
Рассмотрим другой пример уравнения с пропорцией.
Такое уравнение также решается с помощью правила пропорции.
Важно!
Если в члене пропорции присутствуют знаки «+» или «−», обязательно заключайте этот член пропорции в скобки перед использованием правила пропорции.
Если вы не заключите в скобки такой член пропорции, то с большей вероятностью сделаете ошибку, когда будете использовать правило пропорции.
После заключения в скобки члена пропорции «(2 − x)» используем правило пропорции для дальнейшего решения.
Теперь раскроем скобки с помощью правила раскрытия скобок.
Из урока «Решение линейных уравнений» используем
правило переноса и
правило деления для уравнений.
Не забудем при делении на отрицательное число, использовать правило знаков.
Иногда уравнения с пропорцией могут быть представлены следующим образом:
Чтобы было проще использовать правило пропорции (правило креста) нужно записать исходное уравнение, в общем для пропорции виде.
Для этого нужно вспомнить, что знак деления «:» можно заменить на дробную черту.
Другие примеры решения уравнений с пропорцией
- =
18 · x = 6 · 3x
18x = 18x
18x − 18x = 0
0 = 0
Ответ: x — любое число - =
0,21 6,8 3x · 6,8 = 0,21 · 1,7
20,4 x=
·20
x =21 · 17 100 · 10
=204 · x 10 21 · 17 100 · 10 204x · 1000 = 21 · 17 · 10 |:(204 · 1000)
x =
21 · 17 · 10 204 · 1000 x =
21 · 17 204 · 100 x =
7 · 17 68 · 100 x =
119 : 17 6800 : 17 x =
Ответ: x =
Решение линейных уравнений Как решать уравнения с пропорцией Как решать уравнения с неизвестным в дроби
Задачи и задания на пропорции: примеры и решение
- Решение заданий на пропорции
- Задачи на пропорции с решением
Решение заданий на пропорции
Если один из членов пропорции неизвестен и надо его найти, то говорят, что надо решить пропорцию.
Решение пропорций всегда выполняется с помощью свойства пропорции.
Задание 1. Найдите неизвестный член пропорции:
| a) | x | = | 3 | ; б) | 1 | = | 5 | . |
| 2 | 1 | 3 | x |
Решение: Так как неизвестны крайние члены пропорции, то для их нахождения надо умножить средние члены и разделить полученный результат на известный крайний член:
| a) x = | 2 · 3 | , x = 6. |
| 1 |
| б) x = | 3 · 5 | , x = 15. |
| 1 |
Ответ: а) x = 6, б) x = 15.
Задание 2. Решите пропорции:
| a) | 30 | = | 5 | ; б) | 7 | = | x | . |
| x | 8 | 5 | 10 |
Решение: Так как неизвестны средние члены пропорции, то для их нахождения надо умножить крайние члены и разделить полученный результат на известный средний член:
| a) x = | 30 · 8 | , x = 48. |
| 5 |
| б) x = | 7 · 10 | , x = 14. |
| 5 |
Ответ: а) x = 48, б) x = 14.
Задание 3.
Известно, что 21x = 14y. Найдите отношение x к y.Решение: Сначала сократим обе части равенства на общий множитель 7:
| 21x | = | 14y | , |
| 7 | 7 |
получим:
3x = 2y.
Теперь разделим обе части на 3y, чтобы в левой части у x убрать множитель 3, а в правой части избавиться от y:
| 3x | = | 2y | . |
| 3y | 3y |
После сокращения отношений у нас остаётся:
| x | = | 2 | . |
| 3 |
Ответ: 2 к 3.
Задачи на пропорции с решением
Задача 1. Из 300 читателей библиотеки 108 человек — студенты. Какой процент всех читателей составляют студенты?
Решение: Примем всех читателей библиотеки за 100% и запишем условие задачи кратко:
300 — 100%
108 — ?%
Составим пропорцию:
| 300 | = | 100 | . |
| 108 | x |
Найдём x:
| x = | 108 · 100 | = 36. |
| 300 |
Ответ: 36% всех читателей составляют студенты.
Задача 2. При варке варенья используют ягоды и сахар в отношении 5:2. Сколько надо ягод, если взяли 450 грамм сахара?
Решение: Составим пропорцию:
| 5 | = | x | . |
| 2 | 450 |
Найдём x:
| x = | 5 · 450 | = 1125. |
| 2 |
Ответ: На 450 гр сахара надо взять 1125 гр ягод.
Математика 6 класс | Понимание и представление пропорций
Fishtank Plus для математики
Разблокируйте функции, чтобы оптимизировать время подготовки, планировать увлекательные уроки и следить за успеваемостью учащихся.
Узнать больше
Оценка
Следующие оценки сопровождают Раздел 1.
Предварительная часть
Предложите учащимся выполнить Предварительную оценку и Предварительную самооценку учащихся перед началом модуля. Используйте Руководство по анализу предварительной оценки, чтобы определить пробелы в фундаментальном понимании и наметить план ускорения обучения на протяжении всего модуля.
Промежуточный этап
Предложите учащимся пройти промежуточный этап оценки.
Post-Unit
Используйте приведенные ниже ресурсы для оценки усвоения учащимися содержания модуля и плана действий для будущих модулей.
Постмодальная оценка
Ключ к ответам после модульной оценки
Руководство по анализу послемодульной оценки
92F25A3F-8529-4314-9899-6EE68694E3D0Последипломная самооценка студентов
Расширенный пакет оценивания
Используйте данные учащихся для управления планированием с помощью расширенного набора модульных оценок, помогающих оценить уровень владения учащимися базовыми навыками и понятиями, а также их прогресс в изучении содержания модуля.
Скачать образец
Подготовка блока
Интеллектуальная подготовка
Предложения по подготовке к обучению данного модуля
A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950Запуск модуля
Подготовьтесь к преподаванию этого модуля, погрузившись в стандарты, большие идеи и связи с предыдущим и будущим содержанием. Запуск модулей включает в себя серию коротких видеороликов, целевую литературу и возможности для планирования действий.
Повышение до Plus
Интернализация стандартов с помощью послемодульной оценки
- Пройдите итоговую оценку. Аннотировать для:
- Стандарты, которым соответствует каждый вопрос
- Стратегии и представления, используемые на ежедневных уроках
- Связь с основными понятиями модуля
- Уроки, на которые Оценка указывает
Интернализация траектории отряда
- Прочитайте и аннотируйте сводку отряда.
- Обратите внимание на продвижение понятий по блоку, используя карту урока.
- Выполнить все целевые задачи. Аннотируйте целевые задачи для:
- Основные понятия
- Связь с вопросами послемодульной оценки
- Определите ключевые возможности для вовлечения учащихся в академический дискурс. Прочтите наш Инструмент для учителя на Академический дискурс и ссылайтесь на него на протяжении всего модуля.
Интеллектуальная подготовка для конкретного модуля
- Прогресс для общепринятых базовых государственных стандартов по математике 6–7, соотношениям и пропорциональным отношениям полезно прочитать перед модулем. В
- UnboundEd также есть отличное руководство по соотношениям для 6-го класса: Соотношения: Unbound, A Guide to Grade 6 Mathematics Standards.
- Прочтите следующую таблицу, в которой указаны модели, используемые во всем устройстве.
| Модель | Пример | ||||||||||
| Отдельный чертеж | Соотношение чайных ложек корицы и чашек изюма составляет 4:8. | ||||||||||
| Двойная числовая строка | На каждые 2 стакана молока приходится 3 стакана муки. | ||||||||||
| Таблица соотношений | Черепаха проходит 3 фута каждые 9секунды.
| ||||||||||
| Диаграмма ленты | Соотношение девочек и мальчиков в 6 классе составляет 4 к 5. |
Основные понятия
Основные математические концепции, которые учащиеся поймут в этом модуле
A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950- Отношение — это набор чисел, который связывает две или более величин. Порядок значений в отношении напрямую связан с порядком описываемых величин.
- Эквивалентные соотношения полезны для более глубокого понимания ситуации или сравнения нескольких ситуаций. Два отношения эквивалентны, если существует ненулевое число, которое можно умножить на обе величины в одном отношении, чтобы получить соответствующие величины во втором отношении.
- Задачи на отношения могут быть представлены и решены с использованием различных стратегий, инструментов и представлений, включая дискретную диаграмму, двойную числовую прямую, таблицу отношений и ленточные диаграммы. Каждый инструмент имеет свои преимущества и недостатки и может быть выбран стратегически.
Два отношения эквивалентны, если существует ненулевое число, которое можно умножить на обе величины в одном отношении, чтобы получить соответствующие величины во втором отношении.Запас слов
Термины и обозначения, которые учащиеся изучают или используют на уроке
A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950двойная числовая строка
эквивалентное отношение
мультипликативное отношение
отношение части к части
отношение части к целому
отношение
таблица соотношений
ленточная диаграмма
Чтобы увидеть весь словарный запас для Раздела 1, просмотрите наш глоссарий лексики для 6-го класса.
Материалы
Материалы, изображения и инструменты, которые потребуются преподавателям и учащимся для этого занятия
A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950- Калькуляторы (по 1 на учащегося) — на этом уроке используются вычисления с десятичными дробями. Учащиеся работали с десятичными дробями в 5-м классе, однако, чтобы сохранить акцент на рассуждениях об отношениях, рекомендуется дать учащимся калькуляторы для поддержки их вычислений на протяжении всего урока (МН.5).
- Раздаточный материал с фигурами пропорций (1 на учащегося)
Чтобы ознакомиться со всеми материалами, необходимыми для этого курса, ознакомьтесь с нашим Обзором материалов курса для 6-го класса.
Карта урока
Тема A: Понимание и описание соотношений
Определите соотношение и используйте язык отношений для описания связей между двумя или более величинами.
6.РП.А.1
Представление соотношений с помощью дискретных рисунков.
Поймите, что порядок чисел в отношении имеет значение.
6.РП.А.1
Тема B: Эквивалентные соотношения
Определите и найдите эквивалентные соотношения.
6.РП.А.1
Вычислите эквивалентные отношения и определите, эквивалентны ли два отношения.
6.РП.А.1
Представляйте коэффициенты с помощью двойных числовых линий и определяйте эквивалентные коэффициенты.
6.РП.А.3
Решайте задачи на соотношение, используя стратегии, включающие ряды с двойными числами.
6.РП.А.3
Найдите эквивалентные отношения, используя отношения с единицей измерения «на 1».
6.РП.А.3 6.РП.А.3.Б
Сравните ситуации, используя эквивалентные соотношения и ряды с двойными числами.
6.РП.А.3
Используйте рассуждения о пропорциях, чтобы решить задачу из трех действий.
6.РП.А.3
Тема C: Представление соотношений в таблицах
Представление соотношений в таблицах.
6.
РП.А.3
6.РП.А.3.А
Понимать структуру таблиц эквивалентных соотношений. Решите задачи на пропорции с помощью таблиц.
6.РП.А.3 6.РП.А.3.А
Решите задачи на соотношение с помощью таблиц, в том числе с общими суммами.
6.РП.А.3 6.РП.А.3.А
Сравните коэффициенты с помощью таблиц.
6.РП.А.3.А
Решите проблемы с пропорциями, используя разные стратегии.
6.РП.А.1 6.РП.А.3 6.РП.А.3.А
Тема D: Решение задач на соотношение частей и частей
Решите проблемы соотношения деталей с помощью ленточных диаграмм.
6.РП.А.1 6.РП.А.3
Решайте задачи на отношение части к целому с помощью ленточных диаграмм.
6.РП.А.1 6.РП.А.3
Решайте более сложные задачи на соотношение с помощью ленточных диаграмм.
6.РП.А.3
Решайте задачи на отношения, используя различные стратегии, включая рассуждения о диаграммах, линиях с двойными числами, таблицах и ленточных диаграммах.
Кратко опишите стратегии решения задач на отношения.
6.РП.А.3
Общие базовые стандарты
Ключ
Основной кластер
Вспомогательный кластер
Дополнительный кластер
Основные стандарты
Стандарты содержания, рассматриваемые в этом модуле
A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950Соотношения и пропорциональные отношения
6.РП.А.1 — Понимать концепцию отношения и использовать язык отношений для описания соотношения между двумя величинами. Например, «Соотношение крыльев и клювов в скворечнике зоопарка было 2:1, потому что на каждые 2 крыла приходился 1 клюв». «На каждый голос, полученный кандидатом А, кандидат С получил почти три голоса».
6.РП.А.3 — Используйте рассуждения об отношении и скорости для решения реальных и математических задач, например, рассуждая о таблицах эквивалентных отношений, ленточных диаграммах, линейных диаграммах с двойным числом или уравнениях.
6.РП.А.3.А — Составьте таблицы эквивалентных соотношений, связывающих величины с целыми числами, найдите недостающие значения в таблицах и нанесите пары значений на координатную плоскость. Используйте таблицы для сравнения коэффициентов.
6.РП.А.3.Б — Решать проблемы с расценками за единицу, в том числе связанные с ценообразованием за единицу и постоянной скоростью. Например, если покосить 4 газона потребовалось 7 часов, то при такой скорости сколько газонов можно было покосить за 35 часов? С какой скоростью косили газоны?
Основополагающие стандарты
Стандарты, описанные в предыдущих модулях или классах, которые являются важной основой для текущего модуля
A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950Измерения и данные
4.МД.
А.1
А.1Числа и операции — дроби
5.NF.B.3
5.NF.B.5
5.НФ.Б.5.А
5.НФ.Б.5.Б
Операции и алгебраическое мышление
4.ОА.А.2
5.OA.B.3
Будущие стандарты
Стандарты будущих классов или разделов, которые связаны с содержанием данного раздела
A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950Выражения и уравнения
6.EE.C.9
Соотношения и отношения пропорциональности
6.РП.А.2
6.
РП.А.3.С6.РП.А.3.Д
7.РП.А.1
7.РП.А.2
7.РП.А.3
РП.А.3.ССтандарты математической практики
CCSS.MATH.PRACTICE.MP1 — Разбираться в проблемах и настойчиво решать их.
CCSS.MATH.PRACTICE.MP2 — Рассуждайте абстрактно и количественно.
CCSS.MATH.PRACTICE.MP3 — Придумывайте жизнеспособные аргументы и критикуйте рассуждения других.
CCSS.MATH.PRACTICE.MP4 — Модель с математикой.
CCSS.MATH.PRACTICE.MP5 — Стратегически используйте соответствующие инструменты.
CCSS.MATH.PRACTICE.MP6 — Следите за точностью.
CCSS.MATH.PRACTICE.MP7 — Ищите и используйте структуру.
CCSS.MATH.PRACTICE.MP8 — Ищите и выражайте закономерность в повторяющихся рассуждениях.
Единица измерения 2
Коэффициенты единиц и проценты
Как решить пропорцию
Сопутствующие ресурсы: Proportions Google Activity, Учебное пособие для печати, карточки Proportions Boom (цифровые карточки заданий) Что такое пропорция?Существует несколько различных способов определения пропорции. Один из способов описать пропорцию состоит в том, что это уравнение с двумя равными отношениями . Другими словами, пропорция — это когда у вас есть две дроби со знаком равенства посередине. В некоторых пропорциях просто две дроби установлены равными друг другу. Пропорции также могут иметь переменные в одной или обеих дробях. Этот урок покажет вам, как найти переменную в пропорции. Как решить пропорцию? Пропорцию можно решить несколькими способами. | Добро пожаловать на уроки математики Кейт! Учителя: обязательно ознакомьтесь с учебными пособиями и заданиями. |
Один из способов — умножить на . Есть свойство, которое вы можете использовать, называемое свойством экстремумов средних. Он говорит, что перекрестные произведения пропорции будут равны.
Почему это свойство называется средним пределом? Пропорция также может быть записана через двоеточие как a:b = c:d. Крайние значения — это термины, наиболее удаленные друг от друга снаружи: a и d. Средства — это термины внутри: b и c. Это свойство говорит, что произведение средних равно произведению крайних значений: ad = bc.
Если у вас есть переменная в вашей пропорции, вы можете перекрестно умножить и получить уравнение, которое намного проще решить.
Пример 1
Найдите x.
Эту пропорцию можно решить несколькими способами.
Чтобы решить ее перекрестным умножением, вы умножаете по диагонали и устанавливаете два перекрестных произведения равными друг другу. Перемножьте x и 3 вместе и установите его равным тому, что вы получите, когда вы умножите 2 и 9 вместе.
Пример 2Найдите х. Если промежуточные этапы не имели для вас смысла, вы можете проверить урок по решению уравнений с переменными с обеих сторон для освежения. Следующие два примера решить немного сложнее. Пример 3Найдите х. Пример 4Найдите х. |
