Как решать системы линейных уравнений: Решение систем линейных уравнений — как решать СЛАУ методами Гаусса, Крамера, подстановки и почленного сложения

Постройте график каждого уравнения (как описано ранее) на одном наборе осей. Точки пересечения графиков имеют координаты, удовлетворяющие системе уравнений.

Решение нелинейных систем уравнений с двумя переменными подстановкой

Используйте описанный ранее метод подстановки для решения систем линейных уравнений с двумя переменными.

Эти решения также представляют собой точки пересечения графиков уравнений.

тк | вернуться наверх | предыдущая страница | следующая страница

Объяснение урока: Решение систем линейных уравнений с пропуском переменной

В этом объяснителе мы научимся решать системы линейных уравнений с опусканием переменной.

Когда нас просят решить систему уравнений, это означает, что мы ищем набор значений переменных, которые удовлетворять каждому уравнению. Например, рассмотрим систему уравнений 𝑥+𝑦=1,𝑥−𝑦=3.

Мы хотим найти значение для 𝑥 и значение для 𝑦 так, чтобы оба уравнения были верны. Другими словами, мы ищем два значения, сумма которых равна 1, а разность равна 3. Мы могли бы сделать это путем проб и ошибок. ошибка; однако это не будет работать для более сложных систем.

Вместо этого мы будем использовать тот факт, что мы можем решить любое линейное уравнение с одной переменной. Это означает, что если мы можем найти линейную уравнение в любой переменной, мы можем решить для этого значения. Для этого заметим, что должны выполняться оба уравнения, поэтому обе части уравнения равны (для обоих уравнений). Это означает, что мы можем сложить уравнения вместе: 𝑥+𝑦=1+(𝑥−𝑦=3)2𝑥+0𝑦=4.

Складываем левые части обоих уравнений, чтобы получить 2𝑥, и складываем правые части обоих уравнения, чтобы получить 4. Следовательно, 2𝑥=4, которое мы можем решить, разделив на 2, что даст нам 𝑥=2.

Наконец, подставим 𝑥=2 в первое уравнение, чтобы получить 2+𝑦=1, и затем мы вычитаем 2 из обеих частей уравнения, чтобы получить 𝑦=−1.

Следовательно, 𝑥=2 и 𝑦=−1 является решением этой системы уравнений. Мы можем проверить что это решение правильное, подставив эти два значения обратно в систему уравнений, чтобы проверить, что каждое уравнение справедливо; хотя более эффективно подставлять только в уравнение, которое мы не использовали для нахождения значений. У нас есть 𝑥+𝑦=2+(-1)=1,𝑥-𝑦=2-(-1)=3.

Это согласуется с системой уравнений, значит, это подтверждает правильность решения.

Чтобы найти это решение, мы сложили уравнения вместе; однако это сработало только потому, что термины 𝑦 и −𝑦 сокращаются, оставляя нам линейное уравнение относительно 𝑥. Именно поэтому процесс называется пропуском , так как мы опускаем одну из переменных. Это не единственный способ опустить переменную из этих уравнений; мы также можем вычесть второе уравнение из первого, что даст нам 𝑥+𝑦=1−(𝑥−𝑦=3)0𝑥+2𝑦=−2.

Затем мы можем найти 𝑦, чтобы получить 𝑦=−1, а затем подставить 𝑦=−1 в первое уравнение, чтобы увидеть, что 𝑥+(−1)=1, поэтому 𝑥=2.

В обоих этих случаях мы смогли опустить переменную, используя тот факт, что величины коэффициентов одна из переменных в обоих уравнениях была равна. Другими словами, поскольку коэффициент при 𝑥 был равен 1 в обоих уравнениях мы могли бы опустить 𝑥, вычитая уравнения. Аналогично, поскольку коэффициенты 𝑦 были 1 и −1 в каждом уравнении, которые имеют одинаковую величину, но противоположный знак, мы могли бы добавить уравнения, чтобы опустить 𝑦.

Так будет не всегда, поэтому давайте посмотрим, как применить этот метод для решения следующей системы линейных уравнений. уравнения: 2𝑥+𝑦=1,𝑥−3𝑦=1.

Мы видим, что величины коэффициентов обоих неизвестных не равны, поэтому мы не можем просто сложить или вычесть уравнения, чтобы опустить переменную. Вместо этого нам нужно будет переписать одно из уравнений так, чтобы оно было верным. Мы будем умножьте второе уравнение на 2, чтобы получить 2𝑥−6𝑦=2. Теперь у нас есть следующая система линейных уравнения: 2𝑥+𝑦=1,2𝑥−6𝑦=2.

Мы можем вычесть второе уравнение из первого, чтобы опустить переменную 𝑥; это дает 2𝑥+𝑦=1−(2𝑥−6𝑦=2)7𝑦=−1.

Деление на 7 дает 𝑦=−17.

Мы можем подставить это значение в первое уравнение, чтобы увидеть, что 2𝑥−17=1.

Затем мы можем решить это уравнение для 𝑥, добавив 17 к обеим частям уравнение: 2𝑥=87.

Наконец, делим на 2, чтобы получить 𝑥=47.

Стоит отметить, что мы также могли бы умножить первое уравнение на 3, а затем сложить уравнения чтобы опустить переменную 𝑦.

Прежде чем мы перейдем к примерам, давайте рассмотрим еще один тип системы двух линейных уравнений. В этих системы, коэффициенты переменных не являются прямыми кратными друг другу, поэтому нам нужно было бы умножить оба уравнения, чтобы опустить переменную. Рассмотрим пример этого в следующей системе уравнений: 2𝑥+3𝑦=10,3𝑥−4𝑦=−2.

Заметим, что коэффициенты одной и той же переменной не являются прямыми кратными друг другу, поэтому вместо этого мы будем умножать первое уравнение на 3, а второе уравнение на 2, так что 𝑥-коэффициенты имеют одинаковую величину. Это дает 3×(2𝑥+3𝑦)=3×106𝑥+9𝑦=30,2×(3𝑥−4𝑦)=2×(−2)6𝑥−8𝑦=−4.

Итак, мы переписали систему как 6𝑥+9𝑦=30,6𝑥−8𝑦=−4.

Затем мы можем вычесть второе уравнение из первого, чтобы исключить 𝑥-переменную: 6𝑥+9𝑦=30−(6𝑥−8𝑦=−4)17𝑦=34.

Затем мы можем найти значение 𝑦, разделив его на 17, чтобы получить 𝑦=3417=2.

Наконец, подставим 𝑦=2 в первое уравнение, чтобы найти 𝑥: 2𝑥+3(2)=102𝑥=4𝑥=2.

Давайте теперь обобщим, как использовать метод пропусков для решения систем двух линейных уравнений.

Практическое руководство. Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными с помощью пропусков

Для решения системы двух линейных уравнений с использованием пропусков выполните следующие шаги:

1. Определите, содержит ли система пару коэффициентов любого неизвестного которые имеют одинаковую величину.
2. Если в системе нет пары коэффициентов одинаковой величины, умножить одно или оба уравнения на константа, чтобы пара коэффициентов имела одинаковую величину.
3. Если в системе есть пара коэффициентов с одинаковой величиной, вычтите уравнения, если коэффициенты одинаковы, и сложите уравнения, если коэффициенты имеют разные знаки, чтобы опустить переменную.
4. Решите полученное линейное уравнение, чтобы найти одно из неизвестных.
5. Подставьте это значение обратно в одно из исходных уравнений, чтобы найти другое неизвестное.

Давайте теперь рассмотрим несколько примеров того, как применять метод пропусков для решения систем уравнений.

Пример 1. Решение одновременных линейных уравнений с 𝑦-коэффициентами, имеющими одинаковую величину, но противоположные знаки

Используя пропуск, решить одновременные уравнения 3𝑥+2𝑦=14,6𝑥−2𝑦=22.

Ответ

Чтобы решить одновременные уравнения с пропуском, мы хотим сложить или вычесть несколько уравнений, которые нужно пропустить. Переменная. В этом случае мы видим, что мы можем добавить 𝑦-члены в каждое уравнение, чтобы опустить переменную 𝑦, поэтому мы складываем уравнения вместе: 3𝑥+2𝑦=14+6𝑥−2𝑦=229𝑥=36.

Затем мы можем разделить полученное уравнение на 9, чтобы найти 𝑥. Мы получаем 𝑥=369=4.

Теперь подставим 𝑥=4 в исходное уравнение, чтобы найти значение 𝑦 получить 3(4)+2𝑦=1412+2𝑦=14.

Затем мы вычитаем 12 из обеих частей уравнения, чтобы найти, что 2𝑦=2.

Наконец, мы делим на 2, чтобы увидеть, что 𝑦=1.

Следовательно, решение системы уравнений 𝑥=4, 𝑦=1.

Пример 2. Решение одновременных уравнений путем пропуска

Использование метода пропусков для решения одновременных уравнений 3𝑎+2𝑏=14,4𝑎+2𝑏=16.

Ответ

Чтобы решить одновременные уравнения с использованием пропусков, мы хотим добавить или вычесть несколько уравнений, которые нужно пропустить Переменная. В этом случае мы видим, что разность 𝑏-членов в каждом уравнении равна 0. Следовательно, мы можем вычесть два уравнения, чтобы опустить 𝑏-переменную, что дает 3𝑎+2𝑏=14−(4𝑎+2𝑏=16)−𝑎=−2.

Затем мы можем умножить полученное уравнение на −1, чтобы найти 𝑎, и мы получим 𝑎=2.

Теперь подставим 𝑎=2 в исходное уравнение, чтобы найти значение 𝑏. Мы получаем 3𝑎+2𝑏=146+2𝑏=14.

Затем мы вычитаем 6 из обеих частей уравнения, чтобы найти, что 2𝑏=8.

Наконец, мы делим на 2, чтобы увидеть, что 𝑏=4.

Этого достаточно, чтобы ответить на наш вопрос; однако мы также можем проверить наш ответ, подставив эти значения обратно в систему уравнений, чтобы убедиться, что оба уравнения выполняются.

Подстановка 𝑎=2 и 𝑏=4 в левую часть первого уравнения дает 3(2)+2(4)=6+8=14, что равно правой части первого уравнения.

Подстановка 𝑎=2 и 𝑏=4 в левую часть второго уравнения дает 4(2)+2(4)=8+8=16, что равно правой части второго уравнения. Поскольку оба уравнения верны, это подтверждает, что наше решение правильное.

Следовательно, решение уравнений равно 𝑎=2, 𝑏=4.

В нашем следующем примере нам нужно будет умножить одно из уравнений на константу, чтобы опустить переменную.

Пример 3. Решение одновременных уравнений с пропуском, где одно из уравнений необходимо умножить

С пропуском, решить одновременные уравнения 5𝑥+4𝑦=27,3𝑥+12𝑦=45.

Ответ

Чтобы опустить одну из переменных в этом уравнении, нам нужны величины коэффициентов одной переменной быть равными в обоих уравнениях. Мы можем сделать это, заметив, что 3×4𝑦=12𝑦, поэтому мы можем умножить первое уравнение до 3, чтобы опустить переменную 𝑦. Это дает 3×(5𝑥+4𝑦)=3×2715𝑥+12𝑦=81.

Итак, одновременные уравнения теперь 15𝑥+12𝑦=81,3𝑥+12𝑦=45.

Затем мы можем вычесть одно уравнение из другого, чтобы опустить 𝑦: 15𝑥+12𝑦=81−(3𝑥+12𝑦=45)12𝑥=36.

Затем делим на 12, чтобы найти 𝑥, и видим, что 𝑥=3.

Теперь подставим 𝑥=3 в первое уравнение и решим, чтобы найти 𝑦 получить 5(3)+4𝑦=2715+4𝑦=27.

Затем мы вычитаем 15 из обеих частей уравнения, чтобы получить 4𝑦=12.

Наконец, мы делим обе части уравнения на 4, что дает нам 𝑦=3.

Следовательно, решение уравнений равно 𝑥=3, 𝑦=3.

В нашем следующем примере, чтобы исключить переменную из одновременных уравнений, нам нужно будет умножить оба уравнения на константу.

Пример 4. Решение одновременных уравнений с использованием пропусков, где оба уравнения необходимо умножить

Используя пропуск, решить одновременные уравнения 4𝑥+6𝑦=40,3𝑥+7𝑦=40.

Ответ

Чтобы опустить одну из переменных в этом уравнении, нам нужны величины коэффициентов одной переменной, чтобы равны в обоих уравнениях. Мы не можем сделать это, умножая одно уравнение на константу, так как коэффициенты одной и той же переменной не являются целыми кратными друг другу.

Вместо этого мы умножим оба уравнения так, чтобы 𝑥-коэффициенты были равны. Мы будем умножать первое уравнение до 3 и второе уравнение до 4. Это дает нам 12𝑥+18𝑦=120,12𝑥+28𝑦=160.

Теперь мы можем вычесть одно уравнение из другого, чтобы исключить переменную 𝑥; это дает 12𝑥+18𝑦=120−(12𝑥+28𝑦=160)−10𝑦=−40.

Теперь мы разделим полученное уравнение на −10, чтобы найти 𝑦. Мы получаем 𝑦=−40−10=4.

Затем мы можем подставить 𝑦=4 в первое уравнение, чтобы построить линейное уравнение для 𝑥 получить 4𝑥+6(4)=404𝑥+24=40.

Вычитаем 24 с обеих сторон, получаем 4𝑥=16.

Наконец, мы разделим обе части уравнения на 4, чтобы получить 𝑥=4.

Этого достаточно, чтобы ответить на наш вопрос; однако мы также можем проверить наш ответ, подставив эти значения обратно в систему уравнений, чтобы проверить, что оба уравнения удовлетворяются.

Подстановка 𝑥=4 и 𝑦=4 в левую часть первого уравнения дает 4(4)+6(4)=16+24=40, что равно правой части первого уравнения.

Подстановка 𝑥=4 и 𝑦=4 в левую часть второго уравнения дает 3(4)+7(4)=12+28=40, что равно правой части второго уравнения. Поскольку оба уравнения верны, это подтверждает, что наше решение правильное.

Следовательно, решение уравнений равно 𝑥=4, 𝑦=4.

В нашем последнем примере мы применим метод пропусков для решения геометрической задачи, включающей систему линейных уравнения.

Пример 5. Решение системы линейных уравнений для нахождения неизвестных длин сторон в треугольнике с использованием периметра 124 см. Найдите длины 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 дающие ответы с точностью до сантиметра.

Ответ

Сначала вспомним, что периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон. Поскольку 𝐴𝐵𝐶 является треугольника, его периметр равен сумме длин трех его сторон. Нам говорят, что периметр этого треугольника равен 124 см, значит у нас 𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐴𝐶=124.

Нам также говорят, что 𝐵𝐶=55. Подставляя это в уравнение для периметра, получаем 𝐴𝐵+55+𝐴𝐶=124.

Мы можем вычесть 55 с обеих сторон, чтобы получить 𝐴𝐵+𝐴𝐶=69.

Нам также дано, что 𝐴𝐶−𝐴𝐵=13.

Таким образом, мы имеем два уравнения с двумя неизвестными; мы можем попытаться решить это, опустив одно из неизвестных. К переупорядочивая второе уравнение, мы имеем следующую пару одновременных уравнений: 𝐴𝐵+𝐴𝐶=69,−𝐴𝐵+𝐴𝐶=13.

Обратите внимание, что при добавлении уравнений 𝐴𝐵 будет исключено из уравнения, поэтому мы складываем уравнения вместе получить 𝐴𝐵+𝐴𝐶=69+−𝐴𝐵+𝐴𝐶=132𝐴𝐶=82.

Теперь разделим полученное уравнение на 2, чтобы получить 𝐴𝐶=41.см

Подстановка 𝐴𝐶=41 в уравнение 𝐴𝐵+𝐴𝐶=69 дает 𝐴𝐵+41=69.

Мы вычитаем 41 из обеих частей уравнения, чтобы найти 𝐴𝐵=28.cm

Следовательно, если 𝐴𝐵𝐶 — треугольник, где 𝐵𝐶=55см, 𝐴𝐶−𝐴𝐵=13см, а периметр равен 124 см, тогда 𝐴𝐶=41см и 𝐴𝐵=28см.

Прежде чем мы закончим объяснение, стоит отметить, что не всегда возможно решить системы двух линейные уравнения с пропуском. Например, представьте, что нам говорят, что сумма двух чисел равна трем и что сумма двух чисел равна двум. Конечно, мы знаем, что это невозможно, но мы все же можем построить систему уравнений представляет каждую сумму. Мы получаем 𝑥+𝑦=3,𝑥+𝑦=2.

Если бы мы попытались решить эту систему путем исключения, мы бы вычли уравнения, чтобы получить 𝑥+𝑦=3−(𝑥+𝑦=2)0=1.

Мы знаем, что ноль не равен единице; на самом деле, мы также можем сказать, что никакие значения 𝑥 и 𝑦 сделает ноль равным единице. Другими словами, нет значений 𝑥 и 𝑦, которые удовлетворяют этому уравнению.

Также стоит отметить, что решений может быть бесконечное множество. Например, рассмотрим следующую систему: 2𝑥+2𝑦=2,𝑥+𝑦=1.

Мы можем попытаться решить эту проблему, используя опущение; умножаем второе уравнение на 2, чтобы получить 2𝑥+2𝑦=2.

Это то же самое, что и первое уравнение, поэтому, когда мы опускаем переменную, мы получаем 2𝑥+2𝑦=2−(2𝑥+2𝑦=2)0=0.

Затем заметим, что ноль всегда равен нулю при любых значениях 𝑥 и 𝑦. Следовательно, любое значение 𝑥 даст соответствующее значение 𝑦, которое решает уравнение; там бесконечное множество решений системы. Мы не будем вдаваться в подробности этих случаев, поскольку они находятся за пределами области действия объяснителя, но важно отметить, что такие случаи существуют.

Давайте закончим повторением некоторых важных моментов этого объяснения.

Ключевые моменты

• Шаги для решения системы двух линейных уравнений с использованием пропусков следующие:
  1. Определите, содержит ли система пару коэффициентов любого неизвестного, которые имеют одинаковую величину.
  2. Если в системе нет пары коэффициентов одинаковой величины, умножить одно или оба уравнения на константа, чтобы пара коэффициентов имела одинаковую величину.

     No related posts.