Как решать квадратные уравнения через дискриминант
Умение решать квадратные уравнения, очень важный пункт в изучении математики. В решении многих задач алгебры, геометрии, а также физики, химии и других предметов, присутствует часть, где необходимо найти корни квадратного уравнения. Если вы готовитесь к экзаменам ОГЭ или ЕГЭ или другим каким-либо аттестациям по математике, то вам нужно обязательно изучить эту тему подробнее, потому что даже знание основных формул, не дает полного понимания этой темы. Прочитав статью полностью, вы разберетесь во всех нюансах решения полных и неполных квадратных уравнений.
Итак, как же решать квадратные уравнения?
В этой статье мы рассмотрим:
- что такое квадратное уравнение;
- основные формулы нахождения корней квадратного уравнения;
- как определить количество решений квадратного уравнения;
- как можно графически решить квадратное уравнение;
- что значит неполное квадратное уравнение и способы их решения;
- какое квадратное уравнение называется приведенным, теорема Виета;
- использование квадратных уравнений в решении текстовых задач.
Содержание
- 1 Что такое квадратное уравнение
- 2 Основные формулы нахождения корней квадратного уравнения
- 3 Как определить количество решений квадратного уравнения
- 4 Как можно графически решить квадратное уравнение
- 5 Что значит неполное квадратное уравнение и способы их решения
- 6 Какое квадратное уравнение называется приведенным, теорема Виета
- 7 Использование квадратных уравнений в решении текстовых задач
Уравнение вида
называется квадратным уравнением, где — некоторые числа, причем . Как квадратное уравнение отличить от кубического или линейного? Ответ прост: наивысшая степень переменной — 2 (вторая).
Давайте чуть подробнее остановимся на коэффициентах. В уравнении — называется первым коэффициентом (или старшим), (если , то квадратное уравнение «вырождается» в линейное уравнение ), — называется вторым коэффициентом или коэффициентом при , и — свободным членом.
Чтобы решить квадратное уравнение, нужно подставить значения в формулу дискриминанта
и затем значение дискриминанта в формулы корней
Это базовые формулы нахождения корней квадратного уравнения
Как определить количество решений квадратного уравненияВ зависимости от того какой дискриминант, можно определить сколько решений у квадратного уравнения.
Если , то квадратное уравнение (1) имеет 2 различных корня и , .
Если , то квадратное уравнение (1) имеет одно решение или два равных корня .
Если , то квадратное уравнение (1) не имеет действительных корней или говорят решений нет.
Давайте теперь рассмотрим примеры квадратных уравнений и найдем их корни.
1)
Для начала нужно определить чему равны :
старший коэффициент при , ,
второй коэффициент при , ,
свободный член .
Найдем дискриминант, подставив в формулу значения
Так как , то корней два.
Найдем их по формулам:
Итак, уравнение имеет два корня .
2)
Выпишем коэффициенты: .
Найдем дискриминант: .
Так как , то корней два. Найдем их:
Обратите внимание, я каждый раз прописываю все формулы не смотря на то, что отлично их знаю. Совет: никогда не ленитесь также их прописывать. Во-первых, прописывая их каждый раз вы лучше запоминаете их. Во-вторых, проверяющий будет знать, что вы знаете формулы, и если где-то не правильно посчитано, то скорее всего из-за невнимательности. В-третьих, у вас вообще меньше шансов ошибиться — это проверено статистически.
Как можно графически решить квадратное уравнениеДавайте теперь рассмотрим наши уравнения на координатной плоскости, как же они будут выглядеть визуально? И можно ли по рисунку определить корни?
1)
Рассмотрим квадратичную функцию .
Графиком квадратичной функции является парабола, на координатной плоскости она будет выглядеть вот так:
рисунок 1Обратите внимание, парабола пересекает ось Ох в точках и , которые являются корнями уравнения .
Мы рассматриваем точки пересечения с осью Ох, так как она совпадает с прямой .
Итак, становится понятно, какой визуальный смысл заложен в квадратном уравнении: квадратный трехчлен , имеющий форму параболы, в зависимости от того сколько корней имеет, столько раз пересекает ось абсцисс (ось Ох).
Если 2 корня, то парабола пересекает ось Ох в двух точках, как парабола q пересекает ось абсцисс в точках D и E, а парабола r — в точках H и I. (рисунок 2)
рисунок 2Если корень один, то парабола пересекает ось Ох в одной точке, так параболы p и h, касаются оси Ох в точках M и N соответственно (рисунок 3).
рисунок 3Если корней нет, то парабола не пересекает ось Ох (рисунок 4).
рисунок 4
Итак, точки пересечения парабол с осью Ох и есть корни квадратных уравнений. Если по рисунку можно определить их значение, то корни найдены. Но часто эти значения приблизительны и поэтому такой способ решения практически не используют.
Что значит неполное квадратное уравнение и способы их решенияИногда в квадратном уравнении отсутствует какое-либо слагаемое, и тогда ребята часто впадают в ступор, «а как же решать тогда уравнение?» Ответ прост: также как и полное квадратное уравнение, лишь только учитывая, что какой-то из коэффициентов равен нулю.
Но давайте разбираться поэтапно.
Квадратное уравнение называется полным, если все коэффициенты ,
а если или , то квадратное уравнение называется неполным (случай когда не рассматриваем, поскольку в этом случае пропадает слагаемое с и квадратное уравнение вырождается в линейное).
Итак.
1) Если , , то уравнение будет выглядеть так:
то есть отсутствует слагаемое с . Можно как и в полном квадратном уравнении найти дискриминант , но так как , то , и если один из коэффициентов отрицательный, то , а корней будет 2.
Но путь этот громоздкий в смысле числовых вычислений, поэтому есть более простой способ, без использования формул дискриминанта .
Давайте внимательно посмотрим на данное уравнение
мы как и в линейном уравнении можем разделить переменную с и свободное слагаемое, то есть перенесем коэффициент в другую сторону от знака равно, при этом не забывая поменять знак на противоположный:
разделим обе стороны на :
если правая сторона от , то получим следующие корни уравнения:
если же — то корней нет.
2) Если , , то уравнение будет выглядеть так:
В этом случае тоже можно использовать формулы дискриминанта и корней уравнения. Но мы рассмотрим сразу другой способ.
Во-первых, можно вынести за скобку из обоих слагаемых
получили произведение двух множителей и , их произведение равно 0, тогда когда хотя бы один из множителей равен 0. Значит, мы приравниваем к 0 каждый из них и решаем новые, уже линейные уравнения.
в первом уравнении все понятно, во втором как при решении линейного уравнения, переносим свободное слагаемое в право от равно и делим обе стороны на коэффициент перед :
В этом случае получили два корня .
3) Если , то получаем уравнение
В этом случае корни совпадают и равны 0, то есть .
Какое квадратное уравнение называется приведенным, теорема ВиетаРассмотрим случай, когда в полном квадратном уравнении , тогда уравнение будет иметь вид:
и называется приведенным.
Такое квадратное уравнение также решают через формулы дискриминанта.
Но иногда решая приведенное квадратное уравнение, очень удобно находить корни по теореме Виета.
Согласно этой теореме должно выполнятся два условия:
причем оба условия должны выполнятся одновременно, поэтому его правильнее записать так
Часто в книгах эти условия записываются в другом порядке:
— по своему опыту, советую использовать первый вариант — так легче подобрать корни.
Чтобы было понятно как действует теорема Виета, нужно рассмотреть эти условия на конкретных примерах.
1) Дано квадратное уравнение .
Здесь . Нам нужно найти какие два числа при умножении друг на друга будут давать , а в сумме . Явно существует только два числа, произведение которых равно 3 — это 1 и 3, их сумма как раз будет равна 4:
Значит, корни уравнения .
Еще несколько примеров, чтобы все было понятно:
2) . Здесь сумма равна -4. То есть значения чисел те же, но знаки другие.
Поэтому попробуем . Значит, корни .
3) Корни .
4) Корни .
5) , казалось бы, такие большие числа! Как найти подходящие корни? И кстати, решая через формулы дискриминанта, нас бы ждали громоздкие вычисления!
Но не будем впадать в панику, и просто посмотрим какие подходящие варианты чисел могут подойти в данном случае: Значит, корни .
6) .
Еще раз акцентирую ваше внимание, что сумма корней равна , поэтому во втором условии всегда будет противоположный знак, чем у коэффициента b.
рисунок 5Когда значение свободного коэффициента , то оба корня имеют одинаковые знаки, то есть оба либо положительные, либо отрицательные.
Соответственно, если , то корни находятся по разные стороны от 0, то есть один отрицательный, а другой положительный.
7)
Обратите внимание, в первом варианте системы подобраны корни не верно, об этом говорит то, что во втором условии не выполнилось равенство. А во второй системе выполняются оба условия.
Значит, корни уравнения .
В этот раз первый вариант корней сразу выполнил оба условия и получаем .
Конечно, не во всех приведенных квадратных уравнениях легко по теореме Виета подобрать корни, и после нескольких тщетных попыток условия не выполняются. В таких случаях приходится находить корни через формулы дискриминанта, и чаще всего выясняется, что дискриминант либо отрицательный, либо = 0.
Использование квадратных уравнений в решении текстовых задачНу и конечно же, нужно рассмотреть, где же используются квадратные уравнения.
Итак, задача о нахождении периметра участка для постройки вокруг него забора.
Существует дачный участок прямоугольной формы. Известно, что длина этого участка на 10 м длиннее его ширины, а площадь участка равна 6 соткам (то есть 600 кв.м.). Найти длину забора вокруг этого участка.
В тех случаях, когда изначально не известны исходные параметры (в нашем случае не известно ни длины, ни ширины участка), а известна только зависимость их между собой, то вводим неизвестную переменную .
Я обычно через обозначаю меньший из параметров, но это не важно — главное соблюсти все условия.
Пусть м. — ширина участка, тогда длина — ( +10) м. Так как площадь участка находится путем умножения длины на ширину, и у нас площадь равна 600 кв.м., то получим квадратное уравнение:
раскроем скобки и перенесем свободное слагаемое в левую сторону от равно, приведем его к стандартному общему виду:
Я по теореме Виета найду корни. Получаем . По условиям теоремы
Оба условия выполняются верно. Значит, корни уравнения .
Второй корень нам не подходит по смыслу задачи, так как ширина участка не может быть отрицательной. Значит, ширина участка равна 20 м., а длина соответственно 20+10=30 м. Проверим, площадь участка:
Корень найден правильно. Найдем теперь периметр участка, чтобы узнать длину забора:
Получили длину забора вокруг участка: 100 м.
Тема квадратных уравнений обычно не вызывает сложностей у ребят. Особенно решение уравнений явно общего вида с использованием формул дискриминанта.
Но когда квадратное уравнение задано не явно и необходимо его преобразовать и привести к общему виду, вот тогда возникают трудности. Такие виды уравнений я рассмотрю в следующей статье.
Формулы квадратных уравнений, как решать дискриминант, неполные и комплексные уравнения и их решение
Математика
12.11.21
10 мин.
В разных практических деятельностях человека вроде физики, инженерии, архитектуры и других точных наук, часто встречаются задачи с математическими моделями, какой являются уравнения, имеющие переменную (x) в иной степени. Именно они помогают учёным в изучении внешней среды и её использовании.
Оглавление:
- Квадратные уравнения
- Разные квадратные уравнения
- Из истории математики
В разных практических деятельностях человека вроде физики, инженерии, архитектуры и других точных наук, часто встречаются задачи с математическими моделями, какой являются уравнения, имеющие переменную (x) в иной степени.
Именно они помогают учёным в изучении внешней среды и её использовании.
Квадратные уравнения
Квадратным называется равенство вида ax² + bc + c = 0, где x является переменой, a (первый коэффициент), b (второй) и c (свободный) — это действительные числа, которые должны приводить в условии задачи. Нужно помнить при решении, что a ≠ 0. Как уже понятно, оно очень отличается от линейного уравнения, его все изучали в младших классах школы.
Чтобы понять, как решать квадратные уравнения, нужно представить футбольное поле, длина которого на 10 метров больше его ширины, а площадь равна 380 квадратных метров. Нужно найти ширину футбольного поля.
Пусть переменная x — это определённая ширина, тогда её длина будет (х +10) метров. Потом x * (x + 10) = 380, ведь дана площадь 380 квадратных метров в условии задачи, то есть x² + 10x — 380 равно нулю. Здесь а = 1, b = 10, а c = -375 Это был один из примеров квадратных равенств.
Различают два вида уравнений:
- Приведённые — это случай, когда в квадратном равенстве a = 1.
- Непривёденные если a ≠ 1.
При этом x² — приведённое, а уже при 5x² оно станет непривёденным.
Понятие дискриминант
Существует определенная система решения таких уравнений. Чтобы найти чётный корень такого равенства, достаточно запомнить приведённую ниже формулу квадратного уравнения.
Буква D — это дискриминант. Звучит сложно, но не стоит пугаться, ведь с латинского языка слово переводится, как разность. Он равен: D = b² — 4 ac. Следуя этому, можно записать, что (2ax + b)² = D. Есть определенные правила, как надо решать дискриминант:
- Если D меньше нуля, то действительных корней нет.
- В случае когда D равняется нулю, в решении получается только один действительный корень, но есть редкие случаи с двумя, то есть можно писать при решении в формуле либо +, либо -.
- Если D больше нуля, то в уравнении два действительных корня, то есть и плюс, и минус. Но чтобы укоротить решение достаточно записать ±, вместо двух вариантов решения задачи.
Но чтобы укоротить решение достаточно записать ±, вместо двух вариантов решения задачи.Пример первого способа нахождения через формулу дискриминанта квадратного уравнения и правильным разложением чисел:
- 9х²-6х+1=0;
- D = (-6)² — 4 × 9 ×1 = 0;
- D эквивалентен нулю;
- x = -6/2×9 = 1/3.
Как пример можно показать уравнивание: -8x² = 0, у которого b и с равны нулю. Или 2x² — 3 = 0, b ничему не равно. В уравнении -7x² + 4x² = 0 c эквивалентно нулю.
Разные квадратные уравнения
Помимо обычных дискриминантов, есть и половинные. Их ищут для равенств, у которых второй коэффициент — это чётное число, по формуле: D1 = 4 k² — 4 ac = 4 (k² — ac). Чтобы делать меньше ошибок, лучше использовать формулу со скобками. Благодаря этому в ответе получается четверть дискриминанта.
Квадратные равенства с комплексными переменными почти ничем не отличаются от плоскости действительных чисел и тем, которые должны проходить в восьмых классах. И чтобы без проблем их решать, нужно использовать формулу.
Если в квадратном равенстве хотя бы один из общих коэффициентов квадратного трехчлена B или C равен нулю, то такое равенство называют неполным.
Следовательно оно бывает только трёх видов:
- Уравнение вида ax² равно нулю. Поскольку а ≠ 0, имеем случай, когда x² = 0, корнем которого есть число ноль. Как уже понятно, имеется единственный корень х равен нулю.
- ax² + c равно нулю, тогда с не будет равняться нулю. Чтобы это лучше понять, приводится уравнение ах² = -c, x² = -c/a. Поскольку c ≠ 0 тогда и -с/а также не равно нулю. Если -с/а больше нуля, то получается два корня: х1 = — корень из -с/а и ещё х2 = корень из с/а. Также можно написать вместо минуса и плюса одно уравнение из знаком: ±.
- ах² + bx = 0, и при этом b нулю не равно. Разложим левую часть уравнения на множители и решим полученное х * (ах + b) = 0. Ответ: x равен нулю или ax + b = 0, но x = -b/a, поскольку a ≠ 0. В итоге должно выйти два корня: х1 = 0 и х2 = -b/a. Один из примеров: 2х² + 5х эквивалентен нулю; х(2х+ 5) = 0; х= 0 или 2х + 5 = 0. На данный момент очевидно, что x2 = -2,5 и х1 эквивалентен нулю.
Из истории математики
Неполные квадратные равенства и некоторые виды неизвестных корней вавилонские математики умели решить и создать ещё 4000 лет тому назад. Такие произведения в Древней Греции решали тем же способом. Люди, обладающие знаниями точных наук, решали некоторые квадратные уравнения геометрическими приёмами.
Это показал древнегреческий учёный Диофант.
Много внимания таким уравнениям также выделял арабский математик Мухаммед Альхорезми. Он нашёл как решать уравнение видов: ах²=bx; ax²=c; ax²+bx=c; ax²+c=bx; bc+c=ax² и получил положительные корни.
Формулы, что связывают между собой корни равенства и его коэффициенты, впервые нашёл французский математик Франсуа Виет в 1591 году. Его заключения в современных обозначениях имеют вид: (а + b)x — x² = 0.
После быстрой публикации работы нидерландского математика Жераром, а также француза Декарда и англичанина Ньютона равенство корней квадратного уравнения приобрело современный вид.
| Уравнения | х1 и х2 | х1+х2 | х1×х2 |
| х² -6х + 8 = 0 | 2 и 4 | 6 | 8 |
| x²+x-12=0 | -4 и 3 | -1 | -12 |
| x²-4x-5=0 | -3 и -2 | -5 | 6 |
| x²-4x-5=0 | -1 и 5 | 4 | -5 |
Сейчас речь идёт о теореме Виета, на которую нужно обратить внимание.
Её так называют из-за известного французского математика Франсуа Виета, которым и было открыто это свойство. Сумма корней сведенного квадратного равенства равно другому коэффициенту, взятому с отрицательным знаком, а произведение корней — свободному члену. Часто его записывают в таком виде: х² + px + q эквивалентно нулю.
Теорему можно сформулировать так.
Если х1 и х2 — корни сведенного квадратного равенства х²+px+q эквивалентны нулю, то х1 + х2 = -p; x1 * x2 = q. Поскольку a ≠ 0, поделим две части уравнения на а и получается современная формула: x² — b/a * x + c/a равно нулю.
РЕШЕНИЕ: При использовании квадратной формулы для решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 дискриминант равен b2
РЕШЕНИЕ: При использовании квадратной формулы для решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 дискриминант равен b2 — 4ас.
Этот дискриминант может быть положительным, нулевым или отрицательным. (Когда дискрАлгебра -> Квадратные уравнения и параболы -> РЕШЕНИЕ: При использовании квадратичной формулы для решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 дискриминант равен b2 — 4ac. Этот дискриминант может быть положительным, нулевым или отрицательным. (Когда дискр Войти
|
Этот дискриминант может быть положительным, нулевым или отрицательным. (Когда дискриминант отрицателен, мы имеем квадратный корень из отрицательного числа. Это называется мнимым числом, sqrt(-1) = i.) 