Занятие по теме «Матричные уравнения. Вычисление обратной матрицы»
Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментального раздела математики “Линейная алгебра”. Проверка усвоения знаний по вычислению обратной матрицы, нахождению алгебраических дополнений, дополнительного минора, вычислению определителей, решению матричных уравнений.
Задачи:
- развитие творческого профессионального мышления;
- развитие познавательной мотивации;
- овладение языком науки, приобретение навыков оперирования понятиями;
- овладение умениями и навыками постановки и решения задач;
- углубление теоретической и практической подготовки;
- развитие инициативы и самостоятельности студентов;
- формирование общих компетенций:
– организация собственной деятельности, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем;
– анализ рабочей ситуации, осуществление текущего и итогового контроля, оценка и коррекция собственной деятельности, ответственность за результаты своей работы;
– использование информационно-коммуникационных технологий в профессиональной деятельности;
– работа в команде, эффективное общение с коллегами, руководством.
Обеспечение практического занятия:
Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.
Учебники: Богомолов Н.В. “Математика”. – М.: Дрофа, 2009.
Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. – Ростов-на-Дону “Феникс”,2008-380с.
Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.
Структура практического занятия.
1. Организационный этап.
Проверка готовности обучающихся к занятию.
2. Этап подготовки обучающихся к активному усвоению нового материала.
3. Этап усвоения новых знаний.
Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины.
Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:
- Изучение теоретического материала по теме “Матричные уравнения. Вычисление обратной матрицы”.
4. Этап проверки понимания обучающимися нового материала.
- Примеры решения типовых заданий.
5. Этап закрепления нового материала.
- Выполнение практической работы по вычислению определителей, выполнению действий над матрицами, решению матричных уравнений.
6. Итоги занятия. Рефлексия.
7. Этап информирования обучающихся о домашнем задании.
Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач.
1. Изложение теоретического материала.
Определение. Квадратная матрица A-1 называется обратной к квадратной матрице A того же порядка, если AA-1 = A-1A = E , где E – единичная матрица.
Утверждение. Квадратная матрица A имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда det A≠ 0 .
Утверждение. Элементы cij обратной матрицы A-1 , если она существует, можно найти по формуле
– алгебраическое дополнение к элементу
aij матрицы
A, ATij – алгебраическое дополнение к элементу
aTij транспонированной матрицы
AT.
Определение. Алгебраическим дополнение A ij элемента aij называется число, равное Aij = (–1)i+jMij.
Определение. Дополнительным минором Mij элемента aij матрицы Ann называется определитель матрицы n-1-го порядка, полученный из матрицы Ann вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.
Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:
, где Мji дополнительный минор элемента аji матрицы А.
Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.
2. Закрепление теоретического материала, решение типовых задач.
№ 1. Найти матрицу
C = A-1
обратную к A, если
.
Решение. Прежде всего вычислим определитель матрицы A, чтобы убедиться в возможности существования обратной матрицы.
Следовательно, для матрицы A существует обратная матрица.
Воспользуемся формулой, выражающей элементы обратной матрицы через алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы.
Для AT имеем .
Вычислим последовательно элементы Cij :
С учетом полученных данных, обратная к A матрица имеет вид
№ 2. Решить матричное уравнение A · X = B, где
Решение. Такое матричное уравнение, если определитель матрицы
A отличен от нуля, удобно решать путем умножения обеих частей уравнения слева на матрицу
A-1. В этом случае для искомой матрицы получим
A-1· A · X = A-1 · B
и поскольку A-1· A = E, то
X = A-1· B.
Найдем теперь выражение для A-1 . Детерминант Δ матрицы A равен 4. Пользуясь формулами, определяющими элементы обратной матрицы, имеем
.
Учитывая последнее, для X получим:
.
3. Практическая работа обучающихся.
|
Вариант 1 1. Найти матрицу обратную данной: |
Вариант 2 1. Найти матрицу обратную данной: |
4. Подведение итогов практического занятия.
Рефлексия.
О чем сегодня на занятии шла речь?
Что было новым?
С какими трудностями Вы столкнулись?
Контрольные вопросы:
1. Сформулировать свойства определителя.
2. Какую матрицу называют обратной?
3. При каком условии существует обратная матрица?
4.
Что называется алгебраическим дополнением матрицы?
5. Что называется минором матрицы?
6. В чем заключается метод построения обратной матрицы с использованием алгебраических дополнений.
5. Домашнее задание.
Учить определения, составить опорную схему конспекта. Выполнить упражнения:
1. Какая из матриц B, C, D является обратной к матрице A, если:
2. При каких λ существует A-1, если:
3. Найти матрицу, обратную данной, если она существует:
Пакет аналитических вычислений Maple, страница 7
Существует ровно один многочлен, такой, что f(Λ
A) = r(ΛA) и deg r < m, который определяется интерполяционными условиями:Этот многочлен называется интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра. Тогда мы можем дать новое определение f(A).
Определение 7.2. Пусть функция f определена на спектре матрицы A,
тогда f(A) = r(A), где r(λ) — интерполяционный
многочлен Лагранжа-Cильвестра.
Свойства функции от матрицы:
1. Пусть λ1,…, λn— все собственные значения матрицы A Cn,n, тогда f(λ1),…, f(λn)- собственные значения f(A).
2. Пусть матрицы
3. Если A = diag{A1, …, Ak}, то f(A) = diag{f(A1), …, f(Ak)}.
В пакете LinearAlgebra содержатся функции позволяющие вычислять различные функции от матриц. Рассмотрим эти функции.
Пример 7.1. Возвести матрицу A в степени 2 и 0,5, где A =
Пример 7.2. Найти еA и еAx, где A =
Пример 7.
3. Найти A2,
cos(A) и еA, где A =
Глава 8
Матричные уравнения
8.1 Уравнение вида AХ=ХB
Рассмотрим матричное уравнение AX= XB, где ,,.
Теорема 8.1. Общее решение уравнения AX= XB, где , . ,,
может быть найдено по формуле: .
Где — общее решение уравнения ,, , , .
Если , то , если , то — произвольная правильная верхняя треугольная матрица.
Матрица X зависит от N произвольных параметров , , где, , .
Пример 8.1. Решить матричное уравнение AX= XB,
где A= , B=
Ввод матрицы A:
Ввод матрицы B:
Найдем жорданову форму J1 матрицы A и преобразующую матрицу U:
Найдем жорданову форму J2 матрицы B и преобразующую матрицу
Найдем решение уравнения :
Вычисления выполняются вручную.
8.2 Уравнение вида AХ = ХA
Пусть дана матрица . Будем решать следующую задачу: найти все матрицы , перестановочные с A. Для этого необходимо найти общее решение уравнения AX= XA. Так как уравнение AX= XA является частным случаем уравнения AX= XB, то для его решения воспользуемся теоремой 8.1 и сформулируем новую теорему:
Теорема 8.2. Общее решения уравнения AX= XA, где , ,
может быть найдено по формуле: ,
Где — общее решение уравнения ,, , .
Если , то , если , то — произвольная правильная верхняя треугольная матрица. Матрица X зависит от N произвольных параметров , , где, .
Пример 8.2. Решить матричное уравнение AX= XA, где A =
Ввод матрицы A:
Найдем жорданову форму J1 матрицы A и преобразующую матрицу U:
Найдем решение уравнения :
Вычисления выполняются вручную.
8.3 Решение уравнения AX – XB= C
Пусть дано уравнение AX – XB= C, где ,,. Это матричное уравнение эквивалентно системе m∙n линейных уравнений относительно элементов матрицы X.
Рассмотрим соответствующее однородное уравнение AX – XB= 0. Если матрицы A и B не имеют одинаковых собственных значений, то уравнение AX – XB=0 имеет единственное решение; если же матрицы A и B имеют одинаковые собственные значения, то в зависимости от C возможны два варианта:
1. Уравнение не имеет решения.
2. , где — произвольное частное решение уравнения AX—XB=C, — общее решение уравнения AX – XB= C.
Алгоритмизация данного типа уравнений отводится в
качестве упражнения.
Глава 9
Нормы матриц
Определение 9.1. Неравенство A ≤ B между матрицами A = [ аij]и B =[ bij]одинаковых типов обозначает, что аij ≤bij . В этом смысле не всякие две матрицы сравнимы между собой.
Определение 9.2. Под абсолютной величиной (модулем)матрицы A= [ аij] будем понимать матрицу |A| = [ | аij| ]
где |аij| — модули элементов матрицы A.
Если A и B— матрицы, для которых операции A + B и AB имеют смысл, то:
а) | A + B | ≤ | A | + | B |;
б) | A B | ≤ | A | · | B |;
в) | α A | = | α | · | A |;
(α — число).
Определение 9.3. Под нормой матрицы A = [ аij] понимается действительное число || A ||, удовлетворяющее условиям:
а) || A|| ≥ 0, причем ||A|| =0 тогда и только тогда, когда A = 0;
б) || α A || = | α | · || A || (α — число) и, в частности, || –A || = || A ||;
в) || A + B || ≤ || A || + || B ||;
г) || AB || ≤ || A || · || B ||;
(A и B — матрицы, для которых соответствующие операции имеют смысл).
В дальнейшем для матрицы A = [ аij]произвольного типа мы будем рассматривать главным образом три легко вычисляемые нормы;
1) || A ||m = | аij| (т-норма);
2) || A ||l = | аij| (l-норма);
3) || A ||k = (k -норма).
Далее представлены алгоритмы для нахождения нормы матрицы каждого вида:
Пример 9.1. Найти m—норму для матрицы A, где A =
Пример 9.2. Найти l-норму для матрицы A, где A =
Пример 9.3. Найти k-норму для матрицы A, где A =
Приложение 1
Генерация задач
Часто возникают проблемы с подготовкой контрольных и проверочных работ по данному курсу, что связано с недостатком имеющихся в учебных пособиях типовых заданий для индивидуальной работы группе студентов.
Используя Maple нетрудно решить эту проблему.
Возьмем, к примеру, наиболее легкий тип задач. Пусть у нас дана матрица A:
и необходимо найти собственные значения этой матрицы.
Решая поставленную задачу находим:
где
этот столбец – вектор собственных значений, равных -1 кратности 3.
Необходимо растиражировать эту задачу, сохранив данные собственные значение и их кратность.
Видео с вопросами: Решение пары одновременных уравнений с использованием матриц
Стенограмма видео
Рассмотрим одновременные уравнения четыре 𝑥 минус два 𝑦 равно нулю, а три 𝑦 плюс пять 𝑥 отрицательно 11. Выразите данное одновременное уравнения как матричное уравнение. Запишите обратное значение матрица коэффициентов. И умножить на обратное в левой части, чтобы решить матричное уравнение.
Это три части
вопрос, включающий набор одновременных уравнений четыре 𝑥 минус два 𝑦 равно
до нуля и три 𝑦 плюс пять 𝑥 минус 11. И эти три части приводят нас к
решение уравнений матричными методами. Первая часть предназначена для выражения
одновременные уравнения как матричное уравнение. Тогда мы должны записать обратное
матрицы коэффициентов и используйте ее, умножая слева, чтобы решить
матричное уравнение.
Итак, начнем с первой части,
то есть записать уравнения в виде матричного уравнения.
Первое, что нам нужно сделать, это убедитесь, что наши 𝑥 и 𝑦 выровнены вертикально по левой стороне. Тогда в нашем втором уравнении мы будем нужно поменять местами три 𝑦 и пять 𝑥. А теперь наши 𝑥 и 𝑦 выровнены по вертикали. Назовем наши уравнения уравнениями один и два, так что уравнение один равно четырем 𝑥 минус два 𝑦 равно нулю и уравнение два равно пяти 𝑥 плюс три 𝑦 отрицательно 11. И это помогает прочитать наше коэффициенты, чтобы мы могли поместить их в матрицу два на два, которая затем умножает матрица-столбец наших переменных 𝑥 и 𝑦. И мы положили это равным константы в правой части.
Первая строка нашего коэффициента
матрица содержит коэффициенты 𝑥 и 𝑦 в первом уравнении. Это четыре и минус два. Наша ассоциированная константа на
правая часть равна нулю.
Вторая строка нашего коэффициента
матрица содержит постоянные коэффициенты 𝑥 и 𝑦 во втором уравнении. То есть пять и три. И наш постоянный элемент на
правая часть отрицательная 11. Итак, теперь у нас есть наши уравнения в
форму матричного уравнения по мере необходимости.
Вторая часть вопроса
просит нас записать обратную матрицу коэффициентов. А для этого напомним, что для
невырожденная матрица два на два с элементами 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, обратная 𝐴 есть
единица больше 𝑎𝑑 минус 𝑏𝑐 умноженная на матрицу с элементами 𝑑, минус 𝑏, минус
𝑐 и 𝑎. Напомним, что 𝑎𝑑 минус 𝑏𝑐 равно
определитель 𝐴. И обратите внимание, что мы поменяли местами
элементы 𝑎 и 𝑑 и минус 𝑏 и 𝑐. В нашем случае наша матрица коэффициентов
имеет элементы четыре, минус два, пять и три. Так что обратное, если 𝑎 равно четырем, 𝑏
отрицательно два, 𝑐 равно пяти, а 𝑑 равно трем, это один больше четырех, умноженный на три минус
минус два умножить на пять, то есть на единицу больше 𝑎𝑑 минус 𝑏𝑐, умноженное на матрицу с
элементы три, два, минус пять и четыре.
Обратное значение нашего коэффициента
матрица, таким образом, в 22 раза больше матрицы с элементами три, два, отрицательные
пять и четыре.
Наша последняя часть — умножение
через обратную в левой части, чтобы решить матричное уравнение. Если мы назовем нашу матрицу коэффициентов
𝐴, у нас есть 𝐴 обратное умножение на 𝐴 умноженное на матрицу-столбец 𝑥 равно 𝐴 обратное
умножить на матрицу-столбец 𝑏, где 𝑥 — матрица переменных, а 𝑏 — матрица
констант в правой части. Однако помните, что для любого
невырожденная матрица 𝐴, то есть матрица с обратной, 𝐴 обратной умноженной на 𝐴 есть
равна единичной матрице, которая для матрицы два на два является матрицей с
элементы единица, ноль, ноль, единица. Так что в левой части мы
имеют единичную матрицу, умноженную на 𝑥, 𝑦, а справа у нас есть 𝐴, обратные временам
матрица-столбец 𝑏.
Наша левая часть упрощается до матрица-столбец 𝑥, 𝑦. А если бы мы умножили правую стороны, у нас есть одна более чем 22-кратная матрица с элементами, умноженными на три нуля плюс два минус 11 раз, минус пять раз ноль плюс четыре раза минус 11. матрица столбцов с отрицательными элементами 22, отрицательными 44. Освободив место и оценив это дает нам матрицу столбца с отрицательными элементами один и отрицательный два. Тогда по равенству матриц это дает нам 𝑥 равно отрицательной единице, а 𝑦 равно отрицательной двойке.
Итак, для одновременных уравнений
четыре 𝑥 минус два 𝑦 равно нулю, а три 𝑦 плюс пять 𝑥 равно минусу
11, у нас есть матричное уравнение, где матрица коэффициентов имеет четыре элемента,
минус два, пять, три, умножая матрицу-столбец переменных, равных
матрица-столбец с нулевыми элементами, минус 11 констант справа
сторона.
Наша матрица коэффициентов имеет
обратная, которая в 22 раза больше матрицы с элементами три, два, отрицательные
пять и четыре. И мы используем это, чтобы найти наш
решение: 𝑥 — отрицательная единица, а 𝑦 — отрицательная двойка.
Предварительное вычисление алгебры. Можно ли использовать матрицы для решения одновременных уравнений со степенями?
Задать вопрос
спросил
Изменено 4 года, 2 месяца назад
Просмотрено 711 раз
$\begingroup$
Работаю над задачами нахождения абсолютных минимумов и максимумов функций двух переменных. Процесс нахождения критических точек путем приравнивания частных производных к нулю занимает слишком много времени.
В основном я пытался сделать это аналитически, но это, как правило, подверженный ошибкам процесс (по крайней мере, для меня). Я заметил, что эти уравнения, по сути, представляют собой слегка сложные одновременные уравнения. Я помню, как использовал матрицы для решения одновременных уравнений еще в старшей школе. Было бы неплохо, если бы я мог использовать его здесь, но мне интересно, можно ли это сделать, когда переменные имеют полномочия. Я пытался найти учебники о том, как это сделать, но все они включают уравнения без степеней.
- алгебра-предварительное исчисление
- многомерное исчисление
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Вообще говоря, матричные методы, которые вы изучили, подходят только для линейных уравнений. Матрица умножается на вектор-столбец переменных и приравнивается к постоянным членам уравнений.