Как решать в паскале задачи: Готовые решения задач на языке Pascal

Принцип Паскаля — Проблемы и решения

от Александра Сан -Лохат

1. Известно:

Площадь ₁ = 10 см ²

Область ₂ = 100 см ^{2 2}

Сила 2 (F ₂ ) = 100 Newton

Разыскивается: FIRCE 1 (F ₁ )

Решение:

P = F / A

P = . давление , F = force , A = area

P ₁ = F ₁ / A ₁
P ₂ = F ₂ / A ₂

P ₁ = P ₂
F ₁ / A ₁ = F ₂ / A ₂

F ₁ /10 CM ^{2   = 100 Н/100 см 2}

F ₁ /10 = 1 N

F ₁ = (10) (1 N)

F ₁ = 10 Newton

[IRP]

2. Если область a ₁ = 0,001 м ² и площадь A ₂ = 0,1 м ² , внешняя входная сила F ₁ = 100 Н, тогда внешняя выходная сила F ₂ ?

Известно:

Площадь А ₁ = 0,001 м ²

Площадь А ₂ = 0,1 м ²

Внешнее входное сила F ₁ = 100 Newton

Разыскивается : Внешний выходной сигнал (F ₂ )

Решение:

P ₁ = P ₂
F ₁ / A ₁ = F ₂ / A ₂

100 N / 0,001 M ² = F ₂ / 0,1 M ²

100 N. / 0,001 = Ф ₂ / 0,1

100 000 n = F ₂ / 0,1

F ₂ = (0,1) (100 000 N)

F ₂ = 10 000 N

[IRP]

3. Вес автомобиля = 16 000 Н. внешняя входная сила F…

Известно:

Масса автомобиля (w) = 16 000 Н

Площадь B (A _B ) = 4000 см ² = 40 10 20 2000 / 10,0012 10 м ² = 0,4 м ²

Площадь A (A _A ) = 50 см ² = 50/1000000 м ² = 0,005 M ²

Разыскивается: FIRCH F

Решение:

F / A _A = W / A _B

F / F / F / F / F / F / F / F / A 0,005 M ² = 16 000 Н / 0,4 м ²

F / 0,005 = 16 000 Н / 0,4

F / 0,005 = 40 000 N

F = (40 000 N) (0,005)

F = 200 NEWTON

4.

Площадь А составляет 60 см ² и площадь В составляет 4 200 см ² , определить внешнюю входную силу F.

Известно :

Площадь A (A _A ) = 60 см ²

см 2

Вес w (W) = 3500 Newton

Разыскивается: F ₁

Решение:

Сила F, рассчитанный с использованием уравнения Принципа Паскаля:

F ₁ / a _{999. 1} = Ф ₂ / А ₂

F ₁ /60 см ² = 3500 Н / 4200 см ²

F ₁ /60 = 35 N / 42

F ₁ = (60) (35). / 42

F ₁ = 2100 / 42

F ₁ = 50 ньютонов

5. Гидравлический подъемник имеет большое поперечное сечение и малое поперечное сечение. Большая площадь поперечного сечения в 20 раз больше малой площади поперечного сечения. Если на малое сечение приложена входная сила 25 Н, то определить выходную силу.

Известно:

Небольшая площадь поперечного сечения (A ₁ ) = A

Большая площадь поперечного сечения (A ₂ ) = 20A

Входная сила (F ₁ ) = 25 N

Требуется: Выходная сила (F ₂ )

Решение:

Математика | Бесплатный полнотекстовый | Решение прямых и обратных задач о нелокальных волнах с базисом Паскаля, автоматически удовлетворяющим заданным условиям

1. Введение

Нелокальные граничные условия (ГУ) интегрального типа представляют собой интересную область быстро развивающейся теории дифференциальных уравнений. Эти задачи возникают в различных областях физики, механики, биологии, биотехнологии и т. д. Нелокальные БК могут возникать, когда значение решения на границе связано со значениями внутри области. Теоретическое и численное исследование такого рода задач действительно ценно, и ему уделяется большое внимание в научной литературе [1,2,3,4,5,6]. Различные нелокальные БК также обсуждаются в уравнениях в частных производных (УЧП), например, Деган [7] предложил численное решение нескольких методов конечных разностей для одномерной неклассической краевой задачи. Саадатманди и Деган [8] разработали численный метод, основанный на методе сдвинутого тау Лежандра, чтобы продемонстрировать его справедливость и применимость для гиперболического уравнения в частных производных с интегральным условием. Дехган и Саадатманди [9] использовал вариационный метод итераций для решения одномерного волнового уравнения с классическими и интегральными граничными условиями; этот метод превратил волновое уравнение с нелокальными ГУ в прямую задачу. Для прямых задач некоторые решения с использованием теории и численных методов для нелокальных задач одномерного волнового уравнения изучались в [10,11,12].

Как указывали Эймс и Строган [13], проблема обратной волны имеет ключевые приложения в теории оптимального управления и геофизике. Задача об обратной волне — некорректная задача, которая изучалась в [14,15,16,17,18,19].,20]. В частности, когда мы рассматриваем задачу об обратной волне при нелокальных граничных условиях, результирующая задача оказывается крайне некорректной, и численный метод должен быть разработан специально для преодоления некорректного свойства обратной задачи. Идея нелокальной граничной функции формы (NLBSF) была впервые развита в [21] для решения нелокального УЧП параболического типа, но еще не применялась в литературе к УЧП гиперболического типа. Мы используем NLBSF для решения проблемы нелокальных волн.

В этой статье мы подвергаем волновое уравнение нетрадиционному правому краевому условию, которое включает интегральный член по пространственной области. В этой ситуации мы сталкиваемся с нелокальной волновой задачей, решение которой может иметь большую граничную ошибку, так как ГУ не задано на границе. По этой причине трудно использовать обычный численный метод для решения такого рода задач. В области численного моделирования нелокальных волновых задач важно уменьшить граничную ошибку, чтобы можно было уменьшить ошибку во всей области. Чтобы гарантировать выполнение нелокального BC, в статье исследуется новый метод с базисами Паскаля, автоматически удовлетворяющими заданным условиям.

Последовательно, прямая волновая задача одномерного волнового уравнения при нелокальном ГУ на правом конце описана в разделе 2, в котором мы строим так называемую НСЛБ с помощью полученных нелокальных функций формы. НСЛБФ удовлетворяет всем условиям, заданным для прямой нелокальной волновой задачи со свободной функцией. В разделе 3 мы развиваем численный метод с двухпараметрическими базисами Паскаля для решения прямой нелокальной волновой задачи. Базисы, удовлетворяющие всем условиям, получаются путем взятия полиномов Паскаля для свободной функции. В разделе 4 представлены четыре тестовых примера задачи о прямых нелокальных волнах, высокую точность которых можно оценить. В разделе 5 мы развиваем численный метод с двухпараметрическими базисами Паскаля, основанный на многочленах Паскаля для решения обратной нелокальной волновой задачи. Для обратной нелокальной волновой задачи указаны базисы, удовлетворяющие всем условиям. В разделе 6 представлены три тестовых примера с большим шумом, наложенным на окончательные временные данные задачи обратной нелокальной волны, надежность и высокая точность которых можно наблюдать. В разделе 7 метод НСЛБ расширен для решения задачи о обратных нелокальных волнах при двустороннем нелокальном ГУ. Выводы сделаны в разделе 8.

2. Нелокальная волновая задача

Одномерное волновое уравнение снабжено нелокальным условием:

где fx и gx — начальные условия, Fx,t — заданная функция, qt и pt — граничные условия, а последнее условие отличается от обычного граничного условия на правом конце. Данные fx, gx, qt и pt должны удовлетворять

которые являются условиями совместимости, полученными из уравнения (3) при t=0 и уравнения (2).

Сначала мы получаем два основных результата, удовлетворяющих заданным условиям (2) и (3), а затем используем их для решения уравнения (1) по уравнению (3).

Обратите внимание, что нелокальные функции формы s1x и s2x использовались Деганом и Саадатманди [9] для преобразования уравнения (1) в уравнение (3) в задачу с однородным граничным условием и нелокальным условием для новой переменной. Здесь мы предлагаем другой подход.

Для E0x,t имеем следующие условия совместимости:

Из уравнения (12) следует, что

При сравнении их с уравнениями (4) и (13) они подтверждаются. Из уравнений (9) следует) и (5) что

Теперь докажем, что существует функция Ex,t, удовлетворяющая указанным условиям (2) и (3).

Следовательно, эта теорема доказана. □

3. Численный метод решения прямой задачи о нелокальных волнах

Пусть

— треугольник Паскаля относительно x и t [22]. Мы можем реконструировать wijx,t как базисы Паскаля для ux,t в уравнениях (1)–(3) на основе теоремы 2.

Двухпараметрические функции Eijx,t в уравнении (26) называются базисами Паскаля. , которые используются для решения прямой нелокальной волны от уравнения (1) до уравнения (3) с помощью

где ajk подвергаются

такое, что ux,t удовлетворяет уравнениям (2) и (3).

Подставляя уравнение (27) в уравнение (1) и включая уравнение (28), мы определяем ajk по формуле

где n1 и n2 — номера сетки в пространственном и временном направлении xi=il/n1+1, tj=jtf/n2 и N=n1×n2. Следовательно, N+1 линейные уравнения (28) и (29) записываются в матрично-векторной форме:

где A — матрица коэффициентов, b — заданный исходный термин, а a — векторная форма ajk. Пусть sk будет k-м компонентом векторизации sjk, который имеет несколько масштабов, заданных в [23] формулой

где ak обозначает k-й столбец матрицы A, а R0 — характеристическая длина, которая может повысить устойчивость и точность вычислений.

Решив линейную систему (30), мы можем получить ajk, а затем вычислить ux,y из уравнения (27).

4. Примеры решения задачи о прямых нелокальных волнах

Возьмем l=1, tf=1, m=5, R0=0,1 и N=5×5. На рис. 1 показана абсолютная максимальная ошибка (ME) ux,t по отношению к t. При критериях сходимости ε = 10−10 общее количество итераций метода сопряженных градиентов (CGM) равно 10. На рис. 2 показано ME(u) по отношению к x при tf=1. Мы можем заметить, что решение очень точное с ME =1,45×10−13. В работе [24] с использованием гранично-согласованного метода для обычного волнового уравнения с граничными условиями Дирихле ME = 2,01×10–8 и много больше, чем 1,45×10–13. Текущее решение намного точнее, чем в [24].

Возьмем l=1, tf=1, m=14, R0=0,1 и N=12×12. При критериях сходимости ε = 10-9 общее число итераций CGM равно 7200, а ME = 2,93×10-8. Далее, когда число итераций остановлено на шаге 2000, МЭ ux,t в зависимости от t на рис. 3. МЭ(u) по отношению к x при tf=1 показано на рис.

4. Очевидно, решение достаточно точен с ME =4,54×10−8. При тех же настройках, что и выше, и l=8, на рисунке 5 сплошная линия отображает ME(u) по отношению к x, где ME =4,56×10−1, а max ux,t равен 5689..34. Поэтому решение этого метода приемлемо.

Возьмем l=1, tf=1, m=11, R0=0,1 и N=20×20. При критериях сходимости ε = 10-10 общее число итераций (TIN) CGM равно 1221, а ME = 7,27×10-8. Кроме того, когда номер итерации находится на шаге 1000, ME ux,t наносятся на график в зависимости от t и x, как показано на рис. 6 и 7. Очевидно, что решение достаточно точное при ME = 5,06 × 10–8. Для различных критериев сходимости результаты сходимости показаны в таблице 1. Следовательно, этот метод может быстро получать решения без использования полиномов более высокого порядка или строгих условий сходимости.

Возьмем l=1, tf=0,5, m=5, R0=1 и N=5×5. В этом случае мы используем исключение Гаусса для решения линейной системы. На рис. 8 показаны МЭ ux,t в зависимости от t, которые очень точны с МЭ = 7,77×10-16 и намного точнее, чем [8]. На рис. 9 показана зависимость ME(u) от x при tf=0,5.

5. Численный метод решения задачи о обратных нелокальных волнах

Рассмотрим задачу о обратных нелокальных волнах и заменим уравнение (2) конечными временными условиями:

Данные hx, rx, qt и pt удовлетворяют

которые доступны из уравнения (3) при t=tf и использовании уравнения (43).

Для задачи о обратных нелокальных волнах теорема 2 видоизменяется следующим образом.

Заменив Ex,t и E0x,t в теореме 4 на Eijx,t и Eij0x,t соответственно, теорема 3 по-прежнему применима для обратной нелокальной волновой задачи, но с

что автоматически удовлетворяет условиям (43) и (3),

Для решения обратной нелокальной волновой задачи в уравнениях (1), (43) и (3) возьмем

где

Другие процедуры аналогичны описанным в разделе 3.

6. Численные примеры для задачи о обратных нелокальных волнах

Чтобы проверить задачу о обратных нелокальных волнах, мы добавляем шум s на

где R — случайное число. Мы фиксируем s=0,1 для всех примеров тестирования, приведенных ниже.

Если шум не добавляется, т. е. s=0 при l=1, tf=1, m=5, R0=0,1, TIN = 500 и N=10×10, ux,t очень точен при ME =9,14 ×10−13, что немного хуже, чем 1,45×10−13 для задачи прямой волны, представленной в примере 1.

При l=1, tf=1, m=5, R0=0,1, TIN=500 и N=5×5 решение получается очень быстро. На рисунке 10 пунктирная линия показывает ME ux,t по отношению к x, из которых ME =3,04×10−3, где max ux,t равно 1,9988. Тогда берем tf=10 и N=20×20, а остальные параметры остаются прежними. На рисунке 10 сплошная линия отображает ME(u) по отношению к x, где ME =4,81×10–3, а max ux,t равно 19,98. Следовательно, метод может получить стабильное и точное решение с O10−3 даже в последний момент времени с помехой от шума.

Принимаем l=2, tf=3, m=12, R0=0,1, TIN = 2000 и N=15×15. На рисунке 11 ME ux,t представлены в зависимости от x. Хотя при большом шуме с s=0,1 решение имеет МЭ=3,29×10-2, где max ux,t равно 19,13.

При l=1, tf=2, m=15, R0=0,1, TIN=2000 и N=15×15 на рис. 12 сплошной линией показана МЭ ux,t по x, из которых ME =4,03×10−3, а max ux,t равно 1. Тогда берем tf=4 и N=25×25, а остальные параметры остаются прежними. На рисунке 12 пунктирная линия показывает ME(u) по отношению к x, где ME = 2,73×10–3.

Когда мы расширяем область до l=3 и tf=4, ME увеличивается до 8,52×10−2. Однако мы можем взять R0=0,001 и N=30×30 и уменьшить ME до 6,16×10−2. Таким образом, можно видеть, что увеличение номера сетки N и уменьшение характерной длины R0 может повысить точность расчета.

7. Сложные двусторонние нелокальные ГУ

Метод, представленный в разделе 5, легко адаптируется для решения задачи о обратных нелокальных волнах при сложных двусторонних нелокальных ГУ:

Ключевая функция E0x,t в теореме 1 изменена на

где нелокальные функции формы выводятся из

.

Подставляя уравнение (67) и wx,t=xi−jtj−1 в уравнение (46), мы можем сгенерировать базис Паскаля

Пример   9

. Пусть

, где

и ux,t=expx−2t — точное решение.

Для этой задачи мы можем вывести

Underl=3,m=10,R0=1, TIN=2000 и N=20×20, на рисунке 14 сплошная линия отображает ME(u) относительно toxfortf=0,5, из которых МЭ=3,92×10-3, а пунктирная линия отображает ME(u) относительно x fortf=1, из которых ME=4,94×10-2. Обратите внимание, что max(u) = 17,76. При рассмотрении m=20, l=5 и tf=1 ME(u) по отношению к xi показано на рисунке 15, где ME = 3,292×10-1, а maxux,tis 124,97. Результат показывает, что решение этого метода является приемлемым. Следовательно, мы успешно применяем НСЛБФ для решения волновой задачи с двусторонними нелокальными BC, особенно для обратной задачи по времени.

8. Заключение

В данной работе развиты численные решения прямой и обратной неоднородных волновых задач с нелокальными граничными условиями. Когда на границах не заданы граничные условия, решение может иметь большую граничную ошибку. По этой причине такие нелинейные задачи трудно решать обычными численными методами, особенно при решении задачи о обратных нелокальных волнах. Чтобы уменьшить граничную ошибку и повысить точность вычислений с помощью метода NLBSF, мы позволили свободной функции быть треугольником Паскаля, а затем решением было взвешенная суперпозиция полных базисов Паскаля. Эти базисные функции автоматически удовлетворяют левому граничному условию, нелокальному правому граничному условию и двум начальным условиям для прямой нелокальной волновой задачи или двум конечным временным условиям для обратной нелокальной волновой задачи. Мы привели четыре примера прямой задачи о нелокальных волнах, подтверждающие, что нелокальное волновое уравнение может быть решено быстро и точно.