Как решить систему неравенств с двумя переменными: Уравнения и неравенства с двумя переменными — урок. Алгебра, 11 класс.

Системы неравенств с двумя переменными

Урок 20. Алгебра 9 класс ФГОС

На этом уроке вводится понятие решения системы неравенств с двумя переменными, а также рассматриваются различные примеры решения таких систем.

Конспект урока «Системы неравенств с двумя переменными»

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающие данное неравенство в верное числовое неравенство.

Определение:

Решением системы неравенств называются пара значений переменных, обращающая каждое неравенство системы в верное числовое неравенство.

Проверим, являются ли решениями системы пары чисел. Система состоит из двух неравенств, подставим значения в систему:

Получаем, что пара чисел системы а) и г) являются решениями, а пара чисел системы б) и в) — не являются решениями.

Понятно, что если каждое неравенство может иметь множество решений, то и общих решений может найтись большое количество.

Изобразим на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

Найдём множество решений первого неравенства:

Изобразим график:

Решением будет множество точек расположенных ниже прямой.

Найдём множество решений второго неравенства:

Изобразим график уравнения:

Решением будет множество точек расположенных ниже прямой.

Изобразим множества решений неравенств в одной координатной плоскости:

Видим их общие решения, которые являются решением системы неравенств.

Изобразим на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

Изобразим множество решений первого неравенства:

Изобразим график уравнения:

Решением неравенства будет множество точек находящихся ниже прямой.

Перейдём ко второму неравенству системы:

Изобразим график:

Решением неравенства будет множество внутренних точек круга.

Пересечение полученных множеств и является решением данной системы неравенств.

 

Изобразим на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

Решением первого неравенства будет множество внутренних точек круга:

Решением второго неравенства будет множество, состоящее из точек, находящихся вне круга.

Пересечение полученных множеств и является решением данной системы:

Изобразим на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

Изобразим множество решений ещё одной системы неравенств.

Решением первого неравенства будет множество точек находящихся между ветвями гиперболы. Решением второго неравенства будет множество внутренних точек круга.

Фигура, полученная в результате пересечения двух решений, представляет собой множество решений данной системы.

Предыдущий урок 19 Неравенства с двумя переменными

Следующий урок 21 Последовательности

Получите полный комплект видеоуроков, тестов и презентаций Алгебра 9 класс ФГОС

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт

19.2. Решение систем M линейных неравенств с двумя переменными

Дана система Т линейных неравенств с двумя переменными

Знаки некоторых или всех неравенств могут быть ≥.

Рассмотрим первое неравенство в системе координат Х1ОХ2. Построим прямую

Которая является Граничной прямой.

Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости 1 и 2 (рис. 19.4).

Полуплоскость 1 содержит начало координат, полуплос­кость 2 не содержит начала координат.

Для определения, по какую сторону от граничной прямой расположена заданная полуплоскость, надо взять произволь­ную точку на плоскости (лучше начало координат) и подста­вить координаты этой точки в неравенство. Если неравенство справедливо, то полуплоскость обращена в сторону этой точки, если не справедливо, то в противоположную от точки сторону.

Направление полуплоскости на рисунках показываем стрел­кой.

Определение 15. Решением каждого неравенства систе­мы является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее.

Определение 16. Пересечение полуплоскостей, каждая из ко­торых определяется соответствующим неравенством системы, называется Областью решения системы (ОР).

Определение 17. Область решения системы, удовлетворяю­щая условиям неотрицательности (Xj ≥ 0, J = ), называ­ется Областью неотрицательных, или допустимых, решений (ОДР).

Если система неравенств совместна, то ОР и ОДР могут быть многогранником, неограниченной многогранной облас­тью или одной точкой.

Если система неравенств несовместна, то ОР и ОДР — пус­тое множество.

Пример 1. Найти ОР и ОДР системы неравенств и опреде­лить координаты угловых точек ОДР

Решение. Найдем ОР первого неравенства:

Х1 + 3X2 ≥ 3. Построим граничную прямую Х1 +3X2 – 3 = 0 (рис. 19.5). Под­ставим координаты точки (0,0) в неравенство: 1∙0 + 3∙0 > 3; так как координаты точки (0,0) не удовлетворяют ему, то решени­ем неравенства (19.1) является полуплоскость, не содержащая точку (0,0).

Аналогично найдем решения остальных неравенств систе­мы. Получим, что ОР и ОДР системы неравенств является выпуклый многогранник ABCD.

Найдем угловые точки многогранника. Точку А определим как точку пересечения прямых

Решая систему, получим А(3/7, 6/7).

Точку В найдем как точку пересечения прямых

Из системы получим B(5/3, 10/3). Аналогично найдем коорди­наты точек С и D: С(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

Пример 2. Найти ОР и ОДР системы неравенств

Решение. Построим прямые и определим решения не­равенств (19.5)-(19.7). ОР и ОДР являются неограниченные многогранные области ACFM и ABDEKM соответственно (рис. 19.6).

Пример 3. Найти ОР и ОДР системы неравенств

Решение. Найдем решения неравенств (19.8)-(19.10) (рис. 19.7). ОР представляет неограниченную многогранную область ABC; ОДР — точка В.

Пример 4. Найти OP и ОДР системы неравенств

Решение. Построив прямые, найдем решения неравенств системы. ОР и ОДР несовместны (рис. 19.8).

< Предыдущая		Следующая >

Решение систем линейных неравенств с двумя переменными

Алгебра колледжа/Решение систем линейных неравенств/Решение систем линейных неравенств с двумя переменными

• Обзор
• Словарь
• Графическое отображение неравенств с двумя переменными 900 Переменные
• Линейное программирование
• Решение систем нелинейных неравенств

Решение системы линейных неравенств представлено на графике как перекрытие заштрихованных областей, представляющих решения отдельных неравенств.

Система неравенств представляет собой набор неравенств, которые используются одновременно. Решение системы неравенств представляет собой набор значений переменных в системе, которые делают каждое неравенство в системе истинным. Множество решений системы неравенств часто представляет собой бесконечное множество точек. Множество решений может быть представлено путем графического отображения неравенств в системе на одной и той же координатной плоскости и определения области, в которой их решения перекрываются. В некоторых случаях система неравенств может не иметь решения. На графе системы неравенств, не имеющей решения, решения неравенств системы не пересекаются.

График системы линейных неравенств

Решить систему неравенств.

{y≤x+85x−y<−4\begin{cases}\begin{aligned}y &\leq x+8 \\ 5x-y &< -4 \end{aligned}\end{cases}{ y5x−y≤x+8<−4​

Решите неравенства для yyy .

Первое неравенство уже решено для yyy.

y≤x+8y \leq x+8y≤x+8

Решите второе неравенство для yyy. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число не забудьте поменять местами знак неравенства.

5x−y<−4−5x+5x−y<−5x−4−y<−5x−4−1(−y)>−1(−5x−4)y>5x+4\begin{выровнено }5x-y&<-4\\-5x+5x-y&<-5x-4\\-y&<-5x-4\\-1(-y)&>-1(-5x-4)\\y& >5x+4\end{выровнено}5x−y−5x+5x−y−y−1(−y)y​<−4<−5x−4<−5x−4>−1(−5x−4) >5x+4​

Нарисуйте граничные линии.

Используйте сплошную линию для:

y≤x+8y \leq x+8y≤x+8

Используйте пунктирную линию для:

у>5х+4у>5х+4у>5х+4

Символ неравенства в y≤x+8y \leq x+8y≤x+8 равен ≤\leq≤, поэтому заштрихуйте его ниже граничной линии.

Символ неравенства в y>5x+4 y > 5x+4y>5x+4 равен >\gt>, поэтому заштрихуйте его над граничной линией.

Решением является область, в которой две заштрихованные области перекрываются.

Проверьте решение, выбрав контрольную точку из заштрихованной области, которая не находится ни на одной из граничных линий. Затем подставьте координаты в оба неравенства, чтобы убедиться, что каждое из них верно.

Точка (0,6)(0,6)(0,6) находится на пересечении заштрихованных областей и не лежит ни на одной из прямых.

Первое неравенство:

y≤x+8(6)≤?(0)+86≤8✓\begin{align}y&\leq x + 8\\(6)&\stackrel{?}{\leq} (0)+ 8\\6&\leq 8 & \checkmark\end{align}y(6)6​≤x+8≤?​(0)+8≤8​✓​

Второе неравенство:

5x−y<−45(0)−(6)

Оба неравенства верны, поэтому область, содержащая (0,6)(0,6)(0,6), является решением.

График системы линейных неравенств без решения

Решить систему неравенств.

{y<4x−44x−y≤−6\begin{cases}\begin{aligned}y &< 4x-4 \\ 4x-y &\leq -6 \end{aligned}\end{cases}{ y4x−y​<4x−4≤−6​

Решите неравенства для yyy.

Первое неравенство уже решено для yyy.

y<4x−4y<4x-4y<4x−4

Решите второе неравенство для yyy. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число не забудьте поменять местами знак неравенства.

4x-y≤-6-4x+4x-y≤-4x-6-y≤-4x-6-1(-y)≥-1(-4x-6)y≥4x+6\begin{выровнено }4x-y&\leq -6\\-4x+4x-y&\leq -4x-6\\-y&\leq -4x-6\\-1(-y)&\geq -1(-4x-6 )\\y&\geq 4x+6\end{выровнено}4x−y−4x+4x−y−y−1(−y)y​≤−6≤−4x−6≤−4x−6≥−1( −4x−6)≥4x+6​

Нарисуйте граничные линии. Линии имеют одинаковый наклон, но разные yyy-перехваты. Это означает, что они параллельны, поэтому не пересекаются.

Используйте пунктирную линию для y<4x−4y \lt 4x-4y<4x−4.

Используйте сплошную линию для y≥4x+6y \geq 4x+6y≥4x+6.

Символ неравенства в y<4x−4y < 4x-4y<4x−4 равен <\lt<, поэтому заштрихуйте его ниже граничной линии.

Символ неравенства в y≥4x+6y \geq 4x+6y≥4x+6 равен ≥\geq≥, поэтому заштрихуйте его над граничной линией.

Заштрихованные области не перекрываются, поэтому решения нет.

7.3 Системы нелинейных уравнений и неравенств: две переменные — Колледжская алгебра 2e

Цели обучения

В этом разделе вы:

• Решите систему нелинейных уравнений с помощью замены.
• Решите систему нелинейных уравнений методом исключения.
• Нарисуйте график нелинейного неравенства.
• Нарисуйте график системы нелинейных неравенств.

Комета Галлея (рис. 1) совершает оборот вокруг Солнца примерно раз в 75 лет. Его путь можно рассматривать как очень вытянутый эллипс. Другие кометы следуют аналогичным путям в космосе. Эти орбитальные траектории можно изучать с помощью систем уравнений. Эти системы, однако, отличаются от тех, которые мы рассмотрели в предыдущем разделе, потому что уравнения не являются линейными.

Рисунок 1 Комета Галлея (кредит: «NASA Blueshift»/Flickr)

В этом разделе мы рассмотрим пересечение параболы и прямой, окружности и прямой, окружности и эллипса. Методы решения систем нелинейных уравнений аналогичны методам решения линейных уравнений.

Решение системы нелинейных уравнений с помощью подстановки

Система нелинейных уравнений — это система двух или более уравнений с двумя или более переменными, содержащая хотя бы одно нелинейное уравнение. Напомним, что линейное уравнение может иметь вид Ax+By+C=0.Ax+By+C=0. Любое уравнение, которое нельзя записать в таком виде, является нелинейным. Метод подстановки, который мы использовали для линейных систем, — это тот же метод, который мы будем использовать для нелинейных систем. Мы решаем одно уравнение для одной переменной, а затем подставляем результат во второе уравнение для решения другой переменной и так далее. Однако есть вариации возможных результатов.

Пересечение параболы и линии

Существует три возможных типа решений системы нелинейных уравнений, включающих параболу и прямую.

Возможные типы решений для точек пересечения параболы и прямой

На рис. 2 показаны возможные наборы решений для системы уравнений, включающей параболу и прямую.

• Нет решения. Линия никогда не пересечет параболу.
• Одно решение. Прямая касается параболы и пересекает параболу ровно в одной точке.
• Два решения. Прямая пересекает параболу внутри и пересекает параболу в двух точках.

Рисунок 2

Как

Дана система уравнений, содержащая прямую и параболу, найти решение.

1. Решите линейное уравнение для одной из переменных.
2. Подставьте выражение, полученное на первом шаге, в уравнение параболы.
3. Найдите оставшуюся переменную.
4. Проверьте свои решения в обоих уравнениях.

Пример 1

Решение системы нелинейных уравнений, представляющих параболу и прямую

Решение системы уравнений.

х-у=-1у=х2+1х-у=-1у=х2+1

Решение

Решите первое уравнение относительно xx, а затем подставьте полученное выражение во второе уравнение.

x−y=−1     x=y−1Найти x. y=x2+1     y=(y−1)2+1Подставить выражение для x.x-y=-1     x=y-1 Решить для x. y=x2+1     y=(y−1)2+1Подставьте выражение вместо x.

Расширьте уравнение и приравняйте его к нулю.

y=(y-1)2+1 =(y2-2y+1)+1 =y2-2y+20=y2-3y+2 =(y-2)(y-1)y=(y- 1)2+1 =(y2−2y+1)+1 =y2−2y+20=y2−3y+2 =(y−2)(y−1)

Решение для yy дает y=2y=2 и у=1.у=1. Затем подставьте каждое значение yy в первое уравнение для решения x.x. Всегда подставляйте значение в линейное уравнение, чтобы проверить наличие посторонних решений.

  x-y=-1x-(2)=-1        x=1x-(1)=-1        x=0  x-y=-1x-(2)=-1         x=1x-(1)=- 1        x=0

Решениями являются (1,2)(1,2) и (0,1),(0,1), что можно проверить, подставив эти значения (x,y)(x,y) в оба исходные уравнения. См. рис. 3.

Рис. 3

вопросы и ответы

Можем ли мы подставить значения yy во второе уравнение для решения xx в примере 1?

Да, но поскольку хх возводится в квадрат во втором уравнении, это может дать нам посторонние решения для х.х.

Для y=1y=1

y=x2+11=x2+1×2=0x=±0=0y=x2+11=x2+1×2=0x=±0=0

Это дает нам то же значение, что и в решение.

Для y=2y=2

y=x2+12=x2+1×2=1x=±1=±1y=x2+12=x2+1×2=1x=±1=±1

Примечание что −1−1 является посторонним решением.

Попытайся #1

Решите данную систему уравнений подстановкой.

3x-y=-22×2-y=03x-y=-22×2-y=0

Пересечение круга и линии

Как и в случае с параболой и прямой, при решении системы уравнений, представляющих окружность и прямую, возможны три исхода.

Возможные типы решений точек пересечения окружности и прямой

На рис. 4 показаны возможные наборы решений для системы уравнений, включающей окружность и прямую.

• Нет решения. Линия не пересекает окружность.
• Одно решение. Прямая касается окружности и пересекает окружность ровно в одной точке.
• Два решения. Прямая пересекает окружность и пересекает ее в двух точках.

Рисунок 4

Как

Дана система уравнений, содержащая прямую и окружность, найти решение.

1. Решите линейное уравнение для одной из переменных.
2. Подставьте выражение, полученное на первом шаге, в уравнение для окружности.
3. Найдите оставшуюся переменную.
4. Проверьте свои решения в обоих уравнениях.

Пример 2

Нахождение пересечения окружности и прямой подстановкой

Нахождение пересечения заданной окружности и заданной прямой подстановкой.

x2+y2=5y=3x−5×2+y2=5y=3x−5

Решение

Одно из уравнений уже решено для y.y. Подставим y=3x−5y=3x−5 в уравнение окружности.

x2+(3x−5)2=5×2+9×2−30x+25=510×2−30x+20=0x2+(3x−5)2=5×2+9×2−30x+25=510×2−30x+20=0

Теперь мы факторизуем и находим x.x.

10(x2-3x+2)=010(x-2)(x-1)=0x=2x=110(x2-3x+2)=010(x-2)(x-1)=0x= 2x=1

Подставьте два значения x в исходное линейное уравнение, чтобы найти y.y.

y=3(2)−5=1y=3(1)−5=−2y=3(2)−5=1y=3(1)−5=−2

Прямая пересекает окружность в точке ( 2,1)(2,1) и (1,−2),(1,−2), что можно проверить, подставив эти значения (x,y)(x,y) в оба исходных уравнения. См. рис. 5.

Рис. 5

Попытайся #2

Решить систему нелинейных уравнений.

x2+y2=10x-3y=-10×2+y2=10x-3y=-10

Решение системы нелинейных уравнений методом исключения

Мы видели, что подстановка часто является предпочтительным методом, когда система уравнений включает линейное уравнение и нелинейное уравнение. Однако, когда оба уравнения в системе имеют одинаковые переменные второй степени, решить их методом исключения путем сложения часто проще, чем подстановкой. Как правило, исключение является гораздо более простым методом, когда система включает только два уравнения с двумя переменными (система два на два), а не система три на три, поскольку шагов меньше. В качестве примера исследуем возможные типы решений при решении системы уравнений, представляющих окружность и эллипс.

Возможные типы решений точек пересечения окружности и эллипса

На рис. 6 показаны возможные наборы решений для системы уравнений, включающей окружность и эллипс.

• Нет решения. Окружность и эллипс не пересекаются. Одна фигура находится внутри другой или круг и эллипс находятся на расстоянии друг от друга.
• Одно решение. Окружность и эллипс касаются друг друга и пересекаются ровно в одной точке.
• Два решения. Окружность и эллипс пересекаются в двух точках.
• Три решения. Окружность и эллипс пересекаются в трех точках.
• Четыре решения. Окружность и эллипс пересекаются в четырех точках.

Рисунок 6

Пример 3

Решение системы нелинейных уравнений, представляющих окружность и эллипс

Решение системы нелинейных уравнений.

x2+y2=26(1)3×2+25y2=100(2)x2+y2=26(1)3×2+25y2=100(2)

Решение

Давайте начнем с умножения уравнения (1) на −3,−3 и добавления его к уравнению (2).

(−3)(x2+y2)=(−3)(26) −3×2−3y2=−78   3×2+25y2=100     22y2=22(−3)(x2+y2)=(−3)(26 ) −3×2−3y2=−78   3×2+25y2=100     22y2=22

После сложения двух уравнений вместе находим y. y.

y2=1y=±1=±1y2=1y=±1=±1

Подставьте y=±1y=±1 в одно из уравнений и найдите x.x.

x2+(1) 2 = 26 x2+1 = 26 x2 = 25 x = ± 25 = ± 5×2+( — 1) 2 = 26 x2+1 = 26 x2 = 25 = ± 5 x2+(1) 2 = 26 x2 +1=26              x2=25                x=±25=±5×2+(−1)2=26        x2+1=26                                             x2=25=±5

Имеется четыре решения: (5,1),(−5,1),(5,−1) и (−5,−1).(5,1),(−5,1),( 5,−1) и (−5,−1). См. рис. 7.

Рис. 7

Попытайся #3

Найдите набор решений для данной системы нелинейных уравнений.

4×2+y2=13×2+y2=104×2+y2=13×2+y2=10

График нелинейного неравенства

Все уравнения в системах, с которыми мы сталкивались до сих пор, включали равенства, но мы также можем столкнуться с системами, включающими неравенства. Мы уже научились отображать линейные неравенства, изображая соответствующее уравнение, а затем заштриховывая область, представленную символом неравенства. Теперь мы выполним аналогичные шаги для построения графика нелинейного неравенства, чтобы научиться решать системы нелинейных неравенств. Нелинейное неравенство — это неравенство, содержащее нелинейное выражение. График нелинейного неравенства очень похож на график линейного неравенства.

Напомним, что когда неравенство больше y>a,y>a или меньше y

Рис. 8 (а) пример y>a;y>a; (б) пример y≥a;y≥a; (c) пример y

Как

Для заданного неравенства, ограниченного параболой, нарисуйте график.

1. Нарисуйте параболу, как если бы это было уравнение. Это граница области, которая является набором решений.
2. Если граница включена в область (оператор ≤≤ или ≥≥ ), парабола изображается сплошной линией.
3. Если граница не входит в область (оператор < или >), парабола изображается пунктирной линией.
4. Проверить точку в одной из областей, чтобы определить, удовлетворяет ли она утверждению о неравенстве. Если утверждение истинно, набор решений представляет собой область, включающую точку. Если утверждение неверно, набор решений представляет собой область по другую сторону линии границы.
5. Закрасьте область, представляющую набор решений.

Пример 4

Построение графика неравенства для параболы

Построение графика неравенства y>x2+1.y>x2+1.

Решение

Сначала начертите соответствующее уравнение y=x2+1.y=x2+1. Так как y>x2+1y>x2+1 имеет символ больше, нарисуем график пунктирной линией. Затем мы выбираем точки для проверки внутри и снаружи параболы. Проверим точки
(0,2)(0,2) и (2,0).(2,0). Одна точка явно находится внутри параболы, а другая точка явно снаружи.

y>x2+12>(0)2+12>1Истина0>(2)2+10>5Ложь>x2+12>(0)2+12>1Истина0>(2)2+10>5Ложь

график показан на рисунке 9. Мы видим, что множество решений состоит из всех точек внутри параболы, но не на самом графике.

Рисунок 9

Построение графика системы нелинейных неравенств

Теперь, когда мы научились строить графики нелинейных неравенств, мы можем научиться строить графики систем нелинейных неравенств. Система нелинейных неравенств — это система двух или более неравенств с двумя или более переменными, содержащая хотя бы одно неравенство, которое не является линейным. Построение графика системы нелинейных неравенств аналогично построению графика системы линейных неравенств. Разница в том, что наш график может привести к большему количеству заштрихованных областей, представляющих решение, чем мы находим в системе линейных неравенств. Решением нелинейной системы неравенств является область графика, в которой перекрываются заштрихованные области графика каждого неравенства, или где области пересекаются, называемая допустимой областью.

Как

Дана система нелинейных неравенств, нарисуйте график.

1. Найдите точки пересечения, решив соответствующую систему нелинейных уравнений.
2. Нарисуйте график нелинейных уравнений.
3. Найдите заштрихованные области каждого неравенства.
4. Определите возможную область как пересечение заштрихованных областей каждого неравенства или набора точек, общих для каждого неравенства.

Пример 5

Построение графика системы неравенств

Построение графика данной системы неравенств.

x2−y≤02×2+y≤12×2−y≤02×2+y≤12

Решение

Эти два уравнения явно являются параболами. Мы можем найти точки пересечения методом исключения: сложите оба уравнения, и переменная yy будет исключена. Затем находим х.х.

x2−y=02×2+y=12____________     3×2=12       x2=4         x=±2×2−y=02×2+y=12____________     3×2=12       x2=4         x=±2

Подставьте значения x в одно из уравнений и найдите гг.

x2-y=0(2)2-y=04-y=0y=4(-2)2-y=04-y=0y=4×2-y=0(2)2-y=04-y =0y=4(−2)2−y=04−y=0y=4

Две точки пересечения: (2,4)(2,4) и (−2,4).(−2,4) ). Обратите внимание, что уравнения можно переписать следующим образом.

x2−y≤0x2≤yy≥x22x2+y≤12y≤−2×2+12×2−y≤0x2≤yy≥x22x2+y≤12y≤−2×2+12

Постройте график каждого неравенства. См. рис. 10. Допустимая область — это область между двумя уравнениями, ограниченными 2×2+y≤122×2+y≤12 сверху и x2-y≤0x2-y≤0 снизу.

Рисунок 10

Попытайся #4

Постройте график данной системы неравенств.

у≥x2-1x-y≥-1y≥x2-1x-y≥-1

7.

3 Секционные упражнения

Устный

1.

Объясните, может ли система двух нелинейных уравнений иметь ровно два решения. А если ровно три? Если нет, объясните почему. Если да, приведите пример такой системы в виде графика и объясните, почему ваш выбор дает два или три ответа.

2.

При построении графика неравенства объясните, почему нам нужно проверить только одну точку, чтобы определить, является ли решением вся область?

3.

Когда вы рисуете систему неравенств, всегда ли будет допустимая область? Если да, объясните почему. Если нет, приведите пример графа неравенств, не имеющего допустимой области. Почему у него нет допустимой области?

4.

Если построить график функции доходов и затрат, объясните, как определить, в каких регионах есть прибыль.

5.

Если вы проводите анализ безубыточности и существует более одного решения, объясните, как бы вы определили, какие значения x являются прибыльными, а какие нет.

Алгебраический

Для следующих упражнений решите систему нелинейных уравнений с помощью подстановки.

6.

  x+y=4×2+y2=9  x+y=4×2+y2=9

7.

        y=x−3×2+y2=9        y=x−3×2+y2=9

8.

        y=xx2+y2=9        y=xx2+y2=9

9.

        y=−xx2+y2=9        y=−xx2+y2=9

10.

        x=2×2−y2=9        x=2×2−y2=9

Для следующих упражнений решите систему нелинейных уравнений методом исключения.

11.

4×2−9y2=364×2+9y2=364×2−9y2=364×2+9y2=36

12.

x2+y2=25×2−y2=1×2+y2=25×2−y2=1

13.

2×2+4y2=42×2−4y2=25x−102×2+4y2=42×2−4y2=25x−10

14.

y2−x2=93×2+2y2=8y2−x2=93×2+2y2=8

15.

x2+y2+116=2500y=2x2x2+y2+116=2500y=2×2

В следующих упражнениях используйте любой метод решения системы нелинейных уравнений.

16.

−2×2+y=−5 6x−y=9−2×2+y=−5 6x−y=9

17.

−x2+y=2−x+y=2−x2+y=2−x+y=2

18.

x2+y2=1         y=20×2−1×2+y2=1         y=20×2−1

19.

x2+y2=1         y=−x2x2+y2=1         y=−x2

20.

2×3-x2=y          y=12-x2x3-x2=y          y=12-x

21.

9×2+25y2=225(x−6)2+y2=19×2+25y2=225(x−6)2+y2=1

22.

x4-x2=y x2+y=0x4-x2=y x2+y=0

23.

2×3-x2=y   x2+y=02×3-x2=y   x2+y=0

В следующих упражнениях используйте любой метод решения нелинейной системы.

24.

x2+y2=9        y=3−x2x2+y2=9        y=3−x2

25.

x2−y2=9         x=3×2−y2=9         x=3

26.

x2-y2=9         y=3×2-y2=9         y=3

27.

x2-y2=9   x-y=0x2-y2=9   x-y=0

28.

−x2+y=2−4x+y=−1−x2+y=2−4x+y=−1

29.

−x2+y=2        2y=−x−x2+y=2        2y=−x

30.

x2+y2=25×2−y2=36×2+y2=25×2−y2=36

31.

x2+y2=1       y2=x2x2+y2=1       y2=x2

32.

16×2−9y2+144=0               y2+x2=1616×2−9y2+144=0                     y2+x2=16

33.

     3×2−y2=12(x−1)2+y2=1     3×2−y2=12(x−1)2+y2=1

34.

     3×2−y2=12(x−1)2+y2=4     3×2−y2=12(x−1)2+y2=4

35.

3×2−y2=12×2+y2=163×2−y2=12×2+y2=16

36.

x2-y2-6x-4y-11=0                          –x2+y2=5×2–y2–6x–4y–11=0                                          –x2+y2=5

37.

x2+y2−6y=7         x2+y=1×2+y2−6y=7         x2+y=1

38.

x2+y2=6       xy=1×2+y2=6       xy=1

Графический

Для следующих упражнений постройте график неравенства.

39.

x2+y<9x2+y<9

40.

x2+y2<4x2+y2<4

Для следующих упражнений постройте график системы неравенств. Отметьте все точки пересечения.

41.

x2+y<1y>2xx2+y<1y>2x

42.

x2+y<−5y>5x+10×2+y<−5y>5x+10

43.

x2+y2<253x2−y2>12×2+y2<253x2−y2>12

44.

x2-y2>-4×2+y2<12x2-y2>-4×2+y2<12

45.

x2+3y2>163×2−y2<1x2+3y2>163×2−y2<1

Удлинители

Для следующих упражнений постройте график неравенства.

46.

y≥exy≤ln(x)+5y≥exy≤ln(x)+5

47.

y≤-log(x)y≤exy≤-log(x)y≤ex

Для следующих упражнений найдите решения нелинейных уравнений с двумя переменными.

48.

4×2+1y2=245×2−2y2+4=04×2+1y2=245×2−2y2+4=0

49.

6×2−1y2=81×2−6y2=186×2−1y2=81×2−6y2=18

50.

x2-xy+y2-2=0x+3y=4×2-xy+y2-2=0x+3y=4

51.

x2-xy-2y2-6=0x2+y2=1×2-xy-2y2-6=0x2+y2=1

52.

x2+4xy-2y2-6=0x=y+2×2+4xy-2y2-6=0x=y+2

Технология

Для следующих упражнений решите систему неравенств. Используйте калькулятор, чтобы построить график системы, чтобы подтвердить ответ.

53.

ху<1у>хху<1у>х

54.

x2+y<3y>2xx2+y<3y>2x

Реальные приложения

Для следующих упражнений постройте систему нелинейных уравнений, описывающую заданное поведение, затем найдите требуемые решения.

55.