404 Cтраница не найдена
Мы используем файлы cookies для улучшения работы сайта МГТУ и большего удобства его использования. Более подробную информацию об использовании файлов cookies можно найти здесь. Продолжая пользоваться сайтом, вы подтверждаете, что были проинформированы об использовании файлов cookies сайтом ФГБОУ ВО «МГТУ» и согласны с нашими правилами обработки персональных данных.
Размер:
AAA
Изображения Вкл. Выкл.
Обычная версия сайта
К сожалению запрашиваемая страница не найдена.
Но вы можете воспользоваться поиском или картой сайта ниже
|
|
Педагогический (научно-педагогический) составУравнение с комплексными числами : Анализ-II
Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
| Dosaev |
| ||
26/02/11 |
| ||
| |||
09.2013, 10:28 | nnosipov |
| |||
20/12/10 |
| |||
| ||||
09.2013, 10:30 | Dosaev |
| ||
26/02/11 |
| ||
| |||
09.2013, 10:36 | Dosaev |
| ||
26/02/11 |
| ||
| |||
09.2013, 12:26 | ewert |
| |||
11/05/08 |
| |||
| ||||
09.2013, 12:31 | nnosipov |
| |||
20/12/10 |
| |||
| ||||
09.2013, 12:36 | Dosaev |
| ||
26/02/11 |
| ||
| |||
09.2013, 13:06 | ewert |
| |||
11/05/08 |
| |||
| ||||
09.2013, 13:10 | nnosipov |
| |||
20/12/10 |
| |||
| ||||
09.2013, 13:12 | SpBTimes |
| |||
18/12/10 |
| |||
| ||||
09.2013, 13:16 | Dosaev |
| ||
26/02/11 |
| ||
| |||
09.2013, 13:29 | Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию |
| Страница 1 из 1 | [ Сообщений: 11 ] |
Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |
| Найти: |
отрицательно, значит, уравнение не имеет (действительных) корней, поэтому мы остановились.
Однако существуют числа, называемые комплексными числами , которые являются корнями такого квадратного уравнения. Итак, теперь вы узнаете, как решать квадратные уравнения, у которых комплексные числа являются корнями.
Корни полиномиального уравнения, которые являются действительными числами, также называются действительными нулями соответствующего многочлена. Точно так же корни полиномиального уравнения, которые являются комплексными числами, также называются комплексных нулей соответствующего многочлена.
Комплексные числа основаны на числах ???i???, которые определяются как ???\sqrt{-1}??? (то, что вам всегда говорили, не существует!). Мы называем ???i??? воображаемое число. Комплексное число — это число, которое можно записать в виде ???a+bi???, где ???a??? и ???б??? являются действительными числами. Если ???a=0???, комплексное число ???a+bi??? равно ???bi???, которое называется чисто мнимым числом .
2+bx+c=0???. 92}???
Как найти комплексные корни квадратного уравнения
Пройти курс
Хотите узнать больше об Алгебре 1? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂
Узнать больше
Составление квадрата комплексными корнями
Пример
Решить ???x??? заполнив квадрат. 92}=i\sqrt{3}???
Итак, мы получаем
???x+2=\pm i\sqrt{3}???
Найти ???x??? вычитая ???2??? с обеих сторон. Чтобы не было путаницы, поставьте ???-2??? перед ???\pm i\sqrt3???.
???x+2-2=-2\pm i\sqrt{3}???
???x=-2\pm i\sqrt{3}???
корни полиномиального уравнения, являющиеся комплексными числами, также называют комплексными нулями соответствующего многочлена.
92}=\frac32i???
Следовательно,
???x-\frac{3}{2}=\pm\frac{3}{2}i???
Найти ???x??? добавив ???3/2??? в обе стороны.
Во избежание путаницы поставьте ???3/2??? перед ???\pm(3/2)i???.
???x-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\pm\frac{3}{2}i???
???x=\frac{3}{2}\pm\frac{3}{2}i???
???x=\frac{3\pm3i}{2}???
Получить доступ к полному курсу Алгебра 1
Начать
Изучение математикиКриста Кинг математика, изучение онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, алгебра, алгебра 1, алгебра i, факторизация, завершение квадрата, квадратика, многочлены, дискриминант, отрицательный дискриминант, комплексные корни, мнимые корни, завершить квадрат, комплексные решения
0 лайков06 Комплексные числа — Наука по степеням
Звучит сложно, не так ли… В конце концов, в названии есть слово «комплекс». Это правда, что вам не обязательно пытаться учить этому шестилетнего ребенка (ну, во всяком случае, не многих), но попробуйте.
Эти вещи были представлены очень плохим отделом по связям с общественностью, поэтому не позволяйте названию «сложный номер» оттолкнуть вас.
Числа, которые мы используем для количественной оценки реальных величин, называются действительными числами. Поэтому, когда вы говорите, что на дереве 3 белки, или что ограничение скорости на французских автомагистралях составляет 130 км/ч, или что температура вашего морозильника/холодильника составляет -18,3 °C, то эти числа (3, 130, -18,3) — все действительные числа. Таким образом, комплексные числа должны быть чем-то другим, что не является количественным выражением обычных величин. На этой странице мы познакомим вас с тем, что такое комплексные числа и , а затем в разделах 12–14 мы увидим примеры их полезности в науке.
Чем они полезны?
При этом очень краткое описание полезности комплексных чисел может побудить вас дойти до конца страницы. Итак, начнем… Ученые любят комплексные числа, потому что оказывается, что они облегчают жизнь благодаря следующему маленькому «волшебному» трюку:
- Величины можно описать как комплексные числа (мы знаем, что еще не описали, что это значит)
- Математика может быть «выполнена» с комплексными числами — и математика часто оказывается проще, чем если бы мы попытались избежать комплексных чисел и сделать это каким-то другим способом
- «Комплексный ответ» можно превратить обратно в «обычное» число
- И каким-то образом «обычный числовой ответ» описывает то, что происходит на самом деле
Кажется, Вселенная знает, что с физическими величинами, измеряемыми действительными числами, проще обращаться с помощью комплексных чисел.
Это какое-то чудо, или колдовство, или волшебство, или что-то в этом роде…
Квадратные уравнения в науке
Итак, мы еще не совсем рассказали вам, что такое комплексные числа. Но мы к этому идем, обещаем. И для этого мы вернемся к ситуации, которую мы до сих пор использовали для нескольких целей — движение снаряда. В видео ниже мы определяем, сколько времени требуется объекту, сброшенному со скалы, чтобы достичь двух разных высот. Если не заморачиваться с видео, то:
- Позор вам – простите, шучу!
- После этого будет краткое изложение
Подытожим видео:
- На вопрос «в какое время было вертикальное смещение -50 м», мы получили два решения. Решения с вещественными числами. Одним из таких решений для действительных чисел было отрицательное число, которое на первый взгляд выглядит странно, когда речь идет о времени, но мы все же можем придать ему физический смысл .
- \(a=1\)
- \(б=-2\)
- \(с=-10\)
- Величины можно описать как комплексные числа
- С ними можно «сделать математику» — и математика зачастую оказывается проще, чем если бы мы попытались избежать комплексных чисел и сделать это каким-то другим способом.
- И тогда «реальную» часть ответа можно сохранить, а мнимую отбросить.
- И каким-то образом ответ описывает то, что происходит в реальном мире.
- Кажется, Вселенная знает, что с физическими величинами, измеряемыми действительными числами, проще обращаться с помощью комплексных чисел.
2-2t+10 =0\), мы имели в виду реальный, физический смысл уравнений. Однако эти уравнения могут представлять общий интерес для людей, изучающих математику, а не науку — они, конечно, не должны относиться к движению снаряда. Они могут относиться к чему-то другому или вообще ни к чему и просто существовать сами по себе. Итак, давайте немного поиграем в математику и посмотрим, к чему это нас приведет. 92-4ac}}{2a}\)Откуда берется квадратичная формула? Вы можете вывести его самостоятельно, если знакомы с техникой «завершения квадрата». В противном случае, если вы хотите, вы можете позволить кому-то другому сделать это за вас — попробуйте это в Maths Is Fun.
Первое из наших уравнений легко решается этим методом, подставляя значения:
и это мы видели на видео. Подводя итоги и очень медленно выполняя алгебраические шаги, мы получаем: 92-4\times 1\times 10)}}{2\times1}\)
Внешне это выглядит похоже на нашу предыдущую работу, но изменение квадратного корня с -10 на 10 имеет огромное значение, потому что мы заканчиваем up, требующий квадратного корня из отрицательного числа.
2=-1\). \(i\) обозначает «воображаемый», и именно здесь появляется комментарий о том, что у комплексных чисел плохой отдел по связям с общественностью, потому что математики могут утверждать, что \(i\) – такое же хорошее число, как и «действительные числа». – мы оставим этот аргумент до конца страницы.
Чем бы ни был \(i\), он НЕ является единичным вектором \(\mathbf{i}\) в направлении \(x\) в декартовых координатах (см. раздел 11)!
Воображаемое число \(i\) определенно отличается от действительных чисел тем, что оно не помещается на числовой прямой, которой нас учат в школе (действительные числа подходят). Наиболее очевидными числами на числовой прямой являются натуральные числа — числа, которыми мы считаем. 1, 2 и 3 являются примерами натуральных чисел, а натуральные числа являются подмножеством действительных чисел.
3/2, или 1,5, не является натуральным числом, но у большинства людей не возникает проблем с расширением своего мысленного представления о числовой прямой для работы с такими дробными числами.
Точно так же в какой-то момент человеческой истории люди поняли, что им нужны числа меньше нуля. Правда, если у вас есть три яблока, пять яблок убрать довольно сложно, но если на улице 3 °С, вполне возможно, что станет холоднее на 5 °С. Тогда будет -2°C. И вы могли бы утверждать, что -2 яблока имеет смысл, если вы понимаете, что это означает «в долгу на 2 яблока». В конце концов, именно так работают балансовые отчеты компаний. Таким образом, числовая линия была продлена влево после нуля. Когда мы молоды, у многих из нас есть небольшие проблемы с ассимиляцией этой идеи в наше мировоззрение, но мы достигаем этого, будучи еще детьми. Многие школьники с удовольствием ежедневно оперируют отрицательными числами.
Возникла необходимость в других расширениях числовой строки. Может показаться, что при составлении дробей с любыми числителем и знаменателем (выбранными из бесконечности натуральных чисел) мы должны иметь возможность составить каждое число на числовой прямой между натуральными числами.
Не так! \(\pi\) и \(e\) – два примера действительных чисел, которые нельзя представить в виде дробей. Такие числа называются иррациональными.
Дело, однако, в том, что натуральные, дробные, отрицательные и иррациональные числа можно разместить на числовой прямой действительных чисел, тогда как \(i\) нельзя. В этой числовой строке нет числа, которое при умножении само на себя дает результат -1. Отсюда использование слова «воображаемый» для описания \(i\).
А пока вот еще забавная числовая строка…
Что такое комплексные числа…
Комплексные числа — это числа с действительной и мнимой частями. Комплексное число \(3+4i\) имеет действительную часть (\(3\)) и мнимую часть (\(4\)). Обе части описываются вещественными числами (в данном случае 3 и 4). Однако «части» не обязательно должны быть 90 211 натуральными 90 212 числами: они могут быть дробными, отрицательными и даже иррациональными. Они также могут быть нулевыми. Итак, \(-45\), \(0\), \(3i\), \(3+4i\), \(1,726-16i\) — все это комплексные числа.
С этой точки зрения действительные числа — это просто комплексные числа с нулевой мнимой частью.
Здесь произошло нечто поучительное! Мы использовали некоторые умственные способности, чтобы обобщить наш повседневный опыт (действительные числа) и изобрести более абстрактную величину (комплексные числа). А потом мы сказали, что конкретная величина (действительные числа) — это всего лишь частный случай более общей величины. Мы «изобрели» или «открыли» более абстрактную величину?
Это постоянно происходит в науке, особенно в математике. Вот почему некоторые математики говорят, что комплексные числа получают несправедливую прессу — это всего лишь числа, а действительные числа — лишь некоторые из них! Однако в то время как большинству из нас удалось расширить нашу ментальную числовую линейку, включив в нее дробные и отрицательные числа, и некоторые из нас могут быть счастливы принять иррациональные числа, многим людям гораздо труднее расширить свое мировоззрение, включив в него комплексные числа.
веские причины для этого. В конце концов, температуры -2 °C и 3/2 °C можно изобразить так, что это имеет физический смысл, тогда как (3+4i) °C на самом деле нельзя… 92-2x+10=0\) не имеет действительных решений (как мы знаем), но имеет ли два комплексных решения, \(-1+3i\) и \(-1-3i\).
Не думайте, что комплексные числа появляются только при попытке решить квадратные уравнения, не имеющие действительных решений. Они возникают повсеместно. Квадратные уравнения просто подходили нам как «путь» к концепции. И если мы попытаемся думать о \(t=-1\pm3i\) как о решениях, когда снаряд находится на высоте 50 м над начальной точкой, это нам не очень поможет — мы уже знаем, что он никогда не достигал этой высоты. , и представить себе \(-1\pm3i\) секунд времени, мягко говоря, непросто! Однако существует множество примеров, когда сложные решения полезны в науке, и именно этому посвящены разделы с 12 по 14. В оставшейся части этой страницы мы покажем вам некоторые полезные свойства комплексных чисел, теперь, когда вы знаете, что они такие .
Представление комплексных чисел: комплексная плоскость
Как мы уже говорили, комплексное число \(3+4i\) имеет действительную часть (3) и мнимую часть (4). Действительная часть «живет» на нормальной числовой прямой. А мнимая часть — нет. Так куда мы его положим? Если мы проведем ось под прямым углом к числовой прямой, чтобы представить мнимую часть комплексного числа, то мы только что образовали «комплексную плоскость», которую иногда называют «диаграммой Аргана».
Он должен быть под прямым углом, иначе у него будет некоторая «компонента» вдоль вещественной оси (см. Раздел 11), а этого не будет, потому что по определению мы знаем, что он нереален.
Тогда координаты (3, 4) на комплексной плоскости представляют собой комплексное число 3 + 4i.
Если вы знакомы с идеей формирования векторов из двух перпендикулярных компонент (см. раздел 11), то вы можете заметить сходство с комплексной плоскостью. \(3\) и \(4i\) можно рассматривать как действительные и мнимые «компоненты» (части) комплексного числа \(3+4i\).
2}=5\), что очень похоже на нахождение «величины» вектора из его компоненты. 92}\), можно выразить в полярных координатах. Его действительная и мнимая части равны:
\(x=r\cos{\theta}\)
и
\(y=r\sin{\theta}\)
, где \(\theta\ ) – это угол (против часовой стрелки) между действительной осью и комплексным числом. Эти отношения следуют непосредственно из определения тригонометрических отношений, синуса и косинуса; если вы не находите это интуитивно очевидным, вы можете заглянуть в раздел 11, где мы используем ту же математику для разложения вектора на его компоненты.
Тогда имеем следующее, где «декартова» форма комплексного числа слева приравнивается к его «полярной» форме справа:
\(\displaystyle x+iy=r\cos{\theta} +ir\sin{\theta}\)
или, разлагая на множители\(r\):
\(\displaystyle x+iy=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta}) \)
Эта эквивалентность оказывается для ученых абсолютным золотым песком, и в значительной степени является причиной, по которой ученые так любят комплексные числа.
Вам может быть неочевидно, что это произведет революцию в вашей науке, поэтому мы посвятим раздел 12 объяснению, почему это так важно. Подсказка заключается в том, что действительная часть комплексного числа включает косинус, а мнимая часть включает синус. Это делает комплексные числа действительно полезными в областях, связанных с колебательными или вращательными величинами в механических или электрических системах. 9*\) — действительное число, равное квадрату модуля \(z\).
Более фундаментальная причина важности комплексно-сопряженных чисел приведена в разделе 22.5 тома 1 Фейнмановских лекций по физике, которые вы можете найти здесь.
Напоминание о том, зачем мы это сделали
Мы еще не видели случая, когда комплексные числа были бы полезны ученым. Ведь когда мы пытались и не смогли решить квадратное уравнение относительно времени, в которое мяч находится на высоте 50 м над исходной позицией, нас удовлетворил ответ «он не достигает» высоты 50 м. Нас не интересовало решение \(t=-1 \pm 3i\).
Итак, когда комплексные числа полезны ученым? Что ж, эта страница была достаточно длинной, чтобы, возможно, стоило повторить магический трюк, набросанный вверху. Ученые любят комплексные числа, потому что:
Мы знаем, что описание в этих пулях довольно схематично, поэтому мы рассмотрим его более подробно в Разделе 12. Это настолько важно, что мы посвятим два раздела, 13 и 14, их примерам…
Попытка сделать мир с математиками эта страница оскорбила…
Мы не пытаемся начать войну с математиками.
И на самом деле, есть много отличных математических ресурсов, которые очень хорошо объясняют комплексные числа. Одна из наших любимых — серия о мнимых числах от Welch Labs, первую из которых можно найти здесь.
В стремлении сделать комплексные числа «похожими на реальные» многие из этих ресурсов идут по тому же пути. Они, как и мы выше, обсуждают открытие/изобретение дробных, отрицательных и иррациональных чисел. Затем они говорят, что обобщение на комплексные числа столь же естественно, как и любое из предыдущих обобщений чисел. Это вполне может быть верно для математиков, и они, безусловно, вольны придерживаться этой точки зрения — математики не существуют ради ученых.
Тем не менее, мы беззастенчиво нацеливаем этот сайт на людей, занимающихся наукой, а не математикой, в конце аргумента. Ученые склонны думать о числах в менее абстрактных терминах, чем математики — см. статью в нашем блоге «Что означает 4380?». Для ученого числа имеют тенденцию количественно определять фактические количества, и с этой точки зрения, возможно, комплексные числа действительно отличаются от реальных чисел.