Как складывать степени с одинаковым основанием: Сложение степеней с одинаковыми показателями. Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

Содержание

Краткий конспект подготовки к ЗНО по математике №3 «Степень числа. Одночлены и многочлены. Модуль»

Урок 3. Степень числа. Одночлены и многочлены. Модуль.

Свойства степени с натуральным показателем

– степень с натуральным показателем, здесь a – основание степени, n – показатель степени;

Свойства степеней с одинаковыми основаниями:
1) – для того, чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели, основание оставить тем же самым;
2) – чтобы разделить степени с одинаковым основанием, их показатели нужно вычесть, а основание оставить тем же самым;
3) – для того, чтобы степень возвести в степень, нужно перемножить показатели степени, а основание оставить без изменений.

Некоторые важные равенства:

;
.

Свойства степеней с одинаковыми показателями:
– при умножении степеней с одинаковым показателем, нужно перемножить основания и возвести результат в исходную степень;
, b≠0 – чтобы разделить степени с одинаковыми показателями, нужно разделить основания и возвести результат в исходную степень.

Степень с нулевым показателем

, т.к. .
Действие не имеет смысла.

Степень с отрицательным показателем

В случае, если дробь возводится в отрицательную степень, её можно упростить так:

Упрощение выражений, содержащих степени

Пример: вычислить .

Решение: приведем все степени к основанию 2 и воспользуемся свойствами степеней с одинаковым основанием:.

Ответ: 1024.

Одночлен и многочлен (общие сведения)

Одночлен – это математическое выражение, которое состоит из произведения чисел и переменных, каждая из которых может входить в произведение в некоторой степени. Пример: .

Стандартный вид одночлена – это произведение, составленное из числового множителя и степеней различных переменных, при чем каждая переменная входит в запись только один раз. Числовой множитель называется коэффициентом одночлена.

Для того, чтобы привести одночлен к стандартному виду, достаточно перемножить все числовые множители и поставить получившееся число на первое место. Затем перемножить все степени с одинаковым основанием.

Подобные одночлены – это одночлены с одинаковой буквенной частью. Подобные одночлены (слагаемые) можно складывать и вычитать – при этом действие производится только над коэффициентами, буквенная часть остается неизменной. Пример:

2ax+7ax-3ax=(2+7-3)ax=6ax

Многочлен – это алгебраическое выражение, представляющее собой сумму/разность одночленов. Стандартным видом многочлена называется такая запись многочлена, при которой все входящие в него одночлены записаны в стандартном виде и приведены подобные слагаемые. Пример: 2x²-3x+5.

Сумма и разность многочленов, правила раскрытия скобок, приведение подобных слагаемых

При сложении или вычитании многочленов получается новый многочлен, вся суть операции заключается в том, чтобы привести этот новый многочлен к стандартному виду.
Приведение подобных слагаемых многочлена состоит в том, что нужно сложить или вычесть все входящие в него подобные одночлены между собой.
При раскрытии скобок в случае сложения и вычитания многочленов нужно знать, если перед скобкой стоит знак плюс, то скобки просто убираются и многочлен, который был в скобках, переписывается с сохранением всех знаков. Если же перед скобкой стоит знак минус, то когда скобки убираются, знак КАЖДОГО члена многочлена, стоявшего в этих скобках, меняется на противоположный. Здесь также поможет простое правило: «Плюс на плюс дает плюс, минус на плюс дает минус, минус на минус дает плюс».
Пример: (2ab+x-xy)+(ab-5xy)-(6x-ab)=2ab+x-xy+ab-5xy-6x+ab=4ab-5x-6xy.

Умножение многочлена на многочлен

При умножении многочленов нужно соблюдать единственное, но очень важное правило: каждый член первого многочлена нужно умножить на каждый член второго многочлена и записать алгебраическую сумму полученных произведений.
Пример: (2x+y)(x-a+1)=2x•x+2x•(-a)+2x•1+y•x+y•(-a)+y•1=2x²-2ax+2x+xy-ay+y. После выполнения умножения нужно привести многочлен к стандартному виду (в рассмотренном примере получен многочлен стандартного вида, поэтому приведение не нужно).

Модуль

Расстояние от точки на координатной прямой до нуля называется модулем числа, т.е. модулем координаты данной точки:

Следовательно, значение модуля всегда неотрицательно.
– варианты раскрывания модуля.
Пример: величина отрицательная).

Тесты подготовки к ЗНО:

Онлайн-тест подготовки к ЗНО по математике №3 «Степень числа»

Что такое 7 законов показателей? – Обзоры Вики

Законы экспонентов

Произведение правила степеней.
Правило отношения сил.
Сила силового правила.
Сила правила продукта.
Сила частного правила.
Правило нулевой мощности.
Правило отрицательной экспоненты.

Отсюда, каковы 5 законов экспоненты? Законы экспонентов

Умножение сил с одной и той же базой.
Разделение держав с одной и той же базой.
Сила власти.
Умножение степеней с одинаковыми показателями.
Отрицательные экспоненты.
Степень с экспонентой ноль.
Дробная экспонента.

Каковы 10 законов экспонент? Различные законы экспонент:

a ^m × а ⁿ = а. ^m⁺ⁿ
a ^m /a ⁿ = а. ^млн
(a ^m ) ⁿ = а. ^mn
a ⁿ /b ⁿ = (а / б) ⁿ
a ⁰ = 1.
a ^–^m = 1 / а. ^m

Дополнительно Каковы 6 законов показателей?

Правило 1 (продукт полномочий)
Правило 2 (Власть власти)
Правило 3 (Правила множественной мощности)
Правило 4 (Соотношение полномочий)
Правило 5 (сила частного)
Правило 6 (Отрицательные экспоненты)
Викторина.
Логарифмы.

Сколько законов в показателях? Есть семь экспонент правила или законы экспонентов, которые ваши ученики должны усвоить. Каждое правило показывает, как решать различные типы математических уравнений и как складывать, вычитать, умножать и делить показатели.

Какие законы экспоненты 9 класс?

Законы экспонент. При умножении одинаковых оснований основание должно оставаться неизменным и складывать экспоненты.. При возведении базы с одной степенью в другую, оставьте базу такой же и умножьте степень. При делении одинаковых оснований держите основание одинаковым и вычтите показатель знаменателя из показателя числителя.

Что такое 4 закона показателей? Законы показателей:

Умножение сил с одной и той же базой.
Разделение держав с одной и той же базой.
Сила власти.
Умножение степеней с одинаковыми показателями.

Что такое закон первой степени? Закон показателей:

Первый закон гласит, что умножить две экспоненциальные функции с одним и тем же основанием, мы просто добавляем показатели степени.

Как вы изучаете экспоненты?

Также Что такое показательные законы? Определение закона показателей

: одно из правил алгебры: показатели числа складываются при умножении чисел, вычитается при делении чисел и умножается при увеличении на еще одну экспоненту: a^m× aⁿ = а^m⁺ⁿ;^m÷ aⁿ = a^m^—ⁿ; (а^m) ⁿ = a^mn.

Что такое Е в математике?

Число e, также известное как число Эйлера, равно математическая константа, приблизительно равная 2.71828, и может быть охарактеризован многими способами. Это основание натуральных логарифмов. Это предел (1 + 1/n)ⁿ когда n приближается к бесконечности, это выражение возникает при изучении сложных процентов.

Как вы запишете 1 миллиард, используя экспоненту? 1 триллион можно записать как 1,000,000,000 XNUMX XNUMX XNUMX или представить как 109 . Как представить 2 миллиарда? Поскольку 2 миллиарда — это 2 раза по 1 миллиарду, то 2 миллиарда можно записать как 2×109 2×10 9 .

Как вы объясните закон показателей?

Законы экспоненты утверждают, что основанием является переменная, многократно умноженная сама на себя. Экспоненты показывают повторяющееся количество раз, когда число может быть умножено. Например, 4 х 4 х 4 можно представить как 4.³ где 3 — показатель степени, а 4 — основание.

Что значит 3²?

3 в квадрате 3² = 3 × 3 = 9. 4 в квадрате равно 4² = 4 × 4 = 16. 5 в квадрате равно 5² = 5 × 5 = 25. 6 в квадрате равно 6² = 6 × 6 = 36. 7 в квадрате равно 7² = 7 × 7 = 49.

Что такое 2-й закон экспоненты? Второй закон показателей

Когда мы разделяем силы одного и того же основания, это означает, что мы должны делать вычесть показатели. … Другими словами, все, что нам нужно, это разделить две степени с одинаковым показателем степени, тогда вычитание приведет к нулю.

Что такое 3-й закон показателей? Отвечать: При умножении одинаковых оснований основание должно оставаться неизменным и складывать экспоненты. . При возведении основания со степенью в другую степень оставьте основание прежним и умножьте показатели степени.

Что такое правило второй степени?

Это демонстрирует второе правило экспоненты: Всякий раз, когда у вас есть выражение экспоненты, возведенное в степень, вы можете упростить его с помощью умножение внешней силы на внутреннюю силу: ( Икс^m ) ⁿ = х ^млн. Если у вас есть продукт внутри круглых скобок и мощность в скобках, то мощность распространяется на каждый элемент внутри.

Пемдас слева направо? Порядок операций — это правило, указывающее правильную последовательность шагов для вычисления математического выражения. Мы можем запомнить порядок, используя PEMDAS: Круглые скобки, экспоненты, умножение и деление (слева направо), Сложение и вычитание (слева направо).

Как объяснить ребенку показатели?

Что означает показатель степени? показатель степени указывает, сколько раз базовое число умножается само на себя. Показатель степени имеет силу умножения. Например, показатель степени 2 означает, что основание числа 10 умножается само на себя 2 раза.

Почему используются экспоненты? Экспоненты — это просто сокращенный способ обозначения многократного умножения одного и того же самого на себя. … Показатели важны в математике, потому что они позволяют нам сокращать то, что в противном случае было бы очень утомительно писать.

Каковы законы экспонентов и примеров?

Законы экспонентов

закон	Пример
x ^m x ⁿ = х ^m⁺ⁿ	x ² x ³ = х ²⁺³ = х ⁵
x ^m /x ⁿ = х ^млн	x ⁶ /x ² = х ⁶^–² = х ⁴
(x ^m ) ⁿ = х ^mn	(x ² ) ³ = х ²^×³ = х ⁶
(ху) ⁿ = х ⁿ y ⁿ	(ху) ³ = х ³ y ³

Что означает Е8? E-8 (ранг) — рядовое звание в вооруженных силах США. E8, аббревиатура бейсбольного счета для ошибка центрального полевого игрока.

Кто открыл пи?

Пи, в математике, отношение длины окружности к ее диаметру. Символ π был изобретен Британский математик Уильям Джонс в 1706 году для представления отношения, а позже популяризировал швейцарский математик Леонард Эйлер.

Какова ценность пирога? В десятичной форме значение числа пи равно приблизительно 3.14. Но пи — иррациональное число, а это означает, что его десятичная форма не заканчивается (например, 1/4 = 0.25) и не повторяется (например, 1/6 = 0.166666…).

Миллиард или триллион больше?

В американской системе каждый из номиналов выше 1,000 миллионов (американский миллиард) в 1,000 раз больше предыдущего (один триллион = 1,000 триллионов; один квадриллион = 1,000 триллионов).

Как пишется триллион?

Что после триллиона? Триллион — это 1 с 12 нулями после него, и выглядит он так: 1,000,000,000,000. Следующее именованное число после триллиона — квадриллион, который равен 1 с 15 нулями после него: 1,000,000,000,000,000 XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX.

Что после квадриллиона? зиллион, gazillion или prillion — довольно большие числа. … Теперь после триллиона следует число, известное как квадриллион, а за ним следуют другие числа. Это квинтиллион, секстиллион, септиллион, октиллион, нониллион и дециллион.

Добавление показателей (примеры, правила + методы)

Добавление показателей — важный навык, который необходимо изучить на уроке алгебры . Знание того, как добавлять экспоненты, необходимо в более сложных математических темах и классах. Вот почему важно, чтобы вы овладели этой темой или, по крайней мере, освежили ее, прежде чем приступать к более сложным темам.

Основа и показатель степени термина — это два наиболее важных компонента, которые необходимо проверять при добавлении показателей степени или терминов с показателями степени. В этой статье вы узнаете, что стоит за этим утверждением. Вы также узнаете, как добавлять термины и важные шаги, необходимые при добавлении показателей. Приготовьте свой блокнот или блокнот, мы приготовили для вас много задач! 93, не могут быть объединены вместе еще больше.

Теперь, когда вы уверенно оцениваете термины, пришло время научиться добавлять показатели степени. Используйте то, что вы узнали в предыдущем разделе, и добавьте термины, которые имеют одну и ту же основу и показатель степени.

Каковы шаги при добавлении показателей?

При добавлении показателей степени необходимо выполнить два важных шага: 1) во-первых, убедиться, что два члена с показателями степени могут быть добавлены, и 2) применить правильную технику в зависимости от ответа на первом шаге.

При добавлении терминов с одинаковым основанием и показателем степени сложите коэффициенты и упростите сумму как один термин.
При добавлении терминов, не имеющих одинакового основания или показателя степени, единственный способ найти их сумму — сначала вычислить каждый термин, а затем сложить два значения.

Приведенные ниже примеры охватывают различные состояния, поэтому проверьте свое понимание, решая различные задачи. Используйте наше обсуждение для самостоятельной работы над элементами, используя наше обсуждение в качестве руководства, когда вам это нужно. Давайте начнем с самого простого примера — добавления двух терминов, которые удовлетворяют нашим желаемым условиям. 96+2).

Закон экспонент — II

Теперь мы можем немного расширить законы экспонент. Еще в арифметическом модуле мы узнали о распределительном законе. И действительно, распределительный закон — одна из самых больших, это действительно одна из больших математических идей. И, конечно же, закон распределения говорит, что P на M плюс или минус N, что мы можем сделать, так это просто умножить P по отдельности на каждый из этих членов.

Это Закон Распределения. Умножение опережает сложение и вычитание. Как оказалось, деление также распределяется между сложением и вычитанием. Точно так же показатели степени распределяются при умножении и делении. Итак, если у меня есть умноженное на b число n или деление a на число b на число n, я могу распределить показатель степени для каждого фактора.

Таким образом, a, умноженное на b на n, равно a на n, умноженное на b на n, a, деленное на b, эта дробь на n, равно a на n, деленное на b на n. Итак, мы можем распределить показатель степени по умножению или делению. Вот очень быстрый числовой пример. Предположим, у нас есть 18 в 8-м, мы знаем, что можем записать 18 как произведение, мы могли бы записать его как его простую факторизацию.

И, конечно же, простая факторизация числа 18 равна 2 умножить на 3 в квадрате. Таким образом, 18 в 8-м равно 2, умноженному на 3 в 8-м, в то время как мы можем распределить этот показатель степени на каждый из этих множителей. Мы получим 2 в 8-м, а затем получим 3 в квадрате в 8-м. А для 3 в квадрате до 8, конечно, вы будете использовать правило произведения степени на степень, что означает умножение показателей степени.

И получим 2 в 8-м раз 3 в 16-м. Итак, заметьте, очень легко перейти от простой факторизации к, от, индивидуального числа, к простой факторизации одной из его степеней.

Вот проблема с практикой. Поставьте видео на паузу, а потом мы поговорим об этом. Хорошо, в числителе все, что мы собираемся сделать, это умножить это 4.

Мы просто распределим его между каждым из этих членов. И для каждого из этих терминов у нас будет степень в степени, что означает умножение показателей. Итак, мы закончим с х до 8-го, у до 12-го. Тогда у нас есть, мы должны иметь дело с разделением. Ну, х в 8-й разделить на х в 5-й.

Мы вычитаем экспоненты, которые будут равны x в кубе. Y до 12-го, деленное на y до минус 5-го. Это будет 12 минус минус 5, что равно 12 плюс 5, что равно 17, и поэтому мы получаем x в кубе y до 17-го числа. Важно знать об очень распространенной и заманчивой ловушке, потому что она близка к истине.

Итак, теперь мы поговорим о ловушке. Во-первых, законно распределять умножение над сложением и вычитанием. Это 100% законно. Законно распределять показатели степени по умножению и делению. Это 100% законно.

Но незаконно распределять показатель степени над сложением и вычитанием. Так что эта строчка, это всего лишь лог дистрибутива, это на 100% легально. Это одна из фундаментальных закономерностей в математике. Это тоже, это тоже версия распределительного закона, мы распределяем показатель степени над умножением и делением, это тоже на 100% законно. Вещь, которая незаконна, распределяет экспоненту по сложению или вычитанию.

Это всегда незаконно. И на самом деле m плюс или минус n к p означает, что мы берем то, что в скобках, m плюс или минус n, и умножаем это само на себя p раз. Таким образом, это были переменные, которые нам пришлось бы несколько раз пресекать. Так что на самом деле вам никогда не придется этого делать, но просто важно помнить, что именно это и будет, а не умножение, не повышение индивидуальных условий этих сил.

И я скажу, что это очень сложно, потому что даже когда вы понимаете, что эта третья строка незаконна, врожденное программное обеспечение человеческого мозга для сопоставления с образцом испытывает искушение снова совершить эту ошибку, особенно когда вы находитесь под давлением.

Так что вам действительно нужно знать этот холод, чтобы даже когда вы идете на тест и испытываете стресс в середине теста, вы случайно не совершаете эту ошибку снова, потому что это очень заманчивая ловушка.

Снова давайте посмотрим на все это с цифрами. Вот как раз обычный распределительный закон с числами. Распределение умножения над сложением. Вот распределительный закон со степенями. Так что это распределение степени по умножению и делению, но было бы незаконным, если бы у нас было 8 плюс-минус 5 до 3-й.

Это не будет 8 к 3-му плюс-минус 5 к 3-му. И один из способов увидеть это — просто подумать, давайте просто возьмем случай вычитания. Если мы посмотрим на 8 минус 5 на 3-й, ну что это? Конечно, это 3 в 3-м, что равно 27. Тогда как, если бы мы посмотрели на что-то другое, 8 в кубе минус 5 в кубе. Что ж, 8 в кубе, как мы упоминали в других видео, равно 512.

5 в кубе равно 125, и если мы вычтем их, мы получим 387. И эти два числа не равны. Другими словами, мы получаем два разных числовых ответа, и поэтому мы не можем приравнивать эти вещи. Мы можем провести некоторые юридические расчеты, когда суммы представляют собой разности мощностей.

Сначала нам нужно вернуться к самой впечатляющей закономерности — Закону Распределения. Теперь это очень сложно. Когда мы читаем это уравнение слева направо, мы говорим, что мы распределяем P. Когда мы читаем это уравнение справа налево, мы говорим, что мы выносим на множители P. Таким образом, распределение и вынесение на множители — две стороны одной медали. Дело лишь в том, читаем ли мы это уравнение слева направо или справа налево, но это один и тот же фундаментальный паттерн.

Также важно помнить, что любая высшая степень основания делится на любую меньшую степень того же основания. Таким образом, в сумме более высокой мощности и более низкой мощности одного и того же основания. Величайшим общим фактором этих двух терминов является меньшая сила, мощность, и ее можно исключить, поскольку меньшая сила всегда является фактором более высокой силы.

Так, например, 17 до 30-го плюс 17 до 20-го. Ну, во-первых, мы знаем, что 17 в 30-й степени должно делиться на 17 в 20-й. Мы знаем, что одно является фактором другого. Итак, от 17 до 20 — это наибольший общий множитель этих двух терминов. Так что я это учту.

От 17 до 30, я могу записать это как от 17 до 20, умноженное на 17 до 10. По закону умножения степеней я могу записать это так. И, конечно, 17 в 20-м, я могу написать, что 17 в 20-м раз 1. Я выношу 17 в 20-й, и я получаю 17 в 20-м умножить на скобки, 17 в 10-м плюс 1. И это факторизованная форма этих полномочий.

Очевидно, что степени здесь слишком велики, чтобы упростить любой из этих результирующих членов, но если две степени в сумме ближе, иногда такое упрощение несложно. Так что я скажу поставить видео на паузу и посмотреть, сможете ли вы упростить это, а потом мы поговорим об этом. Хорошо. 94. Один из способов подумать об этом — если вы запомнили, что 3 в 4 — это 81, а 3 в 4 — это 3 в квадрате. Итак, 3 в квадрате равно 9, а 9 в квадрате равно 81.

Таким образом, это упрощается до 81.