Как смешанную дробь поделить на смешанную дробь: как смешанную дробь разделить на целое число и наоборот

Содержание

Смешанные числа

В предыдущих уроках было сказано, что дробь, состоящая из целой и дробной части, называется смешанной.

Все дроби, имеющие целую и дробную часть, носят одно общее название — смешанные числа.

Смешанные числа так же как и обыкновенные дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. В данном уроке мы рассмотрим каждое из этих действий по отдельности.

Сложение целого числа и правильной дроби

Встречаются задачи, в которых требуется сложить целое число и правильную дробь. Например, сложить число 2 и дробь . Чтобы решить этот пример, нужно число 2 представить в виде дроби . Затем сложить дроби с разными знаменателями:

А теперь внимательно посмотрим на этот пример. Смотрим на его начало и на его конец. Начало у него выглядит так: , а конец так: . Различие в том, что в первом случае число 2 и дробь соединяются знаком сложения, а во втором случае они записаны вместе. На самом деле это одно и то же. Дело в том, что это свёрнутая форма записи смешанного числа, а — развёрнутая.

Когда перед нами смешанное число вида , мы должны понимать, что знак сложения опущен.

Какой можно сделать вывод? Если потребуется сложить целое число и правильную дробь, можно опустить плюс и записать целое число и дробь вместе.

Значит значение выражения равно

Если к двум целым пиццам прибавить половину пиццы, то получится две целые пиццы и ещё половина пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения

Представим число 3 в виде дроби . Затем сложим дроби с разными знаменателями:

Это первый способ. Второй способ намного проще. Можно поставить знак равенства и записать целую и дробную часть вместе. То есть опустить знак сложения:

Пример 3. Найти значение выражения

Можно записать вместе число 2 и дробь , но этот ответ не будет окончательным, поскольку в дроби можно выделить целую часть.

Поэтому в данном примере сначала нужно выделить целую часть в дроби . Пять вторых это две целых и одна вторая:

Теперь в главном выражении вместо дроби запишем смешанное число

Получили новое выражение . В этом выражении смешанное число запишем в развёрнутом виде:

Применим сочетательный закон сложения. Сложим две двойки, получим 4:

Теперь свернём полученное смешанное число:

Это окончательный ответ. Подробное решение этого примера можно записать следующим образом:

Сложение смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется сложить смешанные числа. Например, найти значение выражения . Чтобы решить этот пример, нужно целые и дробные части сложить по отдельности.

Для начала запишем смешанные числа в развёрнутом виде:

Применим сочетательный закон сложения. Сгруппируем целые и дробные части по отдельности:

Вычислим целые части: 2 + 3 = 5. В главном выражении заменяем выражение в скобках (2 + 3) на полученную пятёрку:

Теперь вычислим дробные части. Это сложение дробей с разными знаменателями. Как складывать такие дроби мы уже знаем:

Получили . Теперь в главном выражении заменяем дробные части на полученную дробь

Теперь свернем полученное смешанное число:

Таким образом, значение выражения равно . Попробуем изобразить это решение в виде рисунка. Если к двум целым и половине пиццы прибавить три целые и одну восьмую пиццы, то получится пять целых пицц и ещё пять восьмых пиццы:

Подобные примеры нужно решать быстро, не останавливаясь на подробностях. Находясь в школе, нам пришлось бы записать решение этого примера следующим образом:

Если в будущем увидите такое короткое решение, не пугайтесь. Вы уже понимаете, что откуда взялось.

Пример 2. Найти значение выражения

Запишем смешанные числа в развёрнутом виде:

Сгруппируем целые и дробные части по отдельности:

Вычислим целые части: 5 + 3 = 8. В главном выражении заменяем выражение в скобках (5 + 3) на полученное число 8

Теперь вычислим дробные части:

Получили смешанное число . Теперь в главном выражении заменяем выражение в скобках на полученное смешанное число

Получили выражение . В данном случае число 8 надо прибавить к целой части смешанного числа . Для этого смешанное число можно временно развернуть, чтобы было понятнее, что с чем складывать:

Сложим целые части. Получаем 9

Сворачиваем готовый ответ:

Таким образом, значение выражения равно .

Полное решение этого примера выглядит следующим образом:

Для решения подобных примеров существует универсальное правило. Выглядит оно следующим образом:

Чтобы сложить смешанные числа, надо:

привести дробные части этих чисел к общему знаменателю;
отдельно выполнить сложение целых и дробных частей.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть в этой дроби и прибавить ее к полученной целой части.

Применение готовых правил допустимо в том случае, если суть темы полностью понятна. Решение по-шаблону, поглядывая в другие подобные примеры, приводит к ошибкам на обнаружение которых уходит дополнительное время. Поэтому, сначала разумнее понять тему, а затем пользоваться готовым правилом.

Пример 3. Найти значение выражения

Воспользуемся готовым правилом. Приведём дробные части к общему знаменателю, затем по отдельности сложим целые и дробные части:

Сложение целого и смешанного числа

Встречаются задачи, в которых нужно сложить целое и смешанное число. Например, сложить 2 и смешанное число . В этом случае целые части складываются отдельно, а дробная часть остаётся без изменения:

Здесь смешанная дробь была развёрнута в ходе решения, затем целые части были сгруппированы и сложены. В конце целая и дробная части были свёрнуты. В результате получили ответ .

Попробуем изобразить это решение в виде рисунка. Если к двум целым пиццам прибавить три целые и треть пиццы, то получятся пять целых и треть пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения

В этом примере, как и в предыдущем, нужно сложить целые части:

Осталось свернуть целую и дробную части, но дело в том, что дробная часть представляет собой неправильную дробь. Сначала нужно выделить целую часть в этой неправильной дроби. Затем целую часть этой дроби прибавить к 4, а дробную часть оставить без изменения. Продолжим данный пример на новой строке:

Вычитание дроби из целого числа

Встречаются задачи, в которых требуется вычесть дробь из целого числа. Например, вычесть из числа 1 дробь . Чтобы решить такой пример, нужно целое число 1 представить в виде дроби , и выполнить вычитание дробей с разными знаменателями:

Если имеется одна целая пицца и мы вычтем из неё половину пиццы, то у нас получится половина пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения .

Представим число 2 в виде дроби , и выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

Если имеются две целые пиццы и мы вычтем из низ половину, то останется одна целая и половина пиццы:

Такие примеры можно решать в уме. Достаточно суметь воспроизвести их в своём воображении. К примеру, найдём значение выражения , не приводя на бумаге никаких вычислений.

Представим, что число 3 это три пиццы:

Нужно вычесть из них . Мы помним, что треть выглядит следующим образом:

Теперь представим, во что превратятся три пиццы, если отрезать от них эту треть

Получилось (две целых и две трети пиццы).

Чтобы убедиться в правильности решения, можно найти значение выражения обычным методом, представив число 3 в виде дроби, и выполнив вычитание дробей с разными знаменателями:

Пример 3. Найти значение выражения

Представим число 3 в виде дроби . Затем выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

Вычитание смешанного числа из целого числа

Теперь мы готовы к тому, чтобы вычесть смешанное число из целого числа. Найдём значение выражения .

Чтобы решить этот пример, число 5 нужно представить в виде дроби, а смешанное число перевести в неправильную дробь. После перевода смешанного числа в неправильную дробь, получим дробь . Теперь выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

Если из пяти целых пицц вычесть одну целую и половину пиццы, то останутся три целые пиццы и половина пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения

Представим 6 в виде дроби , а смешанное число , в виде неправильной дроби. После перевода смешанного числа в неправильную дробь, получим дробь . Теперь выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

Примеры на вычитание дроби из числа или вычитание смешанной дроби из числа опять же можно выполнять в уме. Этот процесс легко поддаётся воображению.

К примеру, если нужно быстро найти значение выражения , то вовсе необязательно представлять число 2 в виде дроби и выполнять вычитание дробей с разными знаменателями. Число 2 можно вообразить, как две целые пиццы и далее представить, как от одной из них отрезали две третьих (два куска из трёх)

Тогда от той пиццы, от которой отрезали останется пиццы. Плюс одна из пицц останется нетронутой. Получится одна целая пицца и треть пиццы:

Если на рисунке вы закроете рукой две третьих пиццы (она закрашена), то сразу всё поймёте.

Вычитание смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется вычесть из одного смешанного числа другое смешанное число. Например, найдём значение выражения:

Чтобы решить этот пример, нужно смешанные числа и перевести в неправильные дроби, затем выполнить вычитание дробей с разными знаменателями:

Если от трёх целых пицц вычесть две целые и треть пиццы, то останутся одна целая и одна шестая пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения

Переводим смешанные числа и в неправильные дроби и выполняем вычитание дробей с разными знаменателями:

К вычитанию смешанных чисел мы ещё вернёмся. В вычитании дробей есть немало тонкостей, которым новичок пока не готов. Например, возможен случай, когда уменьшаемое может оказаться меньше вычитаемого. Это может вывести нас в мир отрицательных чисел, которых мы ещё не изучали.

А пока изучим умножение смешанных чисел. Благо оно не такое сложное, как сложение и вычитание.

Умножение целого числа на дробь

Чтобы целое число умножить на дробь, достаточно умножить это целое число на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменения.

Например, умножим число 5 на дробь . Чтобы решить этот пример, нужно число 5 умножить на числитель дроби , а знаменатель оставить без изменения:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Если имеются пять целых пицц и мы возьмём от этого количества половину, то у нас окажется две целые пиццы и половина пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения

Умножим число 3 на числитель дроби

В ответе получилась неправильная дробь , но мы выделили её целую часть и получили 2.

Также, можно было сократить эту дробь. Получился бы тот же результат. Выглядело бы это следующим образом:

Если имеются три целые пиццы и мы возьмём от этого количества две третьих, то у нас окажется две целые пиццы:

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается так же, как и предыдущие. Целое число и числитель дроби нужно перемножить:

Пример 4. Найти значение выражения

Умножим число 3 на числитель дроби

Умножение смешанного числа на дробь

Чтобы умножить смешанное число на дробь, нужно смешанное число перевести в неправильную дробь, затем выполнить перемножение обыкновенных дробей.

Пример 1. Найти значение выражения

Переведём смешанное число в неправильную дробь. После перевода это число превратится в дробь . Затем можно будет умножить эту дробь на

Допустим, имеются одна целая и половина пиццы:

Умножить эти куски на означает взять от них две трети. Чтобы взять от них две трети, сначала разделим их на три равные части. Разделим пополам ту пиццу, которая слева. Тогда у нас получится три равных куска:

Теперь если мы возьмем (два куска из трёх имеющихся), то получим одну целую пиццу. Для наглядности закрасим эти два куска:

Поэтому значение выражения было равно 1

Умножение смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется перемножить смешанные числа. Например, перемножить и . Чтобы решить этот пример, нужно перевести эти смешанные числа в неправильные дроби, затем выполнить умножение неправильных дробей:

Попробуем разобраться в этом примере с помощью рисунка. Допустим, имеются одна целая и половина пиццы:

Теперь разберемся со смешанным множителем . Этот множитель означает, что одну целую и половину пиццы нужно взять 2 раза и еще раза.

С множителем 2 всё понятно, он означает что одну целую и половину пиццы нужно взять два раза. Давайте возьмём два раза целую пиццу и половину:

Но ещё осталось взять от изначальной целой пиццы и половины, ведь множителем было смешанное число . Для этого вернёмся к изначальной одной целой и половине пиццы, и разделим их на равные части так, чтобы можно было взять от них ровно половину. А половину мы сможем взять, если разделим целую пиццу на четыре части, а половину на две части:

Мы разделили нашу целую пиццу и половину на равные части, и теперь можем сказать, что является половиной от этих кусков. Половиной от этих кусков является пиццы. Это можно хорошо увидеть, если мы упорядочим наши равные кусочки следующим образом:

А если смотреть на изначальную целую пиццу и половину с точки зрения такого порядка, как на этом рисунке, то половиной от них является пиццы.

Поэтому значение выражения равно

Пример 2. Найти значение выражения

Переводим смешанные числа в неправильные дроби и перемножаем эти неправильные дроби. Если в ответе получится неправильная дробь, выделим в ней целую часть:

Деление целого числа на дробь

Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это целое число умножить на дробь, обратную делителю.

Например, разделим число 3 на дробь . Здесь число 3 — это делимое, а дробь — делитель.

Чтобы решить этот пример, нужно число 3 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби это дробь . Поэтому умножаем число 3 на дробь

Допустим, имеются три целые пиццы:

Если мы зададим вопрос «cколько раз (половина пиццы) содержится в трёх пиццах», то ответом будет «шесть раз».

Действительно, если мы разделим каждую пиццу пополам, то у нас получится шесть половинок:

Поэтому значение выражения равно 6.

Пример 2. Найти значение выражения

Чтобы решить этот пример, нужно число 2 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби это дробь

Допустим, имеются две целые пиццы:

Зададим вопрос «Сколько раз пиццы содержится в этих двух пиццах?» Чтобы ответить на этот вопрос, выделим целую часть в дроби . После выделения целой части в этой дроби получим

Теперь поставим вопрос так: «Сколько раз (одна целая и половина пиццы) содержится в двух пиццах?».

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно найти в двух пиццах такое количество пиццы, которое изображено на следующем рисунке:

В двух пиццах одна целая и половина пиццы содержится один раз. Это можно увидеть, если вторую пиццу разделить пополам:

А оставшаяся половина это треть от , которая не вместилась. Третью она является по той причине, что в одной целой и половине пиццы целую часть пиццы можно разделить пополам. Тогда каждый кусок будет третью от этого количества:

Поэтому значение выражения равно

Пример 3. Найти значение выражения

Чтобы решить этот пример, нужно число 5 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби это дробь . Поэтому умножаем число 5 на

Дробь это 2 целых и . Проще говоря, две целые и четверть пиццы:

А выражение определяет сколько раз содержится в пяти целых пиццах. Ответом было смешанное число .

То есть пиццы содержится в пяти целых пиццах раза.

Давайте нащупаем в пяти пиццах два раза по

Белым цветом осталось не выделено две четверти. Эти две четверти представляют собой от , которые не вместились. Двумя девятыми они являются по той причине, что в пиццы каждую целую пиццу можно разделить на четыре части. Тогда каждый кусок будет девятой частью от этого количества, а два куска соответственно двумя из девяти:

Поэтому значение выражения равно

Деление дроби на целое число

Чтобы разделить дробь на целое число, нужно данную дробь умножить на число, обратное делителю. Таким делением мы занимались в прошлом уроке. Вспомним ещё раз.

Пример 1. Разделим дробь на число 2

Чтобы разделить дробь на 2, нужно данную дробь умножить на число, обратное числу 2. А обратное числу 2 это дробь

Пусть имеется половина пиццы:

Разделим её поровну на две части. Тогда каждая получившаяся часть будет одной четвертой пиццы:

Поэтому значение выражения равно

Пример 2. Найти значение выражения

Чтобы решить этот пример, нужно дробь умножить на число, обратное числу 2. Обратное числу 2 это дробь

Пример 3. Найти значение выражения

Умножаем первую дробь на число, обратное числу 3. Обратное числу 3 это дробь

Деление целого числа на смешанное число

Встречаются задачи, в которых требуется разделить целое число на смешанное число. Например, разделим 2 на .

Чтобы решить этот пример, нужно делитель перевести в неправильную дробь. Затем умножить число 2 на дробь, обратную делителю.

Переведём делитель в неправильную дробь, получим . Затем умножим 2 на дробь, обратную дроби . Обратная для дроби это дробь

Допустим, имеются две целые пиццы:

Зададим вопрос «Сколько раз (одна целая и половина пиццы) содержится в двух целых пиццах?». Похожий пример мы решали ранее, когда учились делить целое число на дробь.

Поэтому значение выражения равно

Пример 2. Найти значение выражения

Переводим делитель в неправильную дробь, получаем . Теперь умножаем число 5 на дробь, обратную дроби . Обратная для дроби это дробь

Сначала мы получили ответ , затем сократили эту дробь на 5, и получили , но этот ответ нас тоже не устроил, поскольку он представлял собой неправильную дробь. Мы выделили в этой неправильной дроби целую часть. В результате получили ответ

Деление смешанного числа на целое число

Чтобы разделить смешанное число на целое число, нужно смешанное число перевести в неправильную дробь, затем умножить эту дробь на число, обратное делителю.

Например, разделим на 2. Чтобы решить этот пример, нужно делимое перевести в неправильную дробь. Затем умножить эту дробь на число, обратное делителю 2.

Переведём смешанное число в неправильную дробь, получим .

Теперь умножаем на число, обратное числу 2. Обратное числу 2 это дробь

Допустим, имеется одна целая и половина пиццы:

Разделим это количество пиццы поровну на две части. Для этого сначала разделим на две части целую пиццу:

Затем разделим поровну на две части и половину:

Теперь если мы сгруппируем эти кусочки на две группы, то получим по пиццы в каждой группе:

Поэтому значение выражения равно

Пример 2. Найти значение выражения

Переведём делимое в неправильную дробь, получим . Теперь умножаем на число, обратное числу 4. Обратное числу 4 это дробь .

Деление смешанных чисел

Чтобы разделить смешанные числа, нужно перевести их в неправильные дроби, затем выполнить обычное деление дробей. То есть умножить первую дробь на дробь, обратную второй.

Пример 1. Найти значение выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби. Получим следующее выражение:

Как решать дальше мы уже знаем. Первую дробь нужно умножить на дробь, обратную второй. Обратная для второй дроби это дробь .

Дорешаем данный пример до конца:

Допустим, имеются две целые и половина пиццы:

Если зададим вопрос «Сколько раз (одна целая и четверть пиццы) содержится в двух целых и половине пиццы», то ответом будет «два раза»:

Пример 2. Найти значение выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби. Получим следующее выражение:

Теперь умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Обратная для дроби это дробь

Сначала мы получили дробь. Эту дробь мы сократили на 9. В результате получили дробь , но такой ответ нас тоже не устроил и мы выделили в дроби целую часть. В результате получили окончательный ответ .

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения:

Решение:

Показать решение

Задание 2. Найдите значение выражения:

Решение:

Показать решение

Задание 3. Найдите значение выражения:

Решение:

Показать решение

Задание 4. Найдите значение выражения:

Решение:

Показать решение

Задание 5. Найдите значение выражения:

Решение:

Показать решение

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Опубликовано

Автор

Смешанная дробь. Действия со смешанными дробями

Смешанной называют дробь, имеющую целую и дробную части.

Записываются они как \(a\)\(\frac{m}{n}\), где – \(a\) целое число,\(\frac{m}{n}\) — правильная дробь.

Например: \(2\)\(\frac{3}{5}\) здесь \(2\) – целая часть, \(\frac{3}{5}\) – дробная часть (правильная дробь).

\(17\)\(\frac{17}{18}\) здесь \(17\) – целая часть, \(\frac{17}{18}\) – дробная часть (правильная дробь).

Фактически такие дроби представляют собой сумму целого числа и дроби, то есть между целой и дробной частью стоит знак «плюс» (а не «умножить»).

Например: \(2\frac{3}{5}=2+\frac{3}{5}\)

Это не нужно заучивать, просто поймите суть. Вдумайтесь, что на практике означает, например, запись: «на складе осталось \(2\)\(\frac{3}{5}\) мешка муки»? Что на складе лежит два полных мешка и еще один заполненный на \(\frac{3}{5}\). Где здесь место умножению? Очевидно ведь, что это два плюс еще \(\frac{3}{5}\) мешка муки! Понимать этот момент очень важно, потому что здесь допускается огромное количество ошибок при вычислениях со смешанными дробями (см.

ниже).

Превращение смешанной дроби в неправильную

Чтобы преобразовать смешанную дробь в неправильную нужно целую часть умножить на знаменатель дробной и прибавить к результату числитель — получиться числитель неправильной дроби. Знаменатель при этом не меняется. То есть,

\(a\)\(\frac{m}{n}\)\(=\)\(\frac{a·n + m}{n}\).

Например, при преобразовании \(2\)\(\frac{3}{5}\) получим \(\frac{2·5 + 3}{5}=\frac{13}{5}\).

Почему вычисление производиться именно так? Все дело в плюсе, стоящем между целой и дробной частью (см. выше). На самом деле, полное преобразование выглядит вот так:

Но расписывать все так подробно слишком долго, да и незачем, проще сразу получать ответ, пользуясь формулой выше.

Превращение неправильной дроби в смешанную

Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанную, в ней нужно выделить целую часть.

Чтобы этого добиться, мы задаем себе вопрос – сколько раз знаменатель целиком «помещается» в числителе?

Например, пусть нам нужно представить как смешанную дробь \(\frac{13}{5}\).

Сколько раз пятерка «помещается» в тринадцати? Два раза. Третий раз уже «не влезет». Значит, целая часть будет равна двойке, а дробная – остатку, то есть \(\frac{3}{5}\). Оформляем: \(\frac{13}{5}\)\(=\)\(\frac{10 + 3}{5}\)\(=\)\(\frac{10}{5}\)\(+\)\(\frac{3}{5}\)\(=2+\)\(\frac{3}{5}\)\(=2\)\(\frac{3}{5}\). Вот еще примеры с верным преобразованием:

\(\frac{37}{11}\)\(=\)\(\frac{33 + 4}{11}\)\(=\)\(\frac{33}{11}\)\(+\)\(\frac{4}{11}\)\(=3+\)\(\frac{4}{11}\)\(=3\)\(\frac{4}{11}\)
\(\frac{26}{3}\)\(=\)\(\frac{24 + 2}{3}\)\(=\)\(\frac{24}{3}\)\(+\)\(\frac{2}{3}\)\(=8+\)\(\frac{2}{3}\)\(=8\)\(\frac{2}{3}\)

А вот пример неправильного выделения целой части:

\(\frac{7}{2}\)\(=\)\(\frac{4 + 3}{2}\)\(=\)\(\frac{4}{2}\)\(+\)\(\frac{3}{2}\)\(=2+\)\(\frac{3}{2}\)\(=2\)\(\frac{3}{2}\)

В чем ошибка? В том, что дробная часть должна быть правильной дробью. А здесь не так — значит целая часть выделена не полностью. Действительно, ведь двойка в семерке нацело помещается три раза, а не два. Поэтому верным будет вот такое выделение:

\(\frac{7}{2}\)\(=\)\(\frac{6 + 1}{2}\)\(=\)\(\frac{6}{2}\)\(+\)\(\frac{1}{2}\)\(=3+\)\(\frac{1}{2}\)\(=3\)\(\frac{1}{2}\)

Превращение смешанной дроби в десятичную

Чтобы преобразовать смешанную дробь в десятичную, нужно в дробной части поделить числитель на знаменатель, после чего сложить результат с целой частью.

Например: \(2\)\(\frac{3}{5}\)\(=2+\)\(\frac{3}{5}\)\(=2+0,6=2,6\)
\(7\)\(\frac{11}{25}\)\(=7+\)\(\frac{11}{25}\)\(=7+0,44=7,44\)

Отсюда вывод:

Смешанная дробь – обычное число, причем целая часть представляет собой то, что будет стоять до запятой, а дробная – после.

Наиболее частые ошибки при работе со смешанной дробью

Главной причиной большинства ошибок является забывание описанного выше момента – между целой и дробной частью стоит «плюс», а не «умножить».

Пример

: Вычислить \(2\)\(\frac{3}{5}\)\(:\)\(\frac{1}{5}\)
Ошибочное решение: \(2\)\(\frac{3}{5}\)\(:\)\(\frac{1}{5}\)\(=2\)\(\frac{3}{5}\)\(·\)\(\frac{5}{1}\)\(=2\)\(\frac{3 · 5}{5 · 1}\)\(=2·3=6\)
Правильное решение: \(2\)\(\frac{3}{5}\)\(:\)\(\frac{1}{5}\)\(=(2+\)\(\frac{3}{5}\)\():\)\(\frac{1}{5}\)\(=\)\(\frac{2·5+3}{5}\)\(:\)\(\frac{1}{5}\)\(=\)\(\frac{13}{5}\)\(·\)\(\frac{5}{1}\)\(=\)\(\frac{13 · 5}{5 · 1}\)\(=13\)

Пример: Вычислить \(3\)\(\frac{1}{5}\)\(·1\)\(\frac{1}{4}\)
Ошибочное решение: \(3\)\(\frac{1}{5}\)\(·1\)\(\frac{1}{4}\)\(=3·\)\(\frac{1}{5}\)\(·1·\)\(\frac{1}{4}\)\(=\)\(\frac{3}{5}\)\(·\)\(\frac{1}{4}\)\(=\)\(\frac{3 · 1}{5 · 4}\)\(=\)\(\frac{3}{20}\)
Правильное решение: \(3\)\(\frac{1}{5}\)\(·1\)\(\frac{1}{4}\)\(=(3+\)\(\frac{1}{5}\)\()·(1+\)\(\frac{1}{4}\)\()=\)\(\frac{3·5 + 1}{5}\)\(·\)\(\frac{1·4 + 1}{4}\)\(=\)\(\frac{16}{5}\)\(·\)\(\frac{5}{4}\)\(=\)\(\frac{16 · 5}{5 · 4}\)\(=4\)

Из того, что целая и дробная части соединены знаком плюс следует еще один вывод:

Если перед смешанной дробью стоит знак минус, то он стоит и перед целой частью, и перед дробной.

Например: \(-7\) \(\frac{5}{9}\)\(=-(7+\) \(\frac{5}{9}\)\()=-7-\) \(\frac{5}{9}\).
Это важно помнить при вычитании смешанных дробей.

Пример. Вычислить \(4\)\(\frac{3}{5}\)\(-2\)\(\frac{1}{5}\).
Решение: \(4\)\(\frac{3}{5}\)\(-2\)\(\frac{1}{5}\)\(=(4+\)\(\frac{3}{5}\)\()-(2+\)\(\frac{1}{5}\)\()=4+\)\(\frac{3}{5}\)\(-2-\)\(\frac{1}{5}\)\(=4-2+\)\(\frac{3}{5}\)\(-\)\(\frac{1}{5}\)\(=2+\)\(\frac{3-1}{5}\)\(=2+\)\(\frac{2}{5}\)\(=2\)\(\frac{2}{5}\).

Вообще вычитание (сложение) смешанных дробей удобно проводить в два этапа: сначала отдельно вычесть (сложить) целые части, а затем – дробные.

Смотрите также:
Дроби (шпаргалка)

Правила умножения и деления смешанных чисел. Деление смешанных чисел. Формула умножения дробей

В этой статье мы разберем

умножение смешанных чисел . Сначала озвучим правило умножения смешанных чисел и рассмотрим применение этого правила при решении примеров.

Дальше поговорим об умножении смешанного числа и натурального числа. Наконец, научимся выполнять умножение смешанного числа и обыкновенной дроби.

Навигация по странице.

Умножение смешанных чисел.

Умножение смешанных чисел можно свести к умножению обыкновенных дробей . Для этого достаточно выполнить перевод смешанных чисел в неправильные дроби .

Запишем правило умножения смешанных чисел :

Во-первых, умножаемые смешанные числа нужно заменить неправильными дробями;
Во-вторых, нужно воспользоваться правилом умножения дроби на дробь.

Рассмотрим примеры применения этого правила при умножении смешанного числа на смешанное число.

Пример.

Выполните умножение смешанных чисел и .

Решение.

Сначала представим умножаемые смешанные числа в виде неправильных дробей: и . Теперь мы можем умножение смешанных чисел заменить умножением обыкновенных дробей: . Применив правило умножения дробей, получаем . Полученная дробь несократима (смотрите сократимые и несократимые дроби), но она неправильная (смотрите правильные и неправильные дроби), поэтому, для получения окончательного ответа осталось выполнить выделение целой части из неправильной дроби : .

Запишем все решение в одну строку: .

Ответ:

Для закрепления навыков умножения смешанных чисел рассмотрим решение еще одного примера.

Пример.

Выполните умножение .

Решение.

Смешные числа и равны соответственно дробям 13/5 и 10/9 . Тогда . На этом этапе самое время вспомнить про сокращение дроби : заменим все числа в дроби их разложениями на простые множители, и выполним сокращение одинаковых множителей .

Ответ:

Умножение смешанного числа и натурального числа

После замены смешанного числа неправильной дробью, умножение смешанного числа и натурального числа приводится к умножению обыкновенной дроби и натурального числа .

Пример.

Выполните умножение смешанного числа и натурального числа 45 .

Решение.

Смешанное число равно дроби , тогда . Заменим числа в полученной дроби их разложениями на простые множители, произведем сокращение, после чего выделим целую часть: .

Ответ:

Умножение смешанного числа и натурального числа иногда удобно проводить с использованием распределительного свойства умножения относительно сложения. В этом случае произведение смешанного числа и натурального числа равно сумме произведений целой части на данное натуральное число и дробной части на данное натуральное число, то есть, .

Пример.

Вычислите произведение .

) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

Формула умножения дробей:

Например:

Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанных):

преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
перемножаем числители и знаменатели дробей;
сокращаем дробь;
если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Многоэтажные дроби.

В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

Обратите внимание, например:

При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

Практические советы при умножении и делении дробей:

1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Тема урока: «Умножение и деление смешанных дробей»

Цель: выработать у учащихся умение и навыки применения правила умножения и деления смешанных дробей;

развитие аналитического мышления учащихся, формирование умения у учащихся выделять главное и обобщать.

Задачи: повторить правило умножения и деления обыкновенных дробей.

Проверить умения применения правила умножения и деления обыкновенных дробей,

правило умножения дроби на натуральное число и обратно. Проверить умение переводить неправильную дробь в смешанное число и обратно.

Вывести новое правило и алгоритм умножение и деления смешанных чисел.

Отработать новое правило на выполнении заданий.

Предметные результаты: алгоритм умножения и деления смешанных дробей(памятка)

Метапредметные и личностные результаты :

Регулятивные УУД: постановка цели; план, получение результата

Познавательные УУД: общеучебные, логические, постановка и решение проблемы

Коммуникативные УУД: работа в парах

Оборудование: учебник математики 6 класс

Раздаточный материал.

Проектор.

Ход урока:

I .Проблемная ситуация и актуализация знаний

1.Опрос детей на повторение изученного материала по теме умножение и деление дробей (алгоритм выполнения, правило умножения дроби на натуральное число).

2. Иллюстрация примеров на проекторе. Виды обыкновенных дробей. Как из неправильной дроби получить смешанную и обратно.

3.По окончании опроса самостоятельная работа включающая примеры на умножение и деление обыкновенных дробей и содержащая два примера на умножение и деление смешанных дробей, где дети сталкиваются с проблемой. Правильные ответы для сверки с учащимися отражаются на проекторе.

4. Обсуждение проблемы. Вывести на тему урока.

II .Совместное открытие знаний.

1/Предлагается обсуждение в парах, для озвучивания версии решения возникшей проблемы. Версии записать на школьной доске. Как узнать какая же из версий правильная?

2/Предложить ученикам обратиться к учебнику на соответствующей теме.

3/Выполнить ознакомительное чтение, найти нужный абзац и изучить его для составления алгоритма умножения и деления смешанных дробей. Контроль над выполнением задания.

4/Прослушать версии составить из главного общий алгоритм. Отразить его на проекторе и раздать ученикам в виде памятки.

III .Самостоятельное применение знаний

1/Вернуться к проблеме с решением примеров из самостоятельной работы и применяя полученный алгоритм решить их. Проверить в парах. Результаты отразить на проекторе для сверки.

2/ Дать задание из учебника. Контроль выполнения.

IV. Итог урока

Начать с проблемы возникшей в начале урока, проговорить пути ее решения и полученный результат.

Оценивание работы учащихся.

Задание для домашней работы.

Затем действуем по правилу: первую дробь умножаем на дробь, обратную ко второй (то есть на перевернутую дробь, у которой числитель и знаменатель меняются местами). При умножении дробей числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель.

Рассмотрим примеры на деление смешанных чисел.

Деление смешанных чисел начинаем с перевода их в неправильные дроби. Затем делим полученные дроби. Для этого первую дробь умножаем на перевернутую вторую. 20 и 25 на 5, 3 и 9 — на 3. Получили неправильную дробь, поэтому необходимо .

Смешанные числа переводим в неправильные дроби. Далее по правилу деления дробей первое число оставляем и умножаем его на число, обратное ко второму. Сокращаем 15 и 25 на 5, 8 и 16 — на 2. Из полученной неправильной дроби выделяем целую часть.

Смешанные числа заменяем неправильными дробями и делим их. Для этого первую дробь переписываем без изменений и умножаем на перевернутую вторую. Сокращаем 18 и 36 на 18, 35 и 7 — на 7. В результате — неправильная дробь. Выделяем из нее целую часть.

Mathway | Популярные задачи

1	Оценить с использованием заданного значения	квадратный корень из 50
2	Оценить с использованием заданного значения	квадратный корень из 45
3	Вычислить	5+5
4	Вычислить	7*7
5	Разложить на простые множители	24
6	Преобразовать в смешанную дробь	52/6
7	Преобразовать в смешанную дробь	93/8
8	Преобразовать в смешанную дробь	34/5
9	График	y=x+1
10	Оценить с использованием заданного значения	квадратный корень из 128
11	Найти площадь поверхности	сфера (3)	
12	Вычислить	54-6÷2+6
13	График	y=-2x
14	Вычислить	8*8
15	Преобразовать в десятичную форму	5/9
16	Оценить с использованием заданного значения	квадратный корень из 180
17	График	y=2
18	Преобразовать в смешанную дробь	7/8
19	Вычислить	9*9
20	Risolvere per C	C=5/9*(F-32)
21	Упростить	1/3+1 1/12
22	График	y=x+4
23	График	y=-3
24	График	x+y=3
25	График	x=5
26	Вычислить	6*6
27	Вычислить	2*2
28	Вычислить	4*4
29	Вычислить	1/2+(2/3)÷(3/4)-(4/5*5/6)
30	Вычислить	1/3+13/12
31	Вычислить	5*5
32	Risolvere per d	2d=5v(o)-vr
33	Преобразовать в смешанную дробь	3/7
34	График	y=-2
35	Определить наклон	y=6
36	Перевести в процентное соотношение	9
37	График	y=2x+2
38	График	y=2x-4
39	График	x=-3
40	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2+5x+6=0
41	Преобразовать в смешанную дробь	1/6
42	Преобразовать в десятичную форму	9%
43	Risolvere per n	12n-24=14n+28
44	Вычислить	16*4
45	Упростить	кубический корень из 125
46	Преобразовать в упрощенную дробь	43%
47	График	x=1
48	График	y=6
49	График	y=-7
50	График	y=4x+2
51	Определить наклон	y=7
52	График	y=3x+4
53	График	y=x+5
54	График	3x+2y=6
55	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2-5x+6=0
56	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2-6x+5=0
57	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2-9=0
58	Оценить с использованием заданного значения	квадратный корень из 192
59	Оценить с использованием заданного значения	квадратный корень из 25/36
60	Разложить на простые множители	14
61	Преобразовать в смешанную дробь	7/10
62	Risolvere per a	(-5a)/2=75
63	Упростить	x
64	Вычислить	6*4
65	Вычислить	6+6
66	Вычислить	-3-5
67	Вычислить	-2-2
68	Упростить	квадратный корень из 1
69	Упростить	квадратный корень из 4
70	Найти обратную величину	1/3
71	Преобразовать в смешанную дробь	11/20
72	Преобразовать в смешанную дробь	7/9
73	Найти НОК	11 , 13 , 5 , 15 , 14	, , , ,
74	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2-3x-10=0
75	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2+2x-8=0
76	График	3x+4y=12
77	График	3x-2y=6
78	График	y=-x-2
79	График	y=3x+7
80	Определить, является ли полиномом	2x+2
81	График	y=2x-6
82	График	y=2x-7
83	График	y=2x-2
84	График	y=-2x+1
85	График	y=-3x+4
86	График	y=-3x+2
87	График	y=x-4
88	Вычислить	(4/3)÷(7/2)
89	График	2x-3y=6
90	График	x+2y=4
91	График	x=7
92	График	x-y=5
93	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2+3x-10=0
94	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2-2x-3=0
95	Найти площадь поверхности	конус (12)(9)	
96	Преобразовать в смешанную дробь	3/10
97	Преобразовать в смешанную дробь	7/20
98	Преобразовать в смешанную дробь	2/8
99	Risolvere per w	V=lwh
100	Упростить	6/(5m)+3/(7m^2)

Умножение дробей смешанных чисел.

Умножение и деление дробей

Чтобы правильно умножить дробь на дробь или дробь на число, нужно знать простые правила. Эти правила сейчас разберем подробно.

Умножение обыкновенной дроби на дробь.

Чтобы умножить дробь на дробь необходимо посчитать произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей.

\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\\\)

Рассмотрим пример:
Мы числитель первой дроби умножаем с числителем второй дроби, также и знаменатель первой дроби умножаем со знаменателем второй дроби.

\(\frac{6}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{6 \times 2}{7 \times 3} = \frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\)

Дробь \(\frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\) сократили на 3.

Умножение дроби на число.

Для начала вспомним правило, любое число можно представить в виде дроби \(\bf n = \frac{n}{1}\) .

Воспользуемся этим правилом при умножении.

\(5 \times \frac{4}{7} = \frac{5}{1} \times \frac{4}{7} = \frac{5 \times 4}{1 \times 7} = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}\\\)

Неправильную дробь \(\frac{20}{7} = \frac{14 + 6}{7} = \frac{14}{7} + \frac{6}{7} = 2 + \frac{6}{7}= 2\frac{6}{7}\\\) перевели в смешанную дробь.

Другими словами, при умножении числа на дробь, число умножаем на числитель, а знаменатель оставляем без изменения. Пример:

\(\frac{2}{5} \times 3 = \frac{2 \times 3}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}\\\\\) \(\bf \frac{a}{b} \times c = \frac{a \times c}{b}\\\)

Умножение смешанных дробей.

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала каждую смешанную дробь представить в виде неправильно дроби, а потом воспользоваться правилом умножения. Числитель умножаем с числителем, знаменатель умножаем со знаменателем.

Пример:
\(2\frac{1}{4} \times 3\frac{5}{6} = \frac{9}{4} \times \frac{23}{6} = \frac{9 \times 23}{4 \times 6} = \frac{3 \times \color{red} {3} \times 23}{4 \times 2 \times \color{red} {3}} = \frac{69}{8} = 8\frac{5}{8}\\\)

Умножение взаимно обратных дробей и чисел.

Дробь \(\bf \frac{a}{b}\) является обратной для дроби \(\bf \frac{b}{a}\), при условии a≠0,b≠0.
Дроби \(\bf \frac{a}{b}\) и \(\bf \frac{b}{a}\) называются взаимно обратными дробями. Произведение взаимно обратных дробей равно 1.
\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1 \\\)

Пример:
\(\frac{5}{9} \times \frac{9}{5} = \frac{45}{45} = 1\\\)

Вопросы по теме:
Как умножить дробь на дробь?
Ответ: произведение обыкновенных дробей является умножение числитель с числителем, знаменатель со знаменателем. Чтобы получить произведение смешанных дробей нужно перевести их в неправильную дробь и перемножить по правилам.

Как выполнить умножение дробей с разными знаменателями?
Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, умножение происходит по правилу нахождения произведения числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.

Как умножать смешанные дроби?
Ответ: в первую очередь надо перевести смешанную дробь в неправильную дробь и далее находить произведение по правилам умножения.

Как умножить число на дробь?
Ответ: число умножаем с числителем, а знаменатель оставляем тот же.

Пример №1:
Вычислите произведение: а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11}\) б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13}\)

Решение:
а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11} = \frac{8 \times 7}{9 \times 11} = \frac{56}{99}\\\\\)
б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13} = \frac{2 \times 10}{15 \times 13} = \frac{2 \times 2 \times \color{red} {5}}{3 \times \color{red} {5} \times 13} = \frac{4}{39}\)

Пример №2:
Вычислите произведения числа и дроби: а) \(3 \times \frac{17}{23}\) б) \(\frac{2}{3} \times 11\)

Решение:
а) \(3 \times \frac{17}{23} = \frac{3}{1} \times \frac{17}{23} = \frac{3 \times 17}{1 \times 23} = \frac{51}{23} = 2\frac{5}{23}\\\\\)
б) \(\frac{2}{3} \times 11 = \frac{2}{3} \times \frac{11}{1} = \frac{2 \times 11}{3 \times 1} = \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3}\)

Пример №3:
Напишите число обратное дроби \(\frac{1}{3}\)?
Ответ: \(\frac{3}{1} = 3\)

Пример №4:
Вычислите произведение двух взаимно обратных дробей: а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104}\)

Решение:
а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104} = 1\)

Пример №5:
Могут ли взаимно обратные дроби быть:
а) одновременно правильными дробями;
б) одновременно неправильными дробями;
в) одновременно натуральными числами?

Решение:
а) чтобы ответить на первый вопрос приведем пример. Дробь \(\frac{2}{3}\) правильная, обратная ей дробь будет равна \(\frac{3}{2}\) – неправильная дробь. Ответ: нет.

б) практически при всех переборах дробей это условие не выполняется, но существуют некоторые числа, которые выполняют условие быть одновременно неправильной дробью. Например неправильная дробь \(\frac{3}{3}\) , обратная ей дробь равна \(\frac{3}{3}\). Получаем две неправильные дроби. Ответ: не всегда при определённых условиях, когда числитель и знаменатель равны.

в) натуральные числа – это числа которые мы используем при счете, например, 1, 2, 3, …. Если возьмем число \(3 = \frac{3}{1}\), то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{3}\). Дробь \(\frac{1}{3}\) не является натуральным числом. Если мы переберем все числа, получать обратное число всегда дробь, кроме 1. Если возьмем число 1, то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = 1\). Число 1 натуральное число. Ответ: могут быть одновременно натуральными числами только в одном случае, если это число 1.

Пример №6:
Выполните произведение смешанных дробей: а) \(4 \times 2\frac{4}{5}\) б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7}\)

Решение:
а) \(4 \times 2\frac{4}{5} = \frac{4}{1} \times \frac{14}{5} = \frac{56}{5} = 11\frac{1}{5}\\\\ \)
б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7} = \frac{5}{4} \times \frac{23}{7} = \frac{115}{28} = 4\frac{3}{7}\)

Пример №7:
Могут ли два взаимно обратных числа быть одновременно смешанными числами?

Рассмотрим на примере. Возьмем смешанную дробь \(1\frac{1}{2}\), найдем для нее обратную дробь, для этого переведем ее в неправильную дробь \(1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) . Обратная ей дробь будет равна \(\frac{2}{3}\) . Дробь \(\frac{2}{3}\) является правильной дробью. Ответ: взаимно обратные две дроби одновременно смешанными числами быть не могут.

Умножение и деление дробей.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания ! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:

Например:

Всё предельно просто . И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:

Например:

Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями — ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе — и вперёд! Например:

В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:

Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:

Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например:

В первом случае (выражение слева):

Во втором (выражение справа):

Чувствуете разницу? 4 и 1/9!

А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:

то делим-умножаем по порядочку, слева направо !

И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:

Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.

Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!

Практические советы:

1. Самое главное при работе с дробными выражениями — аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.

2. В примерах с разными видами дробей — переходим к обыкновенным дробям.

3. Все дроби сокращаем до упора.

4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы…

Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.

Итак, решаем в режиме экзамена ! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все — проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.

Вычислить:

Порешали?

Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать… Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

А теперь делаем выводы. Если всё получилось — рад за вас! Элементарные вычисления с дробями — не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет…

Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но… Это решаемые проблемы.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Обыкновенные дробные числа впервые встречают школьников в 5 классе и сопровождают их на протяжении всей жизни, так как в быту зачастую требуется рассматривать или использовать какой-то объект не целиком, а отдельными кусками. Начало изучения этой темы — доли. Доли — это равные части , на которые разделен тот или иной предмет. Ведь не всегда получается выразить, допустим, длину или цену товара целым числом, следует принять во внимание части или доли какой-либо меры. Образованное от глагола «дробить» — разделять на части, и имея арабские корни, в VIII веке возникло само слово «дробь» в русском языке.

Дробные выражения продолжительное время считали самым сложным разделом математики. В XVII веке, при появлении первоучебников по математике, их называли «ломаные числа», что очень сложно отображалось в понимании людей.

Современному виду простых дробных остатков, части которых разделены именно горизонтальной чертой, впервые поспособствовал Фибоначчи — Леонардо Пизанский. Его труды датированы в 1202 году. Но цель этой статьи — просто и понятно объяснить читателю, как происходит умножение смешанных дробей с разными знаменателями.

Умножение дробей с разными знаменателями

Изначально стоит определить разновидности дробей :

правильные;
неправильные;
смешанные.

Далее нужно вспомнить, как происходит умножение дробных чисел с одинаковыми знаменателями. Само правило этого процесса несложно сформулировать самостоятельно: результатом умножения простых дробей с одинаковыми знаменателями является дробное выражение, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель — произведение знаменателей данных дробей. То есть, по сути, новый знаменатель есть квадрат одного из существующих изначально.

При умножении простых дробей с разными знаменателями для двух и более множителей правило не меняется:

a/ b * c/ d = a*c / b*d.

Единственное отличие в том, что образованное число под дробной чертой будет произведением разных чисел и, естественно, квадратом одного числового выражения его назвать невозможно.

Стоит рассмотреть умножение дробей с разными знаменателями на примерах:

8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

В примерах применяются способы сокращения дробных выражений. Можно сокращать только числа числителя с числами знаменателя, рядом стоящие множители над дробной чертой или под ней сокращать нельзя.

Наряду с простыми дробными числами, существует понятие смешанных дробей. Смешанное число состоит из целого числа и дробной части, то есть является суммой этих чисел:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Как происходит перемножение

Предлагается несколько примеров для рассмотрения.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

В примере используется умножение числа на обыкновенную дробную часть , записать правило для этого действия можно формулой:

a * b/ c = a*b / c.

По сути, такое произведение есть сумма одинаковых дробных остатков, а количество слагаемых указывает это натуральное число. Частный случай:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Существует еще один вариант решения умножения числа на дробный остаток. Стоит просто разделить знаменатель на это число:

d * e/ f = e/ f: d.

Этим приемом полезно пользоваться, когда знаменатель делится на натуральное число без остатка или, как говорится, нацело.

Перевести смешанные числа в неправильные дроби и получить произведение ранее описанным способом:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

В этом примере участвует способ представления смешанной дроби в неправильную, его также можно представить в виде общей формулы:

a b c = a * b + c / c, где знаменатель новой дроби образуется при умножении целой части со знаменателем и при сложении его с числителем исходного дробного остатка, а знаменатель остается прежним.

Этот процесс работает и в обратную сторону. Для выделения целой части и дробного остатка нужно поделить числитель неправильной дроби на ее знаменатель «уголком».

Умножение неправильных дробей производят общепринятым способом. Когда запись идет под единой дробной чертой, по мере необходимости нужно сделать сокращение дробей, чтобы уменьшить таким методом числа и проще посчитать результат.

В интернете существует множество помощников, чтобы решать даже сложные математические задачи в различных вариациях программ. Достаточное количество таких сервисов предлагают свою помощь при счете умножения дробей с разными числами в знаменателях — так называемые онлайн-калькуляторы для расчета дробей. Они способны не только умножить, но и произвести все остальные простейшие арифметические операции с обыкновенными дробями и смешанными числами. Работать с ним несложно, на странице сайта заполняются соответствующие поля, выбирается знак математического действия и нажимается «вычислить». Программа считает автоматически.

Тема арифметических действий с дробными числами актуальна на всем протяжении обучения школьников среднего и старшего звена. В старших классах рассматривают уже не простейшие виды, а целые дробные выражения , но знания правил по преобразованию и расчетам, полученные ранее, применяются в первозданном виде. Хорошо усвоенные базовые знания дают полную уверенность в удачном решении наиболее сложных задач.

В заключение имеет смысл привести слова Льва Николаевича Толстого, который писал: «Человек есть дробь. Увеличить своего числителя — свои достоинства, — не во власти человека, но всякий может уменьшить своего знаменателя — своё мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизиться к своему совершенству».

) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

Формула умножения дробей:

Например:

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанных):

преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
перемножаем числители и знаменатели дробей;
сокращаем дробь;
если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Многоэтажные дроби.

В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

Обратите внимание, например:

При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

Практические советы при умножении и делении дробей:

2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Умножение смешанных дробей — правило и примеры решения » Kupuk.net

Изучение математических отношений важно для дальнейшего понимания алгебры. Это тема не из простых, но проявив усердие и внимание, понять её сможет каждый учащийся. С дробными числами можно делать любые операции, например, деление, сложение, вычитание и умножение. Смешанные дроби позволяют упростить расчёт, избавиться от неправильного вида выражений, поэтому нужно обязательно научиться выполнять с ними действия, особенно на практических заданиях.

Общие сведения

По своей сути, дробь представляет собой какое-либо отношение, то есть разделение. Например, имеется торт, который разделён на 3 равные части. Все куски составляют одно целое — пирог. Но если из него взять один кусок, целостность будет нарушена. В математике такое действие записывают дробным отношением. В частности, для рассматриваемого случая алгебраическое выражение будет выглядеть как 1/3.

Здесь чёрточка обозначает деление. Число сверху над ней называют числителем (делимое), а снизу — знаменателем (делитель). Читается запись — «одна третья» или «одна третьей доли». Такого вида дроби принято считать обыкновенными. В них знаменатель показывает, на какое количество одинаковых частей что-либо можно поделить. Числитель же обозначает, какая часть была взята.

Обыкновенные отношения разделяют на 3 вида:

Правильные — в их записи значение делителя меньше числа делимого.

Неправильные — когда числитель больше знаменателя или равен ему.

Смешанные — отношение состоит из целой части и дробной.

С простыми дробями можно выполнять любые действия. При сложении или вычитании суть операции сводится к нахождению общего знаменателя, то есть наименьшего общего кратного и выполнения действия в числителе с учётом дополнительного множителя. Например, 1/15 + 2/15 = 3/15; 2/33 — 1/33 = (2 — 1) / 33 = 1/33.

При умножении нужно числитель одного выражения умножить на делимое второго. Также поступить и со знаменателями — перемножить их. При делении в дроби, на которую уменьшают, нужно поменять местами верхнее число дроби с нижним, а после выполнить перемножение с первым отношением. Например, 2/3 * 3/6 = (2 * 3)/(3 * 6) = 6/18; 1/7: 1/7 = 1/7 * 7/1 = 7/7.

Операции сами по себе несложные. Но часто на практике приходится иметь дело с неправильными и смешанными дробями. Правило умножения при работе с ними немного изменяется. Следует знать, что смешанную дробь всегда можно представить как неправильную. Это важное замечание, именно на него и опирается закон произведения смешанных чисел. Кроме того, при выполнении действий используют основное свойство дроби — делитель и делимое можно умножить на одно и то же любое натуральное число без изменения конечного результата.

Преобразование смешанных чисел

Умножение на обыкновенную дробь смешанного выражения невозможно без предварительных преобразований. Чтобы понять, как их делать, нужно чётко понимать, что собой представляет смешанное число. Состоит такая запись из двух частей:

целой — натуральное число;
дробной — простое отношение.

Например, 3 1/3; 12 24/78; 1 ½. Другими словами, смешанная дробь — это запись числа, которая представляет сумму целой и дробной части. То есть справедливо будет записать равенство: 6 12/45 = 6 + 12/45. Это выражение всегда можно привести к неправильному виду. Для этого нужно выполнить всего два действия:

Целую часть перемножить со знаменателем и результат сложить с числителем.

Полученное значение записать в числитель, а знаменатель оставить без изменения.

Формулой эту операцию можно записать в следующем виде: a b/c = (a * c + b)/c.

Например, нужно перевести смешанное число 3 27/34 в неправильную дробь. Используя алгоритм, знаменатель оставляют без изменения, а числитель умножают на делимое и складывают с целым: 3 27/34 = 3 + 27/34 = (3 * 34)/34 + 27/34 = (3*34 + 27)/34 = 129/34. Полученное выражение пробуют упростить, то есть разделить без остатка на одно и то же число.

Вот немного сложнее задание. Следующее выражение нужно перевести в неправильную дробь: 3 — 27/34. Существует одна хитрость: если целая часть не содержит единицу, её приводят к такому виду, чтобы она содержала единичный член. Так, задание можно преобразовать к равенству: 2 + 1 — 27/34. Единицу в выражении можно заменить отношением, согласно свойству дробей, то есть представить её как 34/34. Теперь задание примет вид: 2 + 34/34 — 27/34.

Используя правило вычитания дробей с одинаковым знаменателем довольно просто выполнить действие: 2 + ((34−27) / 34) = 2 + 7/34 = 2 7/34. Полученное число уже без затруднений можно привести к виду неправильной записи: 2 7/34 = (2 * 34 + 7)/34 = (64 + 7)/34 = 75/34. При этом всегда можно выполнить и обратную операцию. Отсюда следует не менее важное правило, что натуральное число разрешено представлять как обыкновенную дробь с единичным знаменателем. Например, 33 = 33/1; 564 = 564/1.

Решение примеров

После изучения теории для её закрепления необходимо перейти к решению практических заданий. Начинать нужно с простых примеров, а после их освоения переходить к более сложным примерам. Существует набор типовых задач, после самостоятельного решения которых можно утверждать о понимании материала. Вот один из сборников, содержащий типовые задачи:

Перемножение неправильных дробей: 5/2 * 13/5 = (5 * 13)/(2 * 5) = 13/2.

Полученная дробь неправильная, её нужно привести к смешанному числу: 13/2 = (1 + 6 * 2)/2 = 6 ½.

Задача на простое умножение с упрощением второй дроби: 2/5 * 45/5 = 2/5 * 9/1 = 18/5 = (3 + 3*5)/5 = 3 3/5.

Умножение смешанной дроби на целое число: 2 23/34 * 11 = ((2 * 34 + 23)/34) * 11/1 = 91/34 * 11/1 = (91 * 11)/*34 * 1) = 1001/34 = 29 15/34.

Нахождение результата перемножения двух смешанных выражений: 2 27/43 * 4 8/9 = ((2 * 43 +27)/43) * ((4 * 9 + 8)/9) = (113/43) * (44/9) = (113 * 44)/(43 * 9) = 4972/387 = (328 + 12*387)/387 = 12 328/387.

Вычисление ответа умножения числа на неправильную дробь: 2 11/18 * 5/3 = (2 * 18 + 11)/18 * 5/3 = 47/18 * 5/3 = (47 * 5) / (18 * 3) = 235 / 15 = 47/3 = (15 * 3 + 2)/3 = 15 + 2/3 = 15 2/3.

Для решения сложных заданий необходимо уметь комбинировать различные действия. Вот пример одного из таких заданий: (2/34 + 5 7/8) * 2 12/5 * 4 * 2/3. При решении такой задачи в первую очередь следует выполнить сложение в скобке: (2/34 + 5 7/8) = 5 + 2/34 + 7/8 = 5 + 8/136 +119/136 = 5 + (8 + 119)/136 = 5 + (127/136) = 5 127/136. Вторым действием будет приведение смешанных чисел к неправильным дробям: 2 12/5 = 2 + 12/5 = 2 + (2 * 5 + 2)/5 + 2/5 = 4 2/5.

Теперь можно перемножить первый член со вторым, а третий с четвёртым: 5 127/136 * 4 2/5 = ((5 * 136) + 127)/136) * (4 * 5 + 2)/5) = 807/136 * 22/5 = (807/ 2 * 68) * (2 * 11/5) = (807 * 11)/(68 * 5) = 8877/340 = (37 + (26 * 340))/340 = 26 37/340; 4 * 2/3 = 4/1 + 2/3 = (4 * 2) / (1 * 3) = 8/3 = (2 + 2 * 3)/3 = 2 2/3.

Последнее действие заключается в перемножении полученных членов: (26 37/340) * (2 2/3) = ((26 * 340 + 37)/340) * (2 * 3 + 2)/3) = (8877/340) * (8/3) = (3 * 2959)/(4 * 85) * (4 * 2/3) = (2959/85) * (2 /1) = 5918/85. Это и есть ответ на поставленную задачу. Но так как в ответе стоит неправильная дробь, её желательно преобразовать в смешанную: 5918/85 = (53 + 69 * 85) / 85 = 69 53/85. Пример решён.

Использование онлайн-калькулятора

На обычном калькуляторе выполнить умножение смешанных чисел возможно только путём переведения их в десятичные. , то есть нужно будет представить члены выражения в виде неправильных дробей, затем разделить и найти произведение. Но если есть подключение к интернету, удобно использовать так называемые математические онлайн-калькуляторы.

Это сайты, специализирующиеся на вычислениях. Чтобы ими воспользоваться, не нужно особой подготовки. Достаточно загрузить сервис и в предлагаемую форму ввести условия примера. После нажать кнопку «Рассчитать» и через одну-две секунды, зависит от сложности задания, получить ответ. Для этого, конечно же, понадобится подключение к интернету и гаджет, на котором установлен веб-браузер с поддержкой Flash-плеера.

Из множества сайтов, существующих в русскоязычном секторе интернета, можно выделить:

onlinemschool;
webmath;
naobumium;
0oq;
allcalc.

Эти сервисы предлагают свои услуги бесплатно и даже не требуют регистрации или указания каких либо своих данных. Удобство их использования ещё и в том, что кроме автоматического подсчёта правильного произведения, сайты предоставляют пошаговое решение. Это удобно в процессе обучения. Можно не только проверить самостоятельно полученный ответ, но и проследить все этапы выполнения действий.

Для новичков на сервисах предусмотрен краткий теоретический материал, так что даже неподготовленному пользователю будет понятно, как получается то или иное преобразование. А примеры с комментариями помогут понять алгоритм вычисления задач с дробями и закрепить пройденный на уроках материал.

Онлайн-калькуляторы — это отличное подспорье учащимся при освоении материала. К тому же они будут полезны студентам и инженерам. Всё дело в том, что расчёт с их помощью занимает несколько секунд и практически исключена ошибка. В то же время самостоятельные вычисления не только требуют повышенной внимательности, но и занимают намного больше времени.

Деление смешанных фракций – этапы, метод, примеры

Деление смешанных фракций – это операция деления двух смешанных фракций. Это похоже на операцию умножения путем взятия обратной второй дроби. Мы узнаем об этапах деления смешанных дробей вместе с примерами в этой статье.

1.	Деление смешанных чисел с одинаковыми знаменателями
2.	Деление смешанных дробей с разными знаменателями
3.	Деление смешанных дробей на целые числа
4.	Деление смешанных дробей на дроби
5.	Часто задаваемые вопросы о делении смешанных чисел

Деление смешанных чисел с одинаковыми знаменателями

Как мы знаем, термин «подобные знаменатели» означает, что знаменатели одинаковы. Следовательно, мы будем брать смешанные числа с одинаковыми знаменателями, чтобы понять шаги на примере.

Рассмотрим следующие важные моменты, которые помогут вам при делении смешанных дробей.

Смешанная дробь \(a\dfrac{b}{c}\) также может быть записана как + (b/c) и наоборот.
Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, нужно умножить целое число на знаменатель и прибавить результат к числителю правильной дроби, сохранив знаменатель. Например, чтобы преобразовать \(2\dfrac{1}{7}\) в неправильную дробь, мы умножаем 2 и 7, т. е. 2 × 7 = 14, и результат прибавляем к 1, т. е. 14 + 1 = 15. Таким образом, неправильная дробь равна 15/7.
Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, нужно разделить числитель неправильной дроби на ее знаменатель. Частное становится целой частью числа, остаток становится числителем правильной дроби, а знаменатель остается прежним. Например, чтобы преобразовать 21/4 в смешанное число, мы сначала разделим 21 на 4 и получим частное как 5, а остаток как 1. Таким образом, смешанное число равно \(5\dfrac{1}{4}\) .

Теперь мы возьмем пример, чтобы понять шаги деления смешанных чисел с одинаковыми знаменателями.

Пример. Разделите смешанную дробь \(3\dfrac{1}{8}\) на \(2\dfrac{3}{8}\) .

Мы должны выполнить \(3\dfrac{1}{8}\) ÷ \(2\dfrac{3}{8}\).

Шаг 1: Преобразуйте данные смешанные дроби в неправильные дроби. т. е. \(3\dfrac{1}{8}\) = 25/8 и \(2\dfrac{3}{8}\) = 19/8.
Шаг 2: Мы умножим обратную величину второй дроби на первую дробь, т.е. (25/8) × (8/19).
Шаг 3: Числители и знаменатели этих дробей умножаются отдельно. т. е. (25 × 8) / (8 × 19).
Шаг 4: Сократите общие множители, если они существуют в числителе и знаменателе. Отменяем 8.
Шаг 5: Выполните расчет. Получаем 25/19.
Шаг 6: Если результат, полученный на предыдущем шаге, является неправильной дробью, преобразуйте его в смешанное число, т. е. 25/19.= \(1\dfrac{6}{19}\).

Деление смешанных дробей с разными знаменателями

Деление смешанных дробей с разными знаменателями определяется как деление смешанных дробей с разными знаменателями. Шаги для выполнения деления остаются такими же, как описано в предыдущем разделе. Давайте возьмем пример, чтобы понять деление смешанных дробей с разными знаменателями.

Пример: разделить смешанную дробь \(2\dfrac{2}{9}\) на \(3\dfrac{1}{7}\).

Мы должны выполнить расчет \(2\dfrac{2}{9}\) ÷ \(3\dfrac{1}{7}\). При преобразовании смешанных дробей \(2\dfrac{2}{9}\) и \(3\dfrac{1}{7}\) в неправильные дроби мы получаем 20/9 и 22/7 соответственно.

Теперь разделим (20/9) на (22/7).

= (20/9) ÷ (22/7)

= (20/9) × (7/22)

= (10 × 7) / (9 × 11) (Вычитая 2 из числителя и знаменатель)

= 70/99

Таким образом, результат вычисления \(2\dfrac{2}{9}\) ÷ \(3\dfrac{1}{7}\) равен 70/99.

Деление смешанных дробей на целые числа

Целые числа можно представить в виде дробей, считая знаменатель равным 1. Например, 9 можно записать как 9/1. Чтобы разделить смешанные дроби на целые числа, мы преобразуем смешанную дробь в неправильную дробь и представим целое число в виде дроби с последующими шагами деления смешанных дробей, как описано в предыдущем разделе. Давайте возьмем пример, чтобы понять это.

Пример: Разделите смешанную дробь \(4\dfrac{1}{5}\) на целое число 7.

Мы должны выполнить вычисление \(4\dfrac{1}{5}\) ÷ 7. Преобразовав смешанную дробь \(4\dfrac{1}{5}\) в неправильную дробь, мы получим 21/5 и целое число 7 можно записать как 7/1.

Теперь разделим (21/5) на (7/1).

= (21/5) ÷ (7/1)

= (21/5) × (1/7)

= (21 × 1) / (5 × 7)

= 3/5

Следовательно, результат \(4\dfrac{1}{5}\) ÷ 7 равен 3/5.

Деление смешанных дробей на дроби

Деление смешанной дроби на дробь определяется как деление, производимое между смешанной дробью и правильной дробью. Шаги по их разделению останутся такими же, как обсуждалось ранее. Мы преобразуем смешанную дробь в неправильную дробь, а затем разделим ее на заданную дробь, следуя шагам деления. Давайте возьмем пример, чтобы понять это.

Пример: Разделите смешанную дробь \(5\dfrac{2}{3}\) на дробь 2/9.

Преобразуем смешанную дробь \(5\dfrac{2}{3}\) в неправильную дробь. Преобразовав \(5\dfrac{2}{3}\) в неправильную дробь, мы получим 17/3. Теперь разделим (17/3) на (2/9).

(17/3) ÷ (2/9)

= (17/3) × (9/2)

= (17 × 9) / (3 × 2)

= (17 × 3) / 2

= 51/2

= \(25\dfrac{1}{2}\)

Таким образом, значение \(5\dfrac{2}{3}\) ÷ (2/9) равно \(25\dfrac{1}{2}\).

Статьи по теме

Проверьте эти статьи, связанные с концепцией деления смешанных дробей.

Смешанные фракции
Неправильные дроби
Правильная дробь
Дроби

Часто задаваемые вопросы о делении смешанных дробей

Что такое деление смешанных дробей?

Деление смешанных чисел определяется как деление двух смешанных чисел, таких как \(2\dfrac{2}{9}\) ÷ \(3\dfrac{1}{7}\), где смешанные числа сначала преобразуются в неправильные дроби, а затем делятся.

Как решить деление смешанных дробей?

Чтобы решить деление смешанных дробей, смешанные дроби сначала преобразуются в неправильные дроби, затем вычисляется обратная величина второй дроби, а затем полученные дроби перемножаются. Результат еще больше упрощается до самой низкой формы за счет исключения общих терминов, если они существуют.
Например,
\(2\dfrac{1}{7}\) ÷ \(3\dfrac{5}{7}\)
= (15/7) ÷ (26/7)
= (15/7) × (7/26)
= 15/26

Каковы шаги деления смешанных дробей?

Шаги для деления смешанных чисел следующие:

Шаг 1: Данные смешанные числа преобразуются в неправильные дроби.
Шаг 2: Найдена обратная величина второй дроби.
Шаг 3: Теперь две дроби перемножаются.
Шаг 4: Они еще больше упрощаются, чтобы получить самую низкую форму.
Шаг 5: Если получена неправильная дробь, то она снова преобразуется в смешанную дробь.

Какой первый шаг при делении смешанных дробей?

Первым шагом при делении смешанных чисел является преобразование заданных смешанных дробей в неправильные дроби, за которыми следуют дальнейшие шаги деления. Например, чтобы выполнить \(4\dfrac{2}{3}\) ÷ \(3\dfrac{1}{3}\), первым шагом является преобразование заданных смешанных чисел в неправильные дроби, т. е. \ (4\dfrac{2}{3}\) = 14/3 и \(3\dfrac{1}{3}\) = 10/3.

Как делить смешанные дроби на целые числа?

Чтобы разделить смешанные числа на целые числа, преобразуем заданную смешанную дробь в неправильную дробь. Теперь мы запишем целое число в виде дроби, сделав знаменатель равным 1. Теперь, взяв обратное число от целого числа, мы умножим его на первую дробь и упростим полученный результат, чтобы получить наименьшую форму результата.

Как делить смешанные дроби с разными знаменателями?

Деление смешанных дробей с разными знаменателями выполняется так же просто, как и обычное деление смешанных дробей. Для этого сначала смешанные дроби будут преобразованы в неправильные дроби. Берется величина, обратная второй дроби. Далее числитель этих неправильных дробей будет умножен. Знаменатели также будут умножены. Результат будет дополнительно упрощен для получения окончательного ответа.
Например, \(3\dfrac{1}{4}\) ÷ \(3\dfrac{1}{3}\)
= (13/4) ÷ (10/3)
= (13/4) × (3/10)
= (13 × 3) / (4 × 10)
= 39/40

Как разделить смешанные числа на дроби?

Для деления смешанных дробей на дроби мы сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную дробь, затем берем обратную вторую дробь, умножаем две дроби и упрощаем их.

Смешанные дроби

(также называемые « Смешанные числа »)

1 3 4

(одна и три четверти)

Смешанная фракция — это целое число и правильная дробь комбинированный.

Например, 1 3 4

Примеры

2 3 8

7 1 4

1 14 15

21 4 5

Посмотрите, как каждый пример состоит из целого числа и правильной дроби вместе? Именно поэтому ее называют «смешанной» дробью (или смешанным числом).

Названия

Мы можем дать имена каждой части смешанной дроби:

Три типа дробей

Существует три типа дробей:

Мы можем использовать либо смешанные дроби, либо неправильные дроби неправильная дробь или смешанная дробь, чтобы показать одинаковую сумму.

Например, 1 3 4 = 7 4 , как показано здесь:

1 3 4		7 4
	=

Преобразование неправильных дробей в смешанные

Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанную, выполните следующие действия.

	Разделить числитель на знаменатель. Запишите весь ответ числа Затем запишите любой остаток выше знаменателя.

Пример: Преобразуйте

11 4 в смешанную дробь.

Разделить:

11 ÷ 4 = 2 с остатком 3

Запишите 2, а затем запишите остаток (3) над знаменателем (4).

Ответ:

2 3 4

Этот пример можно записать следующим образом:

Пример: преобразовать

10 3 в смешанную дробь.
Ответ:
3 1 3

Преобразование смешанных дробей в неправильные дроби
Умножить целую часть числа на знаменатель дроби.
Добавьте это к числителю
Затем запишите результат над знаменателем.

Пример: Преобразуйте 3
2 5 в неправильную дробь.
Умножить целую часть числа на знаменатель:
3 × 5 = 15
Добавить, что к числителю:
15 + 2 = 17
, затем напишите, что результат над знаменателем:
17 5
Мы можем сделать числитель в одном Go:
Пример: 2
1 9 в неправильную дробь.

Плохие ли неправильные дроби?
НЕТ, они неплохие!
Для математики они на самом деле лучше , чем смешанные дроби. Потому что смешанные дроби могут сбивать с толку, когда мы пишем их в формуле: нужно сложить или умножить две части?
Смешанная фракция: Что такое: 1 + 2 1 4 ?
Это: 1 + 2 + 1 4 = 3 1 4 ?
Или это: 1 + 2 × 1 4 = 1 1 2 ?

Неправильная дробь: Что такое: 1 + 9 4 ?
Это: 4 4 + 9 4 = 13 4
Но для повседневного использования люди лучше понимают смешанные дроби.
Пример: Легче сказать «Я съел 2 1 4 сосисок», чем «Я съел 9 4 сосисок»

Рекомендуем:
Для математики: неправильные дроби
Для повседневного использования: смешанные фракции

Как делить дроби за 3 простых шага с примерами, рабочими листами и прочим чтобы получить правильный ответ.
Но — как и в случае с любым математическим понятием — когда вы учите делению, вы не хотите, чтобы ваши ученики просто0263 решить проблему. Вы хотите, чтобы они понимали смысл каждого вопроса.
Но в том-то и дело. Трудно заставить их понять деление дробей, если вы сами этого не понимаете. Мы тоже немного запутались в этом вопросе. Вот почему мы рассмотрели лучшие инструменты и самые простые способы убедиться, что ваш класс понимает ключевые понятия деления дробей . Будьте внимательны, и к концу этой статьи вы станете полностью экипированным, сверхуверенным мастером фракционного деления.
Как работает деление дробей
Обучение учащихся делению дробей является частью Стандартов Common Core State для математической практики. Одна из самых ценных вещей, которым следует научить своих учеников при делении дробей, — это то, что означает ответ. Взгляните на пример ниже:
½ ÷ ⅙ = 3
Почему число в решении больше, чем задействованные дроби?
Когда вы делите дробь, вы спрашиваете, сколько групп делителя (второй дроби) можно найти в делимом (первой дроби).
В приведенном выше уравнении мы спрашиваем, сколько ⅙ встречается в ½. Представьте пример уравнения в виде торта. У вас осталась половина торта. Если каждая порция торта составляет ⅙ целого, сколько порций у вас осталось? Как видите, у вас осталось три порции торта!
Как видите, у вас осталось три порции торта!
Как делить дроби за 3 простых шага
Если бы вы просто делили дроби, как при делении обычной математической задачи, вы, скорее всего, создали бы несколько сложных дробей и получили бы что-то похожее на это:
Предоставлено: Клуб математики Майка
Это не совсем простой процесс.
К счастью, есть ярлык, который значительно упрощает деление дробей. Вы можете решить большинство задач на деление, выполнив следующие три шага:
Перевернуть (или инвертировать) делитель в обратное число

По сути, при умножении дробей вы умножаете первую дробь на обратную величину второй дроби.
Но в этом руководстве мы рассмотрим это более подробно, чтобы упростить разделение дробей и помочь вам избежать сложных дробей.
Шаг 1. Превратите делитель в обратное число
обратное число — это то, на что нужно умножить число, чтобы получить значение единицы. Если вы хотите превратить два в один с помощью умножения, вам нужно умножить его на 0,5. В виде дроби это выглядит так:
²⁄₁ × ½ = 1
Чтобы найти обратную дробь, нужно просто перевернуть числа. Знаменатель становится числителем и наоборот.
Еще раз взгляните на пример уравнения:
½ ÷ ⅙ = ?
Первый шаг к решению задачи — превратить наш делитель ⅙ в обратное число.
⅙ → ⁶⁄₁
Шаг 2: Замените знак деления на символ умножения и умножьте
Деление и умножение — это противоположностей друг друга. Когда вы создаете обратное число, вы также создаете его противоположность. В задаче на деление, когда вы превращаете делитель в обратное, вам также нужно изменить уравнение с деления на умножение.
Теперь, когда вы нашли величину, обратную вашему делителю, вы можете изменить уравнение с деления на умножение.
½ ÷ ⅙ = ? → ½ × ⁶⁄₁ = ?
У нас есть подробное руководство по умножению дробей, но вот краткое руководство:
Умножьте числители, чтобы получить новый числитель
Умножьте знаменатели, чтобы получить новый знаменатель
Упростите конечную дробь, если возможно
Для примера уравнения вам нужно решить две задачи:
1 × 6 = 6 2 × 1 = 2 ½ × ⁶⁄₁ = ⁶⁄₂
Теперь вы готовы упростить, чтобы получить окончательный ответ!
Шаг 3: Упростите свой ответ, если возможно
Дроби символизируют часть целого. Это означает, что многие дроби представляют одно и то же значение, так почему бы не сделать дробь максимально простой?
Например, вы почти никогда не говорите пять десятых или ⁵⁄₁₀. Вместо этого вы упрощаете это до половины или ½.
Чтобы привести дробь к ее простейшей форме, вы делите числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель . Наибольший общий делитель в ⁵⁄₁₀ равен пяти. Разделив оба числа на пять, вы получите ½.
В примере вопроса наибольший общий делитель ⁶⁄₂ равен двум. Это превратит ваше решение из ⁶⁄₂ в ³⁄₁, что равносильно тому, чтобы сказать три.
Следовательно:
½ ÷ ⅙ = ? → ½ × ⁶⁄₁ = ⁶⁄₂ → ³⁄₁ → 3
Создание обратной величины и умножение уравнения вместо деления позволяет пропустить несколько шагов в уравнении. Это ярлык, который сделает жизнь ваших учеников намного проще!
Примеры деления дробей
Трехшаговая стратегия отлично подходит для простых задач с дробями, но что происходит, когда вы сталкиваетесь с целыми числами, смешанными дробями, неправильными дробями и задачами на слова?
По большей части процесс остается таким же, но в зависимости от типа проблемы может быть еще несколько шагов.
Давайте рассмотрим несколько примеров различных типов задач:
Как делить неправильные дроби
Кредит: edgalaxy
Неправильная дробь — это когда у вас есть числитель со значением, которое на больше, чем знаменатель на . Увидев эти дроби, можно запутаться, но порядок операций не изменится.
Пример 1 :
⅓ ÷ ⁶⁄₅ = ? → ⅓ × ⅚ = ⁵⁄₁₈
Пример 2 :
⁷⁄₆ ÷ ¾ = ? →⁷⁄₆ × ⁴⁄₃ = ²⁸⁄₁₈ → ¹⁴⁄₉ → 1 ⁵⁄₉
Независимо от того, где стоит неправильная дробь, вы все равно превращаете делитель в обратную, а затем умножаете две дроби.
Как делить смешанные дроби
Credit: Fabulous Finch Facts
Смешанная дробь — это когда у вас есть целое число вместе с дробью. Например, 2 ½ будет считаться смешанной дробью. Как разделить смешанную дробь?
Превратите смешанную дробь в неправильную, а затем приступайте к трехэтапной стратегии. Для этого умножьте свое целое число на знаменатель. Затем возьмите это значение и добавьте его к числителю.2 ½ изменится на ⁵⁄₂.
Пример 1:
3 ⅓ ÷ ⅖ = ? → ¹⁰⁄₃ ÷ ⅖ = ? → ¹⁰⁄₃ × ⁵⁄₂ = ⁵⁰⁄₆ → ²⁵⁄₃ → 8 ⅓
Пример 2:
¼ ÷ 2 ⅙ = ? → ¼ ÷ ¹³⁄₆ = ? → ¼ × ⁶⁄₁₃ = ⁶⁄₅₂ → ³⁄₂₆
Пример 3:
2 ½ ÷ 1 ⅓ = ? → ⁵⁄₂ ÷ ⁴⁄₃= ? → ⁵⁄₂ × ¾ = ¹⁵⁄₈ → 1 ⅞
Как делить дроби с целыми числами
Предоставлено: PBS LearningMedia
Вопросы с целыми числами аналогичны задачам со смешанными дробями. Прежде чем приступить к делению, нужно преобразовать целое число в дробь.
Чтобы превратить целое число в дробь, сделайте числитель целым числом, а знаменатель — единицей.
3 → ³⁄₁
Как только целое число будет преобразовано в дробь, вы можете продолжить решение задачи с помощью трехэтапной стратегии.
Пример:
⅓ ÷ 3 = ? → ⅓ ÷ ³⁄₁= ? → ⅓ × ⅓ = ⅑
Как делить дроби с одинаковым знаменателем
Когда у вас одинаковый знаменатель, нет необходимости находить обратную или умножать. Вы можете просто разделить свои дроби, чтобы получить ответ. Знаменатели компенсируют друг друга и дадут вам единицу.
Любую дробь со знаменателем, равным единице, можно упростить до числителя.
Пример 1:
⅘ ÷ ⅖ = ²⁄₁ → 2
Пример 2:
⅓ ÷ ⅔ = ½/1/1 → ½
Разделение фракций. Проблемы
Word могут быть трюками. Потому что. Потому что делительные фракции
. вы должны научить своих учеников понимать, какое значение становится дивидендом, а какое — делителем.
Как и во всех задачах на деление, в задаче на слова вы пытаетесь выяснить, сколько групп одного числа можно найти в другом.
Лучший способ понять, какое число есть какое, — это посмотреть на пример.
Необходимо отремонтировать 25,5-километровый участок дороги. Строительная бригада может отремонтировать 4 ¼ километра дороги в неделю. Сколько недель потребуется, чтобы отремонтировать шоссе?
В этом уравнении вы ищете количество недель, которое требуется для ремонта шоссе.
Чтобы получить этот ответ, вам нужно посмотреть, сколько групп из 4 ¼ (количество шоссе, которое можно отремонтировать за неделю) может вписаться в 25 ½ (общая длина шоссе, которое необходимо отремонтировать). Следовательно, 25 ½ будет вашим делимым, а 4 ¼ — вашим делителем!
После того, как вы вставите числа в нужные места, вы обнаружите, что ремонт шоссе займет шесть недель.
Чтобы убедиться, что ваши учащиеся следуют вашим указаниям, вы можете вместе решить текстовые задачи, а затем попросить их поднять руку, если они считают, что одно число является дивидендом. Затем спросите еще раз, считают ли они другое число дивидендом.
Затем выберите учащегося, который объяснит, почему одно число является делимым, а другое — делителем. Это не только вовлечет студентов, но и даст вам возможность увидеть, как студенты обрабатывают материал, который вы преподаете!
Как Prodigy может помочь вам научить делить дроби
Prodigy Math поможет вам научить делить дроби, отслеживать успехи ваших учеников и задавать конкретные вопросы для подготовки вашего класса к стандартизированному тестированию — и учетные записи учителей бесплатны !
Математическая игра воодушевляет ваших учеников, и в большинстве случаев они даже не осознают, что их тестируют. У вас есть несколько вариантов, в том числе возможность сосредоточить внутриигровые вопросы на темах, которые вы преподаете, актуальную статистику и отчеты о прогрессе.
Вот как вы можете использовать Prodigy в своем классе, чтобы:
разнообразить математическую практику
закрепить понятия в классе (например, деление дробей!)
проводить формирующие оценки и отслеживать прогресс учащихся вся «маркировка» делается за вас — и в режиме реального времени. Вы можете просматривать отчеты по всему классу и видеть, с какими темами борются разные ученики!
Вы также можете создавать задания для каждого учащегося с учетом его конкретных потребностей и стиля обучения. Всем вашим ученикам будет предоставлена возможность попрактиковаться в вопросах, с которыми у них возникают проблемы, и улучшить свои общие математические навыки.
Когда время экзамена не за горами, вы можете создать тренировочный тест в игре, чтобы узнать, нужно ли более подробно осветить какие-либо темы в классе.
Prodigy Math бесплатна для учителей.
Рабочие листы, которые могут помочь в делении дробей
Чтобы убедиться, что основные понятия понятны при обучении делению дробей, вы также можете использовать рабочие листы для своего класса. Вы можете поместить в рабочий лист множество различных вопросов, чтобы увидеть, что учащиеся понимают и с чем они борются.
Единственным недостатком рабочих листов является то, что на их пометки может уйти много времени. Чем больше времени требуется для выставления оценок, тем больше времени потребуется, чтобы увидеть, в чем вашим ученикам нужна помощь.
Вот несколько веб-сайтов, на которых можно найти рабочие листы, которые вы можете попробовать в своем классе:
1. DadsWorksheets.com
DadsWorksheets.com предлагает широкий выбор рабочих листов в зависимости от темы, над которой вы работаете. . Все рабочие листы снабжены ключом для ответов, чтобы упростить задачу. Все, что они предлагают, можно загрузить и распечатать прямо с веб-сайта.
2. Common Core Sheets
Common Core Sheets выводит ваши рабочие листы на новый уровень, позволяя настраивать уроки. Вы можете выбрать типы вопросов, которые должны отображаться на ваших рабочих листах. Вы также можете выбрать, хотите ли вы, чтобы дроби были упрощены или превращены в смешанные числа для ответов.
Конечный продукт дает вам два рабочих листа. В первом есть только вопросы, а во втором — все ответы, включая процесс получения решения.
3. K5 Learning
K5 Learning предоставляет рабочие листы для классов от детского сада до пятого класса. Они охватывают многие темы, встречающиеся в учебной программе, и по каждому предмету есть несколько рабочих листов для использования. PDF-файл, который вы можете скачать с их веб-сайта, включает рабочие листы и ключ ответа.
Калькулятор деления дробей
Когда ваши ученики учатся делить дроби, вы можете показать им калькуляторы дробей. Это онлайн-инструменты для быстрого решения задач на дроби. Они отлично подходят для проверки ваших ответов, но будьте осторожны, показывая эти инструменты своему классу.
Калькуляторы дробей можно использовать, когда учащиеся делают домашнее задание, но вы не хотите, чтобы они полагались на них при решении вопросов, иначе они ничего не узнают. Если вы используете Calculator.net, они покажут вам всех различных шагов, которые необходимо предпринять для решения проблемы!
Заключительные мысли о том, как делить дроби
При обучении делению дробей скажите своим ученикам, что они пытаются найти, сколько делителей можно найти в делимом. Самый простой способ разделить дроби — выполнить три простых шага:
Flip Divisor на взаимный
Изменение Знак деления на знак умножения и умножьте
Упростить , если это возможно
иметь дело со сложными дробями при решении задачи. Нахождение обратной величины и умножение — один из лучших способов быстрого решения всех типов задач на дроби.
Создайте или войдите в свою учетную запись учителя на Prodigy — игровой платформе обучения, которая оценивает прогресс и успеваемость учащихся во время игры. В соответствии с учебными планами для 1–8 классов в англоязычных странах более миллиона учителей и 50 миллионов учащихся используют его для отработки основных математических навыков.
Зарегистрируйтесь сейчас
2.6: Умножение и деление смешанных дробей
Последнее обновление
Сохранить как PDF
Идентификатор страницы
35402
Дэвид Арнольд
College of the Redwoods
Начнем с определения правильных и неправильных дробей.
Правильные и неправильные дроби
Правильная дробь — это дробь, числитель которой меньше знаменателя. Неправильная дробь — это дробь, числитель которой больше знаменателя.
Например,
\[ \frac{2}{3}, ~ — \frac{23}{39}, \text{ и } \frac{ 119}{127}\nonumber \]
все примеры правильных дробей. С другой стороны,
\[ \frac{4}{3},~ — \frac{317}{123}, \text{ и } — \frac{233}{101}\nonumber \]
— все это примеры неправильных дробей. .
Смешанная дробь ¹ часть целого числа, часть дроби.
Смешанные дроби
Число
\[ 5 \frac{3}{4}\nonumber \]
называется смешанной дробью . Он определяется как
\[5 \frac{3}{4} = 5 + \frac{3}{4}.\nonumber \]
В смешанной дроби \(5 \frac{3}{4 }\), 5 это целая часть числа , а 3/4 является дробной частью .
Преобразование смешанных дробей в неправильные
У нас есть все инструменты, необходимые для преобразования смешанной дроби в неправильную. Начнем с примера.
Пример 1
Превратите смешанную дробь \(4 \frac{7}{8}\) в неправильную дробь.
Решение
Мы используем определение смешанной дроби, делаем эквивалентную дробь для целой части числа, затем складываем.
\[ \begin{align} 4 \frac{7}{8} = 4 + \frac{7}{8} ~ & \textcolor{red}{ \text{ По определению.}} \\ = \frac {4 \cdot \textcolor{red}{8}}{ \textcolor{red}{8}} + \frac{7}{8} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Эквивалентная дробь с LCD = 8. }} \\ = \frac{4 \cdot 8 + 7}{8} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Добавьте числители к общему знаменателю.}} \\ = \frac{39}{8} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Упростите числитель.}} \end{aligned}\nonumber \]
Таким образом, \(4 \frac{7}{8}\) равно 39/8.
Упражнение
Замените \(5 \frac{3}{4}\) на неправильную дробь.
Ответить
23/4
Существует быстрый способ превратить смешанную дробь в неправильную.
Быстрый способ превратить смешанную дробь в неправильную
Чтобы превратить смешанную дробь в неправильную, умножьте целую часть числа на знаменатель, прибавьте числитель и поместите результат над знаменателем.
Таким образом, чтобы быстро заменить \(4 \frac{7}{8}\) на неправильную дробь, умножьте целое число 4 на знаменатель 8, добавьте числитель 7, затем поместите результат над знаменателем. В символах это будет выглядеть так:
\[ 4 \frac{7}{8} = \frac{4 \cdot 8 + 7}{8}.\nonumber \]
Это именно то, что третий шаг в примере 1 выглядит так; мы просто устраняем большую часть работы.
Пример 2
Замените \(4 \frac{2}{3}\) на неправильную дробь.
Решение
Возьмите \(4 \frac{2}{3}\), умножьте целую часть числа на знаменатель, прибавьте числитель, затем поместите результат над знаменателем.
\[4 \frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3}\nonumber \]
Таким образом, результат равен
\[4 \frac{2}{3 } = \frac{14}{3}. \nonumber \]
Упражнение
Замените \(7 \frac{3{8}\) на неправильную дробь.
Ответить
59/8
Промежуточный шаг в примере 2 очень легко выполнить в уме, что позволяет пропустить промежуточный шаг и сразу перейти от смешанной дроби к неправильной дроби, не записывая ни единого фрагмента работы.
Пример 3
Не записывая никакой работы, используйте арифметику в уме, чтобы заменить \(-2 \frac{3}{5}\) на неправильную дробь.
Решение
Чтобы заменить \(−2 \frac{3}{5}\) на неправильную дробь, игнорируйте знак минус, действуйте, как прежде, затем добавьте знак минус к полученной неправильной дроби. Итак, умножьте 5 на 2 и прибавьте 3. Положите результат 13 над знаменателем 5, затем перед полученной неправильной дробью поставьте знак минус. то есть
\[-2 \frac{3}{5} = — \frac{13}{5}.\nonumber \]
Упражнение
Замените \(-3 \frac{5}{12}\) на неправильная дробь.
Ответить
−41/12
Преобразование неправильных дробей в смешанные дроби
Первым шагом при преобразовании неправильной дроби 27/5 в смешанную дробь является запись неправильной дроби в виде суммы.
\[\frac{27}{5} = \frac{25}{5} + \frac{2}{5}\номер \]
Упрощая уравнение 4.1, получаем
\[ \begin{aligned} \frac{27}{5} = 5 + \frac{2}{5} \\ = 5 \frac{2}{5} \end {align}\nonumber \]
Комментарий. Нельзя просто так выбрать любую сумму. Сумма, используемая в уравнении 4.1, построена так, чтобы первая дробь была равна целому числу, а вторая дробь была правильной. Любая другая сумма не даст правильную смешанную дробь. Например, сумма
\[ \frac{27}{5} = \frac{23}{5} + \frac{4}{5}\nonumber \]
бесполезен, потому что 23/5 — не целое число. Точно так же сумма
\[ \frac{27}{5} = \frac{20}{5} + \frac{7}{5}\nonumber \]
не годится. Хотя 20/5 = 4 — целое число, вторая дробь 7/5 все равно неправильная.
Пример 4
Замените 25/9 смешанной дробью.
Решение
Разбейте 25/9 на соответствующую сумму.
\[ \begin{align} \frac{25}{9} = \frac{18}{9} + \frac{7}{9} \\ = 2 + \frac{7}{9}} \\ = 2 \frac{7}{9} \end{aligned}\nonumber \]
Упражнение
Замените 25/7 смешанной дробью.
Ответить
\(3 \frac{4}{7}\).
Комментарий. Возникает закономерность. • В случае 27/5 обратите внимание, что 27, разделенное на 5, равно 5 с остатком 2. Сравните это с результатом смешанной дроби: 27/5=5 2 5 . • В случае Примера 4 обратите внимание, что 25 разделить на 9 равно 2 с остатком 7. Сравните это с результатом смешанной дроби: 25/9=2 7 9 . Эти наблюдения мотивируют следующую технику.
Быстрый способ замены неправильной дроби на смешанную
Чтобы заменить неправильную дробь на смешанную, разделите числитель на знаменатель. Частное будет целой числовой частью смешанной дроби. Если вы поместите остаток над знаменателем, это будет дробная часть смешанной дроби.
Пример 5
Замените 37/8 смешанной дробью.
Решение
37 разделить на 8 равно 4, с остатком 5. То есть:
Частное становится целой частью числа, и мы помещаем остаток над делителем. Таким образом,
\[ \frac{37}{8} = 4 \frac{5}{8}.\nonumber \]
неправильная дробь». 8 умножить на 4 плюс 5 равно 37. Положите это на 8, чтобы получить 37/8.
Упражнение
Замените 38/9 смешанной дробью.
Ответить
\(4 \фрак{2}{9}\)
Пример 6
Изменить -43/5 на смешанную дробь.
Решение
Не обращайте внимания на знак минус и действуйте так же, как в примере 5. 43 разделить на 5 равно 8 с остатком 3.
остаток над делителем. Наконец, добавьте префикс минус.
\[ -\frac{43}{5} = -8 \frac{3}{5}\номер \]
Умножение и деление смешанных дробей
У вас есть все инструменты, необходимые для умножения и деления смешанных дробей. Сначала замените смешанные дроби неправильными дробями, а затем умножьте или разделите, как вы это делали в предыдущих разделах.
¹ Смешанную дробь иногда называют смешанной числом .
Пример 7
Упростить: \(-2 \frac{1}{12} \cdot 2 \frac{4}{5}\).
Решение
Замените неправильные дроби, факторизируйте, сократите и упростите.
\[ \begin{aligned} -2 \frac{1}{12} \cdot 2 \frac{4}{5} = — \frac{25}{12} \cdot \frac{14}{5} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Заменить на неправильные дроби.}} \\ = — \frac{25 \cdot 14}{12 \cdot 5} ~ & \textcolor{red}{ \begin{aligned} \ text{ Умножить числители; умножить знаменатели.} \\ \text{ В отличие от знаков; произведение отрицательное.} \end{aligned}} \\ = — \frac{(5 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 7)}{2 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (5)} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Простой множитель. }} \\ = — \frac{ \cancel{5} \cdot 5 \cdot \cancel{2} \cdot 7}{ \cancel{2} \cdot 2 \ cdot 3 \cdot \cancel{5}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Отменить общие множители.}} \\ = — \frac{35}{6} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Умножение числителей и знаменателей.}} \end{aligned}\nonumber \]
Это совершенно хороший ответ, но если вы хотите получить смешанную дробь, 35 разделить на 6 будет 5 с остатком 5. Следовательно,
\[ -2 \frac{1}{12} \cdot 2 \frac{4}{5} = -5 \frac{5}{6}.\nonumber \]
Упражнение \(\PageIndex{1}\)
Упрощение:
\[-3 \frac{3 }{4} \cdot 2 \frac{2}{5}\nonumber \]
Ответ
−9
Пример 8
Упрощение:
\[-4 \frac{4}{5} \div 5 \frac{3}{5}.\nonumber \]
Решение
Преобразование в неправильные дроби, инвертирование и умножение, факторизация, сокращение и упрощение.
\[ \begin{align} -4 \frac{4}{5} \div 5 \frac{3}{5} = — \frac{24}{5} \div \frac{28}{5} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Заменить на неправильные дроби. }} \\ = — \frac{24}{5} \cdot \frac{5}{28} ~ & \textcolor{red}{ \text { Инвертировать и умножить.}} \\ = — \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}{5} \cdot \frac{5}{2 \cdot 2 \cdot 7} ~ & \textcolor{red }{ \text{ Простой множитель.}} \\ = — \frac{ \cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 2 \cdot 3}{ \cancel{3}} \cdot \frac{ \cancel {5}}{ \cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 7} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Отменить общие множители.}} \\ = — \frac{6}{7} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Умножение числителей и знаменателей.}} \cdot \end{aligned}\nonumber \]
Упражнение
Упрощение:
\[-2 \frac{4}{9} \cdot 3 \frac{2}{3}\nonumber \]
Ответ
−2/3
Упражнения
В упражнениях 1-12 преобразуйте смешанную дробь в неправильную.
1. \(2 \frac{1}{3}\)
2. \(1 \frac{8}{11}\)
3. \(1 \frac{1}{19}\ )
4. \(−1 \frac{1}{5}\)
5. \(−1 \frac{3}{7}\)
6. \(1 \frac{3}{ 17}\)
7. \(1 \frac{1}{9}\)
8. \(1 \frac{5}{11}\)
9. \(−1 \frac{1}{2} \)
10. \(−1 \frac{5}{8}\)
11. \(1 \frac{1}{3}\)
12. \(−1 \frac{5} {7}\)
В упражнениях 13-24 преобразуйте неправильную дробь в смешанную.
13. \(\frac{13}{7}\)
14. \(\frac{−17}{9}\)
15. \(\frac{−13}{5}\)
16. \(\frac{−10}{3}\)
17. \(\frac{−16}{5}\)
18. \(\frac{16}{13}\)
19. \(\frac{9}{8}\)
20. \(\frac{16}{5}\)
21. \(\frac{−6}{5}\)
22. \(\frac{−17}{10}\)
23. \(\frac{−3}{2}\)
24. \(\frac{−7}{4}\)
В упражнениях 25-48 умножьте числа и представите ответ в виде смешанной дроби.
25. \(1 \frac{1}{7} \cdot 2 \frac{1}{2}\)
26. \(1 \frac{1}{8} \cdot 1 \frac{1 }{6}\)
27. \(4 \cdot 1 \frac{1}{6}\)
28. \(1 \frac{7}{10} \cdot 4\)
29. \( \left( −1 \frac{1}{12} \right) \left( 3 \frac{3}{4} \right)\)
30. \( \left( −3 \frac{1}{2} \right) \left( 3 \frac{1}{3} \right)\)
31. \(7 \frac{1}{2} \cdot 1 \frac{1 }{13}\)
32. \(2 \frac{1}{4} \cdot 1 \frac{5}{11}\)
33. \( \left( 1 \frac{2}{ 13} \right) \left( −4 \frac{2}{3} \right)\)
34. \( \left( 1 \frac{1}{14} \right) \left( −2 \ frac{2}{5} \right)\)
35. \( \left( 1 \frac{3}{7} \right) \left( −3 \frac{3}{4} \right)\ )
36. \( \left( 1 \frac{4}{5} \right) \left( −3 \frac{3}{4} \right)\)
37. \(9 \cdot \left ( −1 \frac{2}{15} \right)\)
38. \(4 \cdot \left( −2 \frac{5}{6} \right)\)
39. \( \ влево( −2 \frac{1}{8} \right) (−6)\)
40. \((−9) \left( −3 \frac{1}{6} \right)\)
41. \( \left( −4 \frac{1}{2} \right) \left( −2 \frac{2}{5} \right)\)
42. \( \left( −1 \frac{3}{7} \right) \left( −3 \frac{3}{4} \right)\)
43. \( \left( −2 \frac{1}{6} \right ) \cdot 4\)
44. \((−6) \cdot \left( 1 \frac{1}{9} \right)\)
45. \( \left( −1 \frac{4}{15} \right ) \left( 2 \frac{1}{2} \right)\)
46. \( \left( −1 \frac{1}{5} \right) \left( 1 \frac{5}{ 9} \right)\)
47. \( \left( −2 \frac{1}{2} \right) \left( −1 \frac{7}{11} \right)\)
48 . \( \left( −1 \frac{7}{11} \right) \left( −1 \frac{7}{12} \right)\)
В упражнениях 49–72 разделите смешанные дроби и представь ответ в виде смешанной дроби.
49. \(8 \div 2 \frac{2}{9}\)
50. \(4 \frac{2}{3} \div 4\)
51. \( \left( − 3 \frac{1}{2} \right) \div \left( 1 \frac{1}{16} \right)\)
52. \( \left( −1 \frac{2}{5} \right) \div \left( 1 \frac{1}{15} \right)\)
53. \(6 \frac{1}{2} \div 1 \frac{7}{12}\)
54. \(5 \frac{1}{2} \div 1 \frac{9}{10}\)
55. \((−4) \div \left( 1 \frac{5}{ 9} \right)\)
56. \( \left( −4 \frac{2}{3} \right) \div 4\)
57. \( \left( −5 \frac{2} {3} \right) \div \left( −2 \frac{1}{6} \right)\)
58. \( \left( −2 \frac{1}{2} \right) \div \left( −2 \frac{2}{9} \right)\)
59. \( \left ( −6 \frac{1}{2} \right) \div \left( 4 \frac{1}{4} \right)\)
60. \( \left( −1 \frac{1}{ 6} \right) \div \left( 1 \frac{1}{8} \right)\)
61. \((−6) \div \left( −1 \frac{3}{11} \ справа)\)
62. \( \left( −6 \frac{2}{3} \right) \div (−6)\)
63. \( \left( 4 \frac{2}{ 3} \right) \div (−4)\)
64. \( \left( 6 \frac{2}{3} \right) \div (−6)\)
65. \( \left( 1 \frac{3}{4} \right) \div \left( −1 \frac{1}{12} \right)\)
66. \( \left( 2 \frac{4}{7} \right) \div \left( −1 \frac{1}{5} \right)\)
67. \( \left( 5 \frac{2}{3} \right) \div 1 \frac{1}{9}\)
68. \( 1 \frac{2}{3} \div 1 \frac{2}{9}\)
69. \( \left( −7 \frac{1}{2} \right) \div \left( −2 \frac{2}{5} \right)\)
70. \( \left( −5 \frac{ 1}{3} \right) \div \left( −2 \frac{5}{6} \right)\)
71. \( \left( 3 \frac{2}{3} \right) \ div \left( −1 \frac{1}{9} \right)\)
72. \( \left( 8 \frac{1}{2} \right) \div \left( −1 \frac{3}{4} \right)\)
73. Мелкие партии . Сколько участков в четверть акра можно построить из \(6 \frac{1}{2}\) акров земли?
74. Большое Поле. Поле сформировано из \(17 \frac{1}{2}\) участков по пол-акра. Сколько акров получилось в результате поля?
75. Ювелирные изделия. Чтобы сделать украшения, слиток серебра длиной \(4 \frac{1}{2}\) дюймов был разрезан на кусочки длиной \( \frac{1}{12}\) дюймов. Сколько штук было сделано?
76. Кексы. По этому рецепту получится 6 кексов: 1 стакан молока, \(1 \frac{2}{3}\) стакана муки, 2 яйца, 1/2 чайной ложки соли, \(1 \frac{1}{2}\) ложки разрыхлителя. Напишите рецепт шести десятков кексов.
Ответы
1. \( \frac{7}{3}\)
3. \( \frac{20}{19}\)
5. \(- \frac{10}{7 }\)
7. \( \frac{10}{9}\)
9. \(− \frac{3}{2}\)
11. \( \frac{4}{3} \)
13. \(1 \frac{6}{7}\)
15. \(−2 \frac{3}{5}\)
17. \(−3 \frac{1}{5}\)
19. \(1 \frac{1}{8}\)
21. \(−1 \frac{1}{5) }\)
23. \(−1 \frac{1}{2}\)
25. \(2 \frac{6}{7}\)
27. \(4 \frac{2} {3}\)
29. \(−4 \frac{1}{16}\)
31. \(8 \frac{1}{13}\)
33. \(−5 \frac {5}{13}\)
35. \(−5 \frac{5}{14}\)
37. \(−10 \frac{1}{5}\)
39. \( 12 \frac{3}{4}\)
41. \(10 \frac{4}{5}\)
43. \(− 8 \frac{2}{3}\)
45. \(− 3 \frac{1}{6}\)
47. \(4 \frac{1}{11}\)
49. \(3 \frac{3}{5} \)
51. \(− 3 \frac{5}{17}\)
53. \(4 \frac{2}{19}\)
55. \(− 2 \frac{4} {7}\)
57. \(2 \frac{8}{13}\)
59. \(− 1 \frac{9}{17}\)
61. \(4 \frac{ 5}{7}\)
63. \(− 1 \frac{1}{6}\)
65. \(− 1 \frac{8}{13}\)
67. \(5 \frac{1}{10}\)
69. \(3 \frac{1}{8}\)
71. \(− 3 \frac{3}{10}\)
73. 26 участков по четверть акра
75. 54 шт.
Наверх
Была ли эта статья полезной?
Тип изделия
Раздел или страница
Автор
Дэвид Арнольд
Лицензия
CC BY-NC-SA
Показать страницу Оглавление
нет
Включено
да
Метки
источник[1]-math-22484
Как разделить смешанные дроби?
Дроби определяются как числовое число, представляющее часть целого. Дробь — это компонент или сектор любой суммы, взятой из общей суммы, которая может быть любым числом, заданным значением или элементом. Фракция также известна как часть или часть большего количества. Он представлен знаком «/», как и в p/q.
Например, 3/5 — это дробь, в которой верхняя часть представляет собой числитель, а нижняя — знаменатель.
Правильная дробь: Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной дробью.
Например, 4/7, 5/8, 3/5 и т. д.
Неправильная дробь: Дробь, в которой числитель больше или равен знаменателю, называется неправильной дробью.
Например, 7/5, 5/5, 6/4 и т. д.
Смешанная дробь
Смешанная дробь — это форма дроби, которая имеет как целую, так и дробную части. Смешанная дробь – это дробь, образованная путем соединения целого числа и дроби. Смешанная дробь – это дробь, которая выражается через частное и остаток.
Например,   это смешанная дробь, здесь 2 – целое число, а 3/4 – дробная часть.
   – смешанная дробь, здесь 7 – целое число, а 2/5 – дробная часть.
Деление смешанной фракции
Операция деления двух смешанных фракций называется делением смешанной фракции. Это похоже на умножение на обратную вторую дробь.
Для деления смешанных дробей необходимо выполнить несколько шагов:
Шаг 1: Смешанная дробь также известна как m + (n/p) и наоборот.
Шаг 2: Сначала преобразуйте смешанное число в неправильную дробь, умножьте целое число на знаменатель и прибавьте результат к числителю правильной дроби, сохранив при этом знаменатель.
Например: Чтобы преобразовать смешанное число   в неправильную дробь, мы умножаем 2 и 7, т. е. 2 × 7 = 14, и результат прибавляем к 5, т. е. 14 + 5 = 19. Таким образом, неправильная дробь равна 19/7.
Шаг 3: Умножьте обратную величину второй дроби на первую и рационализируйте результат. Если получилась неправильная дробь, преобразовать ее в смешанную дробь.
Шаг 4: Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, разделите числитель неправильной дроби на ее знаменатель. Частное становится целой частью числа, остаток становится числителем правильной дроби, а знаменатель остается неизменным.
Например. Преобразуем 31/4 в смешанное число, мы сначала разделим 31 на 4 и получим частное как 7, а остаток как 3. Таким образом, смешанное число будет
Пример: разделите следующие смешанные дроби.
Решение:
Шаг 1: Преобразуйте данные смешанные дроби в неправильные дроби. т.е.
= 38/7
= 19/5
Шаг 2: затем умножьте взаимную вторую фракцию на первую фракцию, то есть
(38/7) × (5/19).
Шаг 3: Умножьте Числители и знаменатели этих дробей по отдельности:
(38 × 5) / (7 × 19).
Шаг 4: Если есть общий множитель, вычеркните из числителя и знаменателя.
Шаг 5: С помощью упрощения получаем 190/133, это неправильная дробь, преобразуем ее в смешанную дробь

Примеры задач
Задача 1: Разделить дробь    на   ?
Решение:
Шаг 1: Преобразуйте данные смешанные дроби в неправильные дроби. то есть
= 36/5
= 14/5
Шаг 2: затем умножьте взаимную вторую фракцию на первую долю, то есть
(36/5) × (5/14).
Шаг 3: Умножьте Числители и знаменатели этих дробей по отдельности:
(36 × 5) / (5 × 14).
Шаг 4: Если есть общий множитель, вычеркните из числителя и знаменателя. здесь отмените 5
Шаг 5: Упрощением , Получаем 36/14 неправильную дробь , преобразуем ее в смешанную дробь

0058 на ?
Решение:
Шаг 1. Преобразуйте заданные смешанные дроби в неправильные дроби. т.е.
= 29/4
= 21/9
Шаг 2: затем умножьте взаимную вторую фракцию на первую фракцию, то есть
(29/4) × (9/21).
Шаг 3: Умножьте числители и знаменатели этих дробей отдельно:
(29 × 9) / (4 × 21).
Шаг 4: Если есть общий множитель, вычеркните из числителя и знаменателя.
Шаг 5: Упрощаем, мы получаем 261/189 Это ненадлежащая фракция, преобразуйте его в смешанную фракцию
Задача 3: Разделите долю на ?
Решение:
Шаг 1: Преобразуйте заданные смешанные дроби в неправильные дроби. то есть
= 51/5
= 10/4
Шаг 2: затем умножьте взаимную вторую фракцию на первую фракцию, то есть
(51/5) × (4/10).
Шаг 3: Умножьте Числители и знаменатели этих дробей по отдельности:
(51 × 4) / (5 × 10).
Шаг 4: Если есть общий множитель, вычеркните из числителя и знаменателя.
Шаг 5: Упрощаем, мы получаем 204/50 Это неправильная фракция, преобразуйте его в смешанную фракцию
Задача 4: Разделите смешанную фракцию на ?
Решение:
Шаг 1. Преобразуйте данные смешанные дроби в неправильные дроби. то есть
= 91/9
= 63/8
Шаг 2: затем умножьте взаимную вторую фракцию на первую фракцию, то есть
(91/9) × (8/63).
Шаг 3: Умножьте Числители и знаменатели этих дробей по отдельности:
(91 × 8) / (9 × 63).
Шаг 4: Если есть общий множитель, вычеркните из числителя и знаменателя.
Шаг 5: Упрощаем, мы получаем 728/567 Это неправильная фракция, преобразуйте его в смешанную фракцию
Задача 5: Разделите смешанную фракцию на ?
Решение:
Шаг 1. Преобразуйте данные смешанные дроби в неправильные дроби.
  = 75/60003
Шаг 2: Затем умножьте обратную величину второй дроби на первую дробь, т. е.
(75/6) × (8/34).
Шаг 3: Умножьте числители и знаменатели этих фракций отдельно:
(75 × 8) / (6 × 34).
Шаг 4: Если есть общий множитель, вычеркните из числителя и знаменателя.
Шаг 5: С помощью упрощения получаем 600/204 это неправильная дробь, преобразуем ее в смешанную дробь

Смешанные фракции — определение, преобразование, примеры
21 августа 2022 г. 29 июля 2022 г.
Что такое смешанная фракция?
Дробь, представленная частным и остатком, является смешанной дробью. Например, 3 1/7 — смешанная дробь, где 3 — частное, 1 — остаток. Итак, смешанная дробь – это сочетание целого числа и правильной дроби.
Смешанная дробь определяется как дробь, образованная путем объединения целого числа и дроби. Например, если 8 — целое число, а ½ — дробь, то 8 ½ — смешанная дробь.
Как преобразовать смешанную дробь в неправильную дробь?
Смешанная дробь также может быть преобразована в неправильную дробь. Для этого выполните шаги, указанные ниже. Поясним это на примере смешанной дроби 2 ¼. Здесь 2 — целое число, 1 — числитель, 4 — знаменатель.
Шаг 1: Умножьте знаменатель смешанной дроби на целую часть числа.
Шаг 2: Добавьте числитель к произведению, полученному на шаге 1.
Шаг 3: Запишите неправильную дробь с суммой, полученной на шаге 2, в форме числитель/знаменатель.
Смешанное число — это целое число плюс дробная часть. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель (верхнее число) больше знаменателя (нижнее число). Вы можете преобразовывать смешанные числа в неправильные дроби, не меняя значения числа.
Пример
Пример: Преобразуйте следующее смешанное число в неправильную дробь. 2 4/5
Шаг 1: Умножьте знаменатель (нижнее число в дроби) на целое число.
Решение: 2×5= 10
Шаг 2: Прибавьте ответ из шага 1 к числителю (верхнее число в дроби)
Решение: 10+4=14
Шаг 3: Запишите ответ из шага 2 над знаменателем = 14/5
Как преобразовать неправильную дробь в смешанную дробь?
Неправильная дробь — это дробь, числитель которой больше или равен знаменателю и которая не может быть упрощена дальше. Например, 7/3 — неправильная дробь. Давайте узнаем, как преобразовать эту неправильную дробь в смешанную дробь.
Вы можете пойти и в другом направлении! Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, выполните следующие действия:
Разделите числитель на знаменатель.
Запишите целую числовую часть частного.
Возьмите остаток и запишите его над исходным знаменателем.
Давайте попробуем с 9/4. Во-первых, разделить.
9/4 =9÷4 =2 R1
Запишите целую часть числа, 2. Затем возьмите остаток и запишите его над исходным знаменателем. Это твой ответ!
2 ¼ Итак, 9/4 равно 2 ¼.
Как добавить смешанную фракцию?
Для добавления смешанных фракций:
Преобразовать их в неправильные дроби
Затем сложить их (используя сложение дробей)
Затем преобразовать обратно в смешанные дроби
Пример: чему равно 2 ¾ + 3 ½ =?
Преобразовать в неправильные дроби:
2 ¾ =   11/4
3 ½ = 7/2
Общий знаменатель 4: 1 как 1001023 1.
7/2 становится 14/4.
(путем умножения верхнего и нижнего на 2)
Теперь сложите: 11/4 + 14/4 = 25/4
Преобразуйте обратно в смешанные дроби: 25/4 = 6 ¼
Как вычесть смешанную дробь?
Просто следуйте тому же методу, но вместо прибавления вычитайте:
Пример: Чему равно 3 ¾ – 2 ½ =?
Преобразование в неправильные дроби:
3 ¾ = 15/4
2 ½ = 5/2
Общий знаменатель 4:
4 1.
No related posts.