Как составлять уравнение касательной: Уравнение касательной к графику функции — урок. Алгебра, 10 класс.

Содержание

Как найти уравнение касательной к графику функции

Примеры решенийРанг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса Найти производную Найти интегралРешение СЛАУ методом Крамера Диф уравнения онлайнОпределитель матрицы Точки разрыва функции

Задание №1. Написать уравнения касательной и нормали к кривой x³ в точке M₀ с абсциссой x₀ = 2.
Решение находим с помощью калькулятора.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
y_k = y₀ + y'(x₀)(x — x₀)
По условию задачи x₀ = 2, тогда y₀ = 2³ = 8
Теперь найдем производную:
y’ = (x³)’ = 3•x²
следовательно:
f'(2) = 3•2² = 12
В результате имеем:
y_k = y₀ + y'(x₀)(x — x₀)
y_k = 8 + 12(x — 2)
или
y_k = 12•x-16
Запишем уравнения нормали в общем виде:

В результате имеем:

или
y_k = ^-1/₁₂•x+⁴⁹/₆

Задание №2. Написать уравнения касательной и нормали к кривой ¹/₃•x³-4•x+1 в точке M₀ с абсциссой x₀ = 3.
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
y_k = y₀ + y'(x₀)(x — x₀)
По условию задачи x₀ = 3, тогда y₀ = -2
Теперь найдем производную:
y’ = (¹/₃•x³-4•x+1)’ = x²-4
следовательно:
f'(3) = 3²-4 = 5
В результате имеем:
y_k = y₀ + y'(x₀)(x — x₀)
y_k = -2 + 5(x — 3)

или
y_k = 5•x-17
Запишем уравнения нормали в общем виде:

В результате имеем:

или
y_k = ^-1/₅•x-⁷/₅

Пример №3. Составьте уравнение касательной к кривой y=4-x² в точке с абсциссой x=1.
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: y_k = y₀ + y'(x₀)(x — x₀)
По условию задачи x₀ = 1, тогда y₀ = 3. Теперь найдем производную: y’ = (4-x²)’ = -2x. следовательно: f'(1) = -2•1 = -2. В результате получаем уравнение касательной: y_k = 3 -2(x - 1) или y_k = 5-2x

Перейти к онлайн решению

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.

Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Уравнение касательной

Вспомним определение секущей для лучшего понимания что такое касательная.

Определение 1

Секущей называют прямую, пересекающую график кривой в двух точках одновременно.

Касательной прямой к графику кривой называют прямую, проходящую через некую точку кривой и совпадающую с ней в этой точке так, что это прямая лишь касается кривой.

Другое и более ёмкое определение касательной дал Лейбниц.

Определение 2

Лейбниц касательной называл прямую, проведённую через пару точек на рассматриваемой кривой, не совпадающих между собой, но находящихся бесконечно близко друг к другу. Из определения Лейбница видно, что касательная является частным случаем секущей.

Геометрический смысл производной в точке и касательной

Рассмотрим определение касательной подробнее.

Рисунок 1. Касательная и секущая к графику. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пусть дана некая кривая $L$, а на ней выбрана произвольная точка $M$. Возьмём ещё одну точку $P$, расположенную также на этой кривой и проведём через точки $M$ и $P$ секущую. Теперь поставим точку $P$ ещё ближе к точке $M$ и проведём новую секущую.

Проделаем так ещё несколько раз, каждый раз получая новую секущую, как бы поворачивающуюся вокруг точки $M$.

В момент, когда очередная точка $P$ находится бесконечно близко к точке $M$, секущая как бы достигает своего предельного положения, в котором по сути она лишь касается графика.

Это положение называется касательной к графику кривой $L$ в точке $M$.

Уравнение касательной через производную

Теперь узнаем, как найти уравнение касательной.

Рассмотрим некую функцию $y(x)$ и выберем на ней точку $M$ с координатами $(a; y(a))$.

Сделаем приращение к аргументу $x$ в этой точке, равное $Δx$ и рассмотрим точку $P$ на графике функции с абсциссой, равной $x=x+Δx$. Значение функции в этой точке будет равно $y(a+ Δx)$. Проведём через точки $M$ и $P$ секущую.

Как мы помним из курса математики, угловой коэффициент равен тангенсу угла прямой с осью абсцисс. Это значит, что угловой коэффициент рассматриваемой нами секущей равен приращению функции $y$ к приращению функции $x$:

$k_{секущ.}=\frac{Δy}{Δx}\left(1\right)$.

Теперь рассмотрим приращение $Δx$ как бесконечно малую величину. В этом случае точка $P$ с координатами $(a; y(a)+ Δy)$ будет приближаться к точке $M$, стремясь к ней. Следовательно, угловой коэффициент нашей секущей, которая в данном случае является касательной, равен пределу:

$k_{кас. }=lim_{ Δx \to 0}(k_{секущ.})$

Воспользуемся формулой $(1)$ для секущей:

$k_{кас.}=lim_{ Δx \to 0} \frac{Δy}{Δx}$

Данный предел также носит название производной функции $y=f(x)$ в точке $x$ и обозначается как $y’(x)$.

Определение 3

Геометрический смысл производной состоит в том, что при условии возможности проведения касательной в точке $x$ к графику исследуемой кривой, такой, что эта касательная не параллельна оси $OX$, значение производной является угловым коэффициентом проведённой касательной в этой точке.

Иначе данное утверждение можно записать как

$k_{кас.}(a)=f’(a)$.

То есть, при составлении уравнения касательной через производную, производная функции является угловым коэффициентом.

Заметим на всякий случай, что сама функция $y=f(x)$ и её производная $y’(x)$ — две разные функции, равные между собой в точке $x$.

Таким образом, в общем виде уравнение касательной будет иметь вид:

$y=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0) \left(2\right)$,

где $f(x_0)$ — значение функции в точке $x_0$, а $f’(x_0)$ — её производная. 2}{2ax}=\frac{x}{2}$

То есть, для того чтобы получить касательную, необходимо соединить середину отрезка $OP$ с точкой $M$.

Расположение касательной в зависимости от значения её углового коэффициента

Рассмотрим несколько различных случаев значения углового коэффициента для касательной.

Если её угловой коэффициент, то есть, тангенс, равен нулю, то касательная расположена параллельно оси $OX$, а сама прямая принимает вид $y=b$.

Если тангенс положительный, то касательная образует острый угол с осью абсцисс, что значит, что вместе с ростом $x$ растёт и $y$.

В случае если тангенс отрицательный, прямая образует тупой угол с горизонтальной осью, а это значит, что с увеличением значения икса происходит уменьшение значения игрека.

Есть ещё один случай расположения касательной — параллельно оси $OY$, в этом случае её уравнение описывается как $x=c$, где $c$ — некая константа.

Другим числом, определяющим положение касательной, является число $b$, являющееся свободным членом в уравнении прямой $y=kx+b$. 2+3x-6)’=4x+3$

Теперь получим значение углового коэффициента, для этого подставим $x=3$ в производную:

$y’(x)=4 \cdot 3 + 3 = 15$

Подставим это значение в формулу для касательной $(2)$:

$y_{кас.}=21+15 \cdot (x-3)$

$y=15x-24$ — уравнение касательной получено.

Как график касательной функции

BY: Мэри Джейн Стерлинг и

Обновлено: 07-09-2021

Из книги: Pre-Calculus для Dummies

Pre-Calculus for Dummies

669

Исследуйте книгу Купить на Amazon

Как и у любой другой функции, у функции тангенса есть родительский график. Используя график этой функции, вы можете сделать тот же тип преобразования, который применяется к родительскому графику любой функции. Самый простой способ запомнить, как построить график функции тангенса, это вспомнить, что

С графиком касательной происходят интересные вещи. Когда знаменатель дроби равен 0, дробь не определена. Таким образом, график касательной имеет асимптоты, где функция не определена, в каждом из этих мест.

Показывает корни (или нули), асимптоты (где функция не определена) и поведение графика между определенными ключевыми точками на единичной окружности.

Для построения исходного графика касательной функции

f ( x ) = tan x , где x представляет собой угол в радианах, вы начинаете с нахождения вертикальных асимптот. Эти асимптоты дают вам некоторую структуру, из которой вы можете заполнить недостающие точки.

Найдите вертикальные асимптоты, чтобы найти домен.
В этих шагах используется x вместо тета, поскольку график находится на плоскости x — y . Чтобы найти область определения функции тангенса f ( x ) = tan x , вы должны найти вертикальные асимптоты. Первая асимптота возникает, когда угол
( Примечание: Период касательной
, которое отличается от синуса и косинуса. ) Иными словами, тангенс имеет асимптоты, когда
Самый простой способ написать это
, где n — целое число. Вы пишете

, так что если асимптота равна
, вы автоматически найдете следующую асимптоту.
Определить значения диапазона.
Напомним, что функция тангенса может быть определена как
Чем ближе вы подходите к значениям, где
, чем меньше становится число внизу дроби и тем больше становится значение общей дроби — в положительном или отрицательном направлении.
Диапазон тангенса не имеет ограничений; вы не застряли между 1 и –1, как с синусом и косинусом. На самом деле отношения — это любые числа. Диапазон
Вычислить x- точек пересечения графика.
Родительский график касательной имеет корни (пересекает ось x-) на
Вы можете найти эти значения, установив
равно 0, а затем решение. Точки пересечения x- для родительского графика тангенса расположены везде, где значение синуса равно 0.
Выясните, что происходит с графиком между точками пересечения и асимптотами.
- График f ( x ) = tan x положителен для углов в первом квадранте (относительно единичной окружности) и указывает вверх к асимптоте на пи / 2, потому что все значения синуса и косинуса положительны для углов в первой четверти.
- График f ( x ) = tan x является отрицательным для углов в квадранте II, потому что синус положительный, а косинус отрицательный для углов в этом квадранте.
- График f ( x ) = tan x положителен для углов в квадранте III, потому что и синус, и косинус отрицательны.
- Наконец, график f ( x ) = tan x положителен для углов в квадранте IV, потому что синус отрицателен, а косинус положителен для углов в этом квадранте.
Примечание: Касательный график не имеет точек максимума или минимума.

На рисунке показан родительский граф тангенса,

. Эта статья взята из книги:

Предварительное исчисление для чайников,

Об авторе книги:

Мэри Джейн Стерлинг алгебра, деловое исчисление, геометрия и конечная математика в Университете Брэдли в Пеории, штат Иллинойс, более 30 лет. Она является автором нескольких книг «Для чайников», , в том числе «Рабочая тетрадь по алгебре для чайников», «Алгебра II для чайников», и 9.0019 Рабочая тетрадь по алгебре II для чайников.

Эту статью можно найти в категории:

Предварительное вычисление,

1.8: Приближение касательной

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 5287

Мэтью Болкинс, Дэвид Остин и Стивен Шликер
Государственный университет Гранд-Вэлли через ScholarWorks @Grand Valley State University
30
Цели обучения
В этом разделе мы стремимся понять идеи, порожденные следующими важными вопросами:
- Какова формула общей аппроксимации касательной к дифференцируемой функции $y = f ( x )$ при точка $(a, f (a))$?
- Что такое принцип локальной линейности и что такое локальная линеаризация дифференцируемой функции $f$ в точке $(a, f (a))$?
- Каким образом знание только аппроксимации касательной дает нам информацию о поведении самой исходной функции вблизи точки аппроксимации? Каким образом знание значения второй производной в этот момент дает нам дополнительные сведения о поведении исходной функции?
Среди всех функций линейные функции самые простые. Одно из важных следствий дифференцируемости функции $y = f (x)$ в точке $(a, f (a))$ состоит в том, что вблизи функция $y = f ( x )$ локально линейна и имеет вид своей касательной в этой точке. В определенных обстоятельствах это позволяет нам аппроксимировать исходную функцию $f$ более простой функцией $L$, которая является линейной: это может быть выгодно, когда у нас есть ограниченная информация о $f$ или когда $f $ является вычислительно или алгебраически сложным. Далее мы рассмотрим все эти ситуации.

Важно напомнить, что когда $f$ дифференцируема в точке $x = a$, значение $f ‘(a)$ обеспечивает наклон касательной к $y = f ( x)$ в точке $(a, f (a))$. Таким образом, зная точку на линии и наклон линии, мы можем найти уравнение касательной. Предварительный просмотр $\PageIndex{1}$ обновит эти концепции с помощью ключевого примера и подготовит почву для дальнейшего изучения.
Предварительный просмотр $\PageIndex{1}$
Рассмотрим функцию $y = g ( x ) = — x ^ { 2 } + 3 x + 2$ 9{ \prime } ( x )\).
Определить наклон касательной к $y = g(x)$ при значении $x$ = 2.
Вычислить $g$ (2).
Найдите уравнение для касательной к $y = g(x)$ в точке (2,$g$(2)). Запишите результат в форме точка-наклон ⁸ .

Рисунок $\PageIndex{1}$ : Оси для построения $y = g(x)$ и его касательной к точке (2,$g$(2)) ).

Касательная линия 9{ \prime } ( x )\): мы должны тщательно различать эти выражения. Каждый раз, когда мы находим касательную, нам нужно вычислять функцию и ее производную при фиксированном $a$-значении.

На рис. 1.8.2 мы видим размеченный участок графика функции $f$ и ее касательную в точке $(a, f (a))$. Обратите внимание, что при увеличении масштаба мы видим более четко выделенную локальную линейность $f$, поскольку функция и ее касательная почти неразличимы вблизи. Это также можно увидеть в динамическом виде в апплете Java по адресу http://gvsu. edu/s/6J.

Рисунок $\PageIndex{2}$ : Функция $y = f (x)$ и ее касательная в точке $(a, f (a ))$ : слева издалека и справа вблизи. Справа мы обозначаем функцию касательной прямой как $y = L(x)$ и замечаем, что для $x$ около $(a, f (a))≈ L(x) $ .

Локальная линеаризация

Небольшое изменение перспективы и обозначений позволит нам более точно обсудить, как касательная к $y = f (x)$ в $(a, f (a)) $ приближает $f$ вблизи $x = a$. Взяв уравнение для касательной и решив относительно $у$, мы заметим, что касательная дается выражением 9{ \prime } ( a ) ( x — a ) + f ( a )\]

локальная линеаризация $f$ в точке $(a, f (a))$. В этих обозначениях особенно важно отметить, что $L(x)$ есть не что иное, как новое имя для касательной, и что для $x$, близких к $a$, мы имеем, что $ f(x) ≈ L(x)$.

Скажем, например, что мы знаем, что функция $y = f (x)$ имеет аппроксимацию касательной, заданную выражением $L(x) = 3 − 2(x − 1)$ в точке (1, 3), но больше ничего о функции $f$ мы не знаем. {\prime} (- 1 )\). 9{ \prime \prime } ( — 1 ) = 2\). Что это говорит вам о графике $y = g(x)$ в точке $a = −1$?

Для $x$ вблизи −1 нарисуйте график локальной линеаризации $y = L(x)$, а также возможный график $y = g(x)$ на осях, указанных в Рисунок 1.8.3.

Рисунок $\PageIndex{3}$ : Оси построения $y = L(x)$ и $y = g(x)$ .

Как мы видели в примере, представленном в Упражнении 1.8.2, локальная линеаризация $y = L ( x )$ является линейной функцией, которая имеет два общих значения с функцией 9{ \prime } ( а )\). Таким образом, мы видим, что $L$ является линейной функцией, которая имеет то же значение и тот же наклон, что и функция $f$ в точке $(a, f (a))$.

В ситуациях, когда мы знаем линейную аппроксимацию $y = L(x)$, мы, следовательно, знаем исходное значение функции и наклон в точке касания. Однако остается неизвестным форма функции f в точке касания. По сути, есть четыре возможности, перечисленные на рис. {\prime \prime} (a) > 0\), поскольку касательная опускается ниже кривой, мы знаем, что $L ( x ) \leq f ( x )$ для всех значений $x$ вблизи $a$. Мы исследуем эти идеи подробнее в следующем упражнении. 9{ \prime \prime } ( x )\) в правой сетке на рис. 1.8.5; обозначьте его соответствующим образом.

(d) Является ли наклон касательной к $y = f(x)$ возрастающим, убывающим или ни тем, ни другим, когда $x = 2$? Объяснять.

(e) Нарисуйте возможный график $y = f(x)$ вблизи $x = 2$ на левой сетке на рис. 1.8.5. Включите набросок $y = L(x)$ (найденный в части (a)). Объясните, откуда вы знаете, что график $y = f(x)$ выглядит так, как будто вы его нарисовали.

(f) Ваша оценка в (b) завышает или занижает истинное значение $f(2.07)$? Почему?

Идея о том, что дифференцируемая функция выглядит линейной и может быть хорошо аппроксимирована линейной функцией, является важной и находит широкое применение в исчислении. Например, аппроксимируя функцию ее локальной линеаризацией, можно разработать эффективный алгоритм оценки нулей функции. Локальная линейность также помогает нам лучше понять некоторые сложные ограничения. Например, мы видели, что предел, такой как

\[\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin ( x ) } { x }\]

$x$ является неопределенным, поскольку его числитель и знаменатель стремятся к $0$. Хотя нет никакой алгебры, которую мы могли бы сделать, чтобы упростить $ \frac { \sin ( x ) } { x }$, просто показать, что линеаризация $f (x) = sin(x)$ в точке $(0, 0)$ определяется выражением $L(x) = x$. Следовательно, для значений $x$ вблизи $0$ $sin(x) ≈ x$. Таким образом, для значений $x$ вблизи $0$,

\[\frac {\sin ( x ) } { x } \ приблизительно \ frac { x } { x } = 1,\]

, что делает правдоподобным тот факт, что 9{ \prime \prime } \) не меняют знак при $x = a$, и в этом случае граф будет выглядеть как один из первых двух вариантов.

Эта страница под названием 1.8: The Tangent Line Approximation распространяется под лицензией CC BY-SA 4.