Как тангенс умножить на тангенс: Произведение тангенсов (Тангенс умножить на тангенс)

Тангенс tg x котангенс ctg x

Справочные данные по тангенсу (tg x) и котангенсу (ctg x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица тангенсов и котангенсов, производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.

Геометрическое определение

Прямоугольный треугольник.

|BD| –  длина дуги окружности с центром в точке A.
α – угол, выраженный в радианах.

Тангенс (tg α)

– это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB|.

Котангенс (ctg α)

– это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC|.

,    где n — целое.
,    где n — целое.

Принятые обозначения

Тангенс

В западной литературе тангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.

Котангенс

В западной литературе котангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.

Графики функций тангенс, y = tg x, и котангенс, y = ctg x

Графики функций y=tg(x) и y=ctg(x).

Свойства тангенса и котангенса

Периодичность

Функции   y = tg x   и   y = ctg x   периодичны с периодом   π.

Четность

Функции тангенс и котангенс – нечетные.

Области определения и значений, возрастание, убывание

Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n — целое).

	y = tg x	y = ctg x
Область определения и непрерывность
Область значений	–∞ < y < +∞	–∞ < y < +∞
Возрастание		–
Убывание	–
Экстремумы	–	–
Нули, y = 0
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 0	–

Формулы

Выражения через синус и косинус

;     ;
;     ;
;    

Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности

Остальные формулы легко получить, например

Произведение тангенсов

Формула суммы и разности тангенсов

Таблица тангенсов и котангенсов

В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента.

Выражения через комплексные числа

Выражения через гиперболические функции

;    
;    

Производные

;     .

Производная n-го порядка по переменной x от функции :
.
Производная n-го порядка по переменной x от функции :
.
Вывод формул для тангенса > > >;     для котангенса > > >

Интегралы

Разложения в ряды

Чтобы получить разложение тангенса по степеням x, нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга,   . При этом получаются следующие формулы.

  при  .

  при  .
где B_n – числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения:
;
;
где   .
Либо по формуле Лапласа:

Обратные функции

Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс, соответственно.

Арктангенс, arctg

,   где n — целое.

Арккотангенс, arcctg

,   где n — целое.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.

Таблица тангенсов для школьников и студентов

Таблица тангенсов необходима для вычислений, связанных со значениями тригонометрических функций.

Легко запомнить, что значения tg 0° = tg 180° = tg 360° = 0,
а tg 90° = tg 270° = ∞.

tg 1° — tg 90°

tg 1° = 0.01746
tg 2° = 0.03492
tg 3° = 0.05241
tg 4° = 0.06993
tg 5° = 0.08749
tg 6° = 0.10510
tg 7° = 0.12278
tg 8° = 0.14054
tg 9° = 0.15838
tg 10° = 0.17633
tg 11° = 0.19438
tg 12° = 0.21256
tg 13° = 0.23087
tg 14° = 0.24933
tg 15° = 0.26795
tg 16° = 0.28675
tg 17° = 0.30573
tg 18° = 0. 32492
tg 19° = 0.34433
tg 20° = 0.36397
tg 21° = 0.38386
tg 22° = 0.40403
tg 23° = 0.42447
tg 24° = 0.44523
tg 25° = 0.46631
tg 26° = 0.48773
tg 27° = 0.50953
tg 28° = 0.53171
tg 29° = 0.55431

tg 30° = 0.57735
tg 31° = 0.60086
tg 32° = 0.62487
tg 33° = 0.64941
tg 34° = 0.67451
tg 35° = 0.70021
tg 36° = 0.72654
tg 37° = 0.75355
tg 38° = 0.78129
tg 39° = 0.80978
tg 40° = 0.83910
tg 41° = 0.86929
tg 42° = 0.90040
tg 43° = 0.93252
tg 44° = 0.96569
tg 45° = 1.00000
tg 46° = 1.03553
tg 47° = 1.07237
tg 48° = 1.11061
tg 49° = 1.15037
tg 50° = 1.19175
tg 51° = 1.23490
tg 52° = 1.27994
tg 53° = 1.32704
tg 54° = 1.37638
tg 55° = 1.42815
tg 56° = 1.48256
tg 57° = 1.53986
tg 58° = 1.60033
tg 59° = 1.66428
tg 60° = 1.73205
tg 61° = 1.80405
tg 62° = 1.88073
tg 63° = 1.96261
tg 64° = 2. 05030
tg 65° = 2.14451
tg 66° = 2.24604
tg 67° = 2.35585
tg 68° = 2.47509
tg 69° = 2.60509
tg 70° = 2.74748
tg 71° = 2.90421
tg 72° = 3.07768
tg 73° = 3.27085
tg 74° = 3.48741
tg 75° = 3.73205
tg 76° = 4.01078
tg 77° = 4.33148
tg 78° = 4.70463
tg 79° = 5.14455
tg 80° = 5.67128
tg 81° = 6.31375
tg 82° = 7.11537
tg 83° = 8.14435
tg 84° = 9.51436
tg 85° = 11.43005
tg 86° = 14.30067
tg 87° = 19.08114
tg 88° = 28.63625
tg 89° = 57.28996
tg 90° = ∞

tg 91° — tg 180°

tg 91° = -57.28996
tg 92° = -28.63625
tg 93° = -19.08114
tg 94° = -14.30067
tg 95° = -11.43005
tg 96° = -9.51436
tg 97° = -8.14435
tg 98° = -7.11537
tg 99° = -6.31375
tg 100° = -5.67128
tg 101° = -5.14455
tg 102° = -4.70463
tg 103° = -4.33148
tg 104° = -4.01078
tg 105° = -3.73205
tg 106° = -3.

48741
tg 107° = -3.27085
tg 108° = -3.07768
tg 109° = -2.90421
tg 110° = -2.74748
tg 111° = -2.60509
tg 112° = -2.47509
tg 113° = -2.35585
tg 114° = -2.24604
tg 115° = -2.14451
tg 116° = -2.05030
tg 117° = -1.96261
tg 118° = -1.88073
tg 119° = -1.80405
tg 120° = -1.73205
tg 121° = -1.66428
tg 122° = -1.60033
tg 123° = -1.53986
tg 124° = -1.48256
tg 125° = -1.42815
tg 126° = -1.37638
tg 127° = -1.32704
tg 128° = -1.27994
tg 129° = -1.23490
tg 130° = -1.19175
tg 131° = -1.15037
tg 132° = -1.11061
tg 133° = -1.07237
tg 134° = -1.03553
tg 135° = -1.00000
tg 136° = -0.96569
tg 137° = -0.93252
tg 138° = -0.90040
tg 139° = -0.86929
tg 140° = -0.83910
tg 141° = -0.80978
tg 142° = -0.78129
tg 143° = -0.75355
tg 144° = -0.72654
tg 145° = -0.70021
tg 146° = -0.67451
tg 147° = -0.64941
tg 148° = -0. 62487
tg 149° = -0.60086
tg 150° = -0.57735
tg 151° = -0.55431
tg 152° = -0.53171
tg 153° = -0.50953
tg 154° = -0.48773
tg 155° = -0.46631
tg 156° = -0.44523
tg 157° = -0.42447
tg 158° = -0.40403
tg 159° = -0.38386
tg 160° = -0.36397
tg 161° = -0.34433
tg 162° = -0.32492
tg 163° = -0.30573
tg 164° = -0.28675
tg 165° = -0.26795
tg 166° = -0.24933
tg 167° = -0.23087
tg 168° = -0.21256
tg 169° = -0.19438
tg 170° = -0.17633
tg 171° = -0.15838
tg 172° = -0.14054
tg 173° = -0.12278
tg 174° = -0.10510
tg 175° = -0.08749
tg 176° = -0.06993
tg 177° = -0.05241
tg 178° = -0.03492
tg 179° = -0.01746
tg 180° = 0.00000

tg 181° — tg 270°

tg 181° = 0.01746
tg 182° = 0.03492
tg 183° = 0.05241

tg 184° = 0.06993
tg 185° = 0.08749
tg 186° = 0.10510
tg 187° = 0.12278
tg 188° = 0. 14054
tg 189° = 0.15838
tg 190° = 0.17633
tg 191° = 0.19438
tg 192° = 0.21256
tg 193° = 0.23087
tg 194° = 0.24933
tg 195° = 0.26795
tg 196° = 0.28675
tg 197° = 0.30573
tg 198° = 0.32492
tg 199° = 0.34433
tg 200° = 0.36397
tg 201° = 0.38386
tg 202° = 0.40403
tg 203° = 0.42447
tg 204° = 0.44523
tg 205° = 0.46631
tg 206° = 0.48773
tg 207° = 0.50953
tg 208° = 0.53171
tg 209° = 0.55431
tg 210° = 0.57735
tg 211° = 0.60086
tg 212° = 0.62487
tg 213° = 0.64941
tg 214° = 0.67451
tg 215° = 0.70021
tg 216° = 0.72654
tg 217° = 0.75355
tg 218° = 0.78129
tg 219° = 0.80978
tg 220° = 0.83910
tg 221° = 0.86929
tg 222° = 0.90040
tg 223° = 0.93252
tg 224° = 0.96569
tg 225° = 1.00000
tg 226° = 1.03553
tg 227° = 1.07237
tg 228° = 1.11061
tg 229° = 1.15037
tg 230° = 1.19175
tg 231° = 1.23490
tg 232° = 1. 27994
tg 233° = 1.32704
tg 234° = 1.37638
tg 235° = 1.42815
tg 236° = 1.48256
tg 237° = 1.53986
tg 238° = 1.60033
tg 239° = 1.66428
tg 240° = 1.73205
tg 241° = 1.80405
tg 242° = 1.88073
tg 243° = 1.96261
tg 244° = 2.05030
tg 245° = 2.14451
tg 246° = 2.24604
tg 247° = 2.35585
tg 248° = 2.47509
tg 249° = 2.60509
tg 250° = 2.74748
tg 251° = 2.90421
tg 252° = 3.07768
tg 253° = 3.27085
tg 254° = 3.48741
tg 255° = 3.73205
tg 256° = 4.01078
tg 257° = 4.33148
tg 258° = 4.70463
tg 259° = 5.14455
tg 260° = 5.67128
tg 261° = 6.31375
tg 262° = 7.11537
tg 263° = 8.14435
tg 264° = 9.51436
tg 265° = 11.43005
tg 266° = 14.30067
tg 267° = 19.08114
tg 268° = 28.63625
tg 269° = 57.28996
tg 270° = ∞

tg 271° — tg 360°

tg 271° = -57.28996
tg 272° = -28.63625
tg 273° = -19. 08114
tg 274° = -14.30067
tg 275° = -11.43005
tg 276° = -9.51436
tg 277° = -8.14435
tg 278° = -7.11537
tg 279° = -6.31375
tg 280° = -5.67128
tg 281° = -5.14455
tg 282° = -4.70463
tg 283° = -4.33148
tg 284° = -4.01078
tg 285° = -3.73205
tg 286° = -3.48741
tg 287° = -3.27085
tg 288° = -3.07768
tg 289° = -2.90421
tg 290° = -2.74748
tg 291° = -2.60509
tg 292° = -2.47509
tg 293° = -2.35585
tg 294° = -2.24604
tg 295° = -2.14451

tg 296° = -2.05030
tg 297° = -1.96261
tg 298° = -1.88073
tg 299° = -1.80405
tg 300° = -1.73205
tg 301° = -1.66428
tg 302° = -1.60033
tg 303° = -1.53986
tg 304° = -1.48256
tg 305° = -1.42815
tg 306° = -1.37638
tg 307° = -1.32704
tg 308° = -1.27994
tg 309° = -1.23490
tg 310° = -1.19175
tg 311° = -1.15037
tg 312° = -1.11061
tg 313° = -1.07237
tg 314° = -1.03553
tg 315° = -1. 00000
tg 316° = -0.96569
tg 317° = -0.93252
tg 318° = -0.90040
tg 319° = -0.86929
tg 320° = -0.83910
tg 321° = -0.80978
tg 322° = -0.78129
tg 323° = -0.75355
tg 324° = -0.72654
tg 325° = -0.70021
tg 326° = -0.67451
tg 327° = -0.64941
tg 328° = -0.62487
tg 329° = -0.60086
tg 330° = -0.57735
tg 331° = -0.55431
tg 332° = -0.53171
tg 333° = -0.50953
tg 334° = -0.48773
tg 335° = -0.46631
tg 336° = -0.44523
tg 337° = -0.42447
tg 338° = -0.40403
tg 339° = -0.38386
tg 340° = -0.36397
tg 341° = -0.34433
tg 342° = -0.32492
tg 343° = -0.30573
tg 344° = -0.28675
tg 345° = -0.26795
tg 346° = -0.24933
tg 347° = -0.23087
tg 348° = -0.21256
tg 349° = -0.19438
tg 350° = -0.17633
tg 351° = -0.15838
tg 352° = -0.14054
tg 353° = -0.12278
tg 354° = -0.10510
tg 355° = -0.08749
tg 356° = -0.06993
tg 357° = -0. 05241
tg 358° = -0.03492
tg 359° = -0.01746
tg 360° = 0.00000

• Коротко о важном
• Таблицы
• Формулы
• Формулы по геометрии
• Теория по математике

тригонометрия — Умножение с использованием тангенсов.

Вот объяснение того, почему ваш метод неверен (при условии, что вы прошли базовый курс алгебры):

Допустим, вы хотите нарисовать линию. Вы могли видеть: $$ f(x) = 3x + 2 $$

Это означает, что мы подставляем $x$ в уравнение, чтобы получить $f(x)$. Достаточно просто. Итак, $f(1) = 5$, потому что $f(1) = 3(1) + 2 = 5$.

Если у вас было: $$ \frac{f(2)}{f(1)} $$

Ответ: , а не $\frac{2}{1}$. Вам нужно подключить их оба к уравнению $f(x) = 3x + 2$: $$ \frac{3 \cdot 2 + 2}{3 \cdot 1 + 2} $$ $$ \frac{6 + 2}{5} $$ $$ \frac{8}{5} $$

Часто пишут $3(2)$ чтобы взорвать 3 раза 2. 3 это не функция, так что можно просто умножить.

Какое отношение это имеет к синусу и косинусу? На самом деле, синус и косинус тоже являются функциями! По какой-то причине круглые скобки, которые показывали вам, что это функция, где-то затерялись, поэтому теперь большинство людей просто пишут $\sin 3 $, а не $\sin(3)$. (Иногда они используются, иногда нет, но в любом случае они одинаковы.)

Возвращаясь к нашей функции, $f(x) = 3x+2$, каков результат: $$ \frac{f}{f} $$

Хорошо, мы просто подключим… подождите? Что мы подставляем в наше уравнение? Там ничего нет! Мы не можем подставить ноль, потому что там не написано $f(0)$. И мы не можем подставить $x$, потому что там не написано $f(x)$! Это уравнение не имеет смысла . Однако это делает: $$ \frac{f(x)}{f(x)} $$

Поскольку мы имеем: $$ \frac{3x + 2}{3x + 2} $$

И все, что делится само на себя, равно 1. Теперь вернемся к синусу и косинусу, что равно ¹ : $$ \frac{\sin}{\sin} $$ 92 \theta = \frac{1 — \cos 2\theta}{2} $$

Мы можем начать с того, что сосредоточимся ТОЛЬКО на правой стороне и попытаемся сделать ее такой же, как и на левой стороне: $$\frac{1 — \cos 2\theta}{2}$$

Здесь нужно использовать особое тождество. Это называется формулой суммы косинусов:

$$ \cos (A + B) = \cos A \cos B — \sin A \sin B $$

Как это применимо здесь? Внутри этого косинуса нет суммы! На самом деле, есть. $$ \theta + \theta = 2\theta $$

Таким образом, мы можем переписать приведенное выше уравнение как: $$\frac{1 — \cos(\theta + \theta)}{2}$$ 92 \theta$$

То же, что и левая сторона, и это то, что мы хотели показать!

¹ Иногда люди так и делают, потому что им лень выписывать $\theta$. Обычно это просто означает, что они хотели написать $\sin\theta$. Это злоупотребление обозначениями.

² Где $\sin\theta\neq 0 $, потому что деление на ноль не определено.

тригонометрия. Произведение тангенсов

спросил 10 лет, 8 месяцев назад

Изменено 9 лет, 3 месяца назад

Просмотрено 2к раз

$\begingroup$

Мне удалось сократить уравнение, которое мне нужно:

$$f(t) = \tan(\mu) \tan(\nu) — C = 0$$

где $\mu, \nu$ являются линейными функциями от t, а $C$ является константой.

1. Существуют ли тождества для произведения касательных?
2. Можно ли решить это уравнение аналитически?

• тригонометрия

$\endgroup$

5

$\begingroup$

Используя тождество, указанное Дж. М., мы можем преобразовать уравнение в $$\cos(\mu-\nu)-\cos(\mu+\nu) = C(\cos(\mu-\nu)+\cos(\mu+\nu))\tag1$$ или еще лучше, $$(1-C)\cos(\mu-\nu) = (1+C) \cos(\mu+\nu) \tag2$$ Здесь и $\mu-\nu$, и $\mu+\nu$ являются линейными функциями $t$, что, как я вывожу из комментария OP, означает линейный и не аффинный. Предполагая, что ни $\mu-\nu$, ни $\mu+\nu$ не тождественно равны нулю (что является простым случаем), мы можем сделать (2) более компактным: $$\cos x = A\cos bx \tag3$$ где $A=(1+C)/(1-C)$ и $b=(\mu+\nu)/(\mu-\nu)$ — ненулевая константа. Возможны два случая:

$b$ есть рациональное , $b=m/n$. Тогда обе части (3) являются периодическими функциями с периодом $2\pi n$. Пусть численная процедура находит все корни (3) на $[0,2\pi n]$ и записывает их все по периодичности. Если и $m$, и $n$ очень малы, явное решение может существовать, но в противном случае его нет.

$b$ иррационально . Функция $\cos x-A\cos bx$ не периодическая, а квазипериодическая. Это означает, что корни (3) сколь угодно близко подходят к формированию периодического паттерна, но никогда этого не делают. Вот график $\cos x-\pi \cos ex$, например:

Все, что я могу добавить, это простое наблюдение: если $A\ll 1$ или $A\gg 1$, то корни уравнения (3) близки к нулям волны большей амплитуды.

Интересно, есть ли у (3) имя…

$\endgroup$

1

$\begingroup$

$$ \tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}, $$ $$ \ загар (\ альфа + \ бета + \ гамма) = \ гидроразрыва {\ загар \ альфа + \ загар \ бета + \ загар \ гамма- \ загар \ альфа \ загар \ бета \ загар \ гамма} {1- \ загар \ альфа \ загар \ бета-\загар\альфа\загар\гамма-\загар\бета\загар\гамма}, $$ и т.