Как умножать матрица: Умножение матрицы на матрицу и умножение матрицы на число

Умножение матрицы на матрицу и умножение матрицы на число

Главная » Линейная алгебра » Умножение матрицы на матрицу и умножение матрицы на число

Как умножить матрицу на матрицу и как умножить матрицу на число — обсуждаем на примерах с решением и объяснением. Произведение матрицы на число и произведение матрицы на матрицу просто и на примерах.

Содержание

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число называется такая матрица , каждый элемент которой равен , то есть, если

,

то

.

Правило умножения матрицы на число

Умножение матрицы на число — есть умножение на это число всех элементов матрицы.

Рассмотрим умножение матрицы на число на примере:

Пример 1

Умножьте матрицу на число .

Решение: Чтобы умножить матрицу на число 2, нужно умножить на это число каждый элемент матрицы. Итак, получим:

.

Пример 2

Найдите матрицу, противоположную матрицу .

Решение: Чтобы найти противоположную матрицу надо умножить исходную матрицу на .

.

Пример 3

Даны матрицы и . Вычислите .

Решение:

.

Умножение матрицы на матрицу

Чтобы умножить матрицу на матрицу необходимо умножать последовательно каждый элемент каждой строки первой матрицы на каждый элемент каждого столбца второй матрицы и сумму этих произведений записать в соответствующем элементе матрицы-произведения.

Давайте рассмотрим умножение матрицы на матрицу на примере. Пусть нам нужно умножить две квадратные матрицы и .

,

Умножением матрицы на матрицу называется матрица:

.

Таким образом, получаем:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Правило умножения матрицы на матрицу

Чтобы получить элемент надо все элементы -й строки матрицы A умножить на соответствующие элементы -го столбца матрицы B и полученные произведения сложить.

Рассмотрим умножение матрицы на матрицу на примерах.

Пример 1

Найдите произведение матриц:

 и .

Решение:

Находим произведение матриц .

Таким образом, для прямоугольных матриц правило умножения матрицы на матрицу такое же, как и для квадратных матриц.

Пример 2

Найдите произведение AB, если

, .

Решение:

.

Мы смогли найти произведение AB, однако, мы не сможем найти произведение BA.

Правила умножения матриц

Не все матрицы можно перемножать, для того, чтобы произведение матриц было возможным, необходимо соблюдение следующих правил:

Умножение матрицы A на матрицу B имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

В результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице, и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице.

Свойства умножения матриц

Рассмотрим умножение двух матриц и . Найдем произведение и произведение , а затем сравним эти произведения.

;

.

Очевидно, что . Таким образом, для произведения матриц переместительный закон не выполняется. Однако, два других закона умножения, сочетательный закон и распределительный закон выполняются:

 — сочетательный закон умножения,

 — распределительный закон.

Из школьного курса математики известно, что произведение двух отличных от нуля чисел равно отличному от нуля числу. Однако при умножении двух ненулевых матриц можно получить нулевую матрицу, смотрите:

Возьмем две матрицы и . Найдем произведение этих матриц:

Вот такими удивительными свойствами обладает умножение матриц.

Читайте еще статьи про матрицы:

как найти произведение двух или трех разных размеров, условия и формулы

Мы помним, что матрицы – это таблицы взаимосвязанных элементов, которые позволяют упростить математические вычисления и систематизировать определённую информацию. Их можно складывать, вычитать, умножать между собой. В этой статье подробнее остановимся на последнем алгоритме – матричном произведении.

Умножение матриц — определение

Матричное умножение – это одна из основных операций, которая проводится исключительно с согласованными матрицами.

При произведении матриц A и B получается новая матрица C. В математическом виде формула будет выглядеть так:

 

Но для начала разберёмся, что такое согласованные матрицы.

Согласованные матрицы

Согласованными матрицами называют матрицы вида A = [m ☓ n] и B = [n ☓ k], где количество столбцов А равно количеству строк В.

 

Индексы показывают координаты равных элементов.

 

Для того, чтобы умножить А и В, нужно взять строку в первой матрице и столбец во второй, перемножить одинаковые элементы и сложить полученные произведения.

Основные свойства матричного произведения

Размеры, то есть количество строк (m) и столбцов (n), влияют на особенности матричного произведения. Следовательно, для двух главных видов – квадратных и прямоугольных – действуют разные свойства произведения. Однако умножение любого вида всегда некоммуникативное. Это означает, что матрицы нельзя менять местами (АВ ≠ ВА).

Умножение квадратных матриц

Для квадратных матриц существует единичная матрица Е. В ней элементы по главной диагонали равны единице, а оставшиеся – нулю. Произведение любой квадратной матрицы на неё не влияет на результат.

 

В математическом виде это выглядит так: ЕА = АЕ = А

Также существует обратная матрица А (-1), при умножении на которую исходная A = [m ☓ n] даёт в результате единичную матрицу E.

 

Следовательно, формула такова: АА(-1) = Е

Умножение прямоугольных матриц

Существуют четыре основных свойства умножения:

1. Сочетательное свойство, или ассоциативность: (AB)C = A(BC)
2. Распределительное свойство, или дистрибутивность: А(В+С) = АВ + АС / (А+В)С = АС + ВС
3. Умножение на единичную матрицу: ЕА = А
4. Умножение на нулевую матрицу: 0А = 0

Напомним, что у нулевой матрицы все элементы равны нулю.

Произведение трех матриц

Произведение АВС можно получить двумя альтернативными способами:

1. Найти АВ и умножить на С
2. Найти ВС и умножить на А

(АВ) С = А (ВС)

Данное свойство называется ассоциативностью матричного умножения и действует на все виды согласованных матриц. Сами они не переставляются, меняется только порядок их умножения.

Умножение матрицы на число

Для умножения на число необходимо умножить каждый матричный элемент на это число:

 

Дроби вносить не нужно, поскольку они могут затруднить дальнейшие операции.

Умножение матрицы на вектор

Здесь работает правило «строка на столбец».

 

При умножении на вектор-столбец важно, чтобы количество столбцов в матрице совпадало с количеством строк в векторе-столбце. Результатом произведения будет вектор-столбец.

 

При умножении на вектор-строку матрица должна быть только вектором-столбцом. Важно, чтобы количество строк в векторе-столбце совпадало с количеством столбцов в векторе-строке. Результатом произведения будет квадратная матрица.

Примеры задач на умножение матриц

Задача №1: выполнить умножение и найти С, если A = [m ☓ n] и B = [n ☓ k] равны.

 

Решение: 

c₁₁ = a₁₁·b₁₁ + a₁₂·b₂₁ = 4·3 + 2·(-3) = 12 — 6 = 6

c₁₂ = a₁₁·b₁₂ + a₁₂·b₂₂ = 4·1 + 2·4 = 4 + 8 = 12

c₂₁ = a₂₁·b₁₁ + a₂₂·b₂₁ = 9·3 + 0·(-3) = 27 + 0 = 27

c₂₂ = a₂₁·b₁₂ + a₂₂·b₂₂ = 9·1 + 0·4 = 9 + 0 = 9

Ответ: 

 

Задача №2: вычислить С, если А = [m ☓ n] и вектор-столбец В равны.

 

Решение: 

c11 = a11·b11 + a12·b21 = 2·1 + (-1)·2 + 3·(-1) = -3

c21 = a11·b12 + a12·b22 = 4⋅1 + 2⋅2 + 0⋅2 = 8

c31 = a21·b11 + a22·b21 = −1⋅1 + 1⋅2 + 1⋅(−1) = 0

Ответ:

 

Изучение матричных операций очень увлекательное, но сложное занятие.

Если у вас нет времени на учёбу, ФениксХэлп может помочь в решении контрольных и самостоятельных работ, написании статей и диссертаций.

Как умножить матрицу на вектор в R

Когда мы умножаем матрицу на вектор, на выходе получается вектор. Предположим, у нас есть матрица M и вектор V, тогда их можно перемножить как M%*%V. Чтобы понять пошаговое умножение, мы можем умножить каждое значение в векторе на значения строки в матрице и найти сумму этого умножения.

Пример 1

 Демонстрация в реальном времени

 M1<-matrix(1:25,nrow=5)
M1 

Выход

    [1] [2] [3] [4] [5]
[1,] 1     6   11   16   21
[2,] 2     7   12   17   22
[3,] 3     8   13   18   23
[4,] 4    914   19   24
[5,] 5   10   15   20   25 

Пример

 V1<-1:5
V1
[1] 1 2 3 4 5
M1%*%V1 

Выход

     [1]
[1,] 215
[2,] 230
[3,] 245
[4,] 260
[5,] 275 

Пример 2

 Живая демонстрация

 M2<-matrix(1:100,nrow=10)
M2 

Выход

     [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]
[1,] 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
[2,] 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92
[3,] 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93
[4,] 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94
[5,] 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95
[6,] 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96
[7,] 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97
[8,] 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98
[9,] 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99
[10,] 10 20     30    40   50   60   70   80   90  100 

Пример

 V2<-1:10
V2
[1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
M2%*%V2 

Выход

    [1]
[1,] 3355
[2,] 3410
[3,] 3465
[4,] 3520
[5,] 3575
[6,] 3630
[7,] 3685
[8,] 3740
[9,] 3795
[10,] 3850 

Пример 3

 Живая демонстрация

 M3<-matrix(rnorm(36,5,1),nrow=18)
M3 

Выход

        [1]     [2]
[1,] 3,627929 6,929146
[2,] 3,363237 4,400114
[3,] 4,640349 5,089977
[4,] 6. 201115 5.483314
[5,] 4,354126 7,024478
[6,] 4,489391 6,631517
[7,] 4.400877 6.370375
[8,] 5,545603 2,586863
[9,] 4.508706 4.145658
[10,] 5,191536 5,562368
[11,] 4,441472 4,634800
[12,] 5,922700 4,657329
[13,] 6.153998 4.224459
[14,] 3,627590 4,987152
[15,] 6.2
 5.699693
[16,] 6.154902 5.031921
[17,] 6,445679 5,216649
[18,] 5.261013 5.407813 

Пример

 V3<-c(5,10)
V3
[1] 5 10
M3%*%V3 

Выход

       [1]
[1,] 87.43110
[2,] 60,81733
[3,] 74.10152
[4,] 85,83872
[5,] 92.01541
[6,] 88.76213
[7,] 85.70814
[8,] 53,59664
[9,] 64.00011
[10,] 81,58136
[11,] 68.55536
[12,] 76.18679
[13,] 73.01458
[14,] 68.00947
[15,] 88.44784
[16,] 81.09372
[17,] 84.39489
[18,] 80.38319 

Пример 4

 Живая демонстрация

 M4<-matrix(rpois(50,10),ncol=5)
M4 

Выход

    [1] [2] [3] [4] [5]
[1,] 12   2    9      4   14
[2,] 13 12 10 5 13
[3,] 10   8    9   12    9
[4,] 11   9    9   10   11
[5,] 12 11 14 6 8
[6,] 12   5   13    8   13
[7,] 16 11 10 14 10
[8,] 12 11 13 12 6
[9,] 4    7    5    8   10
[10,] 9  14   10   13 15 

Пример

 V4<-1:5
V4
[1] 1 2 3 4 5
M4%*%V4 

Выход

 [1]
[1,] 129
[2,] 152
[3,] 146
[4,] 151
[5,] 140
[6,] 158
[7,] 174
[8,] 151
[9,] 115
[10,] 194 

Пример

  M5<-matrix(sample(0:9,20,replace=TRUE),ncol=5)
M5 

Выход

 [1] [2] [3] [4] [5]
[1,] 5 8 0 7 0
[2,] 9 9 7 8 0
[3,] 9 1 7 0 9
[4,] 6 6 5 7 6 

Пример

 V5<-c(2,4,6,8,10)
V5
[1] 2 4 6 8 10
M5%*%V5 

Выход

 [1]
[1,] 98
[2,] 160
[3,] 154
[4,] 182 

Умножение матриц — MathBootCamps

Хотя сложение или вычитание матриц относительно просто, умножение матриц сильно отличается от большинства математических операций, которые вы изучали ранее. Здесь мы рассмотрим хороший способ умножения двух матриц и некоторые важные свойства, связанные с ним. Вы также узнаете, как узнать, когда умножение не определено.

[adsenseWide]

Содержание:

1. Умножение двух матриц: «строки попали в столбцы» (анимация этого)
2. Умножение матриц не всегда определено
3. Умножение матриц не является коммутативным
4. Примеры умножения матриц
5. Краткое описание свойств

Умножение двух матриц: «строки попадают в столбцы»

Чтобы понять общую схему умножения двух матриц, подумайте «строки попадают в столбцы и заполняют строки». Рассмотрим следующий пример.

Первая строка «соответствует» первому столбцу, что дает нам первую запись продукта. Обратите внимание, что поскольку это произведение двух матриц 2 x 2 (количество строк и столбцов), результатом также будет матрица 2 x 2. Мы рассмотрим, как размер матрицы влияет на это позже в статье.

Теперь первая строка «соприкасается» со второй колонкой, заполняя строку продукта.

Закончив столбцы для «попадания», теперь работаем со второй строкой.

Осталась последняя запись для расчета. Вторая строка теперь «поразит» второй столбец.

Наконец, нам просто нужно выполнить арифметические действия, чтобы получить окончательный ответ.

Анимация этого процесса

Вы можете увидеть анимацию этого процесса здесь. Звука нет — так что не беспокойтесь о поиске наушников!

Вскоре мы увидим еще пару примеров, но сначала нам нужно обсудить, как размер матрицы влияет на результат умножения. На самом деле бывают случаи, когда из-за размера матрицы умножение не определено.

Умножение матриц не всегда определено

При умножении матриц размер двух задействованных матриц определяет, будет ли определено произведение. Вы также можете использовать размеры, чтобы определить результат умножения двух матриц. Напомним, что размер матрицы — это количество строк на количество столбцов. Приведенные выше матрицы были 2 x 2, поскольку каждая из них имела 2 строки и 2 столбца.

Как видите, размеры матриц не обязательно должны быть одинаковыми, вам просто нужно, чтобы совпадали средние два числа, когда вы записываете размеры рядом. В противном случае продукт не определен.

Подумайте вот о чем: если, например, матрица A имеет размер 3 x 4, то произведение A и самой себя не будет определено, так как внутренние числа не будут совпадать. Это всего лишь один пример того, как умножение матриц ведет себя не так, как вы могли бы ожидать.

Умножение матриц некоммутативно

Из начальной школы вы знаете, что произведение (2)(3) = (3)(2). Неважно, в каком порядке вы умножаете числа, результат один и тот же. Это не работает вообще для матриц. Только в особых случаях можно сказать, что АВ = ВА. Так что в целом следует считать, что они не равны. Может быть даже так, что AB определено, а BA не определено!

Даже если произведение определено, маловероятно, что результаты для AB и BA будут одинаковыми.

Примеры умножения матриц

Теперь, когда мы рассмотрели некоторые важные свойства умножения матриц, давайте рассмотрим пару примеров.

Пример

Найдите произведение AB, где:
\(A = \left[\begin{array}{cc} -5 & 3\\ -4 & -1\\ \end{array}\right]\)
и
\( B = \left[\begin{массив}{cc} 1 & -1\\ 2 & 6\\ \end{массив}\right]\)

Решение

Помните, что строки пересекаются со столбцами и заполняют строки. Здесь каждая матрица имеет размер 2 x 2, поэтому результатом будет матрица 2 x 2.

\(\begin{align} AB &= \left[\begin{array}{cc} -5 & 3\\ -4 & -1\\ \end{array}\right] \left[\begin{array} {cc} 1 & -1\\ 2 & 6\\ \end{массив}\right]\\ &= \left[\begin{массив}{cc} -5(1) + 3(2) & -5 (-1) + 3(6)\\ -4(1) +(-1)(2) & (-4)(-1)+(-1)(6)\\ \end{массив}\right ]\\ &= \boxed{\left[\begin{array}{cc} 1 & 23\\ -6 & -2\\ \end{массив}\right]}\end{align}\)

Пример

Найдите произведение AB, где:

\(A = \left[\begin{array}{cccc} -2 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 1\\ \end{array}\right ]\)
и
\(B = \left[\begin{array}{cccc} 3 & 1 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 0 & 1\\ \end{массив}\right]\ )

Решение

Здесь у нас есть матрица 2 x 4, умноженная на матрицу 2 x 4.