Как умножать синусы: Синус умножить на синус, формула и примеры

Как компьютер считает синусы — Журнал «Код» программирование без снобизма

Это текст про математику и компьютеры. Если тема интересна, посмотрите также на математический тренажёр Практикума — он бесплатный и интерактивный. 

А сейчас — про синусы.

Что такое синус и зачем он нужен? 

Вульгарное объяснение: синус — это математическая коробка, в которую засовывают любое число, а она в ответ выдаёт числа от −1 до 1. Если эти числа выстроить подряд на некой оси, то получится кривая вот такого вида:

Как читать эту кривую: если затолкать в коробку «sin» число, примерно равное 1,57, то коробка выдаст число, близкое к единице. Если затолкать число 2, на выходе будет примерно 0,909. Если затолкать примерно 3,14 — вернёт примерно 0. Синус от 4,712 даст примерно −0,999. И так дальше: число может быть сколько угодно большим, а синус всегда будет возвращать какие-то дробные значения от −1 до 1.

Это число взято из тригонометрии — то есть из науки, которая занимается углами и сторонами треугольника. В частности, синус описывает отношение сторон прямоугольного треугольника: насколько один из катетов (короткая сторона треугольника) короче, чем гипотенуза (длинная сторона треугольника). Но чаще всего мы знаем не длины сторон, а угол между ними, поэтому в синусы всегда запихивают значения углов.

Грубо говоря, вы говорите коробке: «Коробка, у меня тут прямоугольный треугольник. Я смотрю на его острый угол, он равен 30º. Что ты мне на это скажешь»? А коробка отвечает: «Если у тебя угол 30º, то короткая сторона твоего треугольника вдвое короче, чем длинная гипотенуза. Так что sin(30º) = ½». 

Это число нужно много где в математике и компьютерах. Например, без синуса невозможно соединить две точки прямой линией на плоскости. Люди это делают без труда с помощью линейки, а компьютеру нужно очень чётко считать, куда поставить пиксель, и для этого нужен синус.

Помимо синуса есть ещё три аналогичные функции — косинус, тангенс и котангенс. Они такие же по принципу работы, но описывают отношения других сторон.

Во многих языках программирования есть встроенная команда нахождения синуса угла — sin(). Внутри этой функции зашита какая-то логика для нахождения этого числа. 

Чаще всего, когда не нужна высокая точность, компьютер берёт значения синуса из готовых таблиц — он находит там нужный угол и возвращает значение, ничего не вычисляя. Это быстро и достаточно точно для бытовых вычислений. Вы наверняка использовали его в школе, когда считали синусы по таблице Брадиса. 

Но когда нужна высокая точность вычислений (например, 20 знаков после запятой), то синусы и другие тригонометрические функции высчитывают каждый раз с нуля. Для этого используют много разных алгоритмов, и самый простой из них — использование рядов Тейлора.

Таблица Брадиса, по которой компьютер находит значения синусов с точностью 4 знака после запятой

Что такое ряд Тейлора

Брук Тейлор — это английский математик из 17-го века, в честь которого назвали формулу, связывающую значение функции и значение всех её производных в выбранной точке. Если сильно упростить и перевести на понятный язык, то формула будет звучать так:

Представим, что значение функции, например, синуса — это круг, заполненный на 100%. Производная функции в этой точке — это часть круга:

Есть производные первого порядка в этой точке, второго, третьего и так до бесконечности. Каждая производная следующего порядка добавляет в круг сектор поменьше:

Если сложить все производные до бесконечности, то получим полный круг — это и будет значение синуса:

В общем виде ряд Тейлора функции выглядит так:

Для каждой функции ряд Тейлора выглядит по-своему. Для синуса он выглядит так:

Выглядит сложно. Но если разложить эту формулу сумму в понятный вид, она будет выглядеть так:

Восклицательный знак — это факториал. Это просто произведение всех целых чисел до этого числа. Например: 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120.

Получается, что компьютеру для нахождения синуса достаточно использовать умножение — и для факториала, и для возведения в степень. Зная это, можно написать простой алгоритм.

Точность расчётов

Особенность ряда Тейлора в том, что это бесконечный ряд — а значит, и вычисления тоже придётся делать бесконечно. Чтобы обойти это ограничение, используют погрешность — с какой точностью нам нужно посчитать значение формулы. Для этого делают так:

• Определяем точность, например 7 знаков после запятой.
• Минимальное число из 7 знаков после запятой — это 0,0000001. Это и будет наша погрешность.
• Считаем очередное слагаемое ряда Тейлора.
• Если это слагаемое меньше нашей погрешности — прибавляем и останавливаемся, потому что мы достигли нужного результата. Если не меньше — продолжаем.

С таким подходом можно найти синус любого угла с любой точностью, главное, чтобы у компьютера хватило памяти на все эти вычисления.

Радианы

Чтобы использовать ряд Тейлора для вычисления синуса, нам нужно перевести градусы в радианы. Радиан — это мера измерения углов в тригонометрии, которая привязана к числу π.  

Радианы с углами связаны так:

1 радиан = 180/π градусов

Получается, что для того, чтобы перевести углы в градусах в радианы, нам нужно градусы разделить на 180 и умножить на π. 

Теперь мы знаем всё, чтобы написать код вычисления синуса на Python

Пишем код

Логика алгоритма будет такая:

• спрашиваем градусы;
• спрашиваем погрешность, с которой нужно вычислить синус;
• в цикле считаем очередное слагаемое ряда Тейлора и прибавляем его к общей сумме;
• если очередное слагаемое меньше погрешности — останавливаемся и выводим результат.

Читайте комментарии, чтобы разобраться в коде, а потом запустите его у себя, чтобы проверить результаты:

# импортируем математическую библиотеку, чтобы взять оттуда модуль и число пи
import math
# объявляем свою функцию, которая посчитает синус
def computerSinus (x,n):
 
    # переводим градусы в радианы
    x = x/180*math.pi
    # для проверки выведем результат, который посчитает компьютер
    print(str(math. sin(x)) + " — результат вычислений встроенного синуса")
    
    # сразу берём x как первое слагаемое ряда Тейлора
    q = x
    # сумма ряда на старте равна нулю
    s = 0
    # порядковый номер слагаемого в ряду Тейлора
    i = 1
    # пока очередное слагаемое больше погрешности — цикл работает
    while abs(q) > n:
        # добавляем слагаемое к общей сумме
        s = s + q
        # вычисляем следующее слагаемое
        q = q* (-1) * (x*x) / ((2*i+1) * (2*i))
        # увеличиваем порядковый номер слагаемого в ряду Тейлора
        i = i+1  
    # возвращаем сумму как результат работы функции
    return s
 
# запрашиваем стартовые значения
x = float(input("Введите градусы: "))
n = float(input("Введите погрешность: "))
# выводим результат, который мы посчитали сами
print(str(computerSinus(x,n)) + " — синус, который мы посчитали")

Что дальше

В следующий раз попробуем сделать то же самое с квадратным корнем — посмотрим, как компьютер сможет посчитать его без таблиц.

Текст:

Михаил Полянин

Редактор:

Максим Ильяхов

Художник:

Алексей Сухов

Корректор:

Ирина Михеева

Вёрстка:

Кирилл Климентьев

Соцсети:

Виталий Вебер

Умножение и деление на ноль.

Умножение и деление на ноль.

Сегодня принято считать, что любое число, умноженное на ноль, равняется нулю. Это что касается умножения на ноль. Деление на ноль невозможно — так говорят математики, когда им встречается деление на ноль. А как обстоят дела на самом деле?

Вы про такую тригонометрическую функцию, как тангенс, слышали?. Как найти тангенс определенного угла? Правильно, нужно синус этого угла разделить на косинус такого же угла. Элементарная задача для математиков. За исключением случая, когда угол равняется девяносто градусов. Проблема в том, что

синус 90 градусов равен единице, а вот косинус 90 градусов равен нулю. Получается, что тангенс 90 градусов равен единице, деленной на ноль. Вот здесь и происходит сбой в мозгах всех математиков на протяжении последних сотен лет. А ведь значение тангенса 90 градусов показывает, что в математике деление на ноль есть и от него никуда не спрятаться. Если мы чего-то не знаем в математике, то это совсем не означает, что этого «чего-то» в математике нет. Для понимания деления на ноль нужно гораздо лучше знать и понимать алгебру, геометрию и физику всех тех разделов математики, которые принято считать «абстрактными» понятиями.

За это время я успел наковырять в математике очень много интересного и результаты шокировали даже меня.

«Никогда никому не верь, даже себе — ты тоже можешь ошибаться» — это главная истина, которой меня научила математика. Всё самое интересное вы можете найти на сайте Математика для блондинок? где я под разными углами рассматриваю некоторые математические проблемы, в том числе и проблему деления на ноль.

Чтобы понять умножение и деление на ноль, нужно вообще всю математику переписывать. С самого начала. Во-первых, расставить всё по своим местам и выбросить математический мусор, который на протяжении веков «обобщается и расширяется математиками. Во-вторых, наша математика не с начала начинается, а с истории возникновения чисел. Математической наука должна не с натуральных чисел или аксиом начинаться. На этом я пока прервусь. Ниже написан текст, которому уже много лет.

В позиционной системе счисления все числа записываются в определенном порядке. А вот если какого-то числа нет? Мы пишем вместо него ноль — есть такая цифра. Но ведь отсутствие числа числом быть не может.

Ноль не является числом. Нравится это математикам или нет. В письменной речи мы отделяем одно слово от другого пробелами. При чтении слово «пробел» не произносится, ни в одном алфавите пробела нет. Пробел не является буквой точно также, как ноль не является числом.

Если ноль не является числом, тогда и математические действия с ним выполнить невозможно. Математики в своих определениях могут писать всё, что угодно. Ведь никакой ответственности они за это не несут, а все результаты проверяют на соответствие определениям. Получается обычная религия, основанная на Священных Математических Писаниях. Как и любая другая религия, математика соприкасается с действительностью только там, где это выгодно проповедникам. В остальных случаях мы слышим ответ: «Читайте Священное Писание». Как и Библия, математика разделена на «Евангелие От Арифметики», «Евангелие От Алгебры», «Евангелие От Матана» и так далее.

Начнем со сложения и вычитания. Если мы берем число и прибавляем к нему или вычитаем из него другое число, то первоначальное число изменяется. Если мы берем число и ничего с ним не делаем, число остается неизменным. Если мы прибавляем или вычитаем ноль, число так же остается неизменным. Не потому, что так в определении написано, а потому, что математическое действие не происходит. Невозможно ноль прибавить или отнять.

Умножение. Если мы умножим одно число на другое, то получим результат умножения. Если мы умножение выполнять не будем, тогда и результата умножения не будет. Что мы в подобных случаях записываем? Правильно, ноль. Если мы умножим число на ноль или ноль умножим на число, результат умножения будет отсутствовать. При умножении на ноль умножение не происходит.

В принятой современной системе аксиом и определений, именуемых «математика», деления на ноль не было, нет и никогда не будет. В Природе деление на ноль было, есть и будет всегда. Как и любой другой закон Природы, деление на ноль не зависит от глубины наших познаний. Например, закон всемирного тяготения исправно работал за долго до того, как появилась Солнечная система и планета Земля. Даже когда люди свято верили в то, что Земля держится на трех китах, падали они всегда, почему-то, вниз. Можно тысячи раз на день повторять, что деление на ноль невозможно, и тысячелетиями пользоваться его плодами:))))

Природа весьма терпима к неведению. Она позволяет пользоваться своими законами, даже если кто-то их не знает или не признает. В то же время, Природа чрезвычайно жестока – никто не может нарушить ее законы, даже Боги.

Понятие деления на ноль является одним из основных понятий Математики и выходит далеко за рамки общепринятого научного мировоззрения. Некоторые математические формулы являются прекрасным математическим доказательством существования деления на ноль. Проблема заключается в том, что математики не в состоянии осмысливать очевидные вещи — их этому никогда не учили. Сегодня математика является не наукой, а религией, тщательно собирающей весь исторический мусор. Осмысливать исторический багаж в математике не принято, ведь, по убеждению математиков, они занимаются абстрактными вещами.

Дабы не вносить сумятицу в пытливые или бестолковые умы, все, что касается деления на ноль и сопутствующие материалы, я убираю с этого сайта. «Математики для блондинок» в рамках школьного курса будет вполне достаточно для посетителей.

Последние добавления материалов на этом сайте:

«Порядок действий.

Скобки.» — похоже, я нашел вещь, общую для всех разделов математики не зависимо от того, какие определения исповедуют верующие :)))

      «Действия над натуральными числами» — страница справочника с моими комментариями, где подробно разобраны правила деления на ноль.

      «Таблица Брадиса» — четырехзначные математические таблицы синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов в градусах с минутами от 0 до 90 градусов и в радианах от 0 до 3,14 радиан.

      «Деление на ноль и другие проблемы математики»

      «Беседы о математике» — диалог о математике, делении на ноль, законе Бенфорда и о прочих математических премудростях.
      Секрет человеческого невежества очень прост: наши учителя, кроме всего прочего, учат нас повторять их же ошибки. Ведь, в свое время, их учили точно так же.

      Старые страницы сайта:

МАТЕМАТИКА

ГЕОМЕТРИЯ

НОЛЬ

МИР, В КОТОРОМ Я ЖИВУ

ИНТЕРЕСНЫЕ ССЫЛКИ

ОБМЕН ССЫЛКАМИ

      Последняя редакция от 27 марта 2023 года. .

© 2006-2023 Николай Хижняк. Все права защищены.

7.4: Формулы суммы к произведению и произведения к сумме

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

1370

• OpenStax
• OpenStax

Цели обучения

• Экспресс-продукты в сумме.
• Выразите суммы как продукты.

Группа марширует по полю, создавая потрясающий звук, который поддерживает толпу. Этот звук распространяется как волна, которую можно интерпретировать с помощью тригонометрических функций.

Рисунок \(\PageIndex{1}\): Оркестр Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе (кредит: Эрик Чан, Flickr).

Например, рисунок \(\PageIndex{2}\) представляет звуковую волну для музыкальной ноты A. В этом разделе мы исследуем тригонометрические тождества, лежащие в основе таких повседневных явлений, как звуковые волны. 9

Выражение произведений в виде сумм произведение косинуса и синуса в виде суммы. Мы можем использовать формулы произведения на сумму

, , которые выражают произведения тригонометрических функций в виде сумм. Давайте сначала исследуем тождество косинуса, а затем тождество синуса.

Выражение произведений в виде сумм для косинуса

Мы можем вывести формулу произведения на сумму из тождеств суммы и разности для косинуса . Если мы сложим два уравнения, мы получим:

\[\begin{align*} \cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta&= \cos(\alpha-\beta)\\[4pt ] \underline{+ \cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta}&= \underline{ \cos(\alpha+\beta) }\\[4pt] 2 \cos \alpha \cos \ beta&= \cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\end{align*}\]

Затем мы делим на 2, чтобы выделить произведение косинусов:

\[ \cos \alpha \cos \beta= \dfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)+\cos( \alpha+\beta)] \label{eq1}\]

Как: Произведение косинусов выразить в виде суммы

1. Запишите формулу произведения косинусов.
2. Подставить данные углы в формулу.
3. Упростить.

Пример \(\PageIndex{1}\): запись произведения в виде суммы с использованием формулы произведения на сумму для косинуса

Запишите следующее произведение косинусов в виде суммы: \(2\cos\left(\dfrac{7x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{3x}{2}\right)\).

Решение

Начнем с записи формулы произведения косинусов (уравнение \ref{eq1}):

\[ \cos \alpha \cos \beta = \dfrac{1}{2}[ \ cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta) ] \nonumber \]

Затем мы можем подставить заданные углы в формулу и упростить.

\[\begin{align*} 2 \cos\left(\dfrac{7x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{3x}{2}\right)&= 2\left(\ dfrac{1}{2}\right)[ \cos\left(\dfrac{7x}{2}-\dfrac{3x}{2}\right)+\cos\left(\dfrac{7x}{2} +\dfrac{3x}{2}\right) ]\\[4pt] &= \cos\left(\dfrac{4x}{2}\right)+\cos\left(\dfrac{10x}{2} \right) \\[4pt] &= \cos 2x+\cos 5x \end{align*}\]

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Используйте формулу произведения на сумму (уравнение \ref{eq1}), чтобы записать произведение в виде суммы или разности: \(\cos(2\theta)\ потому что (4 \ тета) \).

Ответить

\(\dfrac{1}{2}(\cos 6\theta+\cos 2\theta)\)

Выражение произведения синуса и косинуса в виде суммы

Далее мы выведем формулу произведения на сумму синуса и косинуса из формул суммы и разности для синуса . Если мы добавим тождества суммы и разности, мы получим:

\[\begin{align*} \cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta&= \cos(\alpha-\beta)\\ [4pt] \underline{+ \cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta}&= \cos(\alpha+\beta)\\[4pt] 2 \cos \alpha \cos \beta&= \cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\\[4pt] \text{Затем делим на 2, чтобы выделить произведение косинусов:}\\[4pt] \cos \alpha \ cos \beta&= \dfrac{1}{2}\left[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\right] \end{align*}\]

Пример \(\PageIndex{2}\): Запись произведения в виде суммы, содержащей только синус или косинус

Выразите следующее произведение в виде суммы, содержащей только синус или косинус и не содержащей произведений: \(\sin(4\theta )\cos(2\тета)\).

Решение

Напишите формулу произведения синуса и косинуса. Затем подставьте данные значения в формулу и упростите.

\[\begin{align*} \sin \alpha \cos \beta&= \dfrac{1}{2}[ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta) ]\\[ 4pt] \sin(4\theta)\cos(2\theta)&= \dfrac{1}{2}[\sin(4\theta+2\theta)+\sin(4\theta-2\theta) ]\\[4pt] &= \dfrac{1}{2}[\sin(6\theta)+\sin(2\theta)] \end{align*}\]

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Используйте формулу произведения на сумму, чтобы записать произведение в виде суммы: \(\sin(x+y)\cos(x−y)\).

Ответить

\(\dfrac{1}{2}(\sin 2x+\sin 2y)\)

Выражение произведения синусов через косинус

Выражение произведения синусов через косинус также получается из тождеств суммы и разности для косинуса. В этом случае мы сначала вычтем две формулы косинуса:

\[\begin{align*} \cos(\alpha-\beta)&= \cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta\\[4pt] \underline{-\cos(\ alpha+\beta)}&= -(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\\[4pt] \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta) &= 2 \sin \alpha \sin \beta\\[4pt] \text{Затем делим на 2, чтобы выделить произведение синусов:}\\[4pt] \sin \alpha \sin \beta&= \dfrac{ 1}{2}[ \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta) ] \end{align*}\]

Аналогичным образом мы могли бы выразить произведение косинусов через синус или вывести другое формулы произведения на сумму.

ФОРМУЛЫ ПРОИЗВЕДЕНИЯ НА СУММУ

Формулы произведения на сумму следующие:

\[\cos \alpha \cos \beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\ alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)]\]

\[\sin \alpha \cos \beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)]\]

\[\sin \alpha \sin \beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta) ]\]

\[\cos \alpha \sin \beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)−\sin(\alpha−\beta)]\]

Пример \ (\PageIndex{3}\): Выразите произведение в виде суммы или разности

Запишите \(\cos(3\theta) \cos(5\theta)\) в виде суммы или разности.

Решение

У нас есть произведение косинусов, поэтому начнем с написания соответствующей формулы. Затем подставляем данные углы и упрощаем.

\[\begin{align*} \cos \alpha \cos \beta&= \dfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)]\\[ 4pt] \cos(3\theta)\cos(5\theta)&= \dfrac{1}{2}[\cos(3\theta-5\theta)+\cos(3\theta+5\theta) ]\\[4pt] &= \dfrac{1}{2}[\cos(2\theta)+\cos(8\theta)]\qquad \text{Использовать четно-нечетное тождество} \end{align*} \]

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Используйте формулу произведения на сумму для вычисления \(\cos \dfrac{11\pi}{12} \cos \dfrac{\pi}{12}\ ).

Ответить

\(\dfrac{−2−\sqrt{3}}{4}\)

Выражение сумм в виде произведений

Некоторые задачи требуют обратного процесса, который мы только что использовали. Формулы суммы к произведению позволяют нам выразить суммы синуса или косинуса в виде произведений. Эти формулы могут быть получены из тождеств произведения на сумму. Например, с помощью нескольких замен мы можем получить тождество суммы и произведения для синус . Пусть \(\dfrac{u+v}{2}=\alpha\) и \(\dfrac{u−v}{2}=\beta\).

Затем

\[\begin{align*} \alpha+\beta&= \dfrac{u+v}{2}+\dfrac{u-v}{2}\\[4pt] &= \dfrac{2u} {2}\\[4pt] &= u \end{align*}\]

\[\begin{align*} \alpha-\beta&= \dfrac{u+v}{2}-\dfrac{u-v }{2}\\[4pt] &= \dfrac{2v}{2}\\[4pt] &= v \end{align*}\]

Таким образом, замена \(\alpha\) и \(\ бета\) в формуле произведения на сумму с подстановочными выражениями имеем

\[\begin{align*} \sin \alpha \cos \beta&= \dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\\[4pt ] \sin \left ( \frac{u+v}{2} \right ) \cos \left ( \frac{u-v}{2} \right )&= \frac{1}{2}[\sin u + \sin v]\qquad \text{Замените} (\alpha+\beta) \text{ и } (\alpha\beta)\\[4pt] 2\sin\left(\dfrac{u+v}{2} \right) \cos\left(\dfrac{u-v}{2}\right)&= \sin u+\sin v \end{align*}\]

Другие тождества суммы-произведения выводятся аналогично.

ФОРМУЛЫ СУММЫ-ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Формулы суммы-произведения следующие:

\[\sin \alpha+\sin \beta=2\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos \left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)\]

\[\sin\alpha-\sin\beta=2\sin\left(\dfrac{\alpha-\beta}{ 2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\]

\[\cos \alpha-\cos \beta=-2\sin\left(\dfrac{ \alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)\]

\[\cos \alpha+\cos \beta=2\sin\ влево(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)\]

Пример \(\PageIndex{4}\): Запись разности синусов в виде произведения

Запишите следующее выражение разности синусов в виде произведения: \(\sin(4\theta)−\sin(2\theta) \).

Решение

Начнем с написания формулы разности синусов.

\[\begin{align*} \sin \alpha-\sin \beta&= 2\sin\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\ alpha+\beta}{2}\right)\\[4pt] \text {Подставьте значения в формулу и упростите. }\\[4pt] \sin(4\theta)-\sin(2\theta)& = 2\sin\left(\dfrac{4\theta-2\theta}{2}\right) \cos\left(\dfrac{4\theta+2\theta}{2}\right)\\[4pt ] &= 2\sin\left(\dfrac{2\theta}{2}\right) \cos\left(\dfrac{6\theta}{2}\right)\\[4pt] &= 2 \sin \тета \cos(3\тета) \end{выравнивание*}\]

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

Используйте формулу приведения суммы к произведению, чтобы записать сумму в виде произведения: \(\sin(3\theta)+\sin(\theta)\).

Ответить

\(2\sin(2\тета)\cos(\тета)\)

Пример \(\PageIndex{5}\): вычисление с использованием формулы приведения суммы к произведению

Вычисление \(\cos(15°)−\cos(75°)\). Проверьте ответ с помощью графического калькулятора.

Решение

Начнем с написания формулы разности косинусов. 9{\ circ}) \\ [4pt]
& = -2 \ влево (\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \ вправо) \ влево (- \ dfrac {1} {2} \ вправо) \\ [4pt]
&= \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\end{align*}\]

Пример \(\PageIndex{6}\): Подтверждение личности

Подтверждение личности:

\[\dfrac{\cos(4t)−\cos(2t)}{\sin(4t)+\sin(2t)}=−\tan t\]

Решение

Начнем с левую часть, более сложную часть уравнения, и переписать выражение, пока оно не совпадет с правой частью.

\[\begin{align*} \dfrac{\cos(4t)-\cos(2t)}{\sin(4t)+\sin(2t)}&= \dfrac{-2 \sin\left( \dfrac{4t+2t}{2}\right) \sin\left(\dfrac{4t-2t}{2}\right)}{2 \sin\left(\dfrac{4t+2t}{2}\ справа) \cos\left(\dfrac{4t-2t}{2}\right)}\\[4pt] &= \dfrac{-2 \sin(3t)\sin t}{2 \sin(3t)\ cos t}\\[4pt] &= -\dfrac{\sin t}{\cos t}\\[4pt] &= -\tan t \end{align*}\]

Анализ

Отзыв что проверка тригонометрических тождеств имеет свой собственный набор правил. Процедуры решения уравнения не совпадают с процедурами проверки личности. Когда мы подтверждаем тождество, мы выбираем одну сторону для работы и делаем замены, пока эта сторона не трансформируется в другую сторону. 92 \ тета \ конец {выравнивание *} \]

Медиа

Получите доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практических занятий с идентификаторами продуктов и сумм.

• Сумма идентификаторов продуктов
• Sum to Product и Product to Sum Identities

Ключевые уравнения

Формулы произведения на сумму

\[\cos \alpha \cos \beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\ альфа+\бета)] \номер\]

\[\sin \alpha \cos \beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)] \nonumber \]

\[\sin \alpha \sin \beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)−\cos(\alpha+\beta)] \nonumber \]

\[\cos \alpha \sin \ beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)−\sin(\alpha−\beta)] \nonumber \]

Формулы суммы к произведению

\[\sin \alpha+\sin \beta=2\sin(\dfrac{\alpha+\beta}{2})\cos(\dfrac{\alpha-\beta}{2}) \nonumber \]

\[\sin \ альфа-\sin\beta=2\sin(\dfrac{\alpha-\beta}{2})\cos(\dfrac{\alpha+\beta}{2}) \nonumber \]

\[\cos \alpha-\cos \beta=-2\sin(\dfrac{\alpha+\beta}{2})\sin(\dfrac{\alpha-\beta}{2}) \nonumber \ ]

\[\cos \alpha+\cos \beta=2\sin(\dfrac{\alpha+\beta}{2})\sin(\dfrac{\alpha-\beta}{2}) \nonumber \]

Ключевые понятия

• Из тождеств суммы и разности мы можем вывести формулы произведения на сумму и формулы произведения суммы на синус и косинус.
• Мы можем использовать формулы произведения на сумму, чтобы переписать произведения синусов, произведения косинусов и произведения синусов и косинусов в виде сумм или разностей синусов и косинусов. См. пример \(\PageIndex{1}\), пример \(\PageIndex{2}\) и пример \(\PageIndex{3}\).
• Мы также можем получить тождества суммы-произведения из тождеств произведения-суммы, используя подстановку.
• Мы можем использовать формулы суммы к произведению, чтобы переписать сумму или разность синусов, косинусов или произведений синуса и косинуса как произведения синусов и косинусов. См. пример \(\PageIndex{4}\).
• Тригонометрические выражения часто проще вычислить с помощью формул. См. пример \(\PageIndex{5}\).
• Тождества можно проверить с помощью других формул или преобразования выражений в синусы и косинусы. Для проверки тождества мы выбираем более сложную сторону знака равенства и переписываем ее до тех пор, пока она не преобразуется в другую сторону. См. Пример \(\PageIndex{6}\) и Пример \(\PageIndex{7}\).

---

Эта страница под заголовком 7.4: Формулы суммы к продукту и продукту к сумме распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами. платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   ОпенСтакс

   Лицензия

   СС BY

   Версия лицензии

   4,0

   Программа OER или Publisher

   ОпенСтакс

   Показать страницу TOC

   нет

   Включено

   да

2. Теги

   1. Произведение на формулы суммирования
   2. источник@https://openstax. org/details/books/precalculus
   3. Суммирование формул произведения

Функции синуса и косинуса

Синус и косинус: свойства

Функция синуса имеет ряд свойств, которые в результате получается периодических и нечетных . Функция косинуса имеет ряд свойств, которые результат периодических и даже . Читателю не следует запоминать большинство следующих уравнений; еще, читатель должен быть в состоянии мгновенно получить их от понимания характеристик функции.

Функции синуса и косинуса являются периодическими с периодом 2р. Отсюда следует, что

sin(q) = sin(q + 2p)

cos(q) = cos(q + 2p)

или, в более общем случае,

sin(q) = sin(q + 2pk)

cos(q) = cos(q + 2pk),

где k — целые числа.

Функция синуса нечетное ; следовательно,

sin(-q) = -sin(q)

Функция косинуса равна даже ; следовательно,

cos(-q) = cos(q)

Формула:

sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)

Тогда легко вывести из , что

sin(x — y) = sin(x)cos(y) — cos(x)sin(y)

Или, в более общем случае,

sin(x y) = sin(x)cos(y) cos(x)sin(y)

cos(x + y) = cos(x)cos(y) — sin(x)sin (у)

Тогда легко вывести из , что

cos(x — y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)

Или, в более общем случае,

cos(x y) = cos(x)cos(y) (-/+) sin(x)sin(y)

Из приведенного выше уравнения синусов мы можем вывести, что

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Из приведенного выше уравнения косинуса мы можем вывести, что

cos(2x) = cos ² (x) — sin ² (x)

(Обозначение sin ² (x) эквивалентно (sin(x)) ² . Предупреждение: sin ^-1 (x) означает arcsin(x), а не обратный мультипликатив. греха (х).)

Наблюдая графики синуса и косинуса, мы можем выразить функция синуса через косинус и наоборот:

sin(x) = cos(90° — x)

и функция косинуса через синус:

cos(x) = sin(90° — x)

Такая триггерная функция (f), обладающая свойством

f(q) = g(дополнение(q))

называется кофункцией функции g, отсюда и названия «синус» и « со синус».

Пифагорейское тождество, sin ² (х) + cos ² (х) = 1, дает альтернативное выражение для синуса через косинус и наоборот

sin ² (x) = 1 — cos ² (x)

cos ² (x) = 1 — sin ^{2 90 530 (х)}

Закон синусов связывает различные стороны и углы произвольного (не обязательно прямоугольного) треугольника:

sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c = 2r.

где А, В и С — углы, противоположные сторонам а, b и с соответственно.