Как умножить матрицу на обратную матрицу: Действия с матрицами

Содержание

Как найти обратную матрицу

Определение. Если A – квадратная матрица, то обратной для нее матрицей называется матрица, обозначаемая A^-1 и удовлетворяющая условиям A·A^-1=E, A^-1·A=E, где E – единичная матрица.
Из этого определения следует, что если матрица A^-1 является обратной для A, то и A будет обратной для A^-1. Обратную матрицу имеет только квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. Такие матрицы называются невырожденными.

Рассмотрим на примерах практическое применение обратной матрицы.

Пример №1. В задачах дана невырожденная матрица A. Найти обратную матрицу A^-1 и пользуясь правилом умножения матриц, показать, что A*A^-1 = E, где E – единичная матрица.

Решение находим через калькулятор.
Находим определитель матрицы A.
Минор для (1,1):

= 1∙(1∙1-0∙2)-0∙(2∙1-0∙(-3))+0∙(2∙2-1∙(-3))= 1
Минор для (2,1):
= 3∙(1∙1-0∙2)-0∙(-5∙1-0∙7)+0∙(-5∙2-1∙7) = 3
Минор для (3,1):
= 3∙(2∙1-0∙(-3))-1∙(-5∙1-0∙7)+0∙(-5∙(-3)-2∙7)= 11
Минор для (4,1):
= 3∙(2∙2-1∙(-3))-1∙(-5∙2-1∙7)+0∙(-5∙(-3)-2∙7)= 38
Определитель равен: ∆ = 1∙1-0∙3+0∙11-0∙38 = 1, следовательно, матрица является невырожденной и можно искать обратную матрицу.

Транспонированная матрица

Найдем алгебраические дополнения:

∆_1,1 = 1∙(1∙1-2∙0)-2∙(0∙1-2∙0)+(-3∙(0∙0-1∙0))= 1

∆_1,2 = -3∙(1∙1-2∙0)-(-5∙(0∙1-2∙0))+7∙(0∙0-1∙0)= -3

∆_1,3 = 3∙(2∙1-(-3∙0))-(-5∙(1∙1-(-3∙0)))+7∙(1∙0-2∙0)= 11

∆_1,4 = -3∙(2∙2-(-3∙1))-(-5∙(1∙2-(-3∙0)))+7∙(1∙1-2∙0)= -38

∆_2,1 = -0∙(1∙1-2∙0)-2∙(0∙1-2∙0)+(-3∙(0∙0-1∙0))= 0

∆_2,2 = 1∙(1∙1-2∙0)-(-5∙(0∙1-2∙0))+7∙(0∙0-1∙0)= 1

∆_2,3 = -1∙(2∙1-(-3∙0))-(-5∙(0∙1-(-3∙0)))+7∙(0∙0-2∙0)= -2

∆_2,4 = 1∙(2∙2-(-3∙1))-(-5∙(0∙2-(-3∙0)))+7∙(0∙1-2∙0)= 7

∆_3,1 = 0∙(0∙1-2∙0)-1∙(0∙1-2∙0)+(-3∙(0∙0-0∙0))= 0

∆_3,2 = -1∙(0∙1-2∙0)-3∙(0∙1-2∙0)+7∙(0∙0-0∙0)= 0

∆_3,3 = 1∙(1∙1-(-3∙0))-3∙(0∙1-(-3∙0))+7∙(0∙0-1∙0)= 1

∆_3,4 = -1∙(1∙2-(-3∙0))-3∙(0∙2-(-3∙0))+7∙(0∙0-1∙0)= -2

∆_4,1 = -0∙(0∙0-1∙0)-1∙(0∙0-1∙0)+2∙(0∙0-0∙0)= 0

∆_4,2 = 1∙(0∙0-1∙0)-3∙(0∙0-1∙0)+(-5∙(0∙0-0∙0))= 0

∆_4,3 = -1∙(1∙0-2∙0)-3∙(0∙0-2∙0)+(-5∙(0∙0-1∙0))= 0

∆_4,4 = 1∙(1∙1-2∙0)-3∙(0∙1-2∙0)+(-5∙(0∙0-1∙0))= 1
Обратная матрица

Пример 2:xls

Пример №2.

Обратная матрица используется при нахождении величины валовой продукции отрасли X_i: X = (E - A)^-1Y при построении межотраслевой баланса.

Пример №3. Использование операции с обратной матрицей в двойственной задаче линейного программирования позволяет определить двойственные оценки.

Сообщество Экспонента

вопрос
26.11.2022

Математика и статистика, Другое

Здравствуйте! Посмотрите пожалуйста код, почему не могу посчитать неизвестные a и b? очень срочно надо посчитать!! диплом горит(((

1 Ответ

Maple
математика
Программирование

26.11.2022

вопрос
23.11.2022

Изображения и видео, Встраиваемые системы, Математика и статистика, Другое

Подскажите,может кто разбирался в методу главных компонент. Занимаюсь комплексированием 2-ух изображений методом главных компонент. По порядку использую функции cov, затем получаю собственные значения…

комплексирование
матрица
статистика

23.11.2022

вопрос
23.11.2022

Системы связи, Цифровая обработка сигналов, Робототехника и беспилотники

Как запустить модели примеров с кнопкой ПОПРОБОВАТЬ В матлаб???

18 Ответов

вопрос
23.11.2022

Системы связи, Цифровая обработка сигналов, Другое

Какая создать модель в виде кода визуализируя спектральную эффективность в полном дуплексе?

3 Ответа

вопрос
22. 11.2022

Другое, Математика и статистика

Уважаемые форумчане, У кого есть опыт работы с функцией mesh? Написан код, посвященный решению задачи теплопроводности: рассматривается нагрев воды лазерным импульсом, решается задача теплопрово…

6 Ответов

pde
mesh

22.11.2022

Публикация
21.11.2022

Электропривод и силовая электроника

Какие опыты будут показаны? • Испытание устройств РЗиА в режиме жесткого реального времени с помощью КПМ РИТМ• Проверка протоколов цифровой подстанции (МЭК61850, С37.118, PRP, PTPv2) на киберустойчивость• Эксперименты с трансформатором и его циф…

Встретимся на форуме «ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СЕТИ» (МФЭС) 22-25 ноября в Москве

Что будет представлено?

На стенде команда электроэнергетики представит отечественный программно-аппаратный комплекс реального времени на базе КПМ РИТМ.

Электропривод
цифровая обработка сигналов
РИТМ

21.11.2022

вопрос
20.11.2022

Другое, Изображения и видео

Translator Подскажите как вычислить полигон ConvexHull, описывающий область на изображении используя функцию regionprops в Matlab

1 Ответ

MATLAB для студентов

20.11.2022

Публикация
17.11.2022

Встраиваемые системы, ПЛИС и СнК

На вебинаре вы узнаете, как сократить временные и финансовые издержки при испытании встраиваемых систем управления с помощью технологии моделирования в реальном времени. В ходе вебинара будут затронуты следующие вопросы: Что такое тестирование в реальном врем…

Приглашаем вас на вебинар «Российские комплексы РИТМ для полунатурного моделирования и прототипирования встраиваемых систем», который пройдёт

29 ноября 2022 г. в 10:00 по московскому времени.

MATLAB
встраиваемые системы
Simulink
ПЛИС
МОП
Модельно ориентированное проектирование

17.11.2022

Публикация
17.11.2022

Системы управления, Электропривод и силовая электроника

Интересно узнать еще больше об этом кейсе? Подробнее – тут.

Рассказываем, как инновационный центр «КАМАЗ» с помощью наших инженеров освоил современный рабочий процесс на базе модельно-ориентированного проектирования, который позволил небольшой команде разработчиков создать систему управления электрооборудования электробуса верхнего уровня в кратчайшие сроки.

MATLAB
системы управления
САУ
МОП
Модельно ориентированное проектирование

17.11.2022

вопрос
15. 11.2022

Системы связи, Математика и статистика, Цифровая обработка сигналов, Радиолокация, Робототехника и беспилотники

Создать с стандартными параметрами и хорошим его рисунком, спектром, автокореляцией! Спасибо за внимание!

2 Ответа

Обратные матрицы: рабочий пример

Вернуться к Указатель уроков | Делайте уроки в заказе | Подходит для печати страница

Матрица Инверсия: предостережение,
и пример словесной задачи (стр. 2 из 2)

Предупреждение: Не все матрицы можно инвертировать. Напомним, что обратное обычному числу является его обратным, поэтому 4/3 является обратным 3/4, 2 является обратным 1/2, и так далее. Но нет обратного для 0, потому что вы не можете перевернуть 0/1 чтобы получить 1/0 (поскольку деление на ноль не работает). По тем же причинам (которые вы могут встретиться или не встретиться в более поздних исследованиях), некоторые матрицы нельзя инвертировать.

Дана матрица A , обратный А ¹ (если указанная обратная матрица действительно существует) можно умножить с любой стороны из

А чтобы получить личность. То есть АА ¹ = А ¹ А = I . Помните о правилах матрицы умножение, это говорит, что А должно иметь одинаковое количество строк и столбцов; то есть А должен быть квадратным. (Иначе умножение не сработает.

) Если матрица не квадратная, она не может иметь (правильно двустороннюю) обратную. Однако, хотя все обратимые матрицы квадратные, не все квадратные матрицы обратимый.

Всегда будьте осторожны с порядок умножения матриц. Например, если вам дано Б и С и попросили решить матричное уравнение AB = С для А , вам нужно будет отменить B . Для этого нужно умножить B ¹. на В ; то есть вам нужно было бы умножить справа на :

Сторона, на которую умножается будет зависеть от упражнения. Потратьте время, чтобы понять это правильно.

Есть только одно слово задача» типа упражнения, которое я могу придумать, которое использует матрицы и их обратные, и это включает в себя кодирование и декодирование.

Для расшифровки у меня есть чтобы отменить умножение матриц. Чтобы отменить умножение, мне нужно умножить на обратную матрицу кодирования. Итак, мой первый шаг инвертировать матрицу кодирования:

Таким образом, обратная матрица:

Мой корреспондент конвертировал буквы в числа, а затем ввели эти числа в матрицу C . Затем он умножил эту матрицу на матрицу кодирования A , и прислал мне сообщение matrix M . Так как кодирование производилось путем умножения C на слева , тогда я знаю, что уравнение кодирования было:

АС = М

Чтобы изменить кодировку, Мне нужно умножить на А ¹ слева:

А ¹ АС = А ¹ М
С = А ¹ М

Это дает мне:

На данный момент решение это простое переписывание числа с буквой:

А	Б	С	Д	Е	Ф	Г	Н	я	Дж	К	Л	М
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13

Н	О	П	Q	Р	С	Т	У	В	Вт	Х	Д	З
14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26

(Вы можете завершить расшифровку для просмотра исходной цитаты. )

Лучший «код» можно построить, сдвинув сначала буквы, добавив некоторое значение к закодированному результату каждой буквы, используя большую обратимую матрицу и т. д., и т. д. Приведенный выше пример довольно упрощен и предназначен только для демонстрации вам общую методику.

<< Предыдущая Топ | 1 | 2 | Вернуться к индексу

Процитировать эту статью как:

Стапель, Элизабет. «Матричная инверсия: предостережение и пример задачи со словом». Пурпурная математика .
Доступно по адресу https://www.purplemath.com/modules/mtrxinvr2.htm .
Доступ [Дата] [Месяц] 2016

«Домашнее задание
» Руководство»

Опрос по обучению

Репетиторство от Purplemath
Найдите местного репетитора по математике

линейная алгебра — обратная матрица и умножение матриц

спросил 9{-1} \cdot A = E $. Может ли кто-нибудь объяснить мне, почему это не противоречит тому факту, что умножение матриц не является коммутативным? Действительно ли обратная матрица определяется как матрица, удовлетворяющая обоим требованиям?

линейная алгебра
матрицы

$\endgroup$

$\begingroup$

Матрица, обратная , определяется как матрица , удовлетворяющая обоим соотношениям. 9{-1}A$ также выполняется, поскольку они обратны друг другу

коммутативность умножения матриц выполняется в некоторых случаях, например, $AE =EA$, где $E$ — единичная матрица

$\endgroup$

$\begingroup$

Пусть $A$ — матрица.

Инверсия $A$ по определению является как левой, так и правой инверсией. Следовательно, по определению матрица $B$ является обратной к $A$ тогда и только тогда, когда $$ АБ=БА=Я.

Как найти обратную матрицу

Сообщество Экспонента

Обратные матрицы: рабочий пример

линейная алгебра — обратная матрица и умножение матриц

Добавить комментарий Отменить ответ