Как уравнение поделить на уравнение: Кубические уравнения. Метод деления в столбик. Примеры *

Деление уравнения 2–5 степеней | BBF.RU

Деление уравнения 2–5 степени на полином — это метод разложения многочлена на множители. Такое разложение необходимо для упрощения алгебраических выражений, решения уравнений 3-ей и выше степени, а также для разложения дробно-рациональных функций на простейшие дроби.

Теоретическая основа

В целом разложение полиномов на множители требуется для решения уравнений третьей степени и выше. Алгебраическая теория позволяет это сделать следующим способом. Основная теорема алгебры гласит, что любой полином n-ной степени имеет по крайней мере один действительный или комплексный корень. Мы можем легко найти этот корень, если полином является линейным или квадратным, однако если выражение имеет большую степень, то задача значительно усложняется.

В некоторых удачных случаях мы можем использовать формулы сокращенного умножения, однако такая удача — это скорее исключение, ведь данные формулы не применимы для многочленов выше третьей степени. В таких ситуациях нам на помощь приходит теорема Безу.

Теорема Безу гласит, что при делении полинома P(x) на двучлен Q(x) = x − b остаток от деления s = P(a). Простыми словами это означает, что при делении некоторого полинома на многочлен вида x − b, остаток от этого деления равен значению функции в точке b. Однако для разложения полинома на множители используется не сама теорема, а следствие из нее. Если P(x) делится на Q(x) без остатка, то число bявляется корнем выражения.

Если мы поделим полином на бином без остатка, то сможем разложить выражение на множители. Следовательно, для этого нам надо найти хотя бы один корень полинома b и разделить выражение на бином x − b. После этого мы получим произведение полиномов низшей степени. При желании операцию можно повторить и разложить полином на несколько многочленов, что значительно упростит поиск корней.

Таким образом, для разложения полинома на множители требуется найти один из корней b, выразить двучлен Q(x) = x − b и разделить многочлен на Q(x).

Поиск корня b

Мы можем предположить любое значение корня, однако на практике первым делом проверяют значения 1 и -1. Для этого нам помогут два простых правила:

• если сумма коэффициентов полинома равна нулю, то один из корней равен 1;
• если сумма коэффициентов при четных степенях икса равна сумме коэффициентов при нечетных, то один из корней полинома равен -1.

Давайте проверим на примере. Пусть есть многочлен вида:

3x⁴ + 2x³ − 8x² + 2x + 1

Вычислим сумму коэффициентов: 3 + 2 − 8 + 2 + 1 = 0. Очевидно, что если вместо иксов подставить единицу, то мы получим аналогичное равенство.

Проверим второе правило. Возьмем полином вида:

3x⁴ + 4x³ + 2x² + 2x + 1

Коэффициенты при четных степенях дают в сумме 3 + 2 + 1 = 6. Коэффициенты при нечетных: 4 + 2 = 6. Если вместо иксов подставить -1, то шестерки взаимно уничтожатся и превратятся в ноль. Очевидно, что -1 является корнем данного полинома. Обратите внимание, что в данном случае 1 – это все равно что 1x⁰, поэтому свободный член учитывается как коэффициент икса в четной степени.

Если же 1 и -1 не подходят, то используем теорему Виета, которая в данном случае звучит следующим образом: если корни многочлена являются целыми числами, то они одновременно являются и делителями его свободного члена. Это означает, что целочисленный корень полинома без остатка делит его свободный член, то есть коэффициент без икса.

Таким образом, для поиска целочисленного корня требуется разложить свободный член на множители и поочередно подставлять найденные значения вместо иксов. Если при подстановке коэффициента значение полинома станет равно нулю, то данное значение и есть корень уравнения. Рассмотрим следующий полином:

x⁴ + x³ − 11x² − 5x + 30

Свободный член 30 имеет следующие делители: ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30. Теперь постепенно подставляем данные числа вместо иксов. В итоге уравнение превращается в ноль при значениях 2, ±3 и 5, которые и являются корнями данного уравнения. Из теоремы Безу вытекает, что данный многочлен без остатка делится на выражения типа x − 2 или x + 3.

Деление многочлена на Q(x)

Деление многочлена на бином Q(x) проще всего осуществить в столбик. Рассмотрим схему деления в столбик на простом примере. Возьмем полином

2x³ − 3x² + 5x − 14

и разделим его на бином x − 2.

Деление в столбик происходит в три этапа:

• разделим самый первый элемент многочлена на старший член бинома, то есть 2x³ / x = 2x², запишем 2x² как первый член частного;
• умножим результат на бином, то есть 2x² × (x − 2) = 2x³ − 4x²;
• вычтем полученное выражение из многочлена (2x³ − 3x² + 5x − 14) − (2x³ − 4x²) = x² + 5x − 14.

Теперь требуется повторить предыдущие пункты, но уже для полинома x² + 5x − 14:

• разделим x² на x, в результате получим x как второй член частного;
• умножим x на бином и получим x × (x − 2) = x² − 2x;
• вычислим разницу (x² + 5x − 14) − (x² − 2x) = 7x − 14.

Еще раз повторим этот круг, но для полинома 7x − 14:

• разделим 7x на x, получим 7 как третий элемент частного;
• умножим 7 на делитель, получим 7x − 14;
• вычислим разницу (7x − 14) − (7x − 14) = 0.

На этом цикл деления окончен. Выпишем наши элементы в строчку и получим частное без остатка 2x² + x+ 7. Это означает, что полином вида 2x³ − 3x² + 5x − 14 мы можем представить как произведение (x − 2) × (2x² + x + 7).

Мы все вычисления провели вручную, однако разделить многочлен на бином можно и в режиме онлайн. Наша программа позволяет делить многочлены от 2 до 5 степени на биномы вида ax + b. Для этого требуется выбрать степень полинома, ввести коэффициенты в соответствующие ячейки и сделать один клик мышкой. Важно указать коэффициенты с соответствующими знаками, так как в программе по умолчанию установлены плюсы. В результате калькулятор выдаст ответ вида

R(x) = P(x) / Q(x) – s,

где s — остаток от деления.

Заключение

Наш калькулятор позволяет быстро и без проблем разделить многочлен на бином для разложения выражения на множители. Такая операция может понадобиться школьникам и студентам при решении уравнений 3-5 степени или для разложения дробно-рациональных функций в сумму простых дробей.

Деление. Деление с остатком | Математика | 5 класс

На данном уроке вы сможете изучить новое действие – деление натуральных чисел, а также деление натуральных чисел с остатком, узнаете свойства деления и научитесь применять деление на практике, используя его для решения различных задач.

 

Раздел 1. Определение деления

Мама купила для Васи и трёх его друзей 48 конфет. Сколько достанется каждому при делении конфет между ними поровну?

Пусть x конфет у каждого мальчика. Тогда всего конфет .

Сейчас мы с вами нашли неизвестный множитель, при том, что знали другой множитель и произведение. Данное действие называется делением.

Деление – действие по нахождению одного неизвестного множителя при известном другом множителе и известном произведении.

В данном случае число 48 – делимое (то, что мы делим), число 4 – делитель (то, на что мы делим), 12 – частное (то, что получаем в результате деления).

Частное показывает, во сколько делимое больше, чем делитель. 48 конфет больше, чем 4 конфеты, в 12 раз.

Свойства деления

Частные случаи деления

1. На ноль делить нельзя. Если мы разделим некоторое число a на ноль, то должны получить число, которое при умножении на ноль дает a. Но любое число при умножении на ноль дает ноль. Деление на ноль не определено.

 

2. При делении числа на 1 получаем само это число.

Какое число нужно умножить на 1, чтобы получить а? Само это число.

3. При делении числа на самого себя получаем единицу.

Какое число необходимо умножить на а, чтобы получить а? Число 1.

4. При делении ноля на что-либо получаем ноль.

Пример 1. Вася написал за четверть 9 контрольных работ. В сумме за все работы он получил 36 баллов. Какую четвертную оценку получит Вася?

В среднем за каждую работу Вася получает

Вася получит четвертную оценку 4.

Решение уравнений, которые содержат знак умножения или деления

Пример 2. Решим уравнение:

По определению деления получаем:

Пример 3. Решим уравнение:

Делимое есть произведение делителя и частного.

Значит, чтобы найти делимое, необходимо разделить делимое на частное.

Пример 4. Решим уравнение:

Вспомним, что делимое есть произведение делителя и частного. В нашем случае делимое это .

Деление с остатком

Вернемся к Васе и его друзьям. Пусть мама купила ребятам не 48, а 50 конфет. Раздадим 48 конфет, как делали раньше, и две конфеты останется. Получается, мы разделили 50 на 4 с остатком – 2 конфеты у нас осталось.

 (остаток 2)

Остаток всегда меньше делителя.

Пусть мы поделили 50 на 4 и получили 11.

 

Тогда остаток равен 6. 6 конфет осталось. Но ведь мы можем раздать по одной из этих конфет Васе и его друзьям. Если остаток получился больше делителя, то мы просто не доделили.

При делении 48 на 4 остаток равен нулю.

 

---

Более сложный пример

Задача. Известно, что число 77 разделили на некоторое число с остатком и остаток получился равным неполному частному. На какое число разделили?

Рассмотрим число 77. Мы его разделили с остатком на какое-то число х (его нам и надо найти). Мы знаем, что неполное частное равно остатку деления. Обозначим их квадратиками.

Заметим, что какое бы число ни стояло на месте квадратика, и делится на  и делится на . Значит, и 77 должно делиться на это число (на ). А на что делится число 77? На 1, 7, 11, 77. Разберем каждый вариант.

1) Если на месте квадратика стоит 1.

2) Если на месте квадратика стоит 7.

3) Если на месте квадратика стоит 11.

Обратите внимание: в данном случае делитель, т. е. 6, меньше, чем остаток, т.е. 11. Значит, такой случай невозможен. Именно поэтому невозможен и случай, когда на месте квадратика стоит число 77.

Ответ: делили либо на 1, либо на 7.

---

 

Заключение

Мы познакомились с таким действием, как деление; узнали, что такое деление с остатком и без остатка. Также познакомились с тем, как решать уравнения, где есть операция деление.

 

Список рекомендованной литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика, 5 класс (в 2 частях). ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА».
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Математика. 5 класс – М.: Вентана-Граф.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Теоретический материал. Деление с остатком (Источник).
2. Урок (Источник).
3. Теоретический материал (Источник).

 

Домашнее задание:

1. Запишите частное и укажите его элементы (делимое и делитель):

а)  и ;

б)  и ;

в)  и ;

г)  и 

2. На сколько необходимо умножить 12, чтобы получить 60?

3. У Саши, Артема, Коли и Жени есть 64 груши. Сколько груш необходимо дать каждому из ребят, чтобы разделить все груши поровну?

Если бы у ребят было не 64, а 70 груш, сколько груш осталось бы после деления между ребятами поровну?

4. Выполните деление с остатком:

а) 131 на 5

б) 25 на 3

в) 376 на 3

г) 401 на 10

2+uv=741$…(2)

получаем делением

$u+v-\sqrt{uv}=19$

Я не знаю, как разделить одно уравнение на другое уравнение, может кто-нибудь объяснить.

• алгебра-предварительное исчисление

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Это точно так же, как и любая другая операция: если у вас есть верное уравнение и вы делаете одно и то же с обеими сторонами, вы получаете еще одно верное уравнение.

Например, если мы знаем, что оба выражения $a=b$ и $c=d$ верны, то мы знаем, что истинно $a+c = b+d$: поскольку $a$ и $b$ — одно и то же , мы проделали то же самое с обеими частями уравнения $c+d$.

Единственное, что отличает деление в этом отношении, это то, что вы должны обращать немного больше внимания на то, чтобы то, что вы делаете, не было ерундой. то есть деление на $x$ бессмысленно, если вы не знаете, что $x$ не равно нулю.

$\endgroup$

$\begingroup$

Левая часть уравнения представляет некоторое число (хотя оно может быть неизвестно или не определено, какое именно). Знак равенства $=$ означает, что правая часть представляет одно и то же число (каким бы оно ни было).

Если составить дробь, в которой левая часть одного уравнения является числителем, а левая часть другого уравнения — знаменателем, то полученное число (еще неизвестное/неопределенное) обязательно должно совпадать с числом образованная дробью соответствующих правых частей.

Две дроби должны быть равны, так как их числители одинаковы, как и их знаменатели.

Мы выражаем это «одинаковость», как всегда делаем в математике, ставя между ними знак равенства. Это образует новое уравнение, и мы говорим, что это новое уравнение образуется путем деления одного уравнения на другое.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

алгебраическое предварительное исчисление — Когда нам разрешено умножать или делить обе части уравнения на переменную?

При делении на любую величину или при сокращении двух количеств в отношении (например, отменив $x$ и $x$, чтобы найти, что $\frac xx=1$), вам нужно знать, какие предположения вы должны сделать, чтобы что разделение или отмена имеет смысл, и помните, что эти предположения применимы к любым результатам, которые вы получаете. 92 = x$ подразумевает $x = 1$. Это согласуется с предположениями (а именно, что $x\neq 0$), поэтому $x = 1$ является решением.

Если вы посмотрите на все возможные случаи (и здесь, поскольку $x$ либо равно нулю, либо не равно нулю, мы уже рассмотрели все возможные случаи), полный набор решений состоит из всех решений, которые вы найдете во всех этих случаях; то есть для этой задачи множество решений $x=\{0,1\}$ (другими словами, $x=0$ или $x=1$).

Теперь рассмотрим пример из книги: $$\frac {x+2}{x-2} — \frac1x = \frac{2}{x(x-2)}.$$

Две равные величины, умноженные на одну и ту же величину две равные величины (даже если обе умножить на ноль!), так что мы знаем, что $ $ х (х-2) \ гидроразрыва {х + 2} {х-2} — х (х-2) \ гидроразрыва 1х = х (х-2) \ гидроразрыва {2} {х (х-2)} .$$

Дальше самое сложное. Так выглядит множитель $x-2$ в правой части должен сокращать делитель $x-2$, то есть $\frac {x-2}{x-2} = 1.$ Но это верно, только если $x-2 \neq 0$; если $x — 2 = 0$, то $\frac {x-2}{x-2} = \frac 00,$, что не определено.