Как вычислить вероятность: Формулы для вычисления вероятности событий. Классическая вероятность

Вероятность события Калькулятор | Вычислить Вероятность события

✖Число благоприятных исходов — это общее число исходов, благоприятствующих успешному завершению определенного события при данных обстоятельствах.ⓘ Количество благоприятных исходов [nFavorable]			+10% -10%
✖Общее количество исходов — это общее количество всех возможных исходов в случайном эксперименте.ⓘ Общее количество результатов [nTotal]			+10% -10%

✖Вероятность события — это доля шанса на успешное завершение определенного события в соответствии с заданными условиями и ограничениями.ⓘ Вероятность события [PEvent]

⎘ копия

👎

Формула

сбросить

👍

Вероятность события Решение

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок

Количество благоприятных исходов: 3 —> Конверсия не требуется
Общее количество результатов: 10 —> Конверсия не требуется

ШАГ 2: Оцените формулу

ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода

0.3 —> Конверсия не требуется

< 6 Вероятность Калькуляторы

Вероятность события формула

Вероятность события = Количество благоприятных исходов/Общее количество результатов
P_Event = n_Favorable/n_Total

Что такое вероятность в математике?

В математике теория вероятностей изучает шансы. В реальной жизни мы прогнозируем шансы в зависимости от ситуации. Но теория вероятностей подводит математическую основу концепции вероятности. Например, если в коробке 10 шаров, среди которых 7 черных и 3 красных шара, а также один случайно выбранный шар. Тогда вероятность выпадения красного шара равна 3/10, а вероятность выпадения черного шара равна 7/10. Когда дело доходит до статистики, вероятность является ее основой. Он имеет широкое применение в принятии решений, науке о данных, исследованиях бизнес-тенденций и т. д.

Share

Copied!

Теория вероятностей, или Не стоит полагаться на случай | by Roman | NOP::Nuances of Programming

Понятия вероятности и случайности затрагивают практически все аспекты нашей жизни. Большинство своих решений мы принимаем, исходя из вероятности наиболее благоприятных для нас событий. Поэтому стоит хотя бы мало-мальски разбираться в теории вероятностей и научиться применять ее законы при решении различных житейских задач.

Обычно первое, что приходит на ум при упоминании о теории вероятности, — это игральные кости или карты. И то, и другое часто ассоциируется с азартными играми или другими занятиями, где все решает Его Величество Случай. Интересно, что сам термин “случайность” довольно точно передает суть понятия вероятности. Если говорить кратко, вероятность — это степень возможности какой-либо случайности.

Аристотель как-то заметил: “Вероятно и то, что много происходит невероятного”. Если перевести этот афоризм на математический язык, то можно выразить понятие вероятности следующим образом:

P = (количество реальных исходов) / (суммарное число реальных и возможных исходов),

где P — вероятность наступления события.

Значение P всегда будет выражено дробным числом в интервале [0, 1] (умножив это число на 100, можно выразить его в процентах). Чем выше значение P, тем больше вероятность наступления события. Если P = 0, говорят о невозможности наступления события; если P = 1, безоговорочно утверждают, что событие произойдет.

Теперь рассмотрим несколько простых, но убедительных примеров того, как работает выведенная нами формула вероятности.

Какова вероятность выпадения “тройки” при игре в кости?

На этот вопрос можно относительно быстро ответить с помощью интуиции. Но давайте попробуем применить нашу формулу. Игральный кубик имеет 6 сторон, но только 1 сторона отображает число “три”. Подставляя эти данные в формулу вероятности, получаем: P(“три”) = 1/6.

Какова вероятность вытянуть валета из колоды карт?

Снова задаем себе вопросы: сколько всего карт в колоде и какое количество в ней валетов? Мы знаем, что в обычной колоде 52 карты, по 4 фигурных экземпляра каждой масти, то есть в общей сложности 4 валета. Следовательно, вероятность вытянуть валета равна 4/52 или 1/13.

Оба приведенных выше примера довольно просты. Но они вполне годятся для того, чтобы в общих чертах ознакомить с теорией вероятностей человека, не искушенного в математике. Для решения более сложных задач используются куда более мудреные методы матанализа.

Вероятность объединения и пересечения

Объединение — это один из двух распространенных типов сложных событий (когда речь идет о двух или более объединенных событиях). Мы определяем вероятность объединения событий X и Y как вероятность того, что произойдет либо X, либо Y, либо и то, и другое. Из этого определения вытекают две различные формулы для вычисления вероятности. Рассмотрим каждую из них.

Объединение взаимоисключающих событий

Если события X и Y не могут произойти одновременно, они считаются взаимоисключающими. В этом случае мы используем следующую формулу:

Предположим, что мы хотим вычислить вероятность выпадения “пятерки” или “шестерки” в ходе игры в кости. Эти события не могут произойти одновременно, поэтому нам просто нужно сложить значения обеих вероятностей. Вероятность выбросить “пятерку” равна 1/6; вероятность выбросить “шестерку” также равна 1/6; следовательно, вероятность выпадения “пятерки” или “шестерки” равна 1/3.

Объединение событий, не исключающих друг друга

В случае, когда X и Y не являются взаимоисключающими, используется следующая формула:

Как вы заметили, эта формула похожа на предыдущую, но с добавлением вероятности событий X и Y, связанных между собой символом, похожим на перевернутую букву U. Это называется пересечением — вторым из двух распространенных типов сложных событий. Вероятность пересечения двух событий определяется как вероятность того, что события X и Y произойдут одновременно.

Остановимся на формуле пересечения, так как она чрезвычайно важна при вычислении вероятности не исключающих друг друга событий.

Классический пример, демонстрирующий эту формулу, — игральные карты. Предположим, мы хотим определить вероятность вытянуть из колоды карту пиковой масти или даму. Зная о не исключающих друг друга событиях, мы можем предположить, что в колоде есть карта, которая одновременно является дамой и относится к пиковой масти. Сначала определяем вероятности выбора карты пиковой масти, дамы и пиковой дамы, которые составляют 13/52, 4/52 и 1/52 соответственно. Итоговое значение вероятности получаем путем сложения первых двух дробей и вычитанием из этой суммы третьей дроби. В результате выходит 16/52 или 4/13.

Пересечение независимых событий

Теперь, когда вы уже познакомились с концепцией пересечения, давайте углубимся в нее еще больше. Обычно мы имеем дело с пересечением независимых событий, когда вероятность одного из них не влияет на вероятность другого. В этом случае формула пересечения выглядит следующим образом:

Например, если подбросить две монеты, то вероятность того, что обе они упадут решкой вверх, равна 0,5 * 0,5 = 0,25. Есть и альтернативный способ решения этой задачи. Для этого нужно вспомнить наше первое определение вероятности, представляющее собой соотношение количества происходящих событий к общему числу исходов. Сначала перечислим все возможные исходы при падении двух монет:

{H, H} , {H, T} , {T , H} , {T ,T}, где H — орел, T — решка.

Сколько исходов может быть с выпадением двух решек? Только один из четырех.

Условная вероятность

Условной считается вероятность события X при условии наступления события Y.

(Обратите внимание, что это уравнение включает в себя выражение для пересечения, которое можно вывести следующим образом: P(X | Y) * P(Y). Такая версия формулы пересечения используется для событий, которые не являются независимыми друг от друга).

Предположим, в деканат поступила информация о посещении практики 41 студентом в течение недели. Используя эти данные, декан построил график и получил следующую картину:

• из 22 первокурсников 9 посещали менее 3 дней, а 13 — более 3 дней;
• из 19 второкурсников 12 посещали менее 3 дней, а 7 — более 3 дней.

Поможем декану выяснить вероятность посещения менее 3 дней практики студентами при условии, что его интересуют в первую очередь первокурсники:

P(< 3 дней | первокурсники).

Сначала вычислим вероятность пересечения. Из общего числа студентов (мы знаем, что практику проходил 41 человек) 9 первокурсников посетили менее 3 дней, так что эта вероятность составляет 9 / 41. Второе, что нам нужно определить, — вероятность быть первокурсником. Она равна 22 / 41. Отсюда условная вероятность будет равна (9 / 41) / (22 / 41), или 9 / 22.

Подведем итоги

Теперь вы имеете представление об основных принципах применения теории вероятностей. Ее формулы пригодятся вам в любом месте, будь то студенческая аудитория или исследовательская лаборатория. Ее законы позволят вам не полагаться на случай. Вычисляя и сопоставляя свои шансы и риски, вы сможете принимать верные решения в области медицины, статистики, финансов и многих других.

Читайте также:

• Годовой план изучения науки о данных
• Что нужно знать, чтобы начать заниматься квантовыми вычислениями
• Статистические типы данных, используемые в машинном обучении

Читайте нас в Telegram, VK и Яндекс.Дзен

Перевод статьи Albert Ming, An Introduction to Probability and the World of Chance

Расчет вероятности со средним значением и отклонением

Расчет вероятности со средним значением и отклонением зависит от типа распределения, на котором вы будете основывать свои расчеты. Здесь мы будем иметь дело с типично распределенными данными.

Если у вас есть данные со средним значением μ и стандартным отклонением σ, , вы можете создать модели этих данных, используя типичное распределение. Мы можем найти вероятность в этих данных на основе этого среднего значения и стандартного отклонения, стандартизировав нормальное распределение.

Уравнение для вероятности функции или события выглядит примерно так (x — μ )/ σ , где σ — отклонение, а μ — среднее значение. Используя стандартную или z-оценку, мы можем использовать концепции интеграции, чтобы получить функцию ниже.

​

Сначала это может показаться странным, но это означает, что любой может найти вероятности для любого заданного нормального распределения, если у него есть среднее значение и стандартное отклонение, без необходимости выполнять какое-либо интегрирование. Пока у вас есть стандартизированная таблица со стандартизированной нормальной кривой со стандартным отклонением (единицей) и одним средним значением, вы можете рассчитать вероятность с помощью z-показателя. Именно эту таблицу мы будем использовать для расчета вероятностей в приведенных ниже примерах.

Использование стандартных таблиц нормального распределения

Вы можете скачать эту стандартную таблицу нормального распределения из Аризонского университета в виде файла pdf или excel. Посмотрите внимательно на стол; вы увидите, что он содержит значения от отрицательной бесконечности до x. Значения X составляют от 0 до 3 и, в очень редких случаях, 4, что делает вероятность смело близкой к единице или единице.

Это означает, что P ( X ≤ x ) =

Вычисление P(x) может показаться простым, но что, если вы хотите вычислить диапазон чисел, скажем, p(X > x) ? Это выходит за рамки значений в таблице, но P ( X  >  x ) = 1 –  P ( X  ≤  x ). В этом случае мы найдем значение P ( X ≤ x ) и вычтем из него единицу.

Примеры

1 . Какова вероятность того, что 5 больше x в нормально распределенных данных, если среднее значение равно 6, а стандартное отклонение равно 0,7.

Решение

P(X < 5) первый шаг — найти z-значение. Мы находим это, используя приведенную выше формулу.

z = (x – μ (среднее)) / σ (стандартное отклонение) это означает, что

Для P(X < 5), z = (5 - 6)/0,7

-1/7 = — 1,42857, которое округляется до – 1,43

Теперь в таблице мы будем искать значение -1,4 при 3

= 0,07636

Нормальный доход для z-показателя обычно меньше, и поскольку функция спрашивая вероятность того, что x меньше 5, это будет наш окончательный ответ.

2 . Какова вероятность того, что x больше 4,5 в нормально распределенных данных, если среднее значение равно 6, а стандартное отклонение равно 0,7.

Решение

P(X > 4,5) => первый шаг — найти z-значение. Мы находим, что, используя формулу ниже

z = (x – μ (среднее) ) / σ (стандартное отклонение), это означает, что

Для P(X > 4,5), z = (4,5 — 6 )/0,7

-1,5/0,7 = — 2,14285 округляется до – 2,14

Теперь в таблице найдем значение -2,1 при 4

= 0,01618

Таблица нормализации возвращает значение z -score обычно меньше, но функция запрашивает вероятность того, что x больше 4,5; это означает, что полученное значение для x меньше 4,5 и не больше 4,5. Чтобы получить вероятность x больше 4,5, нам придется вычесть ответ из единицы.

=> 1 — 0,01618 = 0,9838

3. Найдите вероятность того, что x больше 3,8, но меньше 4,7 в данных с нормальным распределением, учитывая, что среднее значение равно 4, а стандартное отклонение равно 0,5.

Решение

Эта проблема немного отличается от остальных. Здесь нас просят найти вероятность для двух значений, когда x больше 3,8 и меньше 4,7. Это означает, что он находится между 3,9 и 4,6.

Мы можем выразить это как P (3,8 < x <4,7).

Здесь мы найдем z-показатель для P (x > 3,8) и P (x < 4,7). Мы находим, что, используя приведенную ниже формулу

z = (x – μ (среднее)) / σ (стандартное отклонение), это означает, что

для P (X > 3,8), z = (3,8 — 4)/0,5

— 0,2/0,5 = — 0,400

Теперь в таблице найдем значение -0,4 при 0

= 0,34458

Для P (X < 4,7), z = (4,7 - 4)/0,5

0,7/0,5 = 1,40

Теперь в таблице найдем значение 1,4 под 0

= 0,91924

Мы собираемся вычесть верхний предел нижним пределом

0,91924 — 0,34458 = 0,57466

, вероятность того, что X больше 3,8, но менее 4,7 — 0,57466

4. . что x меньше 6, но больше 4 в нормально распределенных данных, учитывая, что среднее значение равно 5, а стандартное отклонение равно 0,6.

Решение

Мы ищем вероятность того, что x находится в диапазоне от 4,1 до 5,9

Мы можем выразить это как P (4 < x < 6).

Здесь мы найдем z-показатель для P (x > 4) и P (x < 6). Мы находим, что, используя приведенную ниже формулу

z = (x – μ (среднее)) / σ (стандартное отклонение), это означает, что

-1/0,6 = — 1,67

Теперь в таблице найдем значение -1,6 при 7

= 0,04746

Для P (X < 6), z = (6 - 5)/ 0,6

1/0,6 = 1,67

Теперь в таблице найдем значение 1,6 меньше 7

= 0,95254

Вычтем верхний предел из нижнего предела

Вероятность того, что x меньше 6, но больше 4, равна 0,90508

Заключение

В нормально распределенном наборе данных вы можете найти вероятность конкретного события, если у вас есть среднее значение и стандартное отклонение. С их помощью вы можете рассчитать z-показатель, используя формулу z = (x – μ (среднее)) / σ (стандартное отклонение). С этой оценкой вы можете проверить Стандартные таблицы нормального распределения на предмет вероятности появления этой z-оценки.

Независимо от значения среднего и стандартного отклонения, вероятность того, что x будет равна любому числу, автоматически равна нулю. Акцент делается на нормально распределенном наборе данных, потому что, если ваши данные не распределены нормально, вам, возможно, придется учитывать различные факторы, такие как эксцесс.

 

 

См. 5 комментариев ниже.

Как рассчитать вероятность игры в кости?

Вероятность также известна как возможность, которая действует при наступлении вероятного события. Полезность обозначается от нуля до единицы. Очевидно, что в математике Вероятность аппроксимирует возможные события. По сути, вероятность — это масштаб, в котором ожидается, что что-то произойдет.

Вероятность

Чтобы более точно понять вероятность, давайте разберемся на примере подбрасывания монеты, возможные результаты – орел и решка. Вероятность наступления любого из вероятных событий равна 1/2. Поскольку вероятность наступления любого из вероятных событий одинакова, значит, существует равная вероятность наступления любого благоприятного события, в данном случае она равна 1/2.

Формула вероятности

P(A) = {Количество дел A} ⁄ {Общее количество дел}

КУБИКИ

Игральные кости представляют собой небольшой блок с отметкой или оттенком на границе от одной до шести, который используется в играх для получения случайного целого числа. Кости — это маленькие блоки, которые можно подбрасывать, с обнаруживаемой границей, которая может останавливаться на соответствующих фигурах. Они передаются по наследству для защиты соответствующих фигур, часто как часть дополнительных настольных игр, а также игр в кости, настольных игр, ролевых игр и азартных игр.

Обычная игральная кость представляет собой кубик, на каждой из шести граней которого можно обнаружить различные целые числа цифр от одного до шести. При броске или броске кубик останавливается, показывая случайное число от одного до шести на его большей стороне, при этом вероятность каждого события одинакова. Кости также могут иметь вогнутую или неравную форму, а на гранях вместо ямки могут быть заметны цифры или символы. Заполненные кости разыгрываются, чтобы отдать предпочтение некоторым результатам перед другими, чтобы вырваться или расслабиться.

Как рассчитать вероятность игры в кости?

Ответ:

• Один бросок игральной кости

Несложный и самый простой случай игры в кости — это возможность выпадения определенного целого числа на одном кубике. В случае вероятности первичным действием является то, что ее нужно вычислить, просматривая количество вероятных событий в сопоставлении с желаемыми событиями.

Кости представляют шесть вероятных событий. Кроме того, внимание независимого было бы только для одного дела, независимо от выбора целого числа. Калькулятор вероятности игры в кости был бы совершенно удобен в этом отношении.

В этом случае можно использовать следующую формулу:

P(A) = {Количество дел до А} ⁄ {Общее количество дел}

Следовательно, шансы получить определенное число, если число равно 6, это дает,

Вероятность = 1 ÷ 6 = 0,167

Вероятности доступны как числа между отсутствием возможности и надежностью. Кроме того, никакая вероятность не равна 0, а надежность равна 1. Независимый может умножить это на 100, чтобы получить процент. Как следствие, вероятность выпадения 6 на костях составляет 16,7%.

• Две или более игральные кости

Вероятности определенно становятся немного более сложными для расчета, когда дело касается двух игральных костей. Расчет необычных вероятностей происходит, когда кто-то хочет узнать вероятность выпадения двух шестерок при бросании двух игральных костей. Самое замечательное, что результат одной кости не зависит от результата другой кости.

Нетрадиционные вероятности имеют правило, согласно которому нужно перемножать отдельные вероятности, чтобы получить результат. Таким образом, формула для этого,

Вероятность обоих = вероятность результата один × вероятность результата два больше костей, то нужно вернуться к простому правилу.

Это простое правило: вероятность = число вероятных результатов, деленное на количество вероятных результатов. Опять же, использование калькулятора вероятности игры в кости здесь имеет решающее значение. Вычисление количества результатов, в которых заинтересован один, требует больше работы. Если индивидуалист желает получить 4 очка на двух костях, то это можно сделать, выкинув 1 и 3, 3 и 1 или 2 и 2.

Кроме того, человек должен наблюдать за кубиками индивидуально, 1 на первом кубике и 3 на других кубиках, безусловно, отличается от 3 на первом кубике и 1 на втором кубике. Чтобы выбросить 4, есть три способа получить желаемый результат. Следовательно, есть 36 вероятных результатов. Вывод из этого выглядит следующим образом:

Вероятность = Количество желаемых результатов/Количество возможных результатов = 3 ÷ 36 = 0,0833.

Доля получается 8,33 процента. Кроме того, 7 является наиболее благоприятным исходом для двух игральных костей. Кроме того, есть шесть способов его достижения. Вероятность в этом случае 6 ÷ 36 = 0,167 = 16,7%.

Аналогичные задачи

Вопрос 1. Найдите вероятность того, что сумма 8 выпадет при бросании двух игральных костей?

Ответ:

Всего существует 36 вероятных результатов при бросании двух игральных костей, т. е. 6² = 6 × 6 = 36. 2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 2), (6, 2).

Следовательно, вероятность выпадения суммы 8 при бросании двух игральных костей равна 5/36.

Вопрос 2: Шон подбрасывает игральную кость 400 раз и документирует результат 6 как 30 раз. Какова может быть вероятность

а) получить 6 баллов?

б) получить оценку меньше 6?

. Решение:

оценка ниже 6)

= количество раз, когда меньше 6 баллов/общее количество раз

= 370/400

= 37/40

Вопрос 3. Какова вероятность того, что выпадет 6 очков при бросании двух игральных костей?

Решение:

При бросании двух игральных костей n(S) = 36. Пусть A — событие получения суммы 6. Тогда

A = {(3, 3), ( 2, 4), (4, 2), (1, 5), (5, 1)}

n(A) = 5

Следовательно, искомая вероятность будет

P(A) = n(A)/n(S) = 5/36.

Вопрос 4. Найдите вероятность того, что при бросании двух игральных костей выпадет 4.

Решение:

Множество возможных исходов при броске игральной кости: {1, 2, 3, 4 , 5, 6}

Итак, при броске двух игральных костей есть 6 × 6 = 36 шансов.

При бросании двух игральных костей вероятность выпадения числа 4 равна (1, 3), (2, 2) и (3, 1).

No related posts.