Какие числа являются рациональными: Рациональные числа: что это такое, свойства и примеры

Рациональные числа — это периодические дроби

☰

Как известно, множество рациональных чисел (Q) включает в себя множества целых чисел (Z), которое в свою очередь включает множество натуральных чисел (N). Помимо целых чисел в рациональные числа входят дроби.

Почему же тогда все множество рациональных чисел рассматривают иногда как бесконечные десятичные периодические дроби? Ведь кроме дробей, они включают и целые числа, а также непериодические дроби.

Дело в том, что все целые числа, а также любую дробь можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. То есть для всех рациональных чисел можно использовать одинаковый способ записи.

Как представляется бесконечная периодическая десятичная дробь? В ней повторяющуюся группу цифр после запятой берут в скобки. Например, 1,56(12) — это дробь, у которой повторяется группа цифр 12, т. е. дробь имеет значение 1,561212121212… и так без конца. Повторяющаяся группа цифр называется периодом.

Однако в подобном виде мы можем представить любое число, если будем считать его периодом цифру 0, которая также повторяется без конца. Например, число 2 — это то же самое, что 2,00000…. Следовательно, его можно записать в виде бесконечной периодической дроби, т. е. 2,(0).

То же самое можно сделать и с любой конечной дробью. Например:

0,125 = 0,1250000… = 0,125(0)

Однако на практике не используют преобразование конечной дроби в бесконечную периодическую. Поэтому разделяют конечные дроби и бесконечные периодические. Таким образом, правильнее говорить, что к рациональным числам принадлежат

• все целые числа,
• конечные дроби,
• бесконечные периодические дроби.

При этом просто помнят, что целые числа и конечные дроби представимы в теории в виде бесконечных периодических дробей.

С другой стороны, понятия конечной и бесконечной дроби употребимы к десятичным дробям. Если говорить об обыкновенных дробях, то как конечную, так и бесконечную десятичную дробь можно однозначно представить в виде обыкновенной дроби.

Значит, с точки зрения обыкновенных дробей, периодические и конечные дроби — это одно и то же. Кроме того, целые числа также могут быть представлены в виде обыкновенной дроби, если представить, что мы делим это число на 1.

Как представить десятичную бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной? Чаще используют примерно такой алгоритм:

1. Приводят дробь к виду, чтобы после запятой оказался только период.
2. Умножают бесконечную периодическую дробь на 10 или 100 или … так, чтобы запятая передвинулась вправо на один период (т. е. один период оказался в целой части).
3. Приравнивают исходную дробь (a) переменной x, а полученную путем умножения на число N дробь (b) — к Nx.
4. Из Nx вычитают x. Из b вычитаю a. Т. е. составляют уравнение Nx – x = b – a.
5. При решении уравнения получается обыкновенная дробь.

Пример перевода бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь:
x = 1,13333…
10x = 11,3333…
10x * 10 = 11,33333… * 10
100x = 113,3333…
100x – 10x = 113,3333… – 11,3333…
90x = 102
x =

Рациональные числа — видеоурок по математике за 6 класс

Если число можно отобразить в виде соотношения , где a — целое число, n — натуральное число, оно считается рациональным.

Рациональные числа. Множество рациональных чисел

Множество рациональных чисел отображают буквой Q. 

Определение

Рациональным числом считается число, которое можно преобразовать в простую дробь (положительную или отрицательную). Также рационально число получается в результате деления двух целых чисел.

Пример

 0,6 =  (где a = 6, n = 10). 

—  = — 7 ( числитель) и 8 (знаменатель), где a = -7, n = 8.

Любое целое число a рациональное, потому что его можно преобразовать в отношение .

Пример

6 =  , где  a = 6, n  = 1.

— 9 =  , где a  = — 9,  n = 1.  

Связь натуральных и целых чисел с множеством рациональных чисел

Каждое натуральное и отрицательное целое число можно отобразить в виде дробного числа 17 =  , — 6 = . Число 0 также можно представить в виде дроби 0 =  =  . 

Отсюда следует вывод

Натуральные и целые числа являются рациональными.

Множество натуральных чисел n и целых чисел z выступают подмножеством множества рациональных чисел Q. 

Сумма двух рациональных чисел является рациональным числом.

Пример

  +  = . 

Разность двух рациональных чисел всегда будет рациональным числом.

Пример

1  —  = 1 .

Произведение двух рациональных чисел является рациональным числом.

Пример

— 5 х  = —  . 

Частное двух рациональных чисел также рациональное число. Исключением является деление на ноль.

Пример

 : 0,4 = .

Свойства действий с рациональными числами

Сложения рациональных чисел

a, b, c —  рациональные числа

1.       Переместительное: a + b = b + a.
2.       Сочетательное: а + (b + с) = (а + b) + с
3.       Прибавление нуля: а + 0 = а
4.       Сложение противоположных чисел: а +(-а) = 0

Пример

Найти значение выражения

— 3  — 2,29 + 5,45 — 1  + 2,29 — 14,45 =

(противоположные числа в сумме дают 0, дроби с разными знаменателями удобно объединить, а также отдельно выполнить действия с десятичными дробями. Для этого используем переместительный закон сложения)

= — 3  — 1  — 2,29 + 2,29 — 14,45 + 5,45 = — 4 — 9 = — 13 . 

Умножения рациональных чисел

Свойства умножения неотрицательных чисел справедливо и для любых рациональных чисел. 

a, b, c —  рациональные числа

1.       Переместительное:  а х b = b х а.  
2.       Сочетательное: а х (b х с) = (а х b) х с.
3.       Умножение на ноль: а х 0 = 0.
4.       Умножение на единицу: а х 1 = а.
5.       Умножение на обратное число: а х  = 1, если а  ≠0. 

Пример

Найти значение выражения

— 4 x 15 x 0,25 х (-3)

(количество минусов в произведении четное, поэтому результат будет положительным. Объединим пару чисел, которые легко перемножить 4 и 0,25, 3 и 15. Используя переместительное свойство можно переставить множители)

= 4 x 0,25 х 15 x (-3) = 1 x 45 = 45. 

Пример

Найти значение выражения

 x (- 6,98) x 0 х 312 х 5  = 0

(если один из множителей равен 0, то и произведение равно 0) 

Пример

Найти значение выражения

x (-0,25) x  x (- 40) =

(произведение обратных чисел равно единице. А умножение на единицу не меняет значение произведения)

=  х  х (-0,25) х (-40) = 10.

Распределительное свойство умножения относительно сложения для рациональных чисел.

Для любого рационального числа a, b и c верно равенство: (а + b) х с = ас + bс.  

Распределительное свойство умножения сохраняется и в обратную сторону: ас + bс = (а + b) х с.

Пример

Вычислить

— 12 х (- +  =  

(раскроем скобки используя распределительное свойство умножения, обрати внимание что перед скобками находится знак «-» который при раскрытии скобок меняет знак на противоположной)

= 12 х  — 12 х  = 9 – 8 = 1.

Пример

Вычислить

 х  +  х

(при вычислении удобно общий  множитель  вынести за скобку)

= х (  +  ) =  х  = .

Поделиться статьей в соцсетях

Остались вопросы?
Наши репетиторы помогут

Остались вопросы?

7.1: Рациональные и иррациональные числа

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

21734

• OpenStax
• OpenStax

Цели обучения

• Определение рациональных и иррациональных чисел
• Классифицировать различные типы действительных чисел

будь готов!

Прежде чем приступить к работе, пройдите этот тест на готовность.

1. Запишите 3.19 в виде неправильной дроби. Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 5.1.4.
2. Запишите \(\dfrac{5}{11}\) в виде десятичной дроби. Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 5.5.3.
3. Упрощение: \(\sqrt{144}\). Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 5.12.1.

Определение рациональных и иррациональных чисел

Поздравляем! Вы завершили первые шесть глав этой книги! Пришло время подвести итоги того, что вы уже сделали в этом курсе, и подумать о том, что впереди. Вы научились складывать, вычитать, умножать и делить целые числа, дроби, целые числа и десятичные дроби. Вы познакомились с языком и символами алгебры, упростили и оценили алгебраические выражения. Вы решили множество различных типов приложений. Вы заложили хорошую прочную основу, необходимую для достижения успеха в алгебре.

В этой главе мы проверим ваши навыки. Мы еще раз взглянем на типы чисел, с которыми мы работали во всех предыдущих главах. Мы будем работать со свойствами чисел, которые помогут вам улучшить ваше чувство числа. И мы попрактикуемся в их использовании так, как будем использовать при решении уравнений и других алгебраических процедурах.

Мы уже описали числа как счетные числа, целые числа и целые числа. Вы помните, в чем разница между этими типами чисел?

счет чисел	1, 2, 3, 4…
целые числа	0, 1, 2, 3, 4…
целых	…−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4…

Рациональные числа

Какие числа вы бы получили, если бы начали со всех целых чисел, а затем включили все дроби? Числа, которые вы получили бы, образуют множество рациональных чисел. А рациональное число — это число, которое можно записать как отношение двух целых чисел.

Определение: рациональные числа

Рациональное число — это число, которое можно записать в виде \(\dfrac{p}{q}\), где p и q — целые числа, а q ≠ 0.

Все дроби, как положительные, так и отрицательные, являются рациональными числами. Вот несколько примеров:

\[\dfrac{4}{5}, — \dfrac{7}{8}, \dfrac{13}{4},\; и\; — \dfrac{20}{3}\]

Каждый числитель и каждый знаменатель являются целыми числами.

Нам нужно просмотреть все числа, которые мы использовали до сих пор, и убедиться, что они рациональны. Определение рациональных чисел говорит нам, что все дроби рациональны. Теперь мы рассмотрим счетные числа, целые числа, целые числа и десятичные дроби, чтобы убедиться, что они рациональны.

Являются ли целые числа рациональными числами? Чтобы решить, является ли целое число рациональным, мы пытаемся записать его как отношение двух целых чисел. Самый простой способ сделать это — записать дробь со знаменателем один.

\[3 = \dfrac{3}{1} \quad -8 = \dfrac{-8}{1} \quad 0 = \dfrac{0}{1}\]

Поскольку можно записать любое целое число как отношение двух целых чисел, все целые числа являются рациональными числами. Помните, что все счетные числа и все целые числа тоже целые, а значит, они тоже рациональны.

Как насчет десятичных знаков? Являются ли они рациональными? Давайте рассмотрим несколько, чтобы увидеть, можем ли мы записать каждое из них как отношение двух целых чисел. Мы уже видели, что целые числа являются рациональными числами. Целое число -8 можно записать как десятичное число -8,0. Итак, ясно, что некоторые десятичные дроби рациональны.

Подумайте о десятичной дроби 7.3. Можем ли мы записать это как отношение двух целых чисел? Поскольку 7.3 означает \(7 \dfrac{3}{10}\), мы можем записать это как неправильную дробь, \(7 \dfrac{3}{10}\). Итак, 7,3 — это отношение целых чисел 73 и 10. Это рациональное число.

Обычно любое десятичное число, которое заканчивается после нескольких цифр (например, 7,3 или −1,2684), является рациональным числом. Мы можем использовать обратное (или мультипликативное обратное) значение места последней цифры в качестве знаменателя при записи десятичной дроби.

Пример \(\PageIndex{1}\):

Запишите каждое как отношение двух целых чисел: (a) −15 (b) 6,81 (c) \(−3 \dfrac{6}{7}\) .

Решение

(a) −15

Запишите целое число в виде дроби со знаменателем 1.

$$\dfrac{-15}{1}$$

(б) 6,81

Запишите десятичную дробь как смешанное число.	$$6 \dfrac{81}{100}$$
Затем преобразуйте его в неправильную дробь.	$$\dfrac{681}{100}$$

(c) \(−3 \dfrac{6}{7}\)

Преобразуйте смешанное число в неправильную дробь.

$$- \dfrac{27}{7}$$

Упражнение \(\PageIndex{1}\):

Запишите каждое как отношение двух целых чисел: (a) −24 (b) 3,57.

Ответить на

\(\frac{-24}{1}\)

Ответ б

\(\frac{357}{100}\)

Упражнение \(\PageIndex{2}\):

Запишите каждое как отношение двух целых чисел: (a) −19 (b) 8. 41.

Ответить на

\(\frac{-19}{1}\)

Ответ б

\(\frac{841}{100}\)

Давайте посмотрим на десятичную форму чисел, которые, как мы знаем, являются рациональными. Мы видели, что каждое целое число является рациональным числом, поскольку a = \(\dfrac{a}{1}\) для любого целого числа, a. Мы также можем преобразовать любое целое число в десятичное, добавив десятичную точку и ноль.

\[\begin{split} Целое число \qquad &-2,\quad -1,\quad 0,\quad 1,\; \; 2,\; 3 \\ Decimal \qquad &-2.0, -1.0, 0.0, 1.0, 2.0, 3.0 \end{split}\]

Эти десятичные числа останавливаются.

Мы также видели, что каждая дробь является рациональным числом. Посмотрите на десятичную форму дробей, которые мы только что рассмотрели.

\[\begin{split} Ratio\; из\; Целые числа \qquad \dfrac{4}{5},\quad -\dfrac{7}{8},\quad \dfrac{13}{4},\;&- \dfrac{20}{3} \\ Decimal \; формы \qquad 0.8, -0. 875, 3.25, &-6.666 \ldots \\ &-6.\overline{66} \end{split}\]

Эти десятичные дроби либо останавливаются, либо повторяются.

О чем говорят вам эти примеры? Каждое рациональное число можно записать как в виде отношения целых чисел, так и в виде десятичной дроби, которая либо останавливается, либо повторяется. В таблице ниже показаны числа, которые мы рассмотрели, выраженные в виде отношения целых чисел и десятичных дробей.

Рациональные числа
	Дроби	Целые числа
Номер	$$\dfrac{4}{5}, — \dfrac{7}{8}, \dfrac{13}{4}, \dfrac{-20}{3}$$	$$-2, -1, 0, 1, 2, 3$$
Отношение целого числа	$$\dfrac{4}{5}, \dfrac{-7}{8}, \dfrac{13}{4}, \dfrac{-20}{3}$$	$$\dfrac{-2}{1}, \dfrac{-1}{1}, \dfrac{0}{1}, \dfrac{1}{1}, \dfrac{2}{1}, \dfrac{3}{1}$$
Десятичное число	$$0,8, -0,875, 3,25, -6. \overline{6}$$	$$-2.0, -1.0, 0.0, 1.0, 2.0, 3.0$$

Иррациональные числа

Существуют ли десятичные дроби, которые не заканчиваются и не повторяются? Да. Число \(\pi\) (греческая буква pi, произносится как «пирог»), которое очень важно для описания кругов, имеет десятичную форму, которая не заканчивается и не повторяется.

\[\pi = 3.141592654 \ldots \ldots\]

Точно так же десятичные представления квадратных корней целых чисел, которые не являются полными квадратами, никогда не останавливаются и никогда не повторяются. Например,

\[\sqrt{5} = 2,236067978 \ldots \ldots\]

Десятичное число, которое не заканчивается и не повторяется, не может быть записано как отношение целых чисел. Мы называем этот вид числа иррациональным числом .

Определение: иррациональное число

Иррациональное число — это число, которое нельзя записать как отношение двух целых чисел. Его десятичная форма не прерывается и не повторяется.

Давайте суммируем метод, который мы можем использовать, чтобы определить, является ли число рациональным или иррациональным.

Если десятичная форма числа

• останавливается или повторяется, число является рациональным.
• не останавливается и не повторяется, число иррациональное.

Пример \(\PageIndex{2}\):

Определите каждое из следующих значений как рациональное или иррациональное: (a) 0,58\(\overline{3}\) (b) 0,475 (c) 3,605551275…

Решение

(a) 0,58\(\overline{3}\)

Полоса над цифрой 3 означает, что это повторяется. Следовательно, 0,583 — это повторяющаяся десятичная дробь, а значит, рациональное число.

(b) 0,475

Это десятичное число заканчивается после 5, поэтому это рациональное число.

(c) 3.605551275…

Многоточие (…) означает, что этот номер не заканчивается. Нет повторяющегося набора цифр. Поскольку число не останавливается и не повторяется, оно иррационально.

Упражнение \(\PageIndex{3}\):

Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное: (a) 0,29 (b) 0,81\(\overline{6}\) (c) 2,515115111…

Ответьте на

рациональный

Ответ б

рациональный

Ответ c

иррациональный

Упражнение \(\PageIndex{4}\):

Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное: (a) 0,2\(\overline{3}\) (b) 0,125 (c) 0,418302…

Ответьте на

рациональный

Ответ б

рациональный

Ответ c

иррациональный

Давайте теперь подумаем о квадратных корнях. Квадратные корни из полных квадратов всегда являются целыми числами, поэтому они рациональны. Но десятичные формы квадратных корней чисел, которые не являются идеальными квадратами, никогда не останавливаются и никогда не повторяются, поэтому эти квадратные корни иррациональны.

Пример \(\PageIndex{3}\):

Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное: (a) 36 (b) 44

Решение

(a) Число 36 является полным квадратом, так как 6 ² = 36. Таким образом, \(\sqrt{36}\) = 6. Следовательно, \(\sqrt{36}\) равно рациональный.

(b) Помните, что 6 ² = 36 и 7 ² = 49, поэтому 44 не является полным квадратом. Это означает, что \(\sqrt{44}\) иррационально.

Упражнение \(\PageIndex{5}\):

Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное: (a) \(\sqrt{81}\) (b) \(\sqrt{17}\)

Ответ

рациональный

Ответ б

иррациональный

Упражнение \(\PageIndex{6}\):

Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное: (a) \(\sqrt{116}\) (b) \(\sqrt{121}\)

Ответить на

иррациональный

Ответ б

рациональный

Классификация действительных чисел

Мы видели, что все счетные числа являются целыми числами, все целые числа являются целыми числами и все целые числа являются рациональными числами. Иррациональные числа представляют собой отдельную категорию. Когда мы сложим вместе рациональные и иррациональные числа, мы получим набор из действительных чисел . На рисунке \(\PageIndex{1}\) показано, как связаны наборы чисел.

Рисунок \(\PageIndex{1}\) — эта диаграмма иллюстрирует отношения между различными типами действительных чисел.

Определение: Действительные числа

Действительные числа — это числа, которые являются либо рациональными, либо иррациональными.

Вам не кажется странным термин «действительные числа»? Существуют ли числа, которые не являются «настоящими», и если да, то какими они могут быть? На протяжении веков единственными числами, о которых люди знали, были те, которые мы сейчас называем реальными числами. Затем математики открыли множество мнимых чисел . В этом курсе вы не столкнетесь с мнимыми числами, но вы столкнетесь с ними позже, изучая алгебру.

Пример \(\PageIndex{4}\):

Определите, является ли каждое из чисел в следующем списке (a) целым числом, (b) целым числом, (c) рациональным числом, (d) иррациональным числом, и (e) действительное число.

\[−7, \dfrac{14}{5}, 8, \sqrt{5}, 5.9, − \sqrt{64}\]

Решение

1. Целые числа 0, 1, 2, 3,… Число 8 — единственное целое число.
2. Целые числа — это целые числа, их противоположности и 0. Из заданных чисел −7 и 8 — целые числа. Также обратите внимание, что 64 — это квадрат числа 8, поэтому \(− \sqrt{64}\) = −8. Таким образом, целые числа равны −7, 8, \(− \sqrt{64}\).
3. Поскольку все целые числа рациональны, числа −7, 8 и \(− \sqrt{64}\) также рациональны. Рациональные числа также включают дроби и десятичные дроби, которые заканчиваются или повторяются, поэтому \(\dfrac{14}{5}\) и 5,9 являются рациональными.
4. Число 5 не является полным квадратом, поэтому \(\sqrt{5}\) иррационально.
5. Все указанные номера действительны.

Сведем результаты в таблицу.

Номер	Целых	Целое число	Рационал	Иррациональный	Реальный
-7		\(\галочка\)	\(\галочка\)		\(\галочка\)
\(\dfrac{14}{5}\)			\(\галочка\)		\(\галочка\)
8	\(\галочка\)	\(\галочка\)	\(\галочка\)		\(\галочка\)
\(\sqrt{5}\)				\(\галочка\)	\(\галочка\)
5,9			\(\галочка\)		\(\галочка\)
\(- \sqrt{64}\)		\(\галочка\)	\(\галочка\)		\(\галочка\)

Упражнение \(\PageIndex{7}\):

Определите, является ли каждое число (a) целым числом, (b) целым числом, (c) рациональным числом, (d) иррациональным числом и (e) действительным числом: −3, \(− \sqrt{2}, 0. \overline{3}, \dfrac{9}{5}\), 4, \(\sqrt{49}\).

Ответить

Номер	Целиком	Целое число	Рационал	Иррациональный	Реальный
-3		\(\галочка\)	\(\галочка\)		\(\галочка\)
\(-\sqrt{2}\)				\(\галочка\)	\(\галочка\)
\(0. \overline{3}\)			\(\галочка\)		\(\галочка\)
\(\dfrac{9}{5}\)			\(\галочка\)		\(\галочка\)
\(4\)	\(\галочка\)	\(\галочка\)	\(\галочка\)		\(\галочка\)
\(\sqrt{49}\)	\(\галочка\)	\(\галочка\)	\(\галочка\)		\(\галочка\)

Упражнение \(\PageIndex{8}\):

Определите, является ли каждое число (a) целым числом, (b) целым числом, (c) рациональным числом, (d) иррациональным числом и (e) действительным числом: \(− \sqrt{25}, − \dfrac {3}{8}\), −1, 6, \(\sqrt{121}\), 2,041975…

Ответ

Номер	Целиком	Целое число	Рационал	Иррациональный	Реальный
\(- \sqrt{25}\)		\(\галочка\)	\(\галочка\)		\(\галочка\)
\(-\dfrac{3}{8}\)			\(\галочка\)		\(\галочка\)
\(-1\)		\(\галочка\)	\(\галочка\)		\(\галочка\)
\(6\)	\(\галочка\)	\(\галочка\)	\(\галочка\)		\(\галочка\)
\(\sqrt{121}\)	\(\галочка\)	\(\галочка\)	\(\галочка\)		\(\галочка\)
\(2. 041975…\)				\(\галочка\)	\(\галочка\)

ДОСТУП К ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ ОНЛАЙН-РЕСУРСАМ

Наборы действительных чисел

Вещественные числа

Практика делает совершенным

Рациональные числа

В следующих упражнениях запишите как отношение двух целых чисел.

1. (а) 5 (б) 3,19
2. (а) 8 (б) −1,61
3. (а) −12 (б) 9,279
4. (а) −16 (б) 4,399

В следующих упражнениях определите, какие из данных чисел рациональны, а какие иррациональны.

5. 0,75, 0,22\(\overline{3}\), 1,39174…
6. 0,36, 0,94729…, 2,52\(\overline{8}\)
7. 0.\(\overline{45}\), 1,919293…, 3,59
8. 0,1\(\над чертой{3}\), 0,42982…, 1,875

В следующих упражнениях определите, является ли каждое число рациональным или иррациональным.

9. (а) 25 (б) 30
10. (а) 44 (б) 49
11. (а) 164 (б) 169
12. (а) 225 (б) 216

Классификация действительных чисел

В следующих упражнениях определите, является ли каждое число целым, целым, рациональным, иррациональным и действительным.

13. −8, 0, 1,95286…., \(\dfrac{12}{5}, \sqrt{36}\), 9
14. −9 , \(−3 \dfrac{4}{9}, − \sqrt{9}, 0,4\overline{09}, \dfrac{11}{6}\), 7
15. \(− \sqrt{100}\), −7, \(− \dfrac{8}{3}\), −1, 0,77, \(3 \dfrac{1}{4}\)

Математика на каждый день

16. Экскурсия Все пятиклассники начальной школы Линкольна отправятся на экскурсию в музей науки. С учетом всех детей, учителей и воспитателей будет 147 человек. В каждом автобусе по 44 человека.
    1. Сколько потребуется автобусов?
    2. Почему ответ должен быть целым числом?
    3. Почему нельзя округлить ответ обычным способом?
17. Уход за детьми Серена хочет открыть лицензированный детский сад. Ее штат требует, чтобы на каждого учителя приходилось не более 12 детей. Она хотела бы, чтобы ее детский сад обслуживал 40 детей.
    1. Сколько учителей потребуется?
    2. Почему ответ должен быть целым числом?
    3. Почему нельзя округлить ответ обычным способом?

Письменные упражнения

18. Своими словами объясните разницу между рациональным числом и иррациональным числом.
19. Объясните, как наборы чисел (счетные, целые, целые, рациональные, иррациональные, действительные) связаны друг с другом.

Самопроверка

(a) После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в выполнении целей этого раздела.

(b) Если большинство ваших чеков:

…уверенно. Поздравляем! Вы достигли целей в этом разделе. Подумайте об учебных навыках, которые вы использовали, чтобы вы могли продолжать их использовать. Что вы сделали, чтобы обрести уверенность в своих способностях делать эти вещи? Быть конкретным.

…с некоторой помощью. Это нужно решать быстро, потому что темы, которые вы не осваиваете, становятся выбоинами на вашем пути к успеху. В математике каждая тема основывается на предыдущей работе. Прежде чем двигаться дальше, важно убедиться, что у вас есть прочная основа. Кого можно попросить о помощи? Ваши одноклассники и преподаватель являются хорошими ресурсами. Есть ли в кампусе место, где есть репетиторы по математике? Можно ли улучшить свои учебные навыки?

… нет, я не понимаю! Это предупреждающий знак, и вы не должны его игнорировать. Вы должны немедленно обратиться за помощью, иначе вы быстро будете поражены. Как можно скорее обратитесь к инструктору, чтобы обсудить вашу ситуацию. Вместе вы можете придумать план, как получить необходимую вам помощь.

Авторы и авторство

Шаблон:HypTest

---

Эта страница под названием 7.1: Рациональные и иррациональные числа распространяется по незаявленной лицензии и была создана, изменена и/или курирована OpenStax.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   ОпенСтакс

   Встроить Hypothes.is?

   да

   Показать страницу TOC

   нет

   Включено

   да

2. Теги

   1. исходная математика-5033

Рациональные числа — OeisWiki

Эта статья требует доработки.

Пожалуйста, помогите, расширив его!

Рациональные числа — это числа, которые можно представить как отношение двух целых чисел. Если

и

B , B ≠ 0,

— оба целых числа, затем их соотношение, деновое, как

или

9097, это ravity №

или

9097, это ravity. Например, дробь 

и целое число 

являются рациональными числами.

, с другой стороны, не является рациональным числом.

Рациональные числа, являющиеся алгебраическими числами степени 1, являются корнями непостоянного линейного уравнения с целыми коэффициентами

a1x + a0 = 0, {\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle {a_ {1} x + a_ {0} = 0,} \ end {array}}}

где 

a 1, a 0 ∈ ℤ, a 1   ≥   1.

Рациональные числа, обозначаемые  

, представляют собой числа, которые могут быть выражены в сокращенной форме как отношение двух взаимно простых целых чисел или, точнее, как деление целого числа, называемого числителем, на положительное целое число, называемое знаменателем. Дана дробь, как 

NUMERATOR ЗНАКАТОР

.

Содержание

• 1 Целые рациональные числа
• 2 Основание b расширения рациональных чисел
  • 2.1 Двойное представление и стандартная форма
• 3 Основание b расширения иррациональных чисел
• 4 Непрерывные дроби для рациональных чисел
• 5 Градуированные упорядочения рациональных чисел
• 6 Гипотеза Шинцеля
• 7 Рациональные числа среди алгебраических чисел
• 8 См. также
• 9 Примечания

Целые рациональные числа

Целые рациональные числа (целые алгебраические числа степени 1) являются нулями линейного унитарного многочлена с целыми коэффициентами

х + а0, {\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle {x + a_ {0} {\! \, \!},} \ end {array}}}

где 

a 0 ∈ ℤ

. Это обычные целые числа (т. е. члены  

 ).

Основание

b расширения рациональных чисел

Основание 

расширений рациональных чисел в конечном счете периодично, например (см. 

приближений)

227=3+17=3+1428579{n},\quad \vert r\vert <1.}\end{array}}}

Длинное деление дает указанное выше десятичное разложение, хотя без явного акцента на геометрическом ряду, участвующем в десятичном разложении.

И наоборот, любое число 

n = a.bcccccc…

с периодическим представлением, где 

— предпериодический префикс, а 

— рациональный паттерн. Например, в базе 10 (тот же принцип работает в любой фиксированной базе 

):

90n = 100n−10n = abc.ccccc … −ab.cccccc … = abc−ab, {\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle {90n = 100n-10n = {\ mbox{abc.ccccc…}}-{\mbox{ab.cccccc…}}={\mbox{abc}}-{\mbox{ab}},}\end{массив}}}

таким образом 

является следующим рациональным числом

n = abc−ab90. {\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle {n = {\ frac {{\ mbox {abc}} — {\ mbox {ab}}} {90}} .}\end{массив}}}

Двойное представление и стандартная форма

Любое рациональное число, знаменатель которого не взаимно прост с фиксированным основанием 

, используемым для представления, имеет два представления, благодаря тому, что 

1 = 1,00000000… = 0,9999999999…

любая база 

). Учитывая 

n = 0,9999999…

подразумевает

9n = 10n−n = 9,99999999… −0,99999999… = 9, {\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle {9n=10n-n=9.99999999\ldots -0.99999999\ldots =9,}\end{массив}}}

таким образом

n = 1. {\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle {n = 1.} \ end {array}}}

Стандартная форма по основанию  

расширений рациональных чисел требует сохранения только представления повторяющихся нулей (и отбрасывания представления повторяющихся девяток).

Основание

b расширения иррациональных чисел

Разложения иррациональных чисел никогда не бывают периодическими ни по одному основанию.

, приблизительно 

3,1415926535897932384626433832795…

, не является рациональным числом и, следовательно, иррациональным. Но существует множество рациональных [[пи приближений|

приближения]] и единственное оптимальное 

приближение, [[pi convergents|

подходящие]] (частичные [[Непрерывные дроби для пи|непрерывные дроби для 

]]).

Непрерывные дроби для рациональных чисел

Все непрерывные дроби для рациональных чисел конечны (см. Категория: Непрерывные дроби для рациональных чисел).

Градуированные упорядочения рациональных чисел

The rational numbers (in reduced form) 

, a ∈ ℤ , b ∈ ℤ+ ,

may be sorted with a graded ordering, where we first order by increasing sum 

| и  | + | б  |

абсолютных значений числителя и знаменателя для всех рациональных чисел приведенной формы, т. е. с 

НОД(числитель, знаменатель) = 1

(первая градация по порядку) числителей 

соответствующих этому классу. Это канторовское упорядочивание рациональных чисел, дающее взаимно-однозначное отображение натуральных чисел в рациональные числа, тем самым показывая, что рациональные числа счетно бесконечны.

Гипотеза Шинцеля

Предполагая гипотезу Шинцеля-Серпинского, каждое положительное рациональное число можно представить бесконечным числом способов как

ab = p + 1q + 1 {\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle {{\ frac {a} {b}} = {\ frac {p + 1} {q + 1}} }\end{массив}}}

и

ab = p-1q-1, {\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle {{\ frac {a} {b}} = {\ frac {p-1} {q-1} },}\end{массив}}}

с 

и 

премьер.