Решение системы из двух однородных диофантовых уравнений
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Частное решение.
Автоматический расчет матрицы решений.
Это свободные члены и они нам пока мешаются.
Угол между ними.
Матрица смежности онлайнОбщий делитель и кратное (НОД и НОК): онлайн калькулятор
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное — ключевые арифметические понятия, которые позволяют без усилий оперировать обыкновенными дробями.
НОК и НОД чаще всего используются для поиска общего знаменателя нескольких дробей.
Основные понятия
Делитель целого числа X — это другое целое число Y, на которое X разделяется без остатка. К примеру, делитель 4 — это 2, а 36 — 4, 6, 9. Кратное целого X — это такое число Y, которое делится на X без остатка. К примеру, 3 кратно 15, а 6 — 12.
Для любой пары чисел мы можем найти их общие делители и кратные. К примеру, для 6 и 9 общим кратным является 18, а общим делителем — 3. Очевидно, что делителей и кратных у пар может быть несколько, поэтому при расчетах используется наибольший делитель НОД и наименьшее кратное НОК.
Наименьший делитель не имеет смысла, так как для любого числа это всегда единица. Наибольшее кратное также бессмысленно, так как последовательность кратных устремляется в бесконечность.
Нахождение НОД
Для поиска наибольшего общего делителя существует множество методов, самые известные из которых:
- последовательный перебор делителей, выбор общих для пары и поиск наибольшего из них;
- разложение чисел на неделимые множители;
- алгоритм Евклида;
- бинарный алгоритм.
Сегодня в учебных заведениях наиболее популярными являются методы разложения на простые множители и алгоритм Евклида. Последний в свою очередь используется при решении диофантовых уравнений: поиск НОД требуется для проверки уравнения на возможность разрешения в целых числах.
Нахождение НОК
Наименьшее общее кратное точно также определяется последовательным перебором или разложением на неделимые множители. Кроме того, легко найти НОК, если уже определен наибольший делитель. Для чисел X и Y НОК и НОД связаны следующим соотношением:
НОК (X,Y) = X × Y / НОД(X,Y).
Например, если НОД(15,18) = 3, то НОК(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Наиболее очевидный пример использования НОК — поиск общего знаменателя, который и является наименьшим общим кратным для заданных дробей.
Взаимно простые числа
Если у пары чисел нет общих делителей, то такая пара называется взаимно простой. НОД для таких пар всегда равен единице, а исходя из связи делителей и кратных, НОК для взаимно простых равен их произведению.
К примеру, числа 25 и 28 взаимно просты, ведь у них нет общих делителей, а НОК(25, 28) = 700, что соответствует их произведению. Два любых неделимых числа всегда будут взаимно простыми.
Калькулятор общего делителя и кратного
При помощи нашего калькулятора вы можете вычислить НОД и НОК для произвольного количества чисел на выбор. Задания на вычисление общих делителей и кратных встречаются в арифметике 5, 6 класса, однако НОД и НОК — ключевые понятия математики и используются в теории чисел, планиметрии и коммуникативной алгебре.
Примеры из реальной жизни
Общий знаменатель дробей
Наименьшее общее кратное используется при поиске общего знаменателя нескольких дробей. Пусть в арифметической задаче требуется суммировать 5 дробей:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Для сложения дробей выражение необходимо привести к общему знаменателю, что сводится к задаче нахождения НОК. Для этого выберите в калькуляторе 5 чисел и введите значения знаменателей в соответствующие ячейки.
Программа вычислит НОК (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Теперь необходимо вычислить дополнительные множители для каждой дроби, которые определяются как соотношение НОК к знаменателю. Таким образом, дополнительные множители будут выглядеть как:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
После этого умножаем все дроби на соответствующий дополнительный множитель и получаем:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Такие дроби мы можем легко суммировать и получить результат в виде 159/360. Сокращаем дробь на 3 и видим окончательный ответ — 53/120.
Решение линейных диофантовых уравнений
Линейные диофантовы уравнения — это выражения вида ax + by = d. Если отношение d / НОД(a, b) есть целое число, то уравнение разрешимо в целых числах. Давайте проверим пару уравнений на возможность целочисленного решения. Сначала проверим уравнение 150x + 8y = 37. При помощи калькулятора находим НОД (150,8) = 2. Делим 37/2 = 18,5.
Число не целое, следовательно, уравнение не имеет целочисленных корней.
Проверим уравнение 1320x + 1760y = 10120. Используем калькулятор для нахождения НОД(1320, 1760) = 440. Разделим 10120/440 = 23. В результате получаем целое число, следовательно, диофантово уравнение разрешимо в целых коэффициентах.
Заключение
НОД и НОК играют большую роль в теории чисел, а сами понятия широко используются в самых разных областях математики. Используйте наш калькулятор для расчета наибольших делителей и наименьших кратных любого количества чисел.
предмет, задачи, изучение, понятие, определения
Описание степенных функций: виды, свойства, графики
Формулы сокращенного умножения
Логарифмы — назначение и свойства, алгоритм решения задач с примерами
Серединный перпендикуляр — определение, свойства и формулы
Медиана — определение, свойства, как найти
Формулы площадей всех фигур
Ззамечательные точки треугольника — свойства, применение и примеры решения
Квадратные скобки в математике — значение, основные символы и примеры
Четные и нечетные числа — определение, признаки и свойства
Скалярное произведение векторов — свойства, формулы и примеры вычислений
Сумма кубов — формула, правило и примеры решения
Икосаэдр — понятие, свойства и структура двадцатигранника
Вячеслав Малых
Анастасия Ирлык
Умник Умников
Описание эксперта
Дмитрий Савельев
Тесты рубрики
- Тест на тему Знаки больше и меньше в математике 5 вопросов
- Тест на тему Задачи на движение для 4 класса 5 вопросов
- Тест на тему Что такое угол 5 вопросов
- Тест на тему Деление в столбик — подробное описание алгоритма решения задач, примеры 10 вопросов
- Тест на тему Вычитание дробей — правила и примеры с решениями 5 вопросов
- Тест на тему Модуль числа — свойства, действия, как решать уравнения и неравенства с модулем 10 вопросов
- Тест на тему Натуральные числа в математике — определение, свойства, примеры 10 вопросов
- Тест на тему Основные тригонометрические тождества 5 вопросов
Последние результаты тестов
С результатом 8 из 10
С результатом 8 из 10
С результатом 6 из 10
Предметы
Анатомия
Английский язык
Астрономия
Биографии
Биология
Бухгалтерия
География
Делопроизводство
Естествознание
Информатика
История
Кадровое дело
Карьера
Культурология
Литература
Маркетинг
Математика
Материаловедение
Менеджмент
ОБЖ
Обществознание
Окружающий мир
Педсовет
Подготовка к ЕГЭ
Политология
Помощь студенту
Правоведение
Психология
Родителям
Русский язык
Социология
Товароведение
Физика
Физкультура
Философия
Финансы и кредит
Химия
Черчение
Экология
Экономика
Настоящая школа — Решение квадратных уравнений онлайн 2022
x2 + x + = 0
Установить калькулятор на свой сайт
калькулятор квадратных уравнений онлайн, калькулятор квадратных уравнений по теореме виета, калькулятор квадратных уравнений с дробями, калькулятор квадратных уравнений с корнями, калькулятор квадратных уравнений на питоне, калькулятор квадратных уравнений с комплексными числами, решение квадратных уравнений алгоритм, решение квадратных уравнений а+b+c=0, решение квадратных уравнений алгебра 8 класс, решение квадратных уравнений без дискриминанта, решение квадратных уравнений без c, решение квадратных уравнений с большими коэффициентами, решение квадратных уравнений с буквами, калькулятор биквадратных уравнений, калькулятор квадратных уравнений виета, решение квадратных уравнений в excel, решение квадратных уравнений в комплексных числах, решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена, решение квадратных уравнений виета, решение квадратных уравнений в питоне, решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел, решение квадратных уравнений в паскале, в квадрате калькулятор, решение квадратных уравнений калькулятор, онлайн калькулятор квадратных уравнений, решение квадратных уравнений графически, решение квадратных уравнений графическим способом онлайн, решение квадратных уравнений геометрическим способом, решение квадратных уравнений методом группировки, графический калькулятор квадратных уравнений на python и tkinter, гугл калькулятор квадратных уравнений, решение квадратных уравнений дискриминант, решение квадратных уравнений дискриминант равен 0, решение квадратных уравнений дискриминант онлайн, калькулятор квадратных дробных уравнений, решение квадратных дробных уравнений, решение квадратных диофантовых уравнений онлайн, решение квадратных уравнений с двумя неизвестными, онлайн калькулятор для квадратных уравнений, калькулятор квадратных уравнений с дискриминантом, решение квадратных уравнений если b четное, решение квадратных уравнений если дискриминант равен нулю, калькулятор уравнений квадратных, решение квадратных уравнений в маткаде, решение квадратных уравнений в комплексных числах онлайн, решение квадратных уравнений в целых числах, решение квадратных уравнений задания, решение квадратных уравнений заменой, решение квадратных уравнений задачи, решение квадратных уравнений методом замены переменной, решение квадратных уравнений содержащих знак модуля, решение квадратных уравнений и неравенств, решение квадратных уравнений методом интервалов, решение квадратных уравнений полных и неполных, калькулятор линейных и квадратных уравнений, решение квадратных уравнений комплексных чисел, решение квадратных уравнений контрольная работа, решение квадратных уравнений конспект урока, решение квадратных уравнений как, решение квадратных уравнений контрольная, решение квадратных уравнений с комплексными числами, скачать калькулятор квадратных уравнений, калькулятор неполных квадратных уравнений, решение систем квадратных уравнений калькулятор, решение квадратных логарифмических уравнений, решение квадратных логарифмических уравнений онлайн, решение квадратных уравнений онлайн, онлайн калькулятор уравнений квадратных, решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата, решение квадратных уравнений методом разложения на множители, решение квадратных уравнений методом коэффициентов, решение квадратных уравнений методом переброски, решение квадратных уравнений маткад, решение квадратных уравнений методом подстановки, калькулятор квадратных уравнений с минусом, решение квадратных уравнений на множестве комплексных чисел, решение квадратных уравнений не через дискриминант, решение квадратных уравнений на паскале, решение квадратных уравнений на с++, решение квадратных уравнений неполных, решение квадратных уравнений на множестве комплексных чисел онлайн, задания на решение квадратных уравнений, задачи на решение квадратных уравнений, примеры на решение квадратных уравнений, решение квадратных уравнений онлайн с комплексными корнями, решение квадратных уравнений онлайн с минусом, решение квадратных уравнений онлайн по теореме виета, решение квадратных уравнений онлайн через дискриминант, решение квадратных уравнений объяснение, решение квадратных уравнений огэ, решение квадратных уравнений онлайн тест, решение квадратных уравнений по теореме виета, решение квадратных уравнений примеры, решение квадратных уравнений питон, решение квадратных уравнений презентация, решение квадратных уравнений паскаль, решение квадратных уравнений по коэффициентам, решение квадратных уравнений по фото, п-25 решение квадратных уравнений, решение квадратных уравнений разложение на множители, решение квадратных уравнений разными способами, решение квадратных уравнений решить, калькулятор квадратных уравнений с решением, решение квадратных уравнений самостоятельная работа, решение квадратных уравнений онлайн калькулятор, калькулятор квадратных уравнений с подробным решением, решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом, решение квадратных уравнений с модулем, с 25 решение квадратных уравнений, с-26 решение квадратных уравнений, решение квадратных уравнений теорема виета, решение квадратных уравнений тест, решение квадратных уравнений теорема виета онлайн, решение квадратных уравнений теория, решение квадратных уравнений тренажер, решение квадратных уравнений теоремы, решение квадратных тригонометрических уравнений, решение квадратных тригонометрических уравнений онлайн, решение квадратных уравнений.
урок 4 установи соответствие, решение квадратных уравнений. урок 5 установи соответствие, решение квадратных уравнений. урок 6 установи соответствие, решение квадратных уравнений. урок 6, решение квадратных уравнений. урок 7, решение квадратных уравнений. урок 4, решение квадратных уравнений. урок 3, решение квадратных уравнений урок, решение квадратных уравнений формулы, решение квадратных уравнений формула дискриминанта, решение квадратных уравнений по формуле 8 класс презентация, решение квадратных уравнений по формуле виета, решение квадратных уравнений по формуле корней, решение квадратных уравнений вывод формулы, формулы квадратных уравнений 8 класс, формула квадратных уравнений, c-25 решение квадратных уравнений, c-26 решение квадратных уравнений, калькулятор квадратных уравнений через дискриминант, решение квадратных уравнений через дискриминант, решение квадратных уравнений через дискриминант онлайн, решение квадратных уравнений через теорему виета, решение квадратных уравнений через коэффициент, решение квадратных уравнений через k, решение квадратных уравнений через дискриминант примеры, решение квадратных уравнений через комплексные числа, решение квадратных уравнений эксель, решение квадратных уравнений 10 класс, решение квадратных уравнений вариант 1, 1 квадратный метр калькулятор, решение квадратных уравнений с 2 переменными, решение квадратных уравнений с-25, решение квадратных уравнений 3 степени, калькулятор уравнений 3 класс, калькулятор уравнений 3 степени, решение квадратных уравнений 4 степени, решение квадратных уравнений.
урок 4 установите соответствие, калькулятор уравнений 4 класс, калькулятор уравнений 4 степени, 5 квадратных уравнений с решением, 5 квадратных уравнений, калькулятор уравнений 5 класс, 5 квадратных метров сколько см, решение квадратных уравнений 6 класс, решение квадратных уравнений. урок 6 из равенства, уравнение 6 класс калькулятор, 6 квадратных корней из 3, решение квадратных уравнений 7 класс, формулы квадратных уравнений 7 класс, калькулятор уравнений 7 класс, решение квадратных уравнений 8 класс, решение квадратных уравнений 8 класс презентация, решение квадратных уравнений 8 класс самостоятельная работа, решение квадратных уравнений 8 класс примеры, решение квадратных уравнений 8 класс видеоурок, решение неполных квадратных уравнений 8 класс, графическое решение квадратных уравнений 8 класс, тренажер решение квадратных уравнений 8 класс, 8 класс решение квадратных уравнений, решение квадратных уравнений 9 класс, квадратные уравнения примеры, квадратные уравнения онлайн, квадратные уравнения 8 класс, квадратные уравнения формулы, квадратные уравнения самостоятельная работа, квадратные уравнения примеры с ответами, квадратные уравнения через дискриминант, квадратные уравнения задания, квадратные уравнения алгебра 8 класс, квадратные уравнения алгоритм, квадратные уравнения а+b+c=0, квадратные уравнения алгебра, квадратные уравнения аналитические и аналитические методы решения, квадратные уравнения на английском, неполные квадратные уравнения алгоритм, решение квадратного уравнения ассемблер, а-8 квадратные уравнения, а что такое квадратные уравнения, а-8 к-5 квадратные уравнения, квадратные уравнения без с, квадратные уравнения без корней, квадратные уравнения бывают, квадратные уравнения без б, квадратные уравнения без дискриминанта, квадратные уравнения без корней примеры, квадратные уравнения с большими коэффициентами, дискриминант квадратного уравнения больше нуля, биквадратные уравнения, биквадратные уравнения 8 класс, биквадратные уравнения примеры, биквадратные уравнения задания, биквадратные уравнения самостоятельная работа, биквадратные уравнения калькулятор, биквадратные уравнения тренажер, биквадратные уравнения огэ, квадратные уравнения вариант 2, квадратные уравнения вариант 1, квадратные уравнения в каком классе, квадратные уравнения виды, квадратные уравнения видеоурок, квадратные уравнения виета, квадратные уравнения в древнем вавилоне, квадратные уравнения в трудах диофанта, в каком классе квадратные уравнения, квадратные уравнения в жизни, в каком классе учат квадратные уравнения, квадратные уравнения в комплексных числах, квадратные уравнения график, квадратные уравнения где дискриминант равен 0, квадратные уравнения гдз, квадратные уравнения графическое решение, коэффициенты квадратного уравнения график, готовые квадратные уравнения, гдз квадратные уравнения, где применяются квадратные уравнения, уравнения квадратные примеры, задачи квадратные уравнения, квадратные уравнения дискриминант, квадратные уравнения дискриминант примеры, квадратные уравнения для решения, квадратные уравнения дроби, квадратные уравнения дискриминант онлайн, квадратные уравнения для чайников, квадратные уравнения для 8 класса, квадратные уравнения доклад, дробные квадратные уравнения, дробные квадратные уравнения 8 класс, квадратные уравнения егэ, квадратные уравнения если дискриминант равен 0, квадратного уравнения если дискриминант равен нулю, квадратные уравнения и его корни, квадратные уравнения и его корни 8 класс, как решать квадратные уравнения если нет с, как решать квадратные уравнения если дискриминант отрицательный, квадратные уравнения с параметром егэ, квадратные уравнения excel, тема квадратные уравнения, квадратные уравнения с параметром, квадратные уравнения в реальной жизни, квадратные уравнения в повседневной жизни, квадратные уравнения в нашей жизни, квадратные уравнения задачи, квадратные уравнения задания с ответами, квадратные уравнения задания 8 класс, квадратные уравнения задачи повышенной сложности, квадратные уравнения задачи 8 класс, квадратные уравнения зачем нужны, задания квадратные уравнения, задачи квадратные уравнения 8 класс, задачи на квадратные уравнения с ответами, квадратные уравнения и неравенства, квадратные уравнения история, квадратные уравнения и их решения, квадратные уравнения и способы их решения, квадратные уравнения исследовательская работа, квадратные уравнения и графики, квадратные уравнения и его корни видеоурок, линейные и квадратные уравнения, комплексные числа и квадратные уравнения, квадратные уравнения урок, квадратные уравнения теория, квадратные уравнения решить, квадратные уравнения решать, уравнения квадратные онлайн, уравнения квадратные, квадратные уравнения как решать, квадратные уравнения калькулятор, квадратные уравнения контрольная работа, квадратные уравнения какой класс, квадратные уравнения карточки, квадратные уравнения комплексные числа, квадратные уравнения конспект, квадратные уравнения какие бывают, к-5 квадратные уравнения, квадратные уравнения легкие, квадратные логарифмические уравнения, квадратные линейные уравнения, квадратные уравнения в лазарусе, любые квадратные уравнения, легкие квадратные уравнения, квадратные уравнения с логарифмами, квадратные уравнения метод переброски, квадратные уравнения мерзляк, квадратные уравнения метод выделения полного квадрата, квадратные уравнения метод интервалов, квадратные уравнения метод, квадратные уравнения метод хорд, квадратные матричные уравнения, квадратные уравнения с модулем, м квадратные в метры, м квадратные в метры кубические, м квадратные в га, м квадратные в гектары, м квадратные в км квадратные, квадратные уравнения неполные, квадратные уравнения неполные примеры, квадратные уравнения неравенства, квадратные уравнения не имеющие корней, квадратные уравнения на питоне, квадратные уравнения на теорему виета, квадратные уравнения нахождение корней, не приведенные квадратные уравнения, сложные квадратные уравнения примеры, сложные квадратные уравнения, на квадратные ногти, квадратные уравнения огэ, квадратные уравнения основные понятия, квадратные уравнения онлайн тест, квадратные уравнения общего вида, квадратные уравнения объяснение, квадратные уравнения ответы, квадратные уравнения открытый урок, все о квадратных уравнениях, квадратные уравнения примеры с решением, квадратные уравнения примеры 8 класс, квадратные уравнения по теореме виета, квадратные уравнения презентация, квадратные уравнения примеры огэ, квадратные уравнения полные и неполные, примеры квадратные уравнения 8 класс, полные квадратные уравнения тренажер, полные квадратные уравнения примеры, полные квадратные уравнения 8 класс, квадратные уравнения решение, квадратные уравнения решение неполных квадратных уравнений, квадратные уравнения решу огэ, квадратные уравнения решение через дискриминант, квадратные уравнения раскрытие скобок, квадратные уравнения рэш, р квадрат, квадратные уравнения реферат, квадратные уравнения с ответами, квадратные уравнения самостоятельная работа с ответами, квадратные уравнения с решением, квадратные уравнения с комплексными числами, квадратные уравнения с дискриминантом, задачи с квадратными уравнениями, примеры с квадратными уравнениями, квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом, квадратные уравнения теорема виета, квадратные уравнения тренажер, квадратные уравнения тест, квадратные уравнения теорема виета примеры, квадратные уравнения теорема виета вариант 1 ответы, квадратные уравнения теорема виета самостоятельная работа, квадратные уравнения тест 8 класс, тест квадратные уравнения, таблица квадратных уравнений, тренажер квадратные уравнения с ответами, квадратные уравнения упражнения, квадратные уравнения урок 8 класс, квадратные уравнения урок презентация, когда у квадратного уравнения бесконечно много корней, квадратные уравнения формулы сокращенного умножения, квадратные уравнения формула дискриминанта, квадратные уравнения формула виета, квадратные уравнения формулы корней, квадратные уравнения фипи, квадратные уравнения фото, квадратного уравнения формула решение, формулы квадратные уравнения, формулы квадратных уравнений 8 класс, квадратные уравнения в химии, дискриминант квадратного уравнения х2+5х-6=0 равен, квадратные уравнения в трудах аль хорезми, х квадратного уравнения, x квадратного уравнения, квадратные уравнения с целыми корнями, квадратные уравнения через дискриминант примеры, квадратные уравнения через теорему виета, квадратные уравнения через k, квадратные уравнения через виета, квадратные уравнения что это, квадратные уравнения частные случаи, квадратные уравнения что такое, сложные квадратные уравнения с решением, квадратные уравнения со скобками, квадратные уравнения список, квадратные уравнения с одним корнем, квадратные уравнения с дробями, онлайн квадратные уравнения, квадратные уравнения в excel, квадратные уравнения в питоне, квадратные уравнения это, неполные квадратные уравнения это, квадратные уравнения в эксель, приведенные квадратные уравнения это, квадратные уравнения в экономике, полные квадратные уравнения это, не приведенные квадратные уравнения это, квадратные уравнения дискриминант это, ютуб квадратные уравнения, урок квадратные уравнения, урок квадратные уравнения 8 класс, квадратные уравнения якласс, квадратные уравнения является, неполные квадратные уравнения якласс, дискриминант квадратного уравнения якласс, коэффициенты квадратного уравнения якласс, корни квадратного уравнения якласс, графиком квадратного уравнения является парабола, якласс квадратные уравнения, квадратные уравнения d=0, квадратные уравнения дискриминант равен 0, квадратные уравнения с дискриминантом 0, квадратные уравнения дискриминант равен 0 примеры, квадратные уравнения x2-9=0, квадратные уравнения a+b+c=0, 0 в квадрате равен 1, 0 в квадрате, 0 в квадрате это, квадратные уравнения 11 класс, квадратные уравнения 10 класс, квадратные уравнения 1 вариант, квадратные уравнения 1 корень, квадратные уравнения примеры 10 класс, тренажер квадратные уравнения вариант 1 ответы, 1.
3.2 квадратные уравнения, 1.3.2 квадратные уравнения ответы, квадратные уравнения с 2 переменными, тренажер квадратные уравнения вариант 2, 2 квадратных уравнений, 2 формула квадратного уравнения, контрольная работа 2 квадратные уравнения, решите неполные квадратные уравнения 3×2-12=0, тренажер квадратные уравнения вариант 3, 3 квадратных уравнений, тест 3 квадратные уравнения вариант 1, глава 3 квадратные уравнения, 3 формулы квадратного уравнения, зачет номер 3 квадратные уравнения, контрольная работа 3 квадратные уравнения, квадратные уравнения 40 вариантов, квадратные уравнения с 4 степенью, дискриминант квадратного уравнения 4х2–5х+2=0 равен, тренажер квадратные уравнения вариант 4, тема 4 квадратные уравнения с-34, тест 4 квадратные уравнения вариант 1, тема 4 квадратные уравнения с-35, глава 4 квадратные уравнения, тема 4 квадратные уравнения с-33, тема 4 квадратные уравнения с-37, тема 4 квадратные уравнения с-39, контрольная работа 4 квадратные уравнения, квадратные уравнения 5 класс, корни квадратного уравнения 5x^2+20=0, квадратные уравнения контрольная работа 5, 5 квадратных уравнений, к-5 квадратные уравнения 8 класс, кр 5 квадратные уравнения ответы, к-5 квадратные уравнения вариант а2, контрольная работа 5 квадратные уравнения, квадратные уравнения 6 класс, контрольная работа номер 6 квадратные уравнения, квадратные уравнения 7 класс, квадратные уравнения 7 класс примеры, формула квадратного уравнения 7 класс, решение квадратного уравнения 7 класс, как решать квадратные уравнения 7 класс, алгебра 7 класс квадратные уравнения, квадратные уравнения 8 класс задания с ответами, квадратные уравнения 8 класс примеры, квадратные уравнения 8 класс самостоятельная работа, квадратные уравнения 8 класс примеры с ответами, квадратные уравнения 8 класс презентация, квадратные уравнения 8 класс контрольная работа, квадратные уравнения 8 класс как решать, 8 класс квадратные уравнения, 8 класс алгебра квадратные уравнения, квадратные уравнения 8 класс задания, квадратные уравнения 9 класс, квадратные уравнения 9 класс примеры, квадратные уравнения 9 класс огэ, квадратные уравнения 9 класс задания, неполные квадратные уравнения 9 класс, квадратные уравнения с параметром 9 класс, как решать квадратные уравнения 9 класс,
Ошибка этого доказательства заключается в том, что уравнение (б) отвечает лишь за само себя, а не за всю систему.
Для всей системы надо решить общее уравнение
Или же если вернуться к обозначению этого уравнения в величинах Х, У, Z
и т.д.
Но, алгоритм, был найден именно благодаря представленному “решению”.
Лично я могу вернуться к решению этого уравнения в осенне-зимний период.
Уравнение Пелля.
(1)
Рассмотрим 3 варианта:
— I Х — чётное число, У — нечётное число, n — нечётное число;
— II Х — нечётное число, У — нечётное число, n — чётное число;
— III Х — нечётное число, У — чётное число, n – любое, и чётное, и нечётное число.
И всегда Х > У
Вариант I.
Составим функциональное уравнение.
, где, конечно же, 1 > 2
Возьмём к = — 2,тогда
После преобразований
(2)
где ; .
Окончательно, после подстановки будет
, где n = 3, 15 . . . . .
Проверим при n = 3
а) ,
б) ,
Подставим (а) в уравнение (1)
Для случая Х = 2, У = 1, n = 3 будет
Подставим (б) в уравнение (1)
Для
Проверка даёт
Для
Проверка даёт
Составим
последующее функциональное уравнение.
После упрощения
где ,
После подстановки
Следующее функциональное уравнение примет вид
После упрощения
где ,
После подстановки
Получилась система бесконечных решений:
(3)
…………………………..
Вариант II.
Функциональное уравнение примет вид.
После преобразований будет
, где n чётные числа n = 8, 24 ……
Само же выражение идентично формуле (2).
Система
бесконечных решений примет вид системы (3).
Тогда система решений (3) будет общей для вариантов I и II при n – чётных и нечётных числах.
Вариант III.
Также напишем функциональное уравнение.
Опускаю все вычисления, — напишу окончательный результат:
…………………………..
Мне не приходилось встречать классического решения этого уравнения, — для меня это чистый экспромт. Специалисты могут сравнить.
Вообще же, этим методом решается любое уравнение вида:
,
а уравнение Пелля лишь как частный случай, при t = 2 и N = 1.
Уравнение
. (1)
(У2=Х3-Х, У2=Х3-Х+1, У2=Х3+аХ+В)
Рассмотрим 4 варианта:
— I У — нечётное число, Х — нечётное число, К — чётное число;
— II У — нечётное число, Х — чётное число, К — нечётное число;
— III У — чётное число, Х — чётное число, К — чётное число;
— IV У — чётное число, Х — нечётное число, К — нечётное
число.
Решение этого уравнения принципиально ни чем не отличается от решения уравнения Пелля, — в обоих уравнениях наличие двух переменных.
Вариант I.
Во всех четырёх вариантах У>Х, и следовательно 1>2
Тогда будет
(2)
Получилась система уравнений (1) и (2).
Хотя и без решения системы часть решений уже можно определить.
Рассмотрим частный случай уравнения (2) при m=1.
,при m≥1.
Т.к. K чётное число, тогда K=8, 24, 48, 80, 120, 168, 224, 288, 360 ….
Получится возрастающий ряд K.
Этому ряду K соответствует ряд разностей:
У—Х=2,
4, 6, 8, 10, 12 ….
при положительных значениях
радикала и
У—Х=-4, -6, -8, -10, -12 …. при отрицательных значениях радикала.
Рассмотрим четыре примера, взяв соответственно:
1) У—Х=2 K=8
2) У—Х=4 K=24
3) У—Х=6 K=48
4) У—Х=8 K=80
1) У=Х+2, подставим в уравнение (1) при K=8
Х1=1 Х2=2 Х3=-2
У1=3 У2=4 У3=0
K=8 K=8 K=8
2) У=Х+4
Х=1
У=5
K=24
3) У=Х+6
Х=1
У=7
K=48
4) У=Х+8
Х1=1 Х2=4 Х3=-4
У1=9 У2=12 У3=4
K=80 K=80 K=80
Вариант II.
(3)
Подставляем в (3), получаем
, m≥1.
При m=1 K примет значения –7, 1, 17, 41, 73, 113 ….;
Как и в предыдущем варианте получится возрастающий ряд K, и ему соответствует ряд разностей:
У—Х=-1, 1, 3, 5, 7, 9….; У—Х=-3, -5, -7, -9….
Вариант III.
После подстановки 1, 2, окончательно получим
, m≥1.
При m=1 K примет значения –4, 8, 28, 56 ….
Этому ряду K соответствует ряд разностей:
У—Х=0,
2, 4, 6….
; У—Х=-4,
-6, -8, -10….
Вариант IV.
, m≥1.
При m=1 K примет значения 3, 15, 35, 63, 99 ….
Этому ряду K соответствует ряд разностей:
У—Х=1, 3, 5, 7, 9 ….; У—Х=-3, -5, -7, -9, -11….
Уравнения У2=Х3-Х, У2=Х3-Х+1, У2=Х3+аХ+В и прочие уравнения эллиптических кривых познавательного интереса для данного алгоритма не представляют.
Повторяясь, скажу, важно лишь количество неизвестных. Поэтому распишу лишь первое из них.
— I У — чётное число, Х — нечётное число;
— II У — чётное число, Х — чётное число, всегда У > Х, и как
следствие 1>2.
Вариант I.
Т.к.
Тогда
После подстановки
Вариант II.
Сразу пишу ответ
И после всех преобразований и подстановок
Работа при исследовании уравнений данным алгоритмом достаточно монотонная.
Исследование уравнения проведено, кстати, не до конца.
Не рассмотрена ситуация У < Х.
Иррациональные корни уравнения
.
Известно, что данное
уравнение имеет иррациональные корни.
Но для решения, предположим, что уравнение
увидели впервые. И тогда начало решения
будет традиционным для данного алгоритма.
Рассмотрим 2 варианта:
— I Х — чётное число, У — нечётное число;
— II Х — нечётное число, У — чётное число.
Всегда Х > У
Вариант I.
Функциональное уравнение общего вида будет:
, где , (1)
Преобразования изображу подробно
(2)
В уравнении (1) ,
Тогда ,
Значения и подставим в формулу (2)
Исходное уравнение
запишем в виде
Тогда
До конца не преобразуя, оставляю решение в виде системы
(3)
Вариант II.
, где , (4)
Преобразования без комментариев.
(5)
В уравнении (4)
Тогда ,
Значения и подставим в формулу (5)
И сразу пишу систему решений
(6)
Итого: иррациональными решениями уравнения
являются две системы уравнений (3) и (6).
Отрицательные значения радикалов не рассматриваю.
Что наибольший общий делитель чисел. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Онлайн калькулятор
Главная > Идеи > Что наибольший общий делитель чисел.
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Онлайн калькулятор
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное — ключевые арифметические понятия, которые позволяют без усилий оперировать обыкновенными дробями. НОК и чаще всего используются для поиска общего знаменателя нескольких дробей.
Основные понятия
Делитель целого числа X — это другое целое число Y, на которое X разделяется без остатка. К примеру, делитель 4 — это 2, а 36 — 4, 6, 9. Кратное целого X — это такое число Y, которое делится на X без остатка. К примеру, 3 кратно 15, а 6 — 12.
Для любой пары чисел мы можем найти их общие делители и кратные. К примеру, для 6 и 9 общим кратным является 18, а общим делителем — 3. Очевидно, что делителей и кратных у пар может быть несколько, поэтому при расчетах используется наибольший делитель НОД и наименьшее кратное НОК.
Наименьший делитель не имеет смысла, так как для любого числа это всегда единица. Наибольшее кратное также бессмысленно, так как последовательность кратных устремляется в бесконечность.
Нахождение НОД
Для поиска наибольшего общего делителя существует множество методов, самые известные из которых:
- последовательный перебор делителей, выбор общих для пары и поиск наибольшего из них;
- разложение чисел на неделимые множители;
- алгоритм Евклида;
- бинарный алгоритм.
Сегодня в учебных заведениях наиболее популярными являются методы разложения на простые множители и алгоритм Евклида. Последний в свою очередь используется при решении диофантовых уравнений: поиск НОД требуется для проверки уравнения на возможность разрешения в целых числах.
Нахождение НОК
Наименьшее общее кратное точно также определяется последовательным перебором или разложением на неделимые множители. Кроме того, легко найти НОК, если уже определен наибольший делитель. Для чисел X и Y НОК и НОД связаны следующим соотношением:
НОК (X,Y) = X × Y / НОД(X,Y).
Например, если НОД(15,18) = 3, то НОК(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Наиболее очевидный пример использования НОК — поиск общего знаменателя, который и является наименьшим общим кратным для заданных дробей.
Взаимно простые числа
Если у пары чисел нет общих делителей, то такая пара называется взаимно простой. НОД для таких пар всегда равен единице, а исходя из связи делителей и кратных, НОК для взаимно простых равен их произведению. К примеру, числа 25 и 28 взаимно просты, ведь у них нет общих делителей, а НОК(25, 28) = 700, что соответствует их произведению. Два любых неделимых числа всегда будут взаимно простыми.
Калькулятор общего делителя и кратного
При помощи нашего калькулятора вы можете вычислить НОД и НОК для произвольного количества чисел на выбор. Задания на вычисление общих делителей и кратных встречаются в арифметике 5, 6 класса, однако НОД и НОК — ключевые понятия математики и используются в теории чисел, планиметрии и коммуникативной алгебре.
Примеры из реальной жизни
Общий знаменатель дробей
Наименьшее общее кратное используется при поиске общего знаменателя нескольких дробей. Пусть в арифметической задаче требуется суммировать 5 дробей:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Для сложения дробей выражение необходимо привести к общему знаменателю, что сводится к задаче нахождения НОК. Для этого выберите в калькуляторе 5 чисел и введите значения знаменателей в соответствующие ячейки. Программа вычислит НОК (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Теперь необходимо вычислить дополнительные множители для каждой дроби, которые определяются как соотношение НОК к знаменателю. Таким образом, дополнительные множители будут выглядеть как:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
После этого умножаем все дроби на соответствующий дополнительный множитель и получаем:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Такие дроби мы можем легко суммировать и получить результат в виде 159/360. Сокращаем дробь на 3 и видим окончательный ответ — 53/120.
Решение линейных диофантовых уравнений
Линейные диофантовы уравнения — это выражения вида ax + by = d. Если отношение d / НОД(a, b) есть целое число, то уравнение разрешимо в целых числах.
Давайте проверим пару уравнений на возможность целочисленного решения. Сначала проверим уравнение 150x + 8y = 37. При помощи калькулятора находим НОД (150,8) = 2. Делим 37/2 = 18,5. Число не целое, следовательно, уравнение не имеет целочисленных корней.
Проверим уравнение 1320x + 1760y = 10120. Используем калькулятор для нахождения НОД(1320, 1760) = 440. Разделим 10120/440 = 23. В результате получаем целое число, следовательно, диофантово уравнение разрешимо в целых коэффициентах.
Заключение
НОД и НОК играют большую роль в теории чисел, а сами понятия широко используются в самых разных областях математики. Используйте наш калькулятор для расчета наибольших делителей и наименьших кратных любого количества чисел.
Определение. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и b, называют наибольшим общим делителем (НОД) этих чисел.
Найдём наибольший общий делитель чисел 24 и 35.
Делителями 24 будут числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителями 35 будут числа 1, 5, 7, 35.
Видим, что числа 24 и 35 имеют только один общий делитель — число 1. Такие числа называют взаимно простыми .
Определение. Натуральные числа называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.
Наибольший общий делитель (НОД) можно найти, не выписывая всех делителей данных чисел.
Разложим на множители числа 48 и 36, получим:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Из множителей, входящих в разложение первого из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа
(т. е. две двойки).
Остаются множители 2 * 2 * 3. Их произведение равно 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.
Так же находят наибольший общий делитель трёх и более чисел.
Чтобы найти наибольший общий делитель
2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
3) найти произ ведение оставшихся множителей.
Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел.
Например, наибольшим общим делителем чисел 15, 45, 75 и 180 будет число 15, так как на него делятся все остальные числа: 45, 75 и 180.
Наименьшее общее кратное (НОК)
Определение. Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел а и Ь называют наименьшее натуральное число,
которое кратно и a, и b.
Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на
простые множители: 75 = 3 * 5 * 5, а 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел, и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения
второго числа (т.е. объединяем множители).
Получаем пять множителей 2 * 2 * 3 * 5 * 5, произведение которых равно 300. Это число является наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.
Так же находят наименьшее общее кратное для трёх и более чисел.
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4) найти произведение получившихся множителей.
Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных
чисел.
Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 и 60 будет число 60, так как оно делится на все данные числа.
Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа),
они называли совершенным числом. Например, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) совершенные. Следующие совершенные
числа — 496, 8128, 33 550 336. Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвёртое — 8128 — стало известно в I в. н. э.
Пятое — 33 550 336 — было найдено в XV в.
К 1983 г. было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор учёные не знают, есть ли
нечётные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.
Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде
произведения простых чисел, т. е. простые числа — это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.
Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно — в одних частях ряда их больше,
в других — меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: существует
ли последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э.) в своей книге «начала», бывшей на
протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т. е. за каждым простым числом
есть ещё большее простое число.
Для отыскания простых чисел другой греческий математик того же времени Эратосфен придумал такой способ.
Он записывал все числа
от 1 до какого-то числа, а потом вычёркивал единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычёркивал через
одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные 2, т. е. 4, 6, 8 и т. д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее
вычёркивались через два все числа, идущие после 3 (числа, кратные 3, т. е. 6, 9, 12 и т. д.). в конце концов оставались
невычеркнутыми только простые числа.
Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.
Например :
Число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;
Число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.
Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа . Делитель натурального числа a — это такое натуральное число, которое делит данное число a без остатка. Натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется составным . Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители.
Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Наибольший из делителей этих чисел — 12.
Общий делитель двух данных чисел a и b — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа a и b . Общий делитель нескольких чисел (НОД) — это число, служащее делителем для каждого из них.
Кратко наибольший общий делитель чисел a и b записывают так:
Пример : НОД (12; 36) = 12.
Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».
Пример:
НОД (7; 9) = 1
Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель — число 1. Такие числа называют взаимно простыми чи слами .
Взаимно простые числа — это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель — число 1. Их НОД равен 1.
Наибольший общий делитель (НОД), свойства.
- Основное свойство: наибольший общий делитель m и n делится на любой общий делитель этих чисел. Пример : для чисел 12 и 18 наибольший общий делитель равен 6; он делится на все общие делители этих чисел: 1, 2, 3, 6.
- Следствие 1: множество общих делителей m и n совпадает с множеством делителей НОД(m , n ).
- Следствие 2: множество общих кратных m и n совпадает с множеством кратных НОК (m , n ).
Это означает, в частности, что для приведения дроби к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на их НОД.
- Наибольший общий делитель чисел m и n может быть определён как наименьший положительный элемент множества всех их линейных комбинаций:
и поэтому представим в виде линейной комбинации чисел m и n :
Это соотношение называется соотношением Безу , а коэффициенты u и v — коэффициентами Безу . Коэффициенты Безу эффективно вычисляются расширенным алгоритмом Евклида. Это утверждение обобщается на наборы натуральных чисел — его смысл в том, что подгруппа группы , порождённая набором , — циклическая и порождается одним элементом: НОД (a 1 , a 2 , … , a n ).
Вычисление наибольшего общего делителя (НОД).
Эффективными способами вычисления НОД двух чисел являются алгоритм Евклида и бинарный алгоритм . Кроме того, значение НОД (m ,n ) можно легко вычислить, если известно каноническое разложение чисел m и n на простые множители:
где — различные простые числа, а и — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда НОД (m ,n ) и НОК (m ,n ) выражаются формулами:
Если чисел более двух: , их НОД находится по следующему алгоритму:
— это и есть искомый НОД.
Также, для того, чтобы найти наибольший общий делитель , можно разложить каждое из заданных чисел на простые множители . Потом выписать отдельно только те множители, которые входят во все заданные числа. Потом перемножаем между собой выписанные числа — результат перемножения и есть наибольший общий делитель.
Разберем пошагово вычисление наибольшего общего делителя:
1. Разложить делители чисел на простые множители:
Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных. Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64.
2. Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах:
28 = 2 . 2 . 7
64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
3. Находим произведение одинаковых простых множителей и записываем ответ:
НОД (28; 64) = 2 . 2 = 4
Ответ: НОД (28; 64) = 4
Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».
Первый способ записи НОД:
Найти НОД 48 и 36.
НОД (48; 36) = 2 . 2 . 3 = 12
Второй способ записи НОД:
Теперь запишем решение поиска НОД в строчку. Найти НОД 10 и 15.
Д (10) = {1, 2, 5, 10}
Д (15) = {1, 3, 5, 15}
Д (10, 15) = {1, 5}
Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b, называют наибольшим общим делителем этих чисел.
Обозначают НОД(a, b).
Рассмотрим нахождения НОД на примере двух натуральных чисел 18 и 60:
18 = 2 × 3 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
18 = 2 × 3 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
Разложим числа на простые множители:
324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
111 = 3 × 37
432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Вычеркнуть из первого числа, множители которых нету во втором и третьем числе, получим:
2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3
В результате НОД(324 , 111 , 432 )=3
Нахождение НОД с помощью алгоритма Евклида
Второй способ нахождения наибольшего общего делителя с помощью алгоритма Евклида .
Алгоритм Евклида является наиболее эффективным способом нахождения НОД , используя его нужно постоянно находить остаток от деления чисел и применять рекуррентную формулу .
Рекуррентная формула для НОД, НОД(a, b)=НОД(b, a mod b) , где a mod b — остаток от деления a на b.
Алгоритм Евклида
Пример Найти наибольший общий делитель чисел
7920 и 594Найдем НОД(7920 , 594 ) с помощью алгоритма Евклида, вычислять остаток от деления будем с помощью калькулятора.
- 7920 mod 594 = 7920 — 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 — 3 × 198 = 0
В результате получаем НОД(7920 , 594 ) = 198
Наименьшее общее кратное
Для того, чтобы находить общий знаменатель при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями необходимо знать и уметь рассчитывать наименьшее общее кратное (НОК).
Кратное числу « a » — это число, которое само делится на число « a » без остатка.
Числа кратные 8 (то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка): это числа 16, 24, 32 …
Кратные 9: 18, 27, 36, 45 …
Чисел, кратных данному числу a бесконечно много, в отличии от делителей этого же числа. Делителей — конечное количество.
Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело .
Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое само делится нацело на каждое из этих чисел.
Как найти НОК
НОК можно найти и записать двумя способами.
Первый способ нахождения НОК
Данный способ обычно применяется для небольших чисел.
- Выписываем в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое для обоих чисел.
- Кратное числа « a » обозначаем большой буквой «К».
Пример.
Найти НОК 6 и 8 .
Второй способ нахождения НОК
Этот способ удобно использовать, чтобы найти НОК для трёх и более чисел.
Количество одинаковых множителей в разложениях чисел может быть разное.
НОК (24, 60) = 2 · 2 · 3 · 5 · 2
Ответ: НОК (24, 60) = 120
Оформить нахождение наименьшего общего кратного (НОК) можно также следующим образом. Найдём НОК (12, 16, 24) .
24 = 2 · 2 · 2 · 3
Как видим из разложения чисел, все множители 12 вошли в разложение 24 (самого бóльшего из чисел), поэтому в НОК добавляем только одну 2 из разложения числа 16 .
НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48
Ответ: НОК (12, 16, 24) = 48
Особые случаи нахождения НОК
Например, НОК (60, 15) = 60
Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.
На нашем сайте вы также можете с помощью специального калькулятора найти наименьшее общее кратное онлайн, чтобы проверить свои вычисления.
Если натуральное число делится только на 1 и на само себя, то оно называется простым.
Любое натуральное число всегда делится на 1 и на само себя.
Число 2 — наименьшее простое число. Это единственное чётное простое число, остальные простые числа — нечётные.
Простых чисел много, и первое среди них — число 2 . Однако нет последнего простого числа. В разделе «Для учёбы» вы можете скачать таблицу простых чисел до 997 .
Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.
- число 12 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 ;
- число 36 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 , на 18 , на 36 .
- разложить делители чисел на простые множители;
Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа.
Делитель натурального числа a — это такое натуральное число, которое делит данное число « a » без остатка.
Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.
Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12 . Наибольший из делителей этих чисел — 12 .
Общий делитель двух данных чисел « a » и « b » — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа « a » и « b ».
Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел « a » и « b » — это наибольшее число, на которое оба числа « a » и « b » делятся без остатка.
Кратко наибольший общий делитель чисел « a » и « b » записывают так :
Пример: НОД (12; 36) = 12 .
Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».
Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель — число 1 . Такие числа называют взаимно простыми числами .
Взаимно простые числа — это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель — число 1 .
Их НОД равен 1 .
Как найти наибольший общий делитель
Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно:
Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных.
Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64 .
- Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах.
28 = 2 · 2 · 7
64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
Находим произведение одинаковых простых множителей и записать ответ;
НОД (28; 64) = 2 · 2 = 4
Ответ: НОД (28; 64) = 4
Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».
Первый способ записи НОД
Найти НОД 48 и 36 .
НОД (48; 36) = 2 · 2 · 3 = 12
Второй способ записи НОД
Теперь запишем решение поиска НОД в строчку. Найти НОД 10 и 15 .
На нашем информационном сайте вы также можете с помощью программы помощника найти наибольший общий делитель онлайн, чтобы проверить свои вычисления.
Нахождение наименьшего общего кратного, способы, примеры нахождения НОК.
Представленный ниже материал является логическим продолжением теории из статьи под заголовком НОК — наименьшее общее кратное, определение, примеры, связь между НОК и НОД. Здесь мы поговорим про нахождение наименьшего общего кратного (НОК) , и особое внимание уделим решению примеров. Сначала покажем, как вычисляется НОК двух чисел через НОД этих чисел. Дальше рассмотрим нахождение наименьшего общего кратного с помощью разложения чисел на простые множители. После этого остановимся на нахождении НОК трех и большего количества чисел, а также уделим внимание вычислению НОК отрицательных чисел.
Навигация по странице.
Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД
Один из способов нахождения наименьшего общего кратного основан на связи между НОК и НОД.
Существующая связь между НОК и НОД позволяет вычислять наименьшее общее кратное двух целых положительных чисел через известный наибольший общий делитель. Соответствующая формула имеет вид НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Рассмотрим примеры нахождения НОК по приведенной формуле.
Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 126 и 70 .
В этом примере a=126 , b=70 . Воспользуемся связью НОК с НОД, выражающуюся формулой НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . То есть, сначала нам предстоит найти наибольший общий делитель чисел 70 и 126 , после чего мы сможем вычислить НОК этих чисел по записанной формуле.
Найдем НОД(126, 70) , используя алгоритм Евклида: 126=70·1+56 , 70=56·1+14 , 56=14·4 , следовательно, НОД(126, 70)=14 .
Теперь находим требуемое наименьшее общее кратное: НОК(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)= 126·70:14=630 .
Чему равно НОК(68, 34) ?
Так как 68 делится нацело на 34 , то НОД(68, 34)=34 . Теперь вычисляем наименьшее общее кратное: НОК(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)= 68·34:34=68 .
Заметим, что предыдущий пример подходит под следующее правило нахождения НОК для целых положительные чисел a и b: если число a делится на b , то наименьшее общее кратное этих чисел равно a .
Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители
Другой способ нахождения наименьшего общего кратного базируется на разложении чисел на простые множители. Если составить произведение из всех простых множителей данных чисел, после чего из этого произведения исключить все общие простые множители, присутствующие в разложениях данных чисел, то полученное произведение будет равно наименьшему общему кратному данных чисел .
Озвученное правило нахождения НОК следует из равенства НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Действительно, произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, участвующих в разложениях чисел a и b . В свою очередь НОД(a, b) равен произведению всех простых множителей, одновременно присутствующих в разложениях чисел a и b (о чем написано в разделе нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители).
Приведем пример. Пусть мы знаем, что 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Составим произведение из всех множителей данных разложений: 2·3·3·5·5·5·7 . Теперь из этого произведения исключим все множители, присутствующие и в разложении числа 75 и в разложении числа 210 (такими множителями являются 3 и 5), тогда произведение примет вид 2·3·5·5·7 . Значение этого произведения равно наименьшему общему кратному чисел 75 и 210 , то есть, НОК(75, 210)= 2·3·5·5·7=1 050 .
Разложив числа 441 и 700 на простые множители, найдите наименьшее общее кратное этих чисел.
Разложим числа 441 и 700 на простые множители:
Получаем 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7 .
Теперь составим произведение из всех множителей, участвующих в разложениях данных чисел: 2·2·3·3·5·5·7·7·7 . Исключим из этого произведения все множители, одновременно присутствующие в обоих разложениях (такой множитель только один – это число 7): 2·2·3·3·5·5·7·7 . Таким образом, НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .
НОК(441, 700)= 44 100 .
Правило нахождения НОК с использованием разложения чисел на простые множители можно сформулировать немного иначе. Если ко множителям из разложения числа a добавить недостающие множители из разложения числа b , то значение полученного произведения будет равно наименьшему общему кратному чисел a и b .
Для примера возьмем все те же числа 75 и 210 , их разложения на простые множители таковы: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Ко множителям 3 , 5 и 5 из разложения числа 75 добавляем недостающие множители 2 и 7 из разложения числа 210 , получаем произведение 2·3·5·5·7 , значение которого равно НОК(75, 210) .
Найдите наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 .
Получаем сначала разложения чисел 84 и 648 на простые множители. Они имеют вид 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3 . К множителям 2 , 2 , 3 и 7 из разложения числа 84 добавляем недостающие множители 2 , 3 , 3 и 3 из разложения числа 648 , получаем произведение 2·2·2·3·3·3·3·7 , которое равно 4 536 . Таким образом, искомое наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 равно 4 536 .
Нахождение НОК трех и большего количества чисел
Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел может быть найдено через последовательное нахождение НОК двух чисел. Напомним соответствующую теорему, дающую способ нахождения НОК трех и большего количества чисел.
Пусть даны целые положительные числа a 1 , a 2 , …, a k , наименьшее общее кратное m k этих чисел находится при последовательном вычислении m 2 =НОК(a 1 , a 2) , m 3 =НОК(m 2 , a 3) , …, m k =НОК(m k−1 , a k) .
Рассмотрим применение этой теоремы на примере нахождения наименьшего общего кратного четырех чисел.
Найдите НОК четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250 .
Сначала находим m 2 =НОК(a 1 , a 2)=НОК(140, 9) . Для этого по алгоритму Евклида определяем НОД(140, 9) , имеем 140=9·15+5 , 9=5·1+4 , 5=4·1+1 , 4=1·4 , следовательно, НОД(140, 9)=1 , откуда НОК(140, 9)=140·9:НОД(140, 9)= 140·9:1=1 260 . То есть, m 2 =1 260 .
Теперь находим m 3 =НОК(m 2 , a 3)=НОК(1 260, 54) . Вычислим его через НОД(1 260, 54) , который также определим по алгоритму Евклида: 1 260=54·23+18 , 54=18·3 .
Тогда НОД(1 260, 54)=18 , откуда НОК(1 260, 54)= 1 260·54:НОД(1 260, 54)= 1 260·54:18=3 780 . То есть, m 3 =3 780 .
Осталось найти m 4 =НОК(m 3 , a 4)=НОК(3 780, 250) . Для этого находим НОД(3 780, 250) по алгоритму Евклида: 3 780=250·15+30 , 250=30·8+10 , 30=10·3 . Следовательно, НОД(3 780, 250)=10 , откуда НОК(3 780, 250)= 3 780·250:НОД(3 780, 250)= 3 780·250:10=94 500 . То есть, m 4 =94 500 .
Таким образом, наименьшее общее кратное исходных четырех чисел равно 94 500 .
НОК(140, 9, 54, 250)=94 500 .
Во многих случаях наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел удобно находить с использованием разложений данных чисел на простые множители. При этом следует придерживаться следующего правила. Наименьшее общее кратное нескольких чисел равно произведению, которое составляется так: ко всем множителям из разложения первого числа добавляются недостающие множители из разложения второго числа, к полученным множителям добавляются недостающие множители из разложения третьего числа и так далее
.
Рассмотрим пример нахождения наименьшего общего кратного с использованием разложения чисел на простые множители.
Найдите наименьшее общее кратное пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Сначала получаем разложения данных чисел на простые множители: 84=2·2·3·7 , 6=2·3 , 48=2·2·2·2·3 , 7 (7 – простое число, оно совпадает со своим разложением на простые множители) и 143=11·13 .
Для нахождения НОК данных чисел к множителям первого числа 84 (ими являются 2 , 2 , 3 и 7) нужно добавить недостающие множители из разложения второго числа 6 . Разложение числа 6 не содержит недостающих множителей, так как и 2 и 3 уже присутствуют в разложении первого числа 84 . Дальше к множителям 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 2 и 2 из разложения третьего числа 48 , получаем набор множителей 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 . К этому набору на следующем шаге не придется добавлять множителей, так как 7 уже содержится в нем. Наконец, к множителям 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 11 и 13 из разложения числа 143 .
Получаем произведение 2·2·2·2·3·7·11·13 , которое равно 48 048 .
Следовательно, НОК(84, 6, 48, 7, 143)=48 048 .
НОК(84, 6, 48, 7, 143)=48 048 .
Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел
Иногда встречаются задания, в которых требуется найти наименьшее общее кратное чисел, среди которых одно, несколько или все числа являются отрицательными. В этих случаях все отрицательные числа нужно заменить противоположными им числами, после чего находить НОК положительных чисел. В этом и состоит способ нахождения НОК отрицательных чисел. Например, НОК(54, −34)=НОК(54, 34) , а НОК(−622, −46, −54, −888)= НОК(622, 46, 54, 888) .
Мы можем так поступать, потому что множество кратных числа a совпадает со множеством кратных числа −a (a и −a – противоположные числа). Действительно, пусть b – какое-то кратное числа a , тогда b делится на a , и понятие делимости утверждает существование такого целого числа q , что b=a·q . Но будет справедливо и равенство b=(−a)·(−q) , которое в силу того же понятия делимости означает, что b делится на −a , то есть, b есть кратное числа −a .
Справедливо и обратное утверждение: если b – какое-то кратное числа −a , то b является кратным и числа a .
Найдите наименьшее общее кратное отрицательных чисел −145 и −45 .
Заменим отрицательные числа −145 и −45 на противоположные им числа 145 и 45 . Имеем НОК(−145, −45)=НОК(145, 45) . Определив НОД(145, 45)=5 (например, по алгоритму Евклида), вычисляем НОК(145, 45)=145·45:НОД(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Таким образом, наименьшее общее кратное отрицательных целых чисел −145 и −45 равно 1 305 .
www.cleverstudents.ru
Продолжаем изучать деление. В данном уроке мы рассмотрим такие понятия, как НОД и НОК .
НОД — это наибольший общий делитель.
НОК — это наименьшее общее кратное.
Тема довольно скучная, но разобраться в ней нужно обязательно. Не понимая этой темы, не получится эффективно работать с дробями, которые являются настоящей преградой в математике.
Наибольший общий делитель
Определение. Наибольшим общим делителем чисел a и b a и b делятся без остатка.
Чтобы хорошо понять это определение, подставим вместо переменных a и b любые два числа, например, вместо переменной a подставим число 12, а вместо переменной b число 9. Теперь попробуем прочитать это определение:
Наибольшим общим делителем чисел 12 и 9 называется наибольшее число, на которое 12 и 9 делятся без остатка.
Из определения понятно, что речь идёт об общем делителе чисел 12 и 9, причем этот делитель является наибольшим из всех существующих делителей. Этот наибольший общий делитель (НОД) нужно найти.
Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, используется три способа. Первый способ довольно трудоёмкий, но зато позволяет хорошо понять суть темы и прочувствовать весь ее смысл.
Второй и третий способы довольны просты и дают возможность быстро найти НОД. Мы с вами рассмотрим все три способа. А какой применять на практике — выбирать вам.
Первый способ заключается в поиске всех возможных делителей двух чисел и в выборе наибольшего из них.
Рассмотрим этот способ на следующем примере: найти наибольший общий делитель чисел 12 и 9 .
Сначала найдём все возможные делители числа 12. Для этого разделим 12 на все делители в диапазоне от 1 до 12. Если делитель позволит разделить 12 без остатка, то мы будем выделять его синим цветом и в скобках делать соответствующее пояснение.
12: 1 = 12
(12 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 12)
12: 2 = 6
(12 разделилось на 2 без остатка, значит 2 является делителем числа 12)
12: 3 = 4
(12 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 12)
12: 4 = 3
(12 разделилось на 4 без остатка, значит 4 является делителем числа 12)
12: 5 = 2 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 12)
12: 6 = 2
(12 разделилось на 6 без остатка, значит 6 является делителем числа 12)
12: 7 = 1 (5 в остатке)
(12 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 12)
12: 8 = 1 (4 в остатке)
(12 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 12)
12: 9 = 1 (3 в остатке)
(12 не разделилось на 9 без остатка, значит 9 не является делителем числа 12)
12: 10 = 1 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 10 без остатка, значит 10 не является делителем числа 12)
12: 11 = 1 (1 в остатке)
(12 не разделилось на 11 без остатка, значит 11 не является делителем числа 12)
12: 12 = 1
(12 разделилось на 12 без остатка, значит 12 является делителем числа 12)
Теперь найдём делители числа 9.
Для этого проверим все делители от 1 до 9
9: 1 = 9
(9 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 9)
9: 2 = 4 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 2 без остатка, значит 2 не является делителем числа 9)
9: 3 = 3
(9 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 9)
9: 4 = 2 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 4 без остатка, значит 4 не является делителем числа 9)
9: 5 = 1 (4 в остатке)
(9 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 9)
9: 6 = 1 (3 в остатке)
(9 не разделилось на 6 без остатка, значит 6 не является делителем числа 9)
9: 7 = 1 (2 в остатке)
(9 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 9)
9: 8 = 1 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 9)
9: 9 = 1
(9 разделилось на 9 без остатка, значит 9 является делителем числа 9)
Теперь выпишем делители обоих чисел.
Числа выделенные синим цветом и являются делителями. Их и выпишем:
Выписав делители, можно сразу определить, какой является наибольшим и общим.
Согласно определению, наибольшим общим делителем чисел 12 и 9, является число, на которое 12 и 9 делятся без остатка. Наибольшим и общим делителем чисел 12 и 9 является число 3
И число 12 и число 9 делятся на 3 без остатка:
Значит НОД (12 и 9) = 3
Второй способ нахождения НОД
Теперь рассмотрим второй способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, чтобы разложить оба числа на простые множители и перемножить общие из них.
Пример 1 . Найти НОД чисел 24 и 18
Сначала разложим оба числа на простые множители:
Теперь перемножим их общие множители. Чтобы не запутаться, общие множители можно подчеркнуть.
Смотрим на разложение числа 24. Первый его множитель это 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что он там тоже есть.
Подчеркиваем обе двойки:
Снова смотрим на разложение числа 24. Второй его множитель тоже 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что его там второй раз уже нет. Тогда ничего не подчёркиваем.
Следующая двойка в разложении числа 24 также отсутствует в разложении числа 18.
Переходим к последнему множителю в разложении числа 24. Это множитель 3. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что там он тоже есть. Подчеркиваем обе тройки:
Итак, общими множителями чисел 24 и 18 являются множители 2 и 3. Чтобы получить НОД, эти множители необходимо перемножить:
Значит НОД (24 и 18) = 6
Третий способ нахождения НОД
Теперь рассмотрим третий способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, что числа подлежащие поиску наибольшего общего делителя раскладывают на простые множители. Затем из разложения первого числа вычеркивают множители, которые не входят в разложение второго числа.
Оставшиеся числа в первом разложении перемножают и получают НОД.
Например, найдём НОД для чисел 28 и 16 этим способом. В первую очередь, раскладываем эти числа на простые множители:
Получили два разложения: и
Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит семерка. Её и вычеркнем из первого разложения:
Теперь перемножаем оставшиеся множители и получаем НОД:
Число 4 является наибольшим общим делителем чисел 28 и 16. Оба этих числа делятся на 4 без остатка:
Пример 2. Найти НОД чисел 100 и 40
Раскладываем на множители число 100
Раскладываем на множители число 40
Получили два разложения:
Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит одна пятерка (там только одна пятёрка). Её и вычеркнем из первого разложения
Перемножим оставшиеся числа:
Получили ответ 20.
Значит число 20 является наибольшим общим делителем чисел 100 и 40. Эти два числа делятся на 20 без остатка:
НОД (100 и 40) = 20.
Пример 3. Найти НОД чисел 72 и 128
Раскладываем на множители число 72
Раскладываем на множители число 128
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входят две тройки (там их вообще нет). Их и вычеркнем из первого разложения:
Получили ответ 8. Значит число 8 является наибольшим общим делителем чисел 72 и 128. Эти два числа делятся на 8 без остатка:
НОД (72 и 128) = 8
Нахождение НОД для нескольких чисел
Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел.
Например, найдём НОД для чисел 18, 24 и 36
Разложим на множители число 18
Разложим на множители число 24
Разложим на множители число 36
Получили три разложения:
Теперь выделим и подчеркнём общие множители в этих числах.
Общие множители должны входить во все три числа:
Мы видим, что общие множители для чисел 18, 24 и 36 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:
Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 18, 24 и 36. Эти три числа делятся на 6 без остатка:
НОД (18, 24 и 36) = 6
Пример 2. Найти НОД для чисел 12, 24, 36 и 42
Разложим на простые множители каждое число. Затем найдём произведение общих множителей этих чисел.
Разложим на множители число 12
Разложим на множители число 42
Получили четыре разложения:
Теперь выделим и подчеркнём общие множители в этих числах. Общие множители должны входить во все четыре числа:
Мы видим, что общие множители для чисел 12, 24, 36, и 42 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:
Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 12, 24, 36 и 42. Эти числа делятся на 6 без остатка:
НОД (12, 24 , 36 и 42) = 6
Из предыдущего урока мы знаем, что если какое-то число без остатка разделилось на другое, его называют кратным этого числа.
Оказывается, кратное может быть общим у нескольких чисел. И сейчас нас будет интересовать кратное двух чисел, при этом оно должно быть максимально маленьким.
Определение. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b — a и b a и число b .
Определение содержит две переменные a и b . Давайте подставим вместо этих переменных любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 9, а вместо переменной b подставим число 12. Теперь попробуем прочитать определение:
Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9 и 12 — это наименьшее число, которое кратно 9 и 12 . Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число 9 и на число 12 .
Из определения понятно, что НОК это наименьшее число, которое делится без остатка на 9 и на 12. Этот НОК требуется найти.
Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) можно пользоваться двумя способами.
Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди этих кратных такое число, которое будет общим для обоих чисел и маленьким. Давайте применим этот способ.
В первую очередь, найдем первые кратные для числа 9. Чтобы найти кратные для 9, нужно эту девятку поочерёдно умножить на числа от 1 до 9. Получаемые ответы будут кратными для числа 9. Итак, начнём. Кратные будем выделять красным цветом:
Теперь находим кратные для числа 12. Для этого, поочерёдно умножаем 12 на все числа 1 до 12.
3 = 35$ — нелинейное диофантово уравнение.Не существует универсального метода решения нелинейных диофантовых уравнений, однако существует ряд «методов», которые могут помочь нам в решении некоторых специальных типов нелинейных диофантовых уравнений. На примерах мы покажем некоторые из этих методов. На самом деле можно сказать, что мы собираемся использовать несколько простых приемов, которые помогут нам в решении таких уравнений.
Пример 1 .
Решите следующее уравнение в наборе целых чисел:
$$xy + 5 y = 11.$$
Решение .
Разберем левую часть уравнения на множители:
$$y(x + 5) = 11.$$
Следовательно, произведение целых выражений $y$ и $x+5$ равно $11 $, а это возможно только в следующих случаях:
а) $$y = 1, x+5= 11$$
б) $$y = 11, x+5 = 1$$
в) $$y = -1, x+5 = -11$$
г) $$y = -11, x+5 =- 1$$
Это означает, что решениями данного уравнения являются упорядоченные пары чисел $(x, y)$:
$$(6, 1), (-4, 11), (-16, -1), (-6, -11).$$
Пример 2 . Решите следующее уравнение в наборе целых чисел:
$$xy + x – 6y – 9 = 0.$$
Решение .
Действуя как в предыдущем примере, перепишем уравнение следующим образом: ) – 6 = 0$$
$$(y +1) (x -3) = 6$$
Так как $x, y \in \mathbb{Z}$, то $x-3, y+ 1 \in \mathbb{Z}$. Поэтому различаем следующие случаи:
1.
) $$x – 3 = 6, y + 1 = 1$$
2.) $$x -3 = 3, y +1 = 2$$
3.) $$x-3 = 2, y+1 = 3$$
4.) $$x-3 = 1, y+1 = 6$$
5.) $$x-3 = 6, y+1 = -1$ $
6.) $$x-3 = -3, y+1 = -2$$
7.) $$x-3 = -2, y+1 = -3 $$
8.) $$x -3 = -1, y +1 = -6$$
Решениями являются упорядоченные пары $(x, y)$: $( 9, 0), (6, 1), (5, 2 ), (4, 5), (-3, -2), (0, -3), (1, -4), (3, -7)$.
Пример 3 . Решите следующее уравнение в наборе целых чисел:
$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{14}.$$
Решение .
В этом случае мы собираемся выразить одну из неизвестных $x$ или $y$; пусть это будет $y$. Умножив уравнение на $14xy$, мы получим:
$$14y + 14 x = xy$$
$$14 x = y( x -14)$$
$$y = \frac{14x}{ x-14}$$
Если мы разделим числитель на знаменатель, мы получим частное $14$ и остаток $196$. Следовательно:
$y = 14 + \frac{196}{x-14}.$$
Поскольку $y$ должно быть целым числом, $\frac{196}{x-14}$ также должно быть целым числом, и это будет для: $x = 15 , х = 16, х = 18, х = 21, х = 28, х = 63, х = 112, х = 210, х = 13, х = 12, х = 10, х = 7, х = -14, x = -35, x = -84, x = -182$, и для этих значений получаем по порядку: $y = 210, y = 112, y = 63, y= 42, y = 28, y= 18, у = 16, у = 15, у = -182, у = -84, у = -35, у = -14, у = 7, у = 10, у = 12, у = 13$.
Полученные упорядоченные пары $(x, y)$ являются решениями данного уравнения. 92$$
$$\Longleftrightarrow 3y = y – 4 \bigvee 3y = 4 – y.$$
Отсюда следует $y = -2$ или $ y = 1$. Следовательно, в данном случае решениями данного уравнения являются:
$$(x, y) = (-4, -2) , (-4, 1).$$
5.1: Линейные диофантовые уравнения — Математика LibreTexts
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 7314
- Pamini Thangarajah
- Mount Royal University
Мысли вслух
Мэри пошла в парк и увидела машины с \(2\) и \(4\) колесами. Она пересчитала колеса.
Когда она пришла домой, она сказала маме, что у машин, которые она видела, всего \(28\) колес. Ее мама спросила, у скольких автомобилей \(2\) колеса и у скольких автомобилей \(4\) колеса. Что ответила Мэри?
Диофантово уравнение
Диофантово уравнение — это полиномиальное уравнение с двумя или более целыми неизвестными.
Линейное диофантово уравнение (ЛДУ) — это уравнение с двумя или более целыми неизвестными, каждое из которых имеет не более чем 1 степень.
Линейное диофантово уравнение с двумя переменными принимает вид \(ax+by=c ,\) где \(x, y \in \mathbb{Z}\) и a, b, c — целые константы. х и у неизвестные переменные.
А Однородный Линейное диофантово уравнение (HLDE) равно \(ax+by=0, x, y \in \mathbb{Z}\). Обратите внимание, что \(x=0\) и \(y=0\) — это решение, называемое тривиальным решением этого уравнения.
Пример \(\PageIndex{1}\):
Пример однородного линейного диофантова уравнения:
\(5x-3y=0, x, y \in \mathbb{Z}\).
В этом случае \(x= 3\), \(y=5\) является решением как есть \(x=6\), \(y=10\).
Следовательно, \(x=3k \) и \( y=5k, k \in \mathbb{Z}\) представляют все решения.
Проверка: \(5(3k)-3(5k)=15k-15k = 0.\)
**** ПРИМЕЧАНИЕ**** В однородном линейном диофантовом уравнении в тот момент, когда уравнение представляет собой сложение, одна из переменных должна быть отрицательной.
В случае \(5x+3y=0, x, y \in \mathbb{Z}\), \(x= -3k\) и \(y= 5k, k \in\mathbb{Z}\ ) являются решениями.
ТЕОРЕМА: Однородное линейное диофантово уравнение
Пусть \(ax+by=0, x, y \in \mathbb{Z}\) — линейное однородное диофантово уравнение.
Если \(\gcd(a, b)=d\), то полное семейство решений приведенного выше уравнения равно
\(x=\displaystyle \frac{b}{d} k,\) и \(y=-\displaystyle \frac{a}{d} k, k \in\mathbb{Z}\).
Пример \(\PageIndex{2}\): Решите однородное линейное диофантово уравнение
\(6x+9y=0, x, y \in \mathbb{Z}\).
Решение:
Обратите внимание, что НОД 6 и 9 равен 3.
Следовательно, решения равны
\(x= \frac{9k}{3}=3k\) и \(y= \frac{-6k {3}=-2k\) с \(k \in\mathbb{Z}\).
Используйте следующие шаги, чтобы решить неоднородное линейное диофантово уравнение.
Решить линейное диофантово уравнение: \(ax+by=c, x, y \in\mathbb{Z}\).
Используйте следующие шаги, чтобы решить неоднородное линейное диофантово уравнение.
Шаг 1: Определите НОД a и b. Предположим, \(\gcd(a, b)=d\).
Шаг 2: Убедитесь, что НОД чисел a и b делится на c. ПРИМЕЧАНИЕ. Если ДА, перейдите к шагу 3. Если НЕТ, ОСТАНОВИТЕСЬ, поскольку решений нет.
Шаг 3: Найдите конкретное решение \(ax+by=c\), сначала найдя \(x_0,y_0\) такое, что \(ax+by=d\). Предположим, что \(x=\frac{c}{d}x_0\) и \(y=\frac{c}{d}y_0\).
Шаг 4 : Используйте замену переменных: пусть \( u=x-\frac{c}{d}x_0\) и \(v=y-\frac{c}{d}y_0\), тогда мы увидим, что \(au+bv=0\) (важно проверить результат).
Шаг 5 : Решите \(au+bv=0\). То есть: \(u=-\frac{b}{d}m\) и \(v=\frac{a}{d}m, m \in\mathbb{Z}\).
Шаг 6: Замените \(u\) и \(v\). Таким образом, общие решения таковы: \(x-\frac{c}{d}x_0=-\frac{b}{d}m\) и \(y-\frac{c}{d}y_0=\frac{a {d}m, m \in\mathbb{Z}\).
Пример \(\PageIndex{3}\): Задача 9 «Крепкий орешек» с кувшином0003
Решить линейное диофантово уравнение: \(5x+3y=4, x, y \in\mathbb{Z}\).
Решение:
Шаг 1: Определите НОД чисел 5 и 3 (a и b). Поскольку \(5(2)+3(-3)=1\), \(\gcd(5, 3)=1.\)
Шаг 2: Поскольку \(1\mid 4\), мы перейдите к шагу 3.
Шаг 3: Найдите частное решение \(5x+3y=4,x,y \in\mathbb{Z}\).
Так как \(5(5)+3(-7)=4, x=5\) и \(y=-7\) является частным решением.
Шаг 4: Пусть \(u=x-5\) и \(v=y+7.\) Примечание. Целое число, противоположное шагу 4, поэтому, если оно положительное на шаге 4, оно будет отрицательным на шаге 5, и наоборот.
Тогда \(5u+3v= 5(x-5)+3(y+7)\)
\(= 5x-25+3y+21\)
\(=5x+3y-4\)
\( = 4-4\) (поскольку уравнение имеет вид \(5x+3y=4\))
\(=0.\)
Шаг 5: Решить 5u+3v=0
Общие решения: \(u= -3m\) и \(v=5m, m \in\mathbb{Z}\).
Шаг 6: \(x-5=-3m\) и \(y+7=5m, m \in\mathbb{Z}\).
Следовательно, общие решения равны \(x=-3m+5, y=5m-7, m \in\mathbb{Z}\).
Пример \(\PageIndex{4}\):
Решить линейное диофантово уравнение: \(2x+4y=21, x,y \in\mathbb{Z}\).
Решение:
Поскольку \(\gcd(2, 4)=2\) и \(2\) не делит \(21\), \(2x+4y=21\) не имеет решения .
Пример \(\PageIndex{5}\):
Решить линейное диофантово уравнение \( 20x+16y=500, x,y \in \mathbb{Z_+}\).
Решение
Оба \(x, y ≥ 0,500 = 20(x) + 16(y).\)
Шаг 1: \(gcd(20, 16) = 4. \) Так как \(4 | 500\), мы ожидаем решения.
Шаг 2: Решение: \(4125=20(1)(125)+16(-1)(125).
\)
\(500= 20(125)+16(-125)\ )
Следовательно, \(x = 125\) и \( y = -125\) является решением задачи \( 500 = 20x + 16y.\)
Шаг 3: Пусть u = x — 125 и v = y + 125.
Предположим, что 20u + 16v = 20x — (20)(125) + 16y +(16)(125)
= 20x +16y -[(20)(125) -(16)(125 )]
=20x + 16y -500.
Таким образом, 20u + 16v = 0,
Шаг 4: В общем случае решение ax + by = 0 есть x=bdk и y=-adk, kZ \ {0}, d=gcd(a, б). Напомним, НОД(20, 16) = 4,
Таким образом, u = 16k/4 = 4k и v = -20k/4 = -5k, k ∈ ℤ.
Шаг 5: Замените u и v.
Рассмотрим 4k = x — 125 и -5k = y + 125.
Следовательно, x = 4k + 125 и y = -5k — 125.
Шаг 6 : И x, и y ≥ 0. x ≤ 25 и y ≤ 31, так как сумма равна 500.
4k + 125 ≥ 0, k ≥ -125/4, ∴ k ≥ -31,25.
4k + 125 ≤ 25, 4k ≤ -100, ∴k ≤ -25.
Таким образом, возможны следующие решения:
Пусть k = -25, тогда x = 25, y = 0.
Пусть k = -26, тогда x = 21, y = 5.
Пусть k = -27, тогда x = 17, y = 10.
Пусть k = -28, тогда x = 13, y = 15.
Пусть k = -29, тогда x = 9, y = 20.
Пусть k = -30, тогда x = 5 , y = 25.
Пусть k = -31, тогда x = 1, y = 30.
Таким образом, варианты \((x,y\), удовлетворяющие данному уравнению, таковы:
{ (25,0) , (21,5), (17,10), (13, 15), (9, 20), (5, 25), (1,30)}
В сборниках головоломок можно найти следующую задачу.
Пример \(\PageIndex{6}\):
Когда миссис Браун обналичила свой чек, рассеянный кассир дал ей столько центов, сколько у нее должно быть долларов, и столько долларов, сколько у нее должно быть центов. Столь же рассеянная миссис Браун ушла с наличными, не заметив несоответствия. Только после того, как она потратила 5 центов, она заметила, что теперь у нее вдвое больше денег, чем должна. Какова была сумма ее чека?
Решение
Пусть x — количество долларов, которое миссис Браун должна была получить, а y — количество центов, которые она должна была получить.
Тогда 2(100x + y) = 100y + x — 5
Обратите внимание на двойную первоначальную сумму, не тратя ни цента.
200х + 2у = 100у + х — 5
199х — 98у = -5.
5 = — 199x + 98y
Шаг 1: gcd(199,98) = 1. Так как 1 | 5, мы можем продолжить.
Шаг 2: Решение 51=-199(-33)(5) + (98)(-67)(5)
5 = -199(-165) + 98(-335).
Следовательно, x = -165 и y = -335 являются решением 5 = 98y — 199x.
Шаг 3: Пусть u = x + 165 и v = y + 335.
Учтем, что -199u + 98v = -199(x + 165) + 98(y + 335)
= -199x + 98y — [(199)(165) + (98)(335)]
Таким образом -199u + 98v = -199x + 98y — 5 = 0.
Шаг 4: В общем случае решение ax + by = 0 есть x=bdk и y=-adk, kZ \ {0}, d=gcd(a,b).
Напомним, gcd(199, 98) = 1.
Таким образом, u = 98k и v = 199k, k ∈ ℤ.
Шаг 5: Замените u и v.
x + 165 = 98k и y + 335 = 199k, k ∈ ℤ.
Следовательно, x = -165 + 98k и y = -335 + 199k.
Шаг 6: Оба x и y ≥ 0 и оба x, y < 100
-165 + 98k ≥ 0, поэтому k ≥ 1,68 + 98k < 100, 98k < 265, ∴ k < 2,70
-335 + 199k < 100, 199k < 435, ∴ k < 2,18
Так как 1,68 ≤ k < 2,18 и k ∈ ℤ, k = 2,
Таким образом, x = 98(2) — 165 = 31 и y = -335 + 199(2) = 63.
Таким образом, чек был на 31,63 доллара.
Для проверки кассир дал миссис Браун 63,31 доллара, затем она потратила 5 центов, оставив ей 63,26 доллара, что в два раза превышает сумму чека \((2)(\31,63 доллара)=\63,26 доллара\).✔
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ
- Криптография
- Создание различных комбинаций различных элементов.
Эта страница под названием 5.1: Линейные диофантовые уравнения распространяется по лицензии CC BY-NC-SA, автором, ремиксом и/или куратором которой является Памини Тангараджа.
- Наверх
- Была ли эта статья полезной?
- Тип изделия
- Раздел или страница
- Автор
- Памини Тангараджа
- Лицензия
- CC BY-NC-SA
- Показать страницу Содержание
- да
- Теги
- расчет: да
- Диофантовы уравнения
- юпитер: питон
- Линейное диофантово уравнение
Диофантовы уравнения
Диофантовы уравненияХорватский
Андрей Дуйелла:
Аспирантура (2006/2007)Описание курса
В этом курсе будут рассмотрены некоторые основные методы решения
диофантовы уравнения.
Мы подробно опишем результаты и алгоритмы, связанные с классические диофантовы уравнения, такие как уравнения Пеллиана и тернарные квадратичные формы. В этих уравнениях общий будут проиллюстрированы принципы решения диофантовых уравнений: приложения результатов диофантовых приближений, алгебраич. теория чисел и p -адический анализ.
Изучим современные инструменты из диофантовых приближений
(линейные формы в логарифмах алгебраических чисел, гипергеометрические
метод рациональных приближений целых алгебраических чисел), который
позволяют получить оценки сверху на размер решений
различные типы диофантовых уравнений. Самые популярные методы
для уменьшения этих верхних границ (метод Бейкера-Дэвенпорта
на основе цепной дроби, редукция с использованием LLL-алгоритма) будет
быть описаны. Проиллюстрируем на примерах, как описанное
методы приводят к полному решению различных диофантовых задач.
Эти задачи будут включать уравнения Туэ, целые точки на
эллиптические кривые, системы уравнений Пеллиана и уравнения с
рекурсивные последовательности.
Предполагается, что учащиеся знакомы с основными понятия и результаты из теории чисел, на уровне, описанном в курс бакалавриата Введение в теорию чисел.
Каталожные номера
- Н. П. Смарт: Алгоритмическое разрешение Диофанта Уравнения , Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1998.
- С. Алака, К. С. Уильямс: Введение в алгебраическую теорию чисел , Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2004.
- В. С. Энглин: Королева математики. Введение в теорию чисел , Kluwer Academic Publishers, Дордрехт, 1995.
- Г. Коэн: Теория чисел. Том I: Инструменты и диофантовы уравнения , Springer Verlag, Берлин, 2007 г.
- Г. Коэн: Теория чисел. Том II: Аналитические и современные инструменты , Springer Verlag, Берлин, 2007 г.
- И. Гаал: Диофантовы уравнения и базисы степенных интегралов ,
Биркхаузер, Бостон, 2002 г.
- WJ LeVeque: Темы по теории чисел. Тома I и II , Дувр, Нью-Йорк, 2002 г.
- Л. Дж. Морделл: Диофантовы уравнения , Academic Press, Лондон, 1969 год.
- Т. Наджелл: Введение в теорию чисел , Челси, Нью-Йорк, 1981 год.
- И. Нивен, Х. С. Цукерман, Х. Л. Монтгомери: Введение в теорию чисел , Уайли, Нью-Йорк, 1991.
- А. Петё: Algebraische Algorithmen , Vieweg, Braunschweig, 1999.
- В. М. Шмидт: Диофантово приближение и диофантово Уравнения , Springer-Verlag, Берлин, 1996.
- Т. Х. Шори, Р. Тайдеман: Экспоненциальная диофантовая Уравнения , Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1986 год.
- Дж. Х. Сильверман, Дж. Тейт: рациональных точек на эллиптике Кривые , Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1992.
- В. Г. Сприндзук: Классические диофантовы уравнения , Springer, Берлин, 1993.
- J. Steuding: Диофантовый анализ , Chapman & Hall/CRC,
Бока-Ратон, 2005 год.
- Б.М.М. де Вегер: Алгоритмы для диофантовых уравнений , Centrum voor Wiskunde en Informatica, Амстердам, 1989 год.
- У. Занье: Некоторые приложения диофантова аппроксимации к диофантовым уравнениям , Forum Editrice, Удине, 2003 г.
Конспект лекций
(в формате pdf ; на хорватском языке)
Темы семинара
Домашнее задание:
ex1 ex2 отл3 отл4 ex5 ex6
Некоторые (полезные) ссылки
Семинар по теории чисел и алгебре (Загребский университет)
Введение в число Теория — Бакалавриат (Андрей Дуйелла)
Криптография — Бакалавриат (Андрей Дуйелла)
Эллиптические кривые и их приложения в криптографии — Студенческий семинар (2002/2003)
Программные пакеты, представляющие интерес для теории чисел
Домашняя страница PARI/GP
Калькулятор MAGMA
Решатель уравнения Пелла (Майкл Цукер)
Решатель квадратного диофантова уравнения (Дарио Альперн)
Вт уравнения (Клеменс Хойбергер)
Diophantine m -страница кортежей (Andrej Dujella)
Страница десятой проблемы Гильберта (Максим Всемирнов, Юрий Матиясевич)
Сеть по теории чисел
Группы и семинары по теории чисел
Рекомендуемая литература для аспирантов по теории чисел
Анри Коэн: Явные методы решения диофантовых уравнений, Зимняя школа в Аризоне, 11-15 марта 2006 г.
Учебная конференция «Разрешимость диофантовых уравнений», Лейден, 7-11 мая 2007 г.
Андрей Дуйелла домашняя страница
Решение линейных диофантовых уравнений | Изучение теории чисел
Уравнения, подобные приведенным в следующем списке, всегда имеют решения в действительных числах. Когда мы фокусируемся только на целочисленных решениях, они называются линейными диофантовыми уравнениями. В этом посте мы обсудим, как работать с линейными диофантовыми уравнениями с двумя неизвестными. В частности, мы показываем, имея такое уравнение, как определить, есть ли у него решения, и, если они есть, как описать полное множество решений.
Как указано выше, нас интересуют только целочисленные решения уравнения . Таким образом, под решением мы подразумеваем пару целых чисел, удовлетворяющих уравнению.
Решение линейных диофантовых уравнений — это тема, которая является продолжением обсуждения алгоритма Евклида и расширенного алгоритма Евклида в этом предыдущем посте.
Вот ход мысли. Чтобы решить линейное диофантово уравнение , где , и целые числа, первым шагом является нахождение наибольшего общего делителя и , используя алгоритм Евклида. Мы используем обозначение для обозначения наибольшего общего делителя. Как только мы узнаем , мы узнаем, имеет ли уравнение решения. Если у него есть решения, тот же алгоритм, который выводит НОД, сгенерирует конкретное решение уравнения (это расширенный алгоритм Евклида). По частному решению можно полностью описать множество решений уравнения . В следующем разделе мы обсудим этот мыслительный процесс более подробно.
___________________________________________________________________________________________________________________
Как находить решения
Мы демонстрируем метод, используя линейное диофантово уравнение , первое в приведенном выше списке, доказывая по ходу все необходимые леммы и теоремы. Мы работаем над теоремой 3 ниже, которая дает способ описать полное множество решений любого линейного диофантова уравнения (если оно имеет одно решение).
Пусть . Уравнение всегда имеет решение. На самом деле это утверждение называется расширенным алгоритмом Евклида. Решение можно получить, работая в обратном направлении от алгоритма Евклида (когда мы используем его для получения НОД).
Например, . Мы можем проследить шаги в поиске НОД, чтобы увидеть, что
- .
Таким образом, пара и является решением уравнения . Основываясь на этом развитии, мы можем видеть, что всегда есть решение, если оно кратно . Например, уравнение имеет решения, поскольку мы имеем следующее:
- .
Таким образом, пара и является решением уравнения , которое является первым линейным диофантовым уравнением, перечисленным в начале поста. Подытожим это обсуждение в следующей лемме.
Лемма 1
Пусть . Линейное диофантово уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда .
Обозначение означает, что делится на .
Доказательство леммы 1
Приведенное выше обсуждение по существу показывает направление .
Расширенный алгоритм Евклида показывает, что имеет решение и . Если для некоторого целого числа , то указывает, что пара и является решением .
Направление следует из наблюдения, которое всегда делит левую часть . Таким образом, должно делить и правую часть, если уравнение не имеет решения.
Оказывается, если мы можем найти одно решение линейного диофантова уравнения, мы можем найти бесконечно много решений.
Лемма 2
Если пара и является решением , то так же является следующая пара чисел
- и
где любое целое число.
Лемму 2 можно доказать, подставив новые решения в уравнение . Мы также можем заметить, что если мы увеличим на значение , мы увеличим левую часть уравнения на . С другой стороны, если мы уменьшим на величину , мы уменьшим левую часть уравнения на . Чистый эффект заключается в том, что левая часть уравнения остается неизменной.
Используя лемму 2, следующее описывает бесконечно много решений уравнения .
- и для всех целых
Но приведенный выше набор решений не является полным. Например, пара чисел и также является решением уравнения , но не приведена выше. Следующая теорема даст полный набор решений.
Теорема 3
Пусть . Если пара и является решением , то полный набор решений уравнения состоит из всех целых пар таких, что
где любое целое число.
Доказательство теоремы 3
Предположим, что пара и является решением . Два момента, которые нужно показать. Во-первых, любая пара чисел в приведенной выше форме является решением. Другой заключается в том, что любое решение имеет вышеуказанную форму. Чтобы увидеть первый, обратите внимание, что
Чтобы увидеть вторую точку, предположим, что пара чисел и является решением уравнения . У нас есть следующее.
Перестановка и деление на , мы имеем следующее.
Обратите внимание, что две дроби в последнем уравнении являются целыми числами, поскольку является наибольшим общим делителем и . Более того . Обратите внимание, что после сокращения всех общих простых множителей двух чисел получившиеся два числа должны быть взаимно простыми.
На основании приведенного выше уравнения (1) число делится на . Потому что число не может делиться. Значит, число должно делиться. Итак, для некоторого целого числа мы имеем:
Подключитесь к (1), у нас есть . Это приводит к следующему.
Уравнения (2) и (3) показывают, что решение и имеет вид, указанный в теореме.
На основании теоремы 3 полный набор решений уравнения выглядит следующим образом:
где любое целое число.
________________________________________________________________________________________________________________________________
Резюме
Линейное диофантово уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда где .
Если линейное диофантово уравнение разрешимо, его решение состоит из двух шагов.
Шаг 1
Сначала находим частное решение. Мы можем найти его методом проб и ошибок, если числа не слишком велики. В противном случае мы можем применить расширенный алгоритм Евклида. Обратите внимание, что если мы используем алгоритм Евклида для нахождения , мы можем просто работать в обратном направлении в алгоритме Евклида, чтобы найти решение уравнения , которое в терминах приводит к решению уравнения .
Step 2
Theorem 3 provides a way to desribe the complete solution set of the linear Diophantine equation based on the particular solution that is found in Step 1.
___________________________________________________________________________________________________________________
More Examples
Чтобы решить, нам нужно найти НОД числа и (знак минус можно опустить).
Используем алгоритм Евклида.
НОД равен , который делит . Итак, уравнение имеет решения. Нам нужно найти конкретное решение. Сначала мы работаем в обратном направлении от приведенных выше разделов, чтобы найти решение . Затем мы умножаем это решение на . Работая в обратном порядке, получаем:
Итак, пара чисел и является решением . Таким образом, пара чисел и является решением . Таким образом, следующее полностью описывает множество решений .
________________________________
Чтобы решить , обратите внимание , что НОД числа и равно , на которое не делится . Таким образом, уравнение не имеет решений.
________________________________
Чтобы решить , сначала найдите НОД числа и . Применяем алгоритм Евклида.
Таким образом, НОД равен 1. Значит, уравнение имеет решения. Чтобы получить одно конкретное решение, мы работаем в обратном направлении от вышеуказанных делений и получаем:
Таким образом, и является конкретным решением для .
Полный набор решений описывается:
для любого целого числа .
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Это. Алгоритм Евклида (или алгоритм Евклида) является одним из наиболее часто используемых и наиболее распространенных математических алгоритмов, и, несмотря на тяжелые приложения, его удивительно легко понять и реализовать.
В простейшей форме НОД двух чисел a, b — это наибольшее целое число k, которое делится на a и b без остатка. Мы будем обозначать его как gcd(a, b), что является стандартным представлением. Когда одно из чисел в паре равно 0, по определению НОД является вторым числом. Когда оба числа равны 0, наибольший общий делитель не определен, но предполагается, что он равен 0.
Тривиальный алгоритм нахождения общего общего делителя двух чисел будет состоять в цикле от 1 до min(a, b) и проверьте для каждого числа, делится ли оно на a и b.
Диапазон gcd(a, b) равен [1, min(a, b)] , потому что число не может делиться на другое число, меньшее его. По той же причине мы зацикливаемся от 1 до min(a, b) .
Псевдокод для приведенной выше идеи:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Пусть a, b будут числами, НОД которых мы вычисляем
Предположим, а <= б
Если а == 0
Возврат б
Эндиф
НОД = 1
для каждого я (1 <= я <= а)
Если а делится на i и b делится на i
НОД = я
Эндиф
Endfor
Вернуть НОД
Другой способ найти gcd — запустить цикл от i = a до i = 1 и вернуть gcd при первом появлении «i», так что оно делит и a, и b. В обоих случаях временная сложность в худшем случае для этого алгоритма остается O(n) . Алгоритм Евклида, с другой стороны, дает нам способ вычислить наибольший общий делитель двух чисел в O(log(min(a,b))) . В этой статье будет представлен алгоритм Евклида для поиска НОД и его применения в соревновательном программировании.
НЕКОТОРЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ С НОД
Вы можете заметить, что НОД двух чисел не меняется, если большее число заменить разностью между двумя числами. Делая это неоднократно, в конце концов один из элементов станет 0, а НОД станет вторым элементом (который не равен нулю). С каждым запуском одно из чисел уменьшается, что гарантирует, что алгоритм в конечном итоге завершится.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРАВИЛЬНОСТИ
Пусть a равно p k и b равно q k, где k является НОД чисел a и b, и без ограничения общности предположим, что a <= b, т. е. p <= q.
Теперь разность b-a = (q-p)*k, где q - p >= 0
Видно, что НОД a и b-a также равен k.
Повторив этот процесс дальше, в конце концов мы получим 0, а другое число равно k.
Псевдокод вышеуказанной идеи:
1
2
3
4
5
6
7
8
НОД(а, б)
если а > б
swap(a, b) // сохраняем меньшую из пары
Эндиф
Если а == 0
Возврат b//назальный регистр
Эндиф
Вернуть gcd(b - а, а)
Математически это можно представить как
1
2
gcd(a, b) = b, когда a = 0
gcd(b - a, a) иначе. .. Уравнение 1
.. Уравнение 1
ДОПОЛНЕНИЕ К ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЕ
Тот же алгоритм можно немного улучшить, заменив большее число на b%a вместо b-a. b%a означает b по модулю a или остаток от деления b на a. Доказательство этого изменения находится в уравнении 1.
Пусть НОД чисел a и b равно k. Следовательно, k|a и k|b, где p|q означает, что p делит q.
Теперь по определению b%a = b - ⌊b/a⌋*a
И b, и ⌊b/a⌋*a делятся на k; следовательно, b - ⌊b/a⌋*a также делится на k, что делает b%a | к. После этого момента мы можем повторить то, что мы сделали в уравнении 1, заменив каждое вычитание модулем.
Тот же пример с 14 и 26
14 26 заменить 26 на 26%14
14 12 заменить 14 на 14%12
2 12 заменить 12 на 12%2
2 0
Как только одно из чисел получается 0, выход, gcd - второе число.
Вот некоторый псевдокод для вышеуказанного алгоритма:
1
2
3
4
5
НОД(а, б)
Если а == 0
Возврат б
Эндиф
Возвращает gcd(b % a, a)
и повторный код
1 2 3 4 5 6 7НОД(а, б) а > 0 темп = б б = а а = темп% а EndWhile Возврат б 99, но с помощью алгоритма Евклида мы можем вычислить наибольший общий делитель не более чем за тридцать шагов.также верноРАСШИРЕННЫЙ АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА
Расширенный алгоритм Евклида утверждает, что для любых двух положительных целых чисел a и b всегда найдутся m и n такие, что НОД чисел a и b можно представить как a * m + b * n.
Следовательно,
a * m + b * n = gcd(a, b)для некоторых целых m и n они могут быть отрицательными или нулевыми.В то время как алгоритм Евклида находит НОД двух чисел, расширенный алгоритм также позволяет нам представить это НОД в терминах этих двух чисел. Важность этого результата видна в следующей теме, линейных диофантовых уравнениях.
В этой оригинальной теореме Евклида операции заканчиваются, когда одно из чисел равно 0, а другое — g. Для этих параметров легко найти коэффициенты m и n, которые равны
0*0 + g*1 = g… Уравнение 2Где 0 — это m, а 1 — это n, вместо 0, m можно принять целым числом, так как уравнения остаются верными; интересно видеть, что при изменении значений здесь мы получаем разные конечные значения m и n.
3*(2) + 5*(-1) = 1, а также
3*(-3) + 5*(2) = 1. Итак, изменение значений m и n в базовом случае дает нам разные m и n для исходного уравнения.Поменяв местами шаги теоремы Евклида, мы можем найти коэффициенты m и n. Все, что нам нужно сделать, это выяснить, как значение m, n изменяется от (b%a, a) до (a, b).
Предположим, мы знаем некоторые x0 и y0 такие, что
1 2 3 4ах0 + (б % а) у0 = г ax0 + (b - ⌊b / a⌋ * a) y0 = g a(x0 - ⌊b / a⌋y0) + by0 = g ам + бн = гСледовательно,
m = x0 - ⌊b/a⌋y0
n = y0Псевдокод приведенного выше результата выглядит так:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10gcd(a, b, n, m) // Уравнение будет выглядеть как a*m + b*n = g Если а == 0 м = 0, п = 1 Возврат б КонецЕсли хх, уу g = gcd(b % a, a, xx, yy) х = уу - ⌊b / а⌋ * хх; у = хх; Возврат гЛИНЕЙНЫЕ ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ
У нас есть три целых числа, a, b и c, такие, что
a * x + b * y = c, нам требуется найти решение этого линейного уравнения.Давайте еще раз посмотрим на уравнение расширенного алгоритма Евклида, обозначим g как gcd(a, b), а x_g, y_g — целые числа, для которых:
ax_g + by_g = gверно *(c/g) + byg*(c/g) = cСледовательно, требуемый x равен
x_g*(c/g)иy = y_g*(c/g). Если c делится наgcd(a, b), то линейное уравнение имеет одно или несколько решений; в противном случае это не так. Легко заключить, что линейная комбинация любого целого числа должна делиться на это число.
Таким образом, одно из решений приведенного выше линейного диофантова уравнения: функция, которую мы вычислили ранее:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14Find_one_solution (int a, int b, int c, int & m, int & n) g = gcd(a, b, m, n) Если с % г != 0 вернуть false // если c не делится на g, решения не существует КонецЕсли м = м * с / г п = п * с / г Если а < 0 м = -м КонецЕсли Если б < 0 п = -п КонецЕсли Вернуть истинуЗАКЛЮЧЕНИЕ
Слава! Вы завершили его.
Нажмите, чтобы показать предпочтения! Нажмите, чтобы показать предпочтения! по шагам - www.TiNspireApps.comиобъединяются с<условия>и их сумма составляет. " Всегда важно держать под рукой математическую теорему и алгоритмы, когда вы хотите повысить рейтинг.Решайте любые задачи по теории чисел — шаг за шагом — с помощью приложения Number Theory Made Easy на сайте www.TiNspireApps.com
Посмотрите это видео, чтобы увидеть, как он может решать все задачи теории чисел:
youtube.com/embed/ZAmtQMnuzos?feature=oembed" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen="">
Решать простые числа, алгоритм Евклида, теоремы Коллатца, Безу, Ферма, Эйлера, Уилсона, закон взаимности, китайский остаток и т. д. Выполнять модульную арифметику в все уровни, найти НОД, НОК, сигма-нотацию, доказательство по индукции, решить диофантовые уравнения и любые другие уравнения, решить систему уравнений 2 × 2 и 3 × 3, решить арифметические и геометрические последовательности, комплексные числа, квадратные уравнения, заполнить квадрат , многочлены, выполнение полиномиального и синтетического деления, рациональная теорема о нуле, решение задач комбинаторики, включающих перестановки и комбинации. Теория игр, дилемма заключенных. Все проблемы можно решить ШАГ ЗА ШАГОМ
Here is a listing of the app functionality:
Например, если a = 3 и b = 5, то 
Линейные уравнения с двумя переменными известны как линейные диофантовые уравнения, и в решении этих задач помогает расширенный алгоритм Евклида.
Теперь вы можете решить любую задачу, использующую алгоритм Евклида или касающуюся поиска решений линейных уравнений. В соревновательном программировании большую часть времени проблемы не связаны с простой задачей вычисления НОД двух чисел. Все-таки часто это подзадача к решению какой-нибудь ДП или жадной, а точнее какой-нибудь математической задачи. Диофантовы уравнения редко приносят пользу, когда возникают такие проблемы, как «Сколькими способами можно | Theorems & Conjectures |
| Goldbach Conjecture |
| Collatz Conjecture |
| Twin Prime Conjecture |
| Dirichlet's Box Principle |
Euclid : бесконечно много простых чисел. |
| Теорема о простых числах |
| Теорема Эйлера |
| Fermat's Little Theorem |
| Fermat's Last Theorem |
| Wilson's Theorem |
| Chinese Remainder Theorem |
| Law of Quadratic Reciprocity |
| Bezout Theorem |
| Primes |
| Найти простую факторизацию |
| Список простых чисел между A и B |
| Count Primes between A and B |
| Find Prime greater/less than A |
| Prime Checker |
| Coprime Checker |
| Euler's Phi(n)-function |
| Find GCD & LCM |
| Euclidean Algorithm находит GCD |
| Расширенные Euclidean Algorithm |
| Bezout Theorem |
| Bezout Theorem |
| Bezout Theorem |
| Bezout Theorem |
| BEZOUT Theorem |
| (BEZOUT Theorem |
. 2+bx+c=0 mod m |
| Legendre Symbol |
| Law of Quadratic Reciprocity |
| Integers |
| Factor |
| Expand/Distribute |
| Найти НОД и НОД |
| Список делителей числа N |
| Sigma Σ-Notation |
| Divisibility Rules |
| Proof By Induction (Sums) |
| Proof By Induction (Products) |
| Diophantine Equations |
| Count Integers given Range given N |
| Подсчет целых чисел, кратных N и/или M |
| Целочисленные решения 1 уравнения. с 2 переменными |
Целочисленные решения 1 уравнения. with 3 Variables |
| Try: Non-Integer Solutions to 1 Equation |
| Algebra |
| Solve any Equation or Inequality |
| Solve 2×2 system – Шаг за шагом |
| Решить систему 3×3 – Шаг за шагом |
| Упростить и оценить |
| Powers |
| Find Common Denominator |
| Find Proper Fractions |
| Solve Proportion (Ratio) Problems |
| Absolute and Percent Change |
| Logic |
| Читать таблицы истинности |
| Читать законы высказываний |
| Read Conditional |
| Read BiConditional |
| Read Set Theory: 10 Facts |
| Read Set Theory: 9 Laws |
| Polynomials & Sequences |
| All -in-one-Polynomial Explorer |
| Найти степень |
| Найти корни |
| Polynomial Division & Remainder |
| Synthetic Division |
| Explicit Sequence & Partial Sum |
| Recursive Sequence & Partial Sum |
| Sequence Formula Finder |
| Geometric Sequence & Series |
| Арифметическая последовательность |
| Quadratic Equations & Complex Numbers |
| Do the Quadratic Equation |
| Complete the Square |
| Complete the Square to find Zeros |
| Complete the Square to find Vertex |
| One Complex Номер : All-in-one-Explorer |
| Два комплексных номера : All-in-one-Explorer |
