Калькулятор корней
Что такое корень числа?
Корень n-й степени из числа x — это такое число r, которое в степени n равняется x. Или другими словами: rn= x.
Эта запись с математическим корнем из числа х в n-ой степени имеет собственное название в каждом символе:
- n — здесь является степенью или показателем корня, n всегда является натуральным числом, таким, как — 1, 2, 3 и так далее.
- х — здесь является выражением или подкоренным числом. Выражается, как вещественное или любое комплексное число.
- √ — здесь является символом корня или знаком, имеющим еще другое название — радикал.
Например:
Такое выражение читается, как корень третьей степени от числа 8. Это корень равняется двум. Число 3 здесь является степенью корня, а число 8 – подкоренным числом.
В математике нахождение корня называется «извлечение корня».
Причём важно разделять понятия арифметического и алгебраического корня.
Арифметический или алгебраический (общий)
Арифметический корень n-й степени из неотрицательного вещественного числа a — это неотрицательное число b, для которого bn=a. Обозначается арифметический корень знаком радикала (про который мы уже сказали выше).
Арифметический корень второй степени из числа a (√a) — это неотрицательное число b (b ≥ 0), при котором выполняется равенство b2 = a. К примеру, корнями второй степени из числа 16 являются корни 4 и −4, но арифметическим из них является только корень 4.
Таким образом, арифметический корень, в отличие от корня общего вида (или алгебраического), определяется только для неотрицательных вещественных чисел, а его значение всегда существует, однозначно и неотрицательно.
Далее мы будем говорить именно про арифметические корни.
Наиболее часто используемые корни — это корни второй степени и корни третьей степени. Они даже имеют собственные названия:
- Квадратный корень
- Кубический корень
Квадратный корень
Квадратный корень – это корень со степенью два. Чаще всего, в значении радикала степень «два» не прописывается, а просто используется символ √.
Арифметический квадратный корень всегда является положительным числом, и кроме того подкоренное значение также всегда положительно.
Почему все происходит именно так, нам расскажет простой пример с решением:
- Ищем квадратный корень из -16.
- Логично предположить в ответе — 4.
- Но если проверить таким образом: 4*4 = 16 — то нет, не сходится.
- Если — 4, то -4 * -4 = 16, нужно отметить, что минус на минус всегда в итоге дает плюс.
Ни одно число при возведении его в квадрат не дает отрицательного результата.
Вывод: все числа, которые стоят под знаком корня, всегда должны быть положительными.
Кубический корень
Кубический корень – это такое число, которое для получения подроренного числа нужно умножить само на себя три раза.
К примеру, кубический корень из 64 будет равен «4».
Решение будет выглядеть так: 4х4х4 = 64.
Как появились математические корни?
Впервые задачи, в которых извлекался квадратный корень, обнаружили у вавилонских математиков. Именно в них применялись теоремы Пифагора для того, чтобы определить треугольник с прямыми углами по двум другим известным сторонам.
Также в них находили стороны квадрата с заданной площадью и решали квадратные уравнения.
Для извлечения квадратного корня древние математики разработали специальный численный метод.
Для квадратного корня из «a» они рассчитывали натуральные числа n в меньшую сторону из ближайшего к корню. Если выражение «a = n2 + r» представить в таком виде, то можно получить
И далее шел уточняющий процесс, который соответствовал методу Ньютона:
Как произошла символика значений? У корня очень сложная и долгая история. Его извлекали еще древние греки и подходили к этому очень ответственно: они находили стороны квадрата по его площади. Математики средневековья сокращали корень от «radix» и обозначали его Rx.
Рене Декарт (1596–1650) — французский математик и философ. Декарт является одним из основателей философии Нового времени и аналитической геометрии, а ещё он – одна из ключевых фигур научной революции.
Главные свойства корней
Корень нечетной степени, состоящий из положительного числа — есть положительное число, определенное однозначно.
Корень нечетной степени, состоящий из отрицательного числа — есть отрицательное число, определенное однозначно.
Корень чётной степени, состоящий из положительного числа, имеет 2 значения со знаками противоположности, но равными по модулю.
Корень чётной степени, состоящий из отрицательного числа в области вещественных чисел, не существует, так как при возведении любого вещественного числа в степень с четными показателями в результате получится неотрицательное число.
Ниже показано, как извлекать данные корни в множестве комплексных чисел, когда значениями корня будут n комплексных чисел.
Корень любой натуральной степени из нуля — ноль.
Алгоритм нахождения корня n-степени
Корень n-ой степени n√A действительного положительного числа А есть действительное положительное решение уравнений xn = A.
Как найти быстро сходящийся алгоритм корня в n-ой степени? Для этого нужно:
1. Вычислить начальное предположение x0
2. Определить
3. Далее повторять пункт № 2 до момента, пока необходимая точность не будет достигнута.
Для нахождения квадратного корня итерационной формулы Герона служит частный случай, с подстановкой выглядит так:
n = 2 в шаг 2: xk+1 = (xk + A/xk) / 2
Имеется несколько вариантов данного алгоритма. Один — как касательный метод Ньютона для нахождения нулей функций f(x). Сходится такой метод достаточно быстро, несмотря на то что является итерационным.
У этого метода скорость сходимости является квадратичной. Это указывает на то, что числа с верными разрядами в ответе будут удваиваться с каждой итерацией — другими словами, будет увеличиваться точность нахождения ответа с 1-го до 64-х разрядов, и будет требоваться только шесть итераций.
Но следует помнить и о машинной точности.
Из всего этого можно сделать заключение, что в компьютерах данный алгоритм используется, как самый быстрый метод нахождения корней в квадрате.
Что касается больших значений n, то алгоритм здесь будет менее эффективным, поскольку потребует на каждом шагу таких вычислений:
Но такое вычисление выполняется при помощи алгоритма быстрого возведения в степень.
Вопросы и ответы
А также обратите внимание на ответы на некоторые часто задаваемые вопросы.
Для чего на практике надо найти корень?
Если в науке что-то существует — то это обязательно для чего-то нужно, даже если нет обычного понимания для чего. Квадратный корень используется повсюду, но в основном там, где имеется какая-нибудь геометрия.
К примеру, компьютерная графика. Для значительного достижения и улучшения в свое время применялись специальные алгоритмы быстрого обратного квадратного корня в играх.
Сегодня без квадратных корней невозможно поиграть в такие игры, как «танчики», Скайрим, Киберпанк.
Можно ли корень записать в виде степени?
Да, корень от x в степени n – это x в степени 1/n.
Как связаны между собой степень в виде десятичной дроби и корни?
Переход от степени с выражениями и дробными показателями в основании выполняется на области всех допустимых значений в основании степени при исходных выражениях.
К примеру:
представляется, как квадратный корень
А запись
выражается для всех x, y, z, как
Как пользоваться калькулятором корней?
Для того, чтобы вычислить квадратный корень с пошаговым объяснением, достаточно воспользоваться калькулятором на этом сайте ecalc.ru.
Наш сайт позволяет быстро и точно вычислить корень из числа онлайн.
И не нужно высчитывать все самостоятельно в уме, искать готовые решения задач или проверять ответы.
Нужно просто вписать все необходимые данные. Если нужно просто найти корень, следует указать число под √. Если понадобится, то ввести степень. Обычно вычисляется корень во второй степени, но здесь ее можно и не указывать.
Поделитесь в соцсетях
Если понравилось, поделитесь калькулятором в своих социальных сетях: вам нетрудно, а проекту полезно для продвижения. Спасибо!
Есть что добавить?
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.
Квадратный корень в калькуляторе вашего компьютера
Квадратный корень в калькуляторе вашего компьютера| Калькулятор вашего компьютера |   | |
    У этой страницы две цели: объяснить математику квадрата
корни и объяснить, как использовать калькулятор для получения точного корня или приближенного значения корня. Два набора справочных материалов подготовят вас к этой задаче — математические определения и словарный запас и другие функции или кнопки калькулятора.
    силы десяти, полномочия, главный корень, квадрат, квадратный корень, радикальный, знак радикала и подкоренное. Оставить оба заметки открыты и ваши калькулятор открытый.     Используйте кнопку КАЛЬКУЛЯТОР для просмотра изображения калькулятора компьютера. | ||
| Квадратный корень |   | |||
    Вычислите в уме квадратные корни в первых двух примерах.
Затем используйте калькулятор на своем компьютере, чтобы завершить каждый пример, чтобы увидеть
как работает калькулятор.
| ||||
| «Лошадь другого цвета» |   | |||
    «Лошадь другого цвета» — это выражение, используемое в ситуации в которой, хотя человек много знает об одной ситуации, текущая ситуация достаточно отличается, чтобы рассматривать его как совершенно другую ситуацию.
    Это означает, что этот калькулятор не может «говорить» на всех языках людей
использовать, когда они делают математику. | ||||
Этот калькулятор не может выполнить требуемую работу — это не
сделано для этой цели. Научный или графический калькулятор, использующий комплексные числа.
требуется.| Другой пример: «Кто-то использует Джона наверху» |   | |||
    Вы знаете… «Кто-то использует наверху, Джон» — высокий горшок в использовании — гипотенуза — та штука с Теорема Пифагора.     Возможно, вы сможете завершить этот пример в уме. Посмотрите, насколько больше требуется работа, когда калькулятор выполняет арифметические действия.
| ||||
| Половина мощности | |||||
    площадь и квадратный корень обратный операций — одно отменяет другое. Экспоненциальное обозначение, или силы, привыкшие к указать, что каждый преднамеренно взаимные друг другу. | |||||
| |||||
    Далее расширяем список некоторых сил
два, так что половинные мощности также включены.
| |||||
    Итак, возведение числа в половинную степень означает квадратный корень.     Следующий, вернуться к стр. 7 из ПОЖАЛУЙСТА, ИЗВИНИТЕ МОЮ ДОРОГУЮ ТЕТУ САЛЛИ!, Порядок действий. | |||||
Эта страница предоставлена вам MATHEMATICAL CONCEPTS, Inc., издателями МАТЕМАТИКА ГОВОРЯТ ЗДЕСЬ! , ISBN: 0-9623593-5-1.
    Настоящим вам предоставляется разрешение сделать ОДНУ печатную копию этой страницы
и его изображения для вашего ЛИЧНОГО и некоммерческого использования.
ВЫ МОЖЕТЕ НЕ СДЕЛАТЬ
ЛЮБЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ КОПИИ ЭТОЙ СТРАНИЦЫ, ЕЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ, ЕЕ ЗВУКОВЫХ КЛИПОВ ИЛИ ЕЕ АНИМИРОВАННЫХ
ГИФКИ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОТ:
[email protected] или по почте на адрес
адрес ниже.
Калькулятор квадратного корня — действительный и мнимый
Sqrt(2). Найдите квадратный корень из 2 или любого другого действительного числа, положительного или отрицательного. Вот ответы на такие вопросы, как: Калькулятор квадратного корня — действительный и мнимый или что такое квадратный корень из 2?
Что такое квадратный корень? Определение квадратного корня
Квадратный корень из числа ‘x’ – это число y такое, что y 2 = x, другими словами, число y, квадрат которого равен y. Например, 5 — это квадратный корень из 25, потому что 5 2 = 5•5 = 25, -5 — это квадратный корень из 25, потому что (-5) 2 = (-5)•(-5) = 25. При написании математических выражений люди часто используют sqrt(x) для обозначения квадратного корня из x.
Подробнее о квадратном корне читайте здесь: Квадратный корень — Википедия и здесь: Квадратный корень — Wolfram
Квадратный символ?
Вот символ квадратного корня. Он обозначается √, известным как радикальный знак или основание.
Таблица квадратного корня 1-100
Квадратные корни от 1 до 100 округляются до тысячных.
| номер | квадрат | квадрат корень | ||
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1.000 | ||
| 2 | 4 | 1.414 | ||
| 1.732 | ||||
| 4 | 16 | 2.000 | ||
| 5 | 25 | 2.236 | ||
| 6 | 36 | 2.449 | ||
| 7 | 49 | 2.646 | ||
| 8 | 64 | 2,828 | ||
| 81 | 3.000 | |||
| 10 | 100 | 3,162 | ||
| 11 | 3,162 | |||
| 11 | 3,162 | |||
| 11 | 3,1620007 | 121 | 3. 317 | |
| 12 | 144 | 3.464 | ||
| 13 | 169 | 3.606 | ||
| 14 | 196 | 3.742 | ||
| 15 | 225 | 3.873 | ||
| 16 | 256 | 4.000 | ||
| 17 | 289 | 4.123 | ||
| 18 | 324 | 4.243 | 0010 | |
| 19 | 361 | 4.359 | ||
| 20 | 400 | 4.472 | ||
| 21 | 441 | 4.583 | ||
| 22 | 484 | 4.690 | ||
| 23 | 529 | 4.796 | ||
| 24 | 576 | 4.899 | ||
| 25 | 625 | 5.0007 |
9000 9000
90000416
корень
099
557| number | квадрат | квадрат корень | ||
|---|---|---|---|---|
| 51 | 2 601 | 7.141 | ||
| 52 | 2 704 | 7.211 | ||
| 53 | 2,809 | 7.280 | ||
| 54 | 2,916 | 7.348 | ||
| 55 | 3,025 | 7.416 | ||
| 56 | 3,136 | 7.483 | ||
| 57 | 3,249 | 7,550 | ||
| 58 | 3,364 | 7,616 | ||
| 59 | 3 481 | 7,681 | ||
| 60 | 3,6008 9007 | |||
| 60 | 3,6008 | |||
| 60 | 3,6007 | |||
| 60 | 3,6008 | |||
7. 746 | ||||
| 61 | 3,721 | 7.810 | ||
| 62 | 3,844 | 7.874 | ||
| 63 | 3,969 | 7.937 | ||
| 64 | 4,096 | 8.000 | ||
| 65 | 4 225 | 8.062 | ||
| 66 | 4 356 | 8.124 | ||
| 67 | 4 889 | 8.185 | 4 889 | 8.185 | 0010
| 68 | 4,624 | 8.246 | ||
| 69 | 4,761 | 8.307 | ||
| 70 | 4,900 | 8.367 | ||
| 71 | 5,041 | 8.426 | ||
| 72 | 5,184 | 8.485 | ||
| 73 | 5 329 | 8,544 | ||
| 74 | 5,476 | 8.602 | ||
| 8.602 | ||||
8. 602 | ||||
| 8.602 | ||||
| 0008 5,625 | 8,660 |
| номер | квадрат | квадрат корень | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 76 | 5,776 | 8.718 | |||||||
| 77 | 5,929 | 8.775 | |||||||
| 78 | 6,084 | 8.832 | |||||||
| 79 | 6,241 | 8.888 | |||||||
| 80 | 6,400 | 8,944 | |||||||
| 81 | 6,561 | 9.000 | |||||||
| 82 | 6,724 | 9.055 | |||||||
| 83 | 6,889 | 9.110 | |||||||
| 84 | 7,056 | 9.165 | |||||||
| 85 | 7,225 | 9.220 | |||||||
| 86 | 7,396 | 9.274 | |||||||
| 87 | 7 569 | 9.327 | |||||||
| 88 | 7444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444н. 0007 | 9.381 | |||||||
| 89 | 7,921 | 9.434 | |||||||
| 90 | 8,100 | 9.487 | |||||||
| 91 | 8,281 | 9.539 | |||||||
| 92 | 8,464 | 9.592 | |||||||
| 93 | 8 649 | 9.644 | |||||||
| 94 | 8 836 | 9.695 | |||||||
| 9 0007 | 9.747 9000 | 9.025 | 9.747 9000 9000 | 9.747 9000 9000 | 9 0008 | 9007 9000 | 0010|||
| 96 | 9,216 | 9.798 | |||||||
| 97 | 9,409 | 9.849 | |||||||
| 98 | 9,604 | 9.899 | |||||||
| 99 | 9,801 | 9.950 | |||||||
| 100 | 10 000 | 10.000 |
квадратный корень значений около 2
| Номер | SQRT |
|---|---|
1. |