: Правило Крамера | Nagwa
Стенограмма видео
В этом видео мы узнаем, как использовать правило Крамера для решения системы линейных уравнений. Итак, что мы собираемся сделать, это использовать определители для решения систем двух линейных уравнений, использовать определители для решения системы трех линейных уравнений, а также понимать и использовать правило Крамера.
Итак, правило Крамера — полезный способ
помогает нам решать одновременные уравнения. И одна удобная вещь об этом
что это позволяет нам решать одну переменную, а не целую систему уравнений. Так как же это произошло? Ну, правило Крамера названо в честь
Габриэль Кремер. Он был женевским математиком. И то, что он изобрел, было способом
решение уравнения с использованием матриц или матричных уравнений и фактически
определители этих матриц. Теперь, прежде чем мы рассмотрим некоторые
примеры того, как использовать правило Крамера, мы просто немного взглянем на
само правило, как оно работает и что означает.
Так что на это тоже стоит обратить внимание отметить, что часто можно увидеть и использовать разные обозначения. Так что на этой странице вы даже можете увидеть что мы имеем в фактическом правиле Крамера в пузыре, у нас есть обозначение, которое использует Δ для нашей матрицы, поэтому он говорит определитель матрицы Δ sub 𝑥, тогда как также вы можете написать это как D sub 𝑥. Это означает, что определитель матрица.
Итак, если мы посмотрим на правило,
то правило Крамера говорит нам, что если у нас есть система уравнений — то в
В этом случае у нас есть три переменные, 𝑥, 𝑦 и 𝑧, но мы рассмотрим две и
трех переменных в этом уроке — тогда мы сможем найти решения уравнений
с использованием 𝑥 равно определителю матрицы Δ sub 𝑥 над определителем
матрица Δ. 𝑦 равно определителю
матрица ∆ sub 𝑦 над определителем матрицы ∆.
Ну, давайте представим, что у нас есть система
двух уравнений и переменных были 𝑥 и 𝑦. Итак, у нас есть три 𝑥 плюс два 𝑦
равно 23, а два 𝑥 минус четыре 𝑦 равно минус 22. Что ж, тогда мы могли бы сделать следующее:
фактически, установите это как матричное уравнение. Таким образом, у нас будет матрица три, два,
два и минус четыре. А это матрица нашего
коэффициенты, где наши 𝑥-коэффициенты являются первым столбцом, а наши
𝑦-коэффициенты — второй столбец. Они умножаются на матрицу
𝑥, 𝑦 — наши переменные. И тогда это будет равно
матрица ответов 23, отрицательное 22. И мы получаем это, потому что это
наши постоянные значения или наши ответы на наши уравнения.
Что ж, мы могли представить, что
матрица есть матрица ∆. Итак, у нас есть матрица коэффициентов
здесь. Таким образом, мы будем знать, как
знаменателя, если бы мы хотели найти нашу 𝑥-переменную, у нас был бы определитель
матрица три, два, два, отрицательное четыре. Итак, это имеет смысл. Но что будет с нашим числителем
быть? Что это за матрица ∆ sub 𝑥? Ну, матрица Δ sub 𝑥 — это то, что
мы получим, если подставим наши ответы, поэтому значения из нашей матрицы ответов,
вместо столбца, содержащего наши 𝑥-коэффициенты, что дало бы нам
матрица 23, два, минус 22, минус четыре, потому что мы видим, что 𝑦-коэффициенты
останется прежним. Поэтому, что мы могли бы сказать, это
что наше 𝑥-решение будет равно определителю матрицы 23, два,
минус 22, минус четыре над определителем матрицы три, два, два,
минус четыре.
Что мы можем сделать, так это применить Правило Крамера для нахождения 𝑦-решения. И мы сделаем это в некоторых примеры, к которым мы придем. Это просто, чтобы показать, как все это работает. Теперь, прежде чем мы перейдем непосредственно к несколько примеров, очевидно, здесь мы много говорим о детерминантах. Что я хочу сделать, это быстро бежать через, как найти определитель матриц два на два и три на три. Это то, что вы должны уже знаю, так что это будет просто очень краткий обзор.
Ну, во-первых, если подумать
о матрице два на два, если у нас есть матрица два на два 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, то
определитель этого будет равен 𝑎𝑑 минус 𝑏𝑐. Итак, что мы делаем, это перекрестное умножение и
вычесть. А потом для три на три
матрица, если мы хотим найти определитель, например, матрицы 𝑎, 𝑏, 𝑐,
𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖, это равно 𝑎, умноженному на определитель
подматрица 𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑖 минус 𝑏, умноженная на определитель подматрицы 𝑑,
𝑓, 𝑔, 𝑖 плюс 𝑐, умноженное на определитель подматрицы 𝑑, 𝑒, 𝑔, ℎ.
Итак, важный ключевой момент, Помните, что у нас есть положительное, отрицательное, положительное, когда мы смотрим на коэффициенты, прежде чем мы умножим определители наших подматриц. А также мы собираемся быстро напомнить сами, как мы находим подматрицу два на два. Итак, если мы возьмем элемент 𝑎, то мы удаляем столбец и строку, в которой он находится. Тогда у нас остается подматрица два на два 𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑖. Итак, теперь мы резюмировали те и мы также рассмотрели, как использовать правило Крамера. Сейчас мы рассмотрим некоторые Примеры. А что в нашем первом примере мы рассмотрим одно из условий правила Крамера.
Полезно ли правило Крамера для нахождения решения систем линейных уравнений, в которых существует бесконечное множество решения?
Что ж, мы могли бы ответить на этот вопрос
очень быстро, потому что мы могли бы просто сказать нет, потому что правило Крамера бесполезно для
когда есть система линейных уравнений, где существует бесконечное множество
решения.
Ну что мы знаем о единственном числе
матрица состоит в том, что ее определитель равен нулю. Итак, если мы посмотрим на
Правило Крамера, и мы хотим определить одну из трех переменных 𝑥, 𝑦 или 𝑧, тогда
что мы можем видеть, так это то, что в правиле у нас есть определитель матрицы как
знаменатель. Ну, если бы это была сингулярная матрица,
это будет ноль.
Хорошо, отлично. Мы ознакомились с условиями к которому применимо правило Крамера. Итак, теперь давайте посмотрим на некоторые примеры того, как мы используем правило Крамера.
Используйте определители для решения система минус восемь 𝑥 минус четыре 𝑦 равно минус восемь и девять 𝑥 минус шесть 𝑦 равно минус девять.
Итак, первое, что мы хотим сделать
с этой задачей фактически устанавливается матричное уравнение нашей системы
уравнения. И когда мы это делаем, что мы
будет матрица минус восемь, минус четыре, девять, минус шесть
умноженное на матрицу 𝑥, 𝑦 равно матрице ответов, а это отрицательно
восемь, минус девять.
Итак, что мы будем делать, потому что
мы хотим использовать определители для решения системы, тогда мы собираемся использовать
Правило Крамера. А правило Крамера говорит нам, что 𝑥
равен определителю матрицы ∆ sub 𝑥 над определителем
матрица Δ. А затем, чтобы найти 𝑦, он равен
определитель матрицы ∆ sub 𝑦 над определителем матрицы ∆.
Но мы могли бы посмотреть на это и
подумайте: «Ну, что такое матрица Δ sub 𝑥?» Ну, на самом деле, что это такое
матрица, которая формируется, когда мы подставляем матрицу ответов для столбца
𝑥-коэффициенты в нашей исходной матрице. Так, например, в нашей задаче мы
замените первый столбец в нашей матрице на матрицу ответов. Поэтому вместо чтения негатива
восемь, а затем девять, он читал отрицательную восьмерку, а затем отрицательную девятку. Итак, теперь давайте двигаться прямо и
найти наши определители.
Итак, прежде всего, мы хотим
определитель матрицы минус восемь, минус четыре, девять, минус шесть. Поэтому, когда мы разберемся с этим, мы
собираюсь получить отрицательные восемь, умноженные на отрицательные шесть минус отрицательные четыре, умноженные
на девять, что даст нам 48 плюс 36. И это равно 84.
И хорошо в этом то, что
это также помогает нам проверить, можем ли мы решить нашу систему уравнений, потому что если наша
матрица была вырожденной, то определитель будет равен нулю. Итак, мы видим, что это не
дело в этой проблеме здесь. Итак, что у нас будет дальше
посмотрите на определитель матрицы Δ sub 𝑥. Ну, то, что мы уже сказали здесь,
что такое Δ sub 𝑥, это матрица, которую мы получаем, когда мы подставляем отрицательные восемь и
отрицательные девять, наша матрица ответов, вместо наших 𝑥-коэффициентов. Итак, мы собираемся получить матрицу
минус восемь, минус четыре, минус девять, минус шесть.
Итак, для этого определителя, что мы
получится минус восемь умножить на минус шесть минус минус четыре
умножить на минус девять, что будет равно 12. Ладно, отлично. Итак, еще один определитель для работы
вне.
Теперь мы ищем
определитель матрицы ∆ sub 𝑦. Чему это будет равно
определитель матрицы минус восемь, минус восемь, девять, минус
девять. И как прежде, что у нас есть
это заменяет в нашей матрице ответов коэффициенты 𝑦. Так что это будет равно
минус восемь умножить на минус девять минус минус восемь умножить на девять,
что будет равно 144. Хорошо, отлично. Итак, теперь у нас есть все, что нам нужно
использовать правило Крамера для решения нашей системы уравнений. Итак, используя правило Крамера, что мы
получится 𝑥 равно 12 на 84. Но тогда мы можем разделить
числитель и знаменатель на 12.
И когда мы это делаем, мы получаем 𝑥 is
равно единице больше семи.
Хорошо, отлично. Мы нашли решение для 𝑥. Теперь переходим к 𝑦. Итак, еще раз, используя правило Крамера, мы собираемся получить 𝑦 равно и у нас есть определитель матрицы Δ sub 𝑦 над определителем матрицы Δ, так что это даст нам 144 на 84. Итак, еще раз, что мы можем сделать, это упростить нашу дробь. Мы могли бы сделать это, разделив числитель и знаменатель на 12. И когда мы это делаем, мы получаем 𝑦 is равно 12 на семь или двенадцать седьмых. Таким образом, мы можем сказать, что решения нашего уравнения таковы: 𝑥 равно седьмой и 𝑦 равно двенадцати седьмым.
Хорошо, отлично. Мы рассмотрели пример того, как решить систему двух уравнений. Так что теперь, что мы собираемся сделать, это взять рассмотрим систему трех уравнений с тремя переменными 𝑥, 𝑦 и 𝑧.
Используйте определители для решения
система пять 𝑥 равно минус два 𝑦 минус пять плюс три 𝑧, минус три 𝑥
минус 𝑦 плюс один равно двум 𝑧, а два 𝑦 минус 𝑧 равно минус пять 𝑥 плюс
три.
Итак, в такой задаче первое, что мы хотим сделать, это переставить наши уравнения так, чтобы переменные в левой части. И тогда у нас есть ответы на правая часть, которые являются числовыми значениями или константами. Таким образом, наше первое преобразованное уравнение имеет вид будет пять 𝑥 плюс два 𝑦 минус три 𝑧 равно минус пять. Тогда для второго уравнения у нас будет минус три 𝑥 минус 𝑦 минус два 𝑧 равно минус единица. И наконец, пять 𝑥 плюс два 𝑦 минус 𝑧 равно трем.
Хорошо, отлично. У нас так, но зачем
мы хотим это в этой форме? Мы хотим его в этой форме, чтобы мы могли
составить матричное уравнение. И когда мы это делаем, мы получаем
матрица пять, два, минус три, минус три, минус один, минус два, пять,
два, отрицательный, умноженный на матрицу для наших переменных, которая равна 𝑥, 𝑦,
𝑧. Тогда это равно нашему ответу
матрица минус пять, минус один, три.
Хорошо, отлично. Но как это поможет нам удовлетворить наши
цель, которая состоит в том, чтобы решить систему уравнений с помощью определителей? Что ж, мы собираемся использовать
Правило Крамера. И то, что говорит нам правило Крамера,
что мы можем найти переменные или решения нашей системы уравнений, используя, для
Например, 𝑥 равно, то у нас есть определитель матрицы Δ sub 𝑥 над
определитель матрицы ∆. И затем этот шаблон продолжается для
𝑦 и 𝑧.
Хорошо, тогда использовать это то, что мы
нужно сделать, это разработать наши определители. Первый определитель, который мы собираемся
work является определителем Δ, который будет нашей матрицей коэффициентов. Итак, что мы собираемся сделать, это выяснить
определитель матрицы пять, два, минус три, минус три, минус
один, минус два, пять, два, минус один. Так что это будет равно пяти
умножить на определитель подматрицы минус один, минус два, два,
минус один минус два, умноженный на подматрицу минус три, минус два,
пять, минус один минус три, умноженное на подматрицу минус три, минус
один, пять, два, помня, что когда мы находим определители, коэффициенты идут
положительный, отрицательный, положительный.
И чтобы найти наши подматрицы, мы
удалить столбец и строку, в которой находится наш коэффициент.
Хорошо, отлично. Итак, теперь мы вычисляем это. А потом вспоминая, что когда мы выработать определители матриц два на два, мы делаем перекрестное умножение, а затем вычтем, получим пять умножить на один плюс четыре минус два умножить на три плюс 10 минус три умножить на минус шесть плюс пять, что равно два. Так что это здорово, потому что это также говорит нам, что матрица невырожденная. Итак, мы знаем, что существует не будет бесконечного количества решений. И это потому, что если бы было, тогда определитель будет равен нулю. Итак, теперь, что мы собираемся сделать, это расчистите пространство и определите другие определители, которые нам нужно найти.
Теперь нам нужно найти
определитель Δ sub 𝑥. И то, как мы это делаем,
подставив в значения матрицы ответов коэффициент при 𝑥-значении, так что
первый столбец нашей матрицы.
Итак, что мы собираемся делать
найти определитель этой матрицы. И для этого, что мы будем делать
заключается в использовании тех же методов, что и для предыдущего определителя, который
дайте нам определяющее значение отрицательного 42. И вы можете увидеть рабочий
там. Хорошо, отлично. Итак, еще раз, мы собираемся очистить
немного места и посмотрим на наш следующий определитель.
Итак, теперь мы найдем
определитель матрицы ∆ sub 𝑦. И это будет там, где мы
подставим в нашу матрицу ответов 𝑦-коэффициенты в матрице. Итак, еще раз, используя тот же
метод нахождения определителя, у нас будет определитель 112. И снова показана работа
здесь. Итак, еще раз, что мы собираемся делать
освобождает место для конечного определителя. Так что для финала это будет
определитель матрицы ∆ sub 𝑧. Итак, еще раз, мы проходим через
тот же метод, чтобы найти определитель нашей матрицы три на три.
И то, что это дает нам, является ценностью
восемь.
Теперь у нас есть все определителей, нам нужно использовать правило Крамера, чтобы узнать наши переменные 𝑥, 𝑦 и 𝑧. Итак, прежде всего, мы собираемся начать с 𝑥, что будет равно отрицательному значению 42 на два. И мы получаем это, потому что это определитель Δ sub 𝑥 над определителем Δ. Итак, это даст нам значение 𝑥 равняется минус 21. И тогда для 𝑦 у нас будет 112 на два, что даст нам 𝑦-значение 56. И, наконец, мы получим 𝑧 равно восьми больше двух, и это даст нам 𝑧 равно четырем. Таким образом, мы можем сказать, что решения наших систем уравнений: 𝑥 равно отрицательному 21, 𝑦 равно 56 и 𝑧 равняется четырем.
Итак, мы рассмотрели три
различные примеры, один из которых помог нам определить одно из свойств
правило. Затем мы рассмотрели решение системы
уравнений с двумя уравнениями.
А сейчас мы только что рассмотрели
решить систему из трех уравнений. Итак, теперь давайте подведем итоги
ключевые моменты урока.
И первый ключевой момент, если мы есть система уравнений, то что мы хотим сделать, так это получить ответы самостоятельно в правой части. И это для того, чтобы мы могли написать это в виде матричного уравнения с матрицей ответов в правой части равного знак. Затем мы также увидели, что иметь возможность используйте правило Крамера, матрица не должна быть вырожденной. Так это коэффициент матрица. Значит, определитель не равно нулю.
Затем у нас есть правило Крамера и
это говорит нам, как мы будем находить наши неизвестные, используя определители. Так, например, если мы хотим
найти 𝑥, это будет равно определителю Δ sub 𝑥 над определителем
Δ, также помня, что мы можем увидеть здесь другое обозначение, потому что вместо
определитель Δ sub 𝑥, мы могли бы просто увидеть D sub 𝑥.
И точно так же у нас будет D sub 𝑦
и D. Итак, наконец, у нас есть
определитель Δ sub 𝑥. И мы нашли бы это, заменив
в матрице ответов in вместо 𝑥-коэффициентов, поэтому у нас был бы определитель
отрицательных восьми, отрицательных восьми, семи и шести для нашего примера.
Матрикс -уравнение -калькулятор -ось = B — Google Suce
AllebilderVideosshoppingMapsNewsbücher
Sucoptionen
MATRIX Calculator — System Solver On Line
WWW.MATHSTOLS -COLVER. Калькулятор систем: Интуитивно понятный калькулятор матриц… 1) Расчет канонической формы Жордана. … 3) Решить системы линейных уравнений в виде Ax=b.
Калькулятор матричных уравнений — Symbolab
www.symbolab.com › … › Алгебра › Уравнения
Бесплатный калькулятор матричных уравнений — шаг за шагом решайте матричные уравнения.
Решатели матриц (калькуляторы) с шагами
www.
math20.com › Решатели задач
Вычисление определителя, ранга и обратной матрицы. Размер матрицы: … Решение системы n линейных уравнений с n переменными … Размерности B: 3 x.
Ähnliche Fragen
Что такое B в матрице Ax B?
Как решить AX B на ti84?
Калькулятор системы линейных уравнений — Калькулятор матриц
matrixcalc.org › slu
Вы можете решать системы линейных уравнений с помощью исключения Гаусса-Жордана, правила Крамера, обратной матрицы и других методов. Также вы можете анализировать…
Калькулятор матриц
matrixcalc.org
С помощью этого калькулятора вы можете: найти определитель матрицы, ее ранг, возвести матрицу в степень, найти сумму и умножение матриц, …
Как решить Ax=b в калькуляторе, используя обратную скорее … — YouTube
www.youtube.com › смотреть
07.11.2016 · Как решить Ax=b в калькуляторе, используя обратную скорее чем дополненная матрица TI 83 .
..
Дата: 3:56
Прислан: 07.11.2016
Wolfram|Alpha Widgets: «Matrix Equation Solver»
www.wolframalpha.com May › widgets › view
Added4 28, 2011 по scottynumbers по математике. Решает матричное уравнение Ax=b, где A — матрица 2×2. Отправить отзыв|Посетить Wolfram|Alpha …
Калькулятор матриц — eMathHelp
www.emathhelp.net › калькуляторы › линейная алгебра
Поэтапное решение матриц. Этот калькулятор складывает, вычитает, умножает, делит и возводит в степень две матрицы с показанными шагами …
Калькулятор наименьших квадратов — Адриан Столл
adrianstoll.com › post › калькулятор наименьших квадратов
: ← Комплексный матричный обратный калькулятор … Это вычисляет решение уравнения AX = B методом наименьших квадратов путем решения нормального уравнения ATAX = ATB.
Решение систем линейных уравнений Ax = B относительно x — MATLAB mldivide \
www.mathworks.