Числовые ряды — онлайн калькулятор.
Числовой ряд — это выражение вида
где члены ряда действительные или комплексные числа, общий член ряда.
Ряд задан, если известен общий член ряда un, выраженный как функция его номера n:
n-я частичная сумма ряда — это сумма первых n членов ряда
Рассмотрим следующие суммы:
Ряд сходится, если существует конечный предел
последовательности частичных сумм ряда.
Предел называется суммой ряда
Ряд расходится, если не существует или равен бесконечности.
Примеры
Покажем, что сумма данного ряда равна единице. Разложим общий член ряда на сумму простейших дробей:
Вычислим коэффициенты А и В:
Составим n-ю частичную сумму ряда:
Вычислим предел последовательности частичных сумм:
Свойство 1.
сходится и его сумма равна S, то ряд
где с — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.2) расходится и , то и ряд (1.3) расходится.
Доказательство
Так как существует конечный предел частичных сумм, то ряд (1.3) сходится и имеет сумму cS.
2. Покажем, что если ряд (1.2) расходится, , то и ряд (1.3) расходится. Допустим противное: ряд (1.3) сходится и имеет сумму
Тогда
откуда
т. е. ряд (1.2) сходится, что противоречит условию о расходимости данного ряда.
Свойство 2. Если сходится ряд (1.2) и сходится ряд
а их суммы соответственно равны то сходятся и ряды
причем сумма каждого равна S1 ± S2.
Доказательство
Пусть n-е частичные суммы рядов (1.2), (1.4), (1.5) соответственно. Тогда
т. е. каждый из рядов (1.5) сходится и сумма его равна S1 ± S2.
Следствие Сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.
Замечание Сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом.
Свойство 3. Если к ряду (1.2) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1.2) сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство Пусть S — сумма отброшенных членов ряда, k — наибольший из этих номеров.
Будем считать, что на место отброшенных членов ряда поставим нули. Тогда при n > k будет выполняться равенство где n-я частичная сумма ряда, полученного из ряда (1.2) пу- тем отбрасывания конечного числа членов. Поэтому
Пределы в левой и правой части данного равенства одновременно существуют или не существуют, т. е. ряд (1.2) сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходятся (расходятся) ряды без конечного числа его членов. Аналогично в случае приписывания к ряду конечного числа членов.
называется n-м остатком ряда (1.2), который получается из ряда (1.2) отбрасыванием его n первых членов.
Согласно свойству 3: 1) ряд (1.2) и его остаток одновременно либо сходятся, либо расходятся; 2) если ряд (1.2) сходится, то его остаток при стремится к нулю, то есть
Posted in База знаний
Радикальный признак Коши сходимости рядов в примерах
- Радикальный признак Коши: как применять
- Задачи на радикальный признак Коши
Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.
Радикальный признак Коши, часто называемый просто признаком Коши, так же, как и признак сравнения, признак Даламбера и интегральный признак Коши, является достаточным признаком сходимости рядов. Исследование ряда с помощью этого признака даёт однозначный ответ на вопрос о том, сходится ряд или расходится. Если, конечно, использование этого признака обосновано.
Радикальный признак Коши применяется, когда выражение общего члена находится в
степени, зависящей от n.
Например, .
Для использования радикального признака Коши нужно уметь уверенно находить пределы.
Теорема (радикальный признак Коши). Пусть существует предел корня n-й степени из общего члена ряда:
.
Тогда
- если предел меньше единицы (), то ряд сходится,
- если предел больше единицы (), то ряд расходится,
- если же предел равен единице (), то ничего определённого о сходимости ряда сказать нельзя: радикальный признак Коши здесь не годится и нужно использовать другой признак.
Пример 1. Исследовать сходимость ряда
Решение. Применяем радикальный признак Коши — находим предел корня n-й степени из общего члена ряда. Вспоминаем правило преобразования в степень корня n-й степени из выражения под корнем — в полученном выражении степень выражения под корнем делится на степень корня:
Так как полученный предел меньше единицы (),
данный ряд сходится.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда
Решение. Применяем радикальный признак Коши — находим предел. В полученном после преобразования в степень корня n-й степени из выражения под корнем n делится на n, поэтому сразу получаем подкоренное выражение в первой степени:
Так как полученный предел меньше единицы (), данный ряд сходится.
Применить радикальный признак Коши самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 3. Исследовать сходимость ряда
Посмотреть правильное решение и ответ.
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
Пример 4. Выяснить, сходится или расходится ряд
Решение. Применяем радикальный признак Коши — находим предел:
Так как предел меньше единицы (),
то по радикальному признаку Коши данный ряд сходится.
Пример 5. Выяснить, сходится или расходится ряд
Решение. Применяем радикальный признак Коши — находим предел:
Так как предел больше единицы (), то по радикальному признаку Коши данный ряд расходится.
Применить радикальный признак Коши самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 6. Выяснить сходимость ряда
Посмотреть правильное решение и ответ.
Пример 7. Выяснить, сходится или расходится ряд
Решение. Применяем радикальный признак Коши — находим предел:
Так как предел меньше единицы (), то по радикальному признаку Коши данный ряд сходится.
| Назад | Листать | Вперёд>>> |
К началу страницы
Пройти тест по теме Ряды
Всё по теме «Ряды»
- Числовые ряды
- Признак сравнения рядов
- Признак Даламбера сходимости рядов
- Радикальный признак Коши сходимости рядов
- Интегральный признак Коши сходимости рядов
- Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.
Признак Лейбница - Функциональные ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
Признак Лейбница— Обмен файлами
Этот сценарий находит сходимость или расхождение бесконечных рядов, вычисляет сумму, предоставляет график частичной суммы и вычисляет радиус и интервал сходимости степенного ряда. Включены следующие тесты: тест дивергенции (тест n-го члена), интегральный тест (тест Маклорена-Коши), тест сравнения, тест предельного сравнения, тест отношения (тест отношения Даламбера), тест корня (тест корня Коши), тест чередующихся рядов. (критерий Лейбница), критерий абсолютной сходимости, критерий p-серии, критерий геометрического ряда, критерий Раабе, критерий Бертрана, критерий Ермакова, критерий конденсации Коши и критерий степенного ряда. Тест степенных рядов использует тест отношений, тест корня и теорему Коши-Адамара для расчета радиуса и интервала сходимости степенных рядов. Все тесты имеют графики частичной суммы, кроме теста Power Series.
В основном списке (упомянутом выше) 15 тестов сходимости. Тест абсолютной сходимости имеет второй список с 3 тестами сходимости: абсолютная сходимость с интегральным тестом, абсолютная сходимость с тестом сравнения и абсолютная сходимость с тестом предельного сравнения. Всего имеется 17 тестов сходимости. Все тесты на сходимость требуют ввода выражения бесконечной последовательности, выбранного номера теста (из 15) и начального k для 12 тестов — это все, что требуется для выполнения этих тестов. Тест абсолютной сходимости имеет дополнительные входные данные из списка Тест абсолютной сходимости (из 3): Абсолютная сходимость с интегральным тестом, Абсолютная сходимость с тестом сравнения и Абсолютная сходимость с тестом предельного сравнения. 2 сравнительных теста и 2 предельных сравнительных теста имеют 2 дополнительных входа: является ли выражение сравнения сходящимся или расходящимся, и, наконец, выражение сравнения.
Я написал этот скрипт, потому что никто другой этого не делал, и я предположил, что он может получить значительное количество загрузок. Я изучил и протестировал этот сценарий с помощью книг по бесконечным сериям, интернет-исследований и обширно с ~ 22 книгами по математическому анализу. Первоначально я предназначал этот сценарий для студентов, но он стал настолько мощным, точным, простым и надежным, что профессор скачал его. Если у кого-то есть вопросы или комментарии по этому сценарию, включая возможности трудоустройства, не стесняйтесь обращаться ко мне!
[1] Дэниел Д. Бонар, Майкл Дж. Хури. «Настоящая бесконечная серия». Первоначально опубликовано Математической ассоциацией Америки в 2006 г., авторское право (2006 г.
) и переиздание (2018 г.) в США принадлежат Американскому математическому обществу. Провиденс, Род-Айленд. ISBN: 9781470447823
[2] TJ IA. Бромвич. «Введение в теорию бесконечных рядов». Alpha Editions, www.alphaedis.com (2020). ISBN: 9789354038747
Цитировать как
Дэвид Казенав (2023). Калькулятор сходимости серий (https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/72141-series-convergence-calculator), MATLAB Central File Exchange. Получено .
Решение для всех ваших потребностей-Mathauditor
Вы умеете находить сумму арифметического ряда или любого
другие геометрические ряды? Если ваш ответ нет, и вы ищете
для автоматизированной справки, с помощью которой вы можете легко получить последовательность
то вы должны проверить детали, приведенные здесь. Здесь мы предоставляем
вы лучший калькулятор суммы ряда, который вы можете использовать для выполнения
сложные вычисления, связанные с последовательностью.
С помощью этого
калькулятор суммы ряда, вы можете легко найти сумму
геометрическая, бесконечная, степенная, арифметическая и биномиальная последовательность как
хорошо. Кроме того, если вы готовы получить частичную сумму
тогда вы также можете использовать Series Solver или, скажем, Series
Калькулятор приведен здесь.
Чтобы получить или вычислить сумму
серии много усилий всегда требуется. Особенно когда это
приходит к вычислению частичной суммы ряда сложность получает
повышенная. Калькулятор частичной суммы, предоставленный ревизором по математике,
помочь вам в получении суммы очень сложных рядов. Хотеть
чтобы узнать больше о Nth Partial Sum Calculator и других
такие детали, как лимит серии? Ознакомьтесь с приведенными деталями
ниже.
Что такое серия?
Сумма членов последовательности называется рядом.
Найти калькулятор суммы
Используя калькулятор суммы, вы можете легко вычислить сумму
ряд, частичная сумма, отношение и ряд других.
Калькулятор суммы серии
С помощью калькулятора суммы вы можете легко выполнить расчеты. Формула, по которой вычисляется сумма серия:
Сумма = \frac{n \cdot \left(a_{{1}}+a_{{n}}\right)}{2} или [\frac{n \cdot \left(\left(n-1\right) \cdot d+2 \cdot a_{{1}}\right)}{2}] 9{{0}}\справа)}{1-r}
Пример: {3}+{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81} имеет a_{{1}} = 3, r = \frac{1}{3}, ah6 n = 6
Бесконечная серия:
Калькулятор частичной суммы:
Иногда становится трудно получить сумму части
последовательность. Эта сумма также известна как частичная сумма. Вычислять
частичной суммы, вы можете использовать простейшую формулу:
частичная сумма арифметического ряда:
Калькулятор бесконечной суммы
Если вы хотите получить значение бесконечной суммы, это также в
геометрическая последовательность, то вам необходимо записать формулу в виде:
Если вы
не имея rk, тогда используемая формула будет:
Калькулятор сходимости рядов
Если последовательность достигает определенного предела, то она считается
как сходящаяся последовательность.
n/ (n+1).
Как пользоваться Калькулятором суммирования
Прежде всего необходимо ввести выражение суммы После этого вам необходимо ввести верхний и нижний пределы. требуются сведения о переменной, которая будет использоваться в выражении для ввода. Наконец, нажмите на вкладку «Рассчитать», чтобы получить результат.
Калькулятор теста сходимости
Конвергентные тесты — это метод, с помощью которого человек может легко проверить сходимость, условную сходимость и абсолютную сходимость, интервал сходимости или расхождения бесконечного ряд . Этот метод становится проще всего с помощью Калькулятора конвергенции.
Калькулятор теста отношения с шагами
Если вы хотите получить отношение серии, то это
важно для вас поставить правильную формулу. математический
формула для нахождения отношения:
Затем,
1. В футляре L2. Если L>1, то ряд расходится.
3. В случае L=1 ряд может быть либо расходящимся, либо условно сходящимся, либо
также абсолютно сходится.
Как пользоваться Калькулятором суммирования
- Прежде всего вам необходимо ввести выражение сумма
- После этого необходимо ввести верхний и нижний пределы
- Подробная информация о переменной, которая будет использоваться в выражении, необходимо ввести
- Наконец, нажмите на вкладку «Расчет», чтобы получить результат.
Как я могу использовать калькулятор серий, чтобы получить сумму?
Если вы хотите найти сумму последовательности, то вы предложено использовать калькулятор серий / Чередующиеся серии Калькулятор с шагами, приведенными здесь в разделе ниже.
- Для того, чтобы получить сумму, прежде всего вам нужно выбрать переменные серии, нижняя и верхняя границы, а также вам нужно введите выражения для конечного члена последовательности, для которой ты работаешь.
- Вам нужно выбрать переменную суммирования, например, x, y, z, т, у, с, а, б, в или любые другие.
- После этого вам нужно ввести нижнюю границу представления. Либо вы можете выбрать его из автоматических данных или ввести
себя тоже.
- После этого необходимо ввести верхнюю границу представления в поле Калькулятор конвергенции дивергенции. Так же, как нижняя граница представления вам также необходимо ввести его.
- После ввода цифр нужно нажать на вкладку решения и тогда результат будет отображаться перед вами.
Либо вы можете выбрать его из автоматических данных или ввести
себя тоже.Сумма членов геометрического ряда (геометрического ряда)
Чтобы найти сумму первых n членов геометрической прогрессии,
Формула, которую необходимо использовать, выглядит следующим образом:
S n = a1(1-r n )/1-r,
r≠1
Где:
N : количество слагаемых,
и 1 :
первый член и
r : обыкновенное отношение.
Онлайн-калькулятор суммы ряда
Для расчета суммы ряда важно сделать
суммирования по всем элементам ряда. С помощью
калькулятор суммирования или калькулятор суммы последовательностей, это
становится проще вычислять сумму ряда в каждом условии;
либо верхняя граница суммирования равна бесконечности, либо любое другое число.