Математика
·
5,3 K
ОтветитьУточнитьЛучший
Алексей Малистов
Математика
54
Математик, разработчик. Область интересов: математика, машинное обучение, компьютерное… · 4 мар 2021 · malistov.ru
Каждый калькулятор хранит разное число знаков. В зависимости от модели калькулятора вы можете получать разные ответы. Но это правда, что число знаков конечно.
Вероятнее всего, калькулятор хранит числа в двоичной системе, а не десятичной, поэтому так просто нельзя сказать, что pi определено, как 3,14 или 3,141 или 3,141592, потому что обрезает калькулятор скорее всего по бинарному представлению. Существует стандарт хранения дробных чисел IEEE 754.
(cos(ln (e)* pi) + i * sin(ln (e)*pi))
Каждая часть в этом выражении, разумеется, вычисляется с погрешностью, потому что все числа заданы с погрешностью, но любой промежуточный ответ должен быть также записан в формате IEEE 754. Когда вы попытаетесь вычислить ln(e), то сможете убедиться, что ответ будет ровно 1 даже при том, что e определен неточно. Давайте эксперимент. Я специально обрезал e до 24 битов по мантиссе (использовал одинарную точность). Получил примерно 2.718281865… вместо 2.718281828459045…. Затем подсчитал логарифм от такой величины e. Получается 1.0000000134867872, ошибка в 8-ом знаке и при попытке это запихнуть назад в одинарную точность с мантиссой в 24 бита, на вот эти 0.0000000134… не хватает битов в мантиссе и мы получаем ровно единицу. Аналогично будет и с двойной точностью.
Теперь cos(1*pi). Здесь по такой же причине получается, что cos(pi) дает -1 без каких-то добавочных погрешностей. В моем эксперименте pi равен 3.
Но хитрые калькуляторы только внутри себя хранят 53 битов мантиссы (15-16 десятичных знаков), а вам показывают из них только 13-14 десятичных знаков после запятой, чтобы не смущать значениями возле погрешности, поэтому что-то в 16-ом знаке после запятой вы никогда не увидите, а -1+ 0.00000000000000012246*i превратится просто в -1.
Вот и вся магия.
Сергей Матвеев
4 марта 2021
я считаю, что везде по разному
Комментировать ответ…Комментировать…
Виталий Гробштейн
4,8 K
Инженер, пенсионер · 4 мар 2021
Нисколько. Современные калькуляторы не хранят ни математических констант, ни таблиц тригонометрических функций, логарифмов и т.п. Все это вычисляется «на лету» с использованием хорошо известных алгоритмов.
Комментировать ответ…Комментировать…
Анонимный ответ4 марта 2021
это зависит от длинны экрана кулькулятора.
по разному. все зависит от фирмы-производителя. есть маленькие кулькудяторы, в которые помещается 3-4 знака после запятой. но есть и большие ведь!
Комментировать ответ…Комментировать…
Вы знаете ответ на этот вопрос?
Поделитесь своим опытом и знаниями
Войти и ответить на вопрос
Пи равно трём — блог Привычка не думать
Продолжим вчерашнюю мысль о детской наивности.
Всем хорош фильм «Rain Man» («Человек дождя»), но есть у него один режущий глаз момент. Общение главного героя с психиатром переходит в проверку математических способностей Рэя:
— Do you know how much the square root of 2130 is?
— 46.15192304.
Вроде бы, всё хорошо, главный герой подтвердил свою «гениальность» (почему они способность считать как калькулятор называют гениальностью?). Но мы знаем, что квадратный корень из 2130 — это бесконечная дробь (46.151923036857304934417782… и ещё бесконечно много цифр). А Рэй назвал только 10 знаков (ровно столько же показывает калькулятор психиатра).
Знал ли Рэй, что на калькуляторе отображается не 8, не 12, а именно 10 цифр? Почему он остановился на десятой значащей цифре? Правильно! Потому что сценаристы учились в такой школе, где им не объяснили разницу между числом и его приближением (во всяком случае, им на это было глубоко плевать).
Несколько месяцев назад мне довелось пообщаться с проверяющими районных олимпиад одного многострадального города (с населением за миллион). Они рассказывали, что в 2007-м году они впервые ощутили ужас, проверяя детские работы. Оказалось, что в очень многих работах (благо, не во всех) используется очень простая формула для вычисления длины окружности: L=6.28R. То есть вместо удвоенного Пи дети сразу используют готовое число 6.28. Тогда ещё вспомнилась шутка о том, что в штате Юта местный парламент принял закон с очень короткой формулировкой: «Пи равно трём». Скорее всего, вышел новый учебник, в котором написано, что так можно считать длину окружности. Кроме того, педуниверситеты выпустили новых учителей, которым тоже уже это кажется нормальным.
Когда в университете школьникам начинают рассказывать про комплексные числа (в частности, про корень из минус единицы), то дети смотрят на лектора с большим недоверием, ведь они точно помнят из школы, что «корня из отрицательных чисел не бывает» (все знают, если дискриминант меньше нуля, то решений нет). Ребята отказываются воспринимать знания из-за того, что в них эта уверенность сидит очень глубоко. И лектору приходится тратить очень много времени, чтобы развернуть их к себе лицом (недели уходят, пока дети поверят, что их лектор — не необразованный маразматик, не знающий даже, что нельзя вычислить корень из отрицительного числа).
Дети очень наивны и открыты. Если им сказать, что Пи равно 3.14, то они это примут близко к сердцу и будут в это верить. Ведь в раннем возрасте у них нету возможности получить ответ на вопрос «почему?» Никто не сможет объяснить, скажут, что «просто надо запомнить». Кстати, это отбивает природную любознательность. Если сказать, что «корень из отрицательного числа нельзя считать», то запомнят так хорошо, что потом это очень трудно исправить.
Но ведь можно было поступить иначе: сказать, что «приближённо можно оценивать длину окружности по формуле 6.28R» или «в школе у нас недостаточно знаний, чтобы вычислять корни из отрицательных чисел». И дети это тоже поймут. Нам же так говорили в школе! И нынешним детям тоже можно сказать правду, а не навешивать лапшу им на уши.
Классическая задача из американского теста, которую обнаружил в своё время В. И. Арнольд: гипотенуза прямоугольного треугольника — 10 дюймов, а опущенная на неё высота — 6 дюймов. Найти площадь треугольника.
С этой задачей американские школьники справлялись 10 лет, но потом приехали русские школьники, и ни один эту задачу решить не мог. Почему? Потому что 30 — неправильный ответ. И здесь не такая ловушка, как в задаче, приводящей к заклиниванию головы. Здесь просто не существует треугольника, удовлетворяющего условию задачи. Поэтому и площадь его найти нельзя. Подставить числа в формулу S=0.5LH (где L- основание, а H- высота) можно, но площадь найти нельзя.
Эту задачу можно давать как пример «задачи с подвохом», но нельзя ставить в учебник или тест в качестве типовой, не указывая детям, что они попались в ловушку. Детей нельзя так обманывать.
Задача учителя состоит в том, чтобы не мешать ребёнку учиться. Забивая гвозди в голову школьника по самую шляпку, запрещяя ему думать, учитель/родитель просто калечит его будущее. Что значит «нельзя считать корень из отрицательного числа»? Запрещено? Почему запрещено? Кто нам это запретил? Не обманывайте ребёнка, не тратьте свой авторитет на то, чтобы сообщить откровенную ложь.
И когда будете смотреть со своими детьми фильм «Человек дождя», уточните, что корень из 2130 — это не то, что влезло в окошко калькулятора. И вообще, что в телевизоре часто показывают глупости.
Калькулятор аттенюатора pi
С помощью калькулятора аттенюатора pi вы сэкономите драгоценное время, необходимое для расчета значений резистора аттенюатора pi . Вы можете сделать это с помощью пары немного сложных формул или с помощью нашего калькулятора 😎.
Аттенюаторы играют важные функции в электронных схемах, и для достижения этих функций необходимо рассчитать необходимое значение каждого резистора.
Продолжайте читать эту статью, если вы хотите узнать, что такое аттенюатор pi и как рассчитать его резисторы (используя формулу аттенюатора pi или наш калькулятор аттенюатора pi). Мы также рассмотрим практический пример схемы аттенюатора на 40 дБ.
Основы аттенюатора и формула аттенюатора pi
В широком смысле аттенюаторы — это электронные устройства, которые уменьшают мощность сигнала
за счет уменьшения амплитуды , вызванного некоторыми резисторами . Аттенюаторы подключаются к источнику с одной стороны и к нагрузке с другой. Хотя аттенюаторы являются относительно простыми устройствами, мы можем использовать их для снижения напряжения, рассеивания мощности или улучшения согласования импедансов. Резисторы внутри являются важными компонентами и архитекторами этих задач, работая как рассеиватели энергии.
В семействе аттенюаторов у нас есть аттенюатор pi, также известный как «pi-контур» или «pi-pad». Он назван так потому, что его топология напоминает греческую букву «Π». В этом семействе есть два типа аттенюаторов:
- Pi аттенюатор с импедансами равными . Аттенюатор
- Pi с неравными импедансами.
Аттенюатор Pi с равными импедансами
Аттенюатор с равными импедансами является простейшим аттенюатором pi, как 9{\frac{\text{atten}}{20}} K=1020atten
R1R_1R1 и R2R_2R2 — результирующие значения сопротивления, Z0Z_0Z0 представляет требуемый импеданс, KKK называется коэффициентом импеданса, а atten\text{ atten}atten — желаемое затухание.
Аттенюатор Pi с неравными импедансами
Вы ищете согласование импедансов? В таком случае версия с неравными импедансами — то, что вам нужно. В этом варианте три резистора имеют разные номиналы 92-\frac{2K}{\sqrt{Z_S/Z_L}}+1}\right)R3=ZL⎝
⎛K2−ZS/ZL
2K+1K2−1⎠
⎞
, где RSR_SRS – импеданс источника, RLR_LRL – импеданс нагрузки, а R3R_3R3 – сопротивление третьего резистора.
Как использовать этот калькулятор аттенюатора pi?
Хотя формула расчета сопротивлений может показаться несколько сложной, наш инструмент работает с точностью до наоборот. Этот калькулятор настолько прост в использовании, что вам нужно всего лишь ввести входные параметры, чтобы мгновенно получить результаты.
Например, если вы хотите рассчитать аттенюатор с равным импедансом 40 дБ, подключенный к источнику и нагрузке 50 Ом, выполните следующие действия:
- Выберите «Равные импедансы» в поле «Тип схемы».
- Установите затухание на 40 дБ во втором поле калькулятора.
- В поле Z₀ введите значение 50 Ом.
И все! С предыдущими входами значения резистора аттенюатора pi должны быть 51 и 2500 Ом для R₁ и R₂ соответственно.
Теперь, если мы хотим решить схему аттенюатора с неравными импедансами 40 дБ, подключенную к источнику 75 Ом и нагрузке 50 Ом, это будут шаги:
- Выберите «Неравные импедансы» в «Тип схемы».
коробка. - Установите затухание на 40 дБ во втором поле калькулятора.
- В поле Z S введите значение 75 Ом.
- В коробке Z L введите 50 Ом.
коробка.Теперь вы закончили с вашими резисторами! Значения должны быть Р₁ = 76,9 Ом, Р₂ = 3062 Ом и Р₃ = 50,8 Ом.
Использование формулы аттенюатора числа пи для расчета схемы аттенюатора 40 дБ
Мы знаем, что для установления уверенности в отношениях требуется время. Итак, если вы все еще не доверяете нашему калькулятору пи-пад или нам, вы все равно можете использовать формулу аттенюатора и начать укреплять эту связь (или использовать ее для перепроверки результатов калькулятора).
Давайте снова воспользуемся примером, в котором мы хотели рассчитать схему аттенюатора с равным сопротивлением 40 дБ. Если мы введем те же предлагаемые значения (attention\text{atten}atten = 40 дБ и Z0Z_0Z0 = 50 Ом), результаты будут следующими: 92-1}{2\times100}\right) R2=Z0(2KK2−1)=50 Ω(2×1001002−1)
=50 Ω(9999200)\scriptsize\qquad =50\ Ω \left(\frac{9999}{200}\right)=50 Ω(2009999)
=2500 Ω\scriptsize\qquad =2500\ Ω=2500 Ω
Те же значения резистора аттенюатора pi, которые мы получили с помощью pi схемный калькулятор.
Применение аттенюаторов pi
Ниже приведены некоторые конкретные области применения этих устройств:
Генерация сигнала: В рабочих условиях источник сигнала обычно встречается «естественно» в цепи, в которой мы работаем. Но в целях тестирования гибкие источники сигналов позволяют изучить поведение системы в различных возможных условиях. Генераторы сигналов могут добиться этого, изменяя амплитуду, частоту и форму волны. Аттенюаторы — это инструмент, который может выполнить задачу модификации амплитуды (и, следовательно, мощности)
.Согласование импеданса: Для минимизации отражения сигнала или максимизации передачи энергии в электронике импедансы источника и нагрузки должны быть равными (соответствовать). Если эти импедансы не совпадают, вы можете поместить между ними аттенюатор , импеданс которого должен совпадать с импедансом источника. Таким образом, передача мощности достигает своего максимального значения.
В этом случае необходимы аттенюаторы с неравным импедансом.Изоляция между каскадами цепи:
Некоторые устройства могут иметь проблемы при прямом соединении друг с другом. Например, некоторые усилители генерируют колебания, если их выход непосредственно управляет фильтром с острой частотной характеристикой. Вы можете использовать аттенюаторы для обеспечения изоляции между этими устройствами.
В этом случае необходимы аттенюаторы с неравным импедансом.Калькулятор Beyond pi pad: другие полезные инструменты для электроники
Мы осознаем, что проектирование схем — это сложный процесс, в котором участвуют другие устройства. По этой причине мы разработали другие калькуляторы помимо калькулятора схемы пи, которые могут быть очень полезны для вас в этом процессе:
Калькулятор согласования импеданса: используйте этот инструмент, чтобы узнать импеданс, необходимый для вашего радиочастотного приложения. Затем вернитесь сюда и используйте его в нашем калькуляторе пи-аттенюатора с известными импедансами.
- Калькулятор КСВ
Калькулятор импеданса кабеля: чтобы проверить, есть ли согласование импеданса, сначала нужно узнать импеданс элементов, одним из которых обычно является линия передачи (т. е. кабель). Помните, что калькулятор импеданса кабеля требует расчета сечения провода и знания материала изолятора.
Расчет изоэлектрической точки (pI) | Chemaxon Docs
В этом справочном материале обсуждается теория, лежащая в основе нашего расчета изоэлектрической точки:
Изоэлектрическая точка
Прогноз изоэлектрической точки
Примеры
Пример #1
Пример #2
Некоторые экспериментальные значения
Изоэлектрическая точка (pI) молекулы – это рН, при котором молекула не несет суммарного заряда.
Знание pI может быть важно для прогнозирования, например. растворимость молекулы при данном рН; прогнозирование pI для белков может помочь в процессах их разделения и очистки.
Молекулы с ионизируемыми центрами имеют много микрочастиц в водном растворе. (Молекула с N ионизируемыми центрами имеет 2 N -1 микрочастиц; природную форму мы здесь не считаем микрочастицами) При заданном рН молекула присутствует в виде набора микрочастиц с заданным распределением, где каждая микрокопия имеет чистый заряд. Общий заряд можно выразить взвешенной суммой чистых зарядов микровидов (пусть заряд i TH Микроспекции — C I
σ I4):
σ I C C I I C C I C I C C C C C C C C C C C C C C C C I i
Изоэлектрическая точка – это pH, где эта сумма равна 0, то есть
Σ i C i d i = 0
функции полного заряда (которая является функцией рН).
Размер шага pH может быть установлен для алгоритма.
{информация} Предсказать изоэлектрическую точку для молекул со многими ионизируемыми центрами в целом непросто, поскольку существует много микрочастиц. Точность прогноза сильно зависит от точности прогноза pK a и размера шага pH.
Следующие примеры были рассчитаны с настройками по умолчанию плагина Isoelectric Point.
Пример #1
Для аминокислот, которые имеют только 2 ионизируемых сайта, легко предсказать pI, поскольку существует только 3 микровида, и 1 из них имеет нулевой суммарный заряд. Таким образом, есть только 2 микровида (1 с зарядом +1 и 1 с зарядом -1) с прямо противоположными зарядами. Поскольку две константы диссоциации (pK a группы COOH и pK b группы NH 2 ) далеко друг от друга, мы получаем очень простой график рН-заряда.
Рис. 1 График pH-заряда аминокислоты валина со значением pI 6,16.
Пример #2
Для молекул, которые имеют большее количество ионизируемых участков, прогнозирование основано на тех же принципах; однако график pH-заряда становится более сложным из-за количества микровидов.
В качестве примера см. более сложный график pH-заряда для молекулы гистидина.
Рис. 2 График pH-заряда для молекулы гистидина, показывающий более сложный график с pI 8,02.
Вот таблица с предсказанными и экспериментальными значениями pI для аминокислот. Значения pI ChemAxon были рассчитаны с настройками плагина по умолчанию.
| Название аминокислоты | Значение pI ChemAxon | Эталонное значение pI |
|---|---|---|
| аланин | 5,98 | 6,00 |
| аргинин | 10,77 | 10,76 |
| аспарагин | 5,21 | 5,41 |
| аспарагиновая кислота | 3,41 | 2,77 |
| цистеин | 5,67 | 5,07 |
| глутаминовая кислота | 2,79 | 3,22 |
| глутамин | 5,73 | 5,65 |
| глицин | 5,78 | 5,97 |
| гистидин | 8. |