Калькулятор системы линейных алгебраических уравнений: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

Содержание

Решение систем линейных уравнений алгоритмы общих и частных методов нахождения корней, основные правила и теоремы и примеры их использования, онлайн калькулятор

Совокупность математических записей, из которых каждая является линейным алгебраическим равенством первой степени, называется системой линейных уравнений. Её решение — это классическая задача алгебры, определяющая объекты и методы. Существует несколько принципиально разных способов нахождения ответа. Каждый из них имеет достоинства и недостатки, но выбор метода зависит лишь только от личных предпочтений решающего.

Понятия и обозначения

Для измерения геометрических или физических величин в математике используют действительное число — вещественное. В уравнении под ним понимают все свободные члены или неизвестные переменные. Вычисление линейных алгебраических уравнений играет важную роль в различных математических задачах: численных методах, программировании, эконометрике.

Общий вид системы линейных уравнений (СЛАУ) в классическом понимании представляют следующим образом:

a11 * n 1 + a 12 * n 2 + …+a 1x n x = c 1.

a21 * n 1 + a 22 * n 2 + …+a 2x n x = c 2.

as1 * n 1 + a 12 * n 2 + …+a 1x n x = c s.

В этой записи s — это количество уравнений, x — число переменных, а n — переменная которую необходимо вычислить. Предполагается что a и b это известные свободные члены. Индексы обозначают порядковый номер уравнения. Первый символ — расположение строчки, а второй — позиция произведения переменной и свободного члена.

Если эти члены отличные от нуля, то система называется неоднородной, в ином же случае однородной. Квадратной системой называется совокупность уравнений, когда их число совпадает с количеством неизвестных. Существует понятие и неопределённой системы. Это совокупность, при которой неизвестных больше числа уравнений. Если наоборот, то система считается переопределенной. В литературе её ещё часто называют прямоугольной.

Система считается решаемой, когда множество членов X соответствует такому набору чисел, что при их подстановке вместо n вся система обратится в тождество. Если существует хотя бы одно решение, система называется совместной. Ответы, превращающие уравнения в равенства, при которых переменные не совпадают, считаются различными.

Существует четыре способа развязывания системы уравнений:

  • способ подстановки;
  • использование новых переменных;
  • алгебраическое сложение;
  • матричный метод.

Вид используемого алгоритма зависит от типа примера. Метод алгебраического сложения применяют, когда в задании лишь одно неизвестное, а коэффициенты противоположны или равны. Если же хотя бы в одной из формул коэффициент равен единице, то удобнее будет решить систему уравнений методом подстановки. В иных случаях используют матрицы.

Алгебраическое сложение

Способ заключается в сложении или вычитании выражений. Это довольно простой способ и в то же время эффективный. Алгоритм нахождения ответа для равенств с двумя переменными n и m сводится к следующему:

  • уравниванию модулей коэффициентов при любом из неизвестных;
  • сложению или вычитанию равенства;
  • вычисления составленного выражения;
  • прогонки каждого найденного корня через первую или вторую строчку системы уравнений;
  • нахождению второго неизвестного.

То есть после выполнения арифметических действий с уравнениями должно получиться одно выражение с одним неизвестным. Затем находят значение этой переменной и в него подставляют полученный корень. Например, нужно узнать, какие корни системы, состоящей из двух строчек, превращают её в тождество:

n2 – m2 = 21.

n2 + m2 = 29.

В первую очередь необходимо сложить равенства между собой. В итоге получится:

  • 2 * n 2 = 50;
  • n 2 = 25;
  • n = +5 (-5).

Подставив поочерёдно в каждое равенство найденные корни можно найти второе неизвестное. Для корня n = – 5 ответом будет:

  • (-5)2 + m2 = 29;
  • 25 + m2 = 29;
  • m2 = 29 – 25;
  • m2 = 4.

Соответственно, корнями будут числа два и минус два. Аналогичные действия необходимо выполнить и для корня другого знака n = 5. В итоге получится, что пары (− 5; − 2), (− 5; 2), (5; − 2), (5 ; 2) являются нужным ответом. При достаточном опыте подробно описывать решение не обязательно.

Существуют системы, требующие подготовительного этапа. Например, такого вида:

3 * n – 4 * m = 5.

2 * n + 3 * m = 7.

Исключить здесь сразу переменную не выйдет. Если умножить все члены первой строчки на тройку, а второй на четвёрку, получится запись:

9 * n – 12 * m = 15.

8 * n + 12 * m = 28.

Теперь равенства можно сложить, тем самым исключив переменную m. Затем система решается по базисному алгоритму. Чтобы понять, можно ли решить систему этим методом, следует предварительно её проанализировать. Необходимое условие заключается в том, что коэффициенты второй переменной должны быть одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку.

Метод подстановки

Систему равенств возможно решить и способом подстановки. Используя любое из уравнений, можно выразить любую из неизвестных переменных, а затем подставить её в другое равенство. Алгоритм использования метода следующий:

  • через n в одном из уравнений выражают m;
  • подставляют полученное равенство вместо n в другое тождество;
  • решают уравнение и находя m;
  • поочерёдно подставляют найденные корни и получают ответ.

Например, нужно проверить, все ли целые корни могут быть у системы:

8 * n – 5 * m = -16.

10 * n + 3 * m = 17.

Выразив m через n можно записать равенство: n = (8* m + 16) / 5. Так как n одинаково в обоих уравнениях, то следует подставить полученное тождество и записать: 10* n + 3*(8* n +16) / 5 = 17. Отсюда уже просто найти корень. Он будет равен дроби 1/2. Подставив его вместо n легко вычислить и второй корень: m = (8 * n + 16) / 5 = 4. Таким образом, у системы будет только один целый корень. При желании проверить ответ можно решить систему другим методом.

Использование матриц

Для систем с произвольным числом уравнений и неизвестных используют другие методы. Если система состоит из нелинейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, то используют матричный способ. Этот метод предполагает применение обратной матрицы.

Пусть дана система с тремя неизвестными х1, х2, х3. Нужно найти значения, при которых равенства станут верными. Для нахождения решений используют три матрицы:

  • Коэффициент системы. При этом её определитель не должен быть равным нулю.
  • Вектора неизвестных. Именно его понадобится найти.
  • Столбца свободных членов.

Базисное решение строят на произведении первой и второй матрицы. В результате получают матрицу размером три на один. То есть вектор-столбец с тремя элементами. После выполнения действия получится, что системный вектор будет равен левой части системы и соответствовать третьей матрице. Таким образом, обозначив матрицы буквами А, Б, В, можно записать выражение А * Б = В и найти необходимую Б.

При умножении на А-1 (обратную матрицу) получают равенство: Е * Б = А-1 * В, где Е – единичная матрица получена из совместимости прямой и обратной. Так как при произведении с единичной матрицей значения не изменяются, то решением системы будет формула: Б = А-1 * В.

Способ Гаусса-Жордана

Частным случаем решения системы является Метод Гаусса — Жордана. Суть решения основана на составлении специальной таблицы. В первый столбец заносятся известные значения, то есть величины, расположенные после равно, а в три других коэффициенты, стоящие после неизвестных. Чтобы приступить к решению, необходимо выполнить три шага:

  • выбрать ключевой элемент из первых трёх столбцов;
  • переписать строчку с ключевым значением, предварительно разделив все элементы на это значение;
  • переписать оставшиеся элементы, при этом вычитая из него произведение соответствующих ему чисел.

В полученной новой матрице снова выбирают ключевой элемент и выполняют все действия снова. Шаги повторяют до тех пор, пока не получится матрица, состоящая из нулей и единиц. Значения корней системы будут находиться на пересечении столбцов со строчками напротив единиц.

Этот метод используют только при выполнении условия совместности. Его ещё называют способом простой итерации. Он был доказан и оптимизирован Зейделем. С помощью итерационного метода можно посчитать систему А* Б = В с точностью “е”. Составляют n уравнение на сходимость, а затем на точность. Затем из первого уравнения выражают n1, второго n2, третьего n3 и так далее. Новые n с индексом i +1 считаются через старые i. Зейдель предложил расширить решение и добавить снова для счёта индекс i+1.

Это фундаментальные способы решения сложных систем уравнений. Они трудные, требуют опыта и внимательности. Поэтому существуют специальные онлайн-калькуляторы по методу Гаусса с подробным решением, помогающие исследовать систему любой численности.

Теорема Кронекера — Капелли

Применяется она при проведении исследований без непосредственного решения. То есть для записи эквивалентной совокупности алгебраических уравнений с их минимальным числом. Теорема говорит о следующем: система уравнений А * Б = В имеет решение только тогда, когда ранг А равен (А, В), где последнее расширенная матрица, полученная из первого члена путём приписывания столбца В.

Это утверждение обобщает различные виды СЛАУ:

  • Несовместные – которые определяют при условии, что их ранг меньше ранга расширенной матрицы. Существование корней невозможно.
  • Совместные неопределённые – системы, имеющие бесконечное множество решений. В этом случае ранги равны, а количество неизвестных будет меньше.
  • Совместно определённые – в этом случае ранг равен расширенной матрице и количеству неизвестных. Точное решение будет одно.

Выводом из этой теоремы является то, что число главной переменной совокупности будет всегда равно рангу системы. При этом столбец свободных членов представляет собой линейную комбинацию столбцов матрицы А.

Решение Крамера

Пожалуй, это один из самых простых способов нахождения корней уравнений. Для решения строят несколько матриц. Основная получается из коэффициентов, стоящих при неизвестных. Она обозначается символом дельта. Вторую, дельта-икс, образуют из основной матрицы заменой первого столбца на ответы уравнений. Следующая, дельта-игрек, строится с заменой в основной матрице второго столбца на значения ответов и так далее.

Затем вычисляют дискриминант этих матриц, то есть их определитель. Для его поиска можно использовать способ треугольника или разложения. Первый подходит для простых матриц. Находят его как разницу умножения чисел, стоящих в матрице крест-накрест. Второй же применим для матриц, содержащих три и более строк. При нахождении выбирают одну из них и раскладывают матрицу.

Как только все дискриминанты найдены, используют правило Крамера: n = Δn/ Δ. Подставляют значения, находят ответ. Стоит отметить, что много интернет-порталов, предлагающих услугу расчётов СЛАУ, используют для вычислений онлайн-метод Крамера.

Удобные онлайн-калькуляторы

В некоторых случаях решение СЛАУ онлайн будет хорошим подспорьем для того, чтобы разобраться в различных правилах, используемых при решениях. Из популярных интернет-сервисов, позволяющих найти корни систем, можно отметить: kontrolnaya-rabota, mathsolution, planetcalc, allcalc. Использовать эти сайты-решатели смогут даже слабо подготовленные пользователи, имеющие общее представление о методах решений.

Для выполнения расчёта необходимо ввести параметры системы и нажать кнопку «Рассчитать». При этом можно выбрать метод, на базе которого будут проводиться вычисления. Удобным является и то, что полученный расчёт сопровождается объяснениями.

На этих порталах также можно посмотреть примеры и правила решений. Некоторые калькуляторы могут построить и график системы. Например, kontrolnaya-rabota. Для этого на сайте нужно выбрать раздел «Графическое решение уравнений онлайн» и ввести исследуемую систему равенств.

Предыдущая

АлгебраКасательная к графику функции, как составить уравнение, свойства, угловой коэффициент касательной проведенной к графику функции, формула, примеры решения

Следующая

АлгебраТеория вероятности формула и примеры для чайников, задачи с решениями, как найти классическую вероятность в математике, как обозначается и в чем выражается вероятность

Решение системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Система линейных уравнений — это объединение нескольких линейных равенств, каждое из которых содержит по 2 неизвестных. Решением системы уравнений называется процесс поиска таких значений неизвестных, при которых выражение превращается в верное числовое равенство.

Линейные уравнения

Линейное уравнение с двумя переменными — это выражение вида:

ax + by + c = 0,

где x и y — неизвестные корни.

Это общий вид равенства, позволяющий идентифицировать его как линейное, так как очевидно, что неизвестные икс и игрек стоят в первой степени. Если переменные имеют отличную от единицы степень или сами являются показателями степеней, то такие равенства считаются нелинейными. Система двух линейных уравнений — это классический математический объект, с которым мы впервые встречаемся в шестом классе школы.

Система линейных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений или СЛАУ — это совокупность n-ного количества равенств, содержащих k-ое количество неизвестных. В школьной алгебре существует негласное правило, что количество уравнений равно количеству неизвестных, то есть СЛАУ с двумя переменными всегда состоят из двух равенств. Высшая математика может преподносить и другие варианты, однако в школьных примерах это правило действует неукоснительно, и наш калькулятор построен по этому принципу: 2 уравнения и 2 переменных. Выглядит это следующим образом:

  • ax + by + c = 0
  • dx + fy + g = 0

Под буквами a, b, c, d, f, g скрываются коэффициенты уравнения. Именно их следует вбивать в ячейки калькулятора для решения СЛАУ при помощи нашей программы. Важно учесть, что школьные уравнения обычно представляются в виде:

ax + by = с,

поэтому для корректного ввода данных требуется перенести свободный коэффициент в левую часть равенства с заменой знака на противоположный. Итак, у нас есть СЛАУ с двумя неизвестными. Пусть это будет:

  • 3x − y = 14
  • 5x + y = 10

Требуется найти такие значения икса и игрека, при которых уравнения превратятся в числовые тождества. При решении системы равенств возможны три варианта развития событий:

  • СЛАУ совместна, определена и имеет всего 1 решение;
  • система несовместна и решений нет;
  • СЛАУ совместна, но неопределена, поэтому существует бесконечное множество решений.

Существует 3 простых способа поиска корней СЛАУ.

Метод подстановки

Это всем известный школьный метод, согласно которому мы выражаем одну переменную через другую, после чего заменяем вторую переменную в другом уравнении и получаем банальное линейное равенство. Посмотрим на второе уравнение нашей СЛАУ:

5x + y = 10

Мы можем спокойно перенести иксы вправо с заменой знака и выразить игрек через икс:

y = 10 − 5x

Теперь подставим это значение игрека в наше первое уравнение и решим его:

  • 3x − (10 − 5x) = 14
  • 3x + 5x = 14 + 10
  • 8x = 24
  • x = 3

Теперь вернемся ко второму уравнению и подставим числовое значение икса.

  • 5x + y = 10;
  • 5 × 3 + y = 10;
  • y = 10 − 15;
  • y = −5.

Таким образом, x = 3, y = −5 — это корни системы уравнений.

Метод сложения

Данный способ предлагает умножить обе части выражений на такие коэффициенты, чтобы при сложении двух уравнений произошло взаимное уничтожение одной из переменных. После чего метод повторяет алгоритм школьного способа подстановки. Посмотрим на нашу систему:

  • 3x − y = 14
  • 5x + y = 10

Очевидно, что игреки имеют разные знаки, поэтому при сложении двух уравнений они взаимно уничтожатся, а в результате получим:

Далее алгоритм полностью повторяет школьный метод. Нам повезло, что в условии игреки изначально имели коэффициент 1 с противоположными знаками. Рассмотрим пример, когда это не так. Для этого обратим внимание на иксы и попробуем от них избавиться.

Для ликвидации иксов нам потребуется найти наименьшее общее кратное коэффициентов при иксах — НОК (3,5) = 15. Следовательно, нам потребуется умножить первое уравнение на 5, а второе на минус 3. Тогда в каждом равенстве мы получим коэффициент при иксе равный 15, но с разными знаками.

  • 15x − 5y = 70,
  • −15x − 3y = −30.

Теперь сложим эти уравнения и решим полученное равенство:

Как видим, результат идентичен полученным корням при расчете школьным методом.

Графический метод

Суть данного способа заключается в построении графиков функции уравнений на декартовой плоскости. Так как уравнения линейны, то график их функций − это всегда прямая линия. Точка пересечения прямых и будет решением СЛАУ. Если система несовместна и не имеет корней, то прямые уравнений будут параллельны, а если СЛАУ обладает бесконечным множеством решений, то графики будут совпадать и сливаться в одну прямую.

Использование СЛАУ

Системы линейных уравнений находят широкое применение во многих науках. Такие объекты встречаются в физике, экономике, электротехнике, метрологии, компьютерных играх или криптографии — везде, где используется математический аппарат. И если говорить о математике, то системы линейных уравнений используются для определения кривой регрессии в методе наименьших квадратов, в расчете собственных векторов матриц, сингулярном разложении или методе главных компонент.

Калькулятор решения СЛАУ

Наша программа решает системы линейных уравнений графическим способом. Калькулятор отрисовывает прямые, заданные линейными функциями и отыскивает их точку пересечения. Координаты этой точки вида (x; y) и есть корни системы уравнений. Для решений СЛАУ вам потребуется только ввести коэффициенты равенств в соответствующие ячейки.

Заключение

Системы линейных уравнений — наборы равенств, которые широко используются во всех областях науки. Для развязывания СЛАУ используйте наш калькулятор, который наглядно представит графическое решение системы уравнений.

Матричный метод онлайн калькулятор с подробным решением. Матричный метод онлайн

Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных, - так называемые системы крамеровского типа :

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Системы (5.3) решаются одним из следующих способов: 1) методом Гаусса, или методом исключения неизвестных; 2) по формулам Крамера; 3) матричным методом.

Пример 2.12 . Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Решение. Выписываем расширенную матрицу системы:

 .

Вычислим ранг основной матрицы системы. Очевидно, что, например, минор второго порядка в левом верхнем углу = 7  0; содержащие его миноры третьего порядка равны нулю:

Следовательно, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. r(A) = 2. Для вычисления ранга расширенной матрицы A рассмотрим окаймляющий минор

значит, ранг расширенной матрицы r(A) = 3. Поскольку r(A)  r(A), то система несовместна.

Это понятие, которое обобщает все возможные операции, производимые с матрицами. Математическая матрица - таблица элементов. О такой таблице, где m строк и n столбцов, говорят, что это матрица имеет размерность m на n .

Общий вид матрицы:

Для решения матриц необходимо понимать, что такое матрица и знать основные ее параметры. Основные элементы матрицы:

  • Главная диагональ, состоящая из элементов а 11 ,а 22 …..а mn .
  • Побочная диагональ, состоящая из элементов а 1n ,а 2n-1 …..а m1 .

Основные виды матриц:

  • Квадратная - такая матрица, где число строк = числу столбцов (m=n ).
  • Нулевая - где все элементы матрицы = 0.
  • Транспонированная матрица — матрица В , которая была получена из исходной матрицы A путем замены строк на столбцы.
  • Единичная - все элементы главной диагонали = 1, все остальные = 0.
  • Обратная матрица — матрица, при умножении на которую исходная матрица даёт в результате единичную матрицу.

Матрица может быть симметричной относительно главной и побочной диагонали. Т.е., если а 12 =а 21 , а 13 =а 31 ,….а 23 =а 32 …. а m-1n =а mn-1 , то матрица симметрична относительно главной диагонали. Симметричными могут быть лишь квадратные матрицы.

Методы решения матриц.

Почти все методы решения матрицы заключаются в нахождении ее определителя n -го порядка и большинство из них довольно громоздки. Чтобы найти определитель 2го и 3го порядка есть другие, более рациональные способы.

Нахождение определителей 2-го порядка.

Для вычисления определителя матрицы А 2го порядка, необходимо из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов побочной диагонали:

Методы нахождения определителей 3го порядка.

Ниже приведены правила для нахождения определителя 3го порядка.

Упрощенно правило треугольника, как одного из методов решения матриц , можно изобразить таким образом:

Другими словами, произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "+"; так же, для 2го определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "-", то есть по такой схеме:

При решении матриц правилом Саррюса , справа от определителя дописывают первые 2 столбца и произведения соответствующих элементов на главной диагонали и на диагоналях, которые ей параллельны, берут со знаком "+"; а произведения соответствующих элементов побочной диагонали и диагоналей, которые ей параллельны, со знаком "-":

Разложение определителя по строке или столбцу при решении матриц.

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку либо столбец, по которой/ому ведется разложение, будут обозначать стрелкой.

Приведение определителя к треугольному виду при решении матриц.

При решении матриц методом приведения определителя к треугольному виду, работают так: с помощью простейших преобразований над строками либо столбцами, определитель становится треугольного вида и тогда его значение, в соответствии со свойствами определителя, будет равно произведению элементов, которые стоят на главной диагонали.

Теорема Лапласа при решении матриц.

Решая матрицы по теореме Лапласа, необходимо знать непосредственно саму теорему. Теорема Лапласа: Пусть Δ - это определитель n -го порядка. Выбираем в нем любые k строк (либо столбцов), при условии k n - 1 . В таком случае сумма произведений всех миноров k -го порядка, содержащихся в выбранных k строках (столбцах), на их алгебраические дополнения будет равна определителю.

Решение обратной матрицы.

Последовательность действий для решения обратной матрицы :

  1. Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
  2. Вычисляем алгебраические дополнения.
  3. Составляем союзную (взаимную, присоединённую) матрицу C .
  4. Составляем обратную матрицу из алгебраических дополнений: все элементы присоединённой матрицы C делим на определитель начальной матрицы. Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно заданной.
  5. Проверяем выполненную работу: умножаем матрицу начальную и полученную матрицы, результатом должна стать единичная матрица.

Решение систем матриц.

Для решения систем матриц наиболее часто используют метод Гаусса.

Метод Гаусса — это стандартный способ решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и он заключается в том, что последовательно исключаются переменные, т.е., при помощи элементарных изменений систему уравнений доводят до эквивалентной системы треугольного вида и из нее, последовательно, начиная с последних (по номеру), находят каждый элемент системы.

Метод Гаусса является самым универсальным и лучшим инструментом для нахождения решения матриц. Если у системы бесконечное множество решений или система является несовместимой, то ее нельзя решать по правилу Крамера и матричным методом.

Метод Гаусса подразумевает также прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, т.е. получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и есть метод Гаусса, обратный - метод Гаусса-Жордана. Метод Гаусса-Жордана отличается от метода Гаусса лишь последовательностью исключения переменных.

Матричный метод решения СЛАУ применяют к решению систем уравнений, у которых количество уравнений соответствует количеству неизвестных. Метод лучше применять для решения систем низкого порядка. Матричный метод решения систем линейных уравнений основывается на применении свойств умножения матриц.

Этот способ, другими словами метод обратной матрицы, называют так, так как решение сводится к обычному матричному уравнению, для решения которого нужно найти обратную матрицу.

Матричный метод решения СЛАУ с определителем, который больше или меньше нуля состоит в следующем:

Предположим, есть СЛУ (система линейных уравнений) с n неизвестными (над произвольным полем):

Значит, её легко перевести в матричную форму:

AX=B , где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A −1 — обратную матрицу к матрице A: A −1 (AX)=A −1 B.

Т.к. A −1 A=E , значит, X=A −1 B . Правая часть уравнения дает столбец решений начальной системы. Условием применимости матричного метода есть невырожденность матрицы A . Необходимым и достаточным условием этого есть неравенство нулю определителя матрицы A :

detA≠0.

Для однородной системы линейных уравнений , т.е. если вектор B=0 , выполняется обратное правило: у системы AX=0 есть нетривиальное (т.е. не равное нулю) решение лишь когда detA=0 . Эта связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений называется альтернатива Фредгольма.

Т.о., решение СЛАУ матричным методом производится по формуле . Либо, решение СЛАУ находят при помощи обратной матрицы A −1 .

Известно, что у квадратной матрицы А порядка n на n есть обратная матрица A −1 только в том случае, если ее определитель ненулевой. Таким образом, систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными решаем матричным методом только в случае, если определитель основной матрицы системы не равен нулю.

Не взирая на то, что есть ограничения возможности применения такого метода и существуют сложности вычислений при больших значениях коэффициентов и систем высокого порядка, метод можно легко реализовать на ЭВМ.

Пример решения неоднородной СЛАУ.

Для начала проверим, не равен ли нулю определитель матрицы коэффициентов у неизвестных СЛАУ.

Теперь находим союзную матрицу , транспонируем её и подставляем в формулу для определения обратной матрицы.

Подставляем переменные в формулу:

Теперь находим неизвестные, перемножая обратную матрицу и столбик свободных членов.

Итак, x=2; y=1; z=4.

При переходе от обычного вида СЛАУ к матричной форме будьте внимательными с порядком неизвестных переменных в уравнениях системы. Например :

НЕЛЬЗЯ записать как:

Необходимо, для начала, упорядочить неизвестные переменные в кадом уравнении системы и только после этого переходить к матричной записи:

Кроме того, нужно быть внимательными с обозначением неизвестных переменных, вместо x 1 , x 2 , …, x n могут оказаться другие буквы. К примеру :

в матричной форме записываем так:

Матричным методом лучше решать системы линейных уравнений, в которых количество уравнений совпадает с числом неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы не равен нулю. Когда в системе более 3-х уравнений, на нахождение обратной матрицы потребуется больше вычислительных усилий, поэтому, в этом случае целесообразно использовать для решения метод Гаусса.

Данный онлайн калькулятор решает систему линейных уравнений матричным методом. Дается очень подробное решение. Для решения системы линейных уравнений выберите количество переменных. Выбирайте метод вычисления обратной матрицы. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку "Вычислить".

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

Учитывая определение обратной матрицы, имеем A −1 A =E , где E - единичная матрица. Следовательно (4) можно записать так:

Таким образом, для решения системы линейных уравнений (1) (или (2)), достаточно умножить обратную к A матрицу на вектор ограничений b .

Примеры решения системы линейных уравнений матричным методом

Пример 1. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:

Найдем обратную к матрице A методом Жордана-Гаусса. С правой стороны матрицы A запишем единичную матрицу:

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/3,-1/3 соответственно:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -24/51:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -3/17:

Отделяем правую часть матрицы. Полученная матрица является обратной матрицей к A :

Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b , где

Вычислим все алгебраические дополнения матрицы A :

,
,
,
,
,
,
,
,
.

Обратная матрица вычисляется из следующего выражения.

Решение системы линейных уравнений методом гаусса-жордана

Здесь вы сможете бесплатно решить систему линейных уравнений методом Гаусса онлайн больших размеров в комплексных числах с очень подробным решением. Наш калькулятор умеет решать онлайн как обычную определенную, так и неопределенную систему линейных уравнений методом Гаусса, которая имеет бесконечное множество решений. В этом случае в ответе вы получите зависимость одних переменных через другие, свободные. Также можно проверить систему уравнений на совместность онлайн, используя решение методом Гаусса.

О методе

При решении системы линейных уравнений онлайн методом Гаусса выполняются следующие шаги.

  1. Записываем расширенную матрицу.
  2. Фактически решение разделяют на прямой и обратный ход метода Гаусса. Прямым ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к ступенчатому виду. Обратным ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к специальному ступенчатому виду. Но на практике удобнее сразу занулять то, что находится и сверху и снизу рассматриваемого элемента. Наш калькулятор использует именно этот подход.
  3. Важно отметить, что при решении методом Гаусса, наличие в матрице хотя бы одной нулевой строки с НЕнулевой правой частью (столбец свободных членов) говорит о несовместности системы. Решение линейной системы в таком случае не существует.

Чтобы лучше всего понять принцип работы алгоритма Гаусса онлайн введите любой пример, выберите "очень подробное решение" и посмотрите его решение онлайн.

метод Гаусса–Жордана - один из наиболее известных и широко применяемых методов решения систем линейных уравнений. Матричный метод и метод Крамера обладают тем недостатком, что они не дают ответа в том случае, когда detA = 0, а определяют лишь единственное решение при detA неравном 0. Еще одним недостатком является то, что объем математических вычислений в рамках этих методов резко возрастает с ростом числа уравнений. Метод Гаусса практически свободен от этих недостатков.

Алгоритм метода Гаусса

  1. На основании системы линейных уравнений составляем расширенную матрицу системы;
  2. Приводим матрицу к "треугольному" виду;
  3. Определяем ранги основной и расширенной матриц, и на основании этого делаем вывод о совместности системы и количестве допустимых решений;
  4. В случае, если система имеет единственное решение производим обратную подстановку и находим его, если система имеет множество решений: выражаем базисные переменные через переменные которые могут принимать произвольные значения;
Комментарий к шагу 2 Метода Гаусса. Треугольной называют матрицу, в которой все элементы расположенные ниже главной диагонали равны нулю.

Для приведения исходной расширенной матрицы к треугольному виду используем следующие два свойства определителей:

Свойство 1. Определитель не изменит свое значение, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы параллельной строки (столбца), умноженные на произвольное одно и то же число.

Свойство 2. При перестановке двух любых столбцов или строк матрицы ее определитель меняет знак на противоположный, а абсолютная величина определителя остается неизменной.

На основании этих свойств определителей составим алгоритм преобразования матрицы к треугольному виду:

  1. Рассматриваем строку i(начиная с первой). Если, элемент a i i равен нулю, меняем местами i-ю и i+1-ю строки матрицы. Знак определителя при этом изменится на противоположный. Если a 1 1 отличен от нуля - переходим к следующему шагу;
  2. Для каждой строки j, ниже i-й находим значение коэффициента K j =a j i /a i i ;
  3. Пересчитываем элементы всех строк j, расположенных ниже текущей строки i, с использованием соответствующих коэффициентов по формуле: a j k нов.=a j k -K j *a i k ; После чего, возвращаемся к первому шагу алгоритма и рассматриваем следующую строку, пока не доберемся до строки i=n-1, где n - размерность матрицы A
  4. В полученной треугольной матрице расчитываем произведение всех элементов главной диагонали Пa i i , которое и будет являтся определителем;

Другими словами, суть метода можно сформулировать следующим образом. Нам необходимо сделать нулевыми все элементы матрицы ниже главной диагонали. Сначала мы получаем нули в первом столбце. Для этого мы последовательно вычитаем первую строку, домноженную на нужное нам число (такое, чтоб при вычитании мы получили ноль в первом элементе строки), из всех ниже лежащих строк. Затем проделываем то же самое для второй строки, чтобы получить нули во втором столбце ниже главной диагонали матрицы. И так далее пока не доберемся до предпоследней строки.

4. Метод Жордана - Гаусса.

Схема с выбором главного элемента состоит в том, что требование неравенства нулю диагональных элементов akk, на которые происходит деление в процессе исключения, заменятся более жестким: из всех элементов К-го столба выбрать наибольший по модулю и переставить уравнения так, чтобы этот элемент оказался на месте элемента акк. Выбор главного элемента и связанная с ним перестановка строк необходимы в тех случаях, когда на каком-либо i-ом шаге акк=0 либо же акк очень мало по остальными элементами i- го столбца: при делении на такое «малое» акк будут получаться большие числа с большими абсолютными погрешностями, в результате чего решение может сильно исказиться.

Ниже излагается алгоритм полного исключения неизвестных или метод Жордана – Гаусса. Суть метода состоит в том, что, рассмотрев первое уравнение, в нем неизвестное с коеффициэнтом, отличным от нуля (в дальнейшем разрешающий элемент), и разделив первое уравнение на этот коэффициент, с помощью первого уравнения исключают это неизвестное из всех уравнений, кроме первого. Выбрав во втором уравнении неизвестное с коэффициентом, отличным от нуля, и разделив на него второе уравнение, с помощью второго исключают другие неизвестные из всех уравнений, кроме второго и т.д., т.е. с помощью одного уравнения производят полное исключение одного неизвестного. Процесс продолжается до тех пор, пока не будут использованы все уравнения.

Как известно, системы линейных алгебраических уравнений могут имеет одно решение, множество решений или системы несовместны. При элементарных преобразованиях элементов матрицы системы эти случаи выявляются в следующем:

1. В процессе исключений левая часть I –го уравнения системы обращается в нуль, а правая часть равна некоторому числу, отличному от нуля. т.е. 02+=bc0.

Это означает, что система не имеет решений, так как I – му уравнению не могут удовлетворять никакие значения неизвестных;

2. Левая и правая части I – го уравнения обращаются в нуль. Это означает, что I – ое уравнение является линейной комбинацией остальных, ему удовлетворяет любое найденное решение системы, поэтому оно может быть отброшено. В системе количество неизвестных больше количества уравнений и, следовательно, такая система имеет множество решений;

3. После того как все уравнения использованы для исключения неизвестных получено решение системы.

Таким образом, конечной целью преобразований Жордана-Гаусса является получение из заданной линейной системы

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1,n+1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2,n+1

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm.n+1

Здесь x1, x2, …, xn - неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn - коэффициенты системы - и b1, b2, … bm - свободные члены - предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе - неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) - совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все ее уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система вида (1) называется определенной, если она имеет единственное решение; если же у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Решим следующую систему уравнений:

Запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:

Проведём следующие действия:

· К строке 2 добавим: -4 * Строку 1.

· К строке 3 добавим: -9 * Строку 1.

· К строке 3 добавим: -3 * Строку 2.

· Строку 2 делим на -2

· К строке 1 добавим: -1 * Строку 3.

· К строке 2 добавим: -3/2 * Строку 3.

· К строке 1 добавим: -1 * Строку 2.

В правом столбце получаем решение:

.

В методе Ньютона наблюдается ускорение сходимости процесса приближений. 5. Метод касательных (метод Ньютона) Метод касательных, связанный с именем И. Ньютона, является одним из наиболее эффективных численных методов решения уравнений. Идея метода очень проста. Возьмём производную точку x0 и запишем в ней уравнение касательной к графику функции f(x): y=f(x0)+ f ¢(x) (x-x0) (1.5) Графики...

Решения от численных методов расчёта. Для определения корней уравнения не требуется знания теорий групп Абеля, Галуа, Ли и пр. и применения специальной математической терминологии: колец, полей, идеалов, изоморфизмов и т.д. Для решения алгебраического уравнения n - ой степени нужно только умение решать квадратные уравнения и извлекать корни из комплексного числа. Корни могут быть определены с...



Математики тригонометрической подстановки и проверка эффективности разработанной методики преподавания. Этапы работы: 1. Разработка факультативного курса на тему: «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» с учащимися классов с углубленным изучением математики. 2. Проведение разработанного факультативного курса. 3. Проведение диагностирующей контрольной...

... «проявляется» лишь в процессе преобразований. Очевидность и «завуалированность» новой переменной мы рассмотрим на конкретных примерах во второй главе данной работы. 2. Возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений В этой главе выявим возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений в стандартных и нестандартных...

Однажды немецкий математик Вильгельм Йордан (мы неверно транскрибируем с немецкого Jordan как Жордан) сел решать очередную систему уравнений. Он любил этим заниматься и в свободное время совершенствовал свои навыки. Но вот настал момент, когда ему наскучили все методы решения и метод Гаусса в том числе...

Предположим, дана система с тремя уравнениями, тремя неизвестными и записана её расширенная матрица . В наиболее распространенном случае получаются стандартные ступеньки , и так каждый день…. Одно и то же – как беспросветный ноябрьский дождь.

На некоторое время развевает тоску другой способ приведения матрицы к ступенчатому виду: , причём он совершенно равноценен и может быть неудобен только по причине субъективного восприятия. Но всё рано или поздно приедается…. И подумал тогда Жо рдан – а зачем вообще мучиться с обратным ходом гауссовского алгоритма? Не проще ли сразу получить ответ с помощью дополнительных элементарных преобразований?

…да, такое бывает только по любви =)

Для освоения данного урока «чайникам» придётся пойти путём Жо рдана и прокачать элементарные преобразования хотя бы среднего уровня, прорешав, минимум, 15-20 соответствующих заданий. Поэтому если вы смутно понимаете, о чём идёт разговор и/или у вас возникнет недопонимание чего-либо по ходу занятия, то рекомендую ознакомиться с темой в следующем порядке:

Ну, и совсем замечательно, если отработано понижение порядка определителя .

Как все поняли, метод Гаусса-Жордана представляет собой модификацию метода Гаусса и с реализацией основной, уже озвученной выше идеи, мы встретимся на ближайших экранах. Кроме того, в число немногочисленных примеров данной статьи вошло важнейшее приложение – нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований .

Не мудрствуя лукаво:

Пример 1

Решить систему методом Гаусса-Жордана

Решение : это первое задание урока Метод Гаусса для чайников , где мы 5 раз трансформировали расширенную матрицу системы и привели её к ступенчатому виду:

Теперь вместо обратного хода в игру вступают дополнительные элементарные преобразования. Сначала нам необходимо получить нули на этих местах: ,
а потом ещё один ноль вот здесь: .

Идеальный с точки зрения простоты случай:

(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку.

(7) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2.

Не могу удержаться от иллюстрации итоговой системы:

Ответ :

Предостерегаю читателей от шапкозакидательского настроения – это был простейший демонстрационный пример. Для метода Гаусса-Жордана характерны свои специфические приёмы и не самые удобные вычисления, поэтому, пожалуйста, настройтесь на серьёзную работу.

Не хочу показаться категоричным или придирчивым, но в подавляющем большинстве источников информации, которые я видел, типовые задачи рассмотрены крайне плохо – нужно обладать семью пядями во лбу и потратить массу времени/нервов на тяжёлое неуклюжее решение с дробями. За годы практики мне удалось отшлифовать, не скажу, что самую лучшую, но рациональную и достаточно лёгкую методику, которая доступна всем, кто владеет арифметическими действиями:

Пример 2

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса-Жордана.

Решение : первая часть задания хорошо знакома:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –1. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на –5.

(2) Вторую строку разделили на 2, третью строку разделили на 11, четвёртую строку разделили на 3.

(3) Вторая и третья строки пропорциональны, 3-ю строку удалили. К четвёртой строке прибавили вторую строку, умноженную на –7

(4) Третью строку разделили на 2.

Очевидно, что система имеет бесконечно много решений, и наша задача – привести её расширенную матрицу к виду .

Как действовать дальше? Прежде всего, следует отметить, что мы лишились вкусного элементарного преобразования – перестановки строк. Точнее говоря, переставить-то их можно, но в этом нет смысла (просто выполним лишние действия). И далее целесообразно придерживаться следующего шаблона:

Находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –1 и 3), т.е. – наименьшее число, которое бы делилось без остатка и на 1, и на –1 и на 3. В данном случае, это, конечно же, «тройка». Теперь в третьем столбце нам нужно получить одинаковые по модулю числа , и этими соображениями обусловлено 5-е преобразование матрицы:

(5) Первую строку умножаем на –3, вторую строку умножаем на 3. Вообще говоря, первую строку можно было умножить тоже на 3, но это было бы менее удобно для следующего действия. К хорошему привыкаешь быстро:


(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку.

(7) Во втором столбце два ненулевых значения (24 и 6) и нам снова нужно получить одинаковые по модулю числа . В данном случае всё сложилось довольно удачно – наименьшее кратное 24, и эффективнее всего умножить вторую строку на –4.

(8) К первой строке прибавили вторую.

(9) Заключительный штрих: первую строку разделили на –3, вторую строку разделили на –24 и третью строку разделили на 3. Это действие выполняется В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ! Никаких преждевременных дробей!

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система:

Элементарно выражаем базисные переменные через свободную:

и записываем:

Ответ : общее решение:

В подобных примерах применение рассмотренного алгоритма чаще всего оправдано, поскольку обратный ход метода Гаусса обычно требует трудоёмких и неприятных вычислений с дробями.

И, разумеется, крайне желательна проверка, которая выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке Несовместные системы и системы с общим решением .

Для самостоятельного решения:

Пример 3

Найти базисное решение с помощью элементарных преобразований

Такая формулировка задачи предполагает использование метода Гаусса-Жордана, и в образце решения матрица приводится к стандартному виду с базисными переменными . Однако всегда держите на заметке, что в качестве базисных можно выбрать и другие переменные . Так, например, если в первом столбце громоздкие числа, то вполне допустимо привести матрицу к виду (базисные переменные ), или к виду (базисные переменные ), или даже к виду с базисными переменными . Существуют и другие варианты.

Но всё-таки это крайние случаи – не стОит лишний раз шокировать преподавателей своими знаниями, техникой решения и уж тем более не надо выдавать экзотических жордановсих результатов вроде . Впрочем, бывает трудно удержаться от нетипового базиса, когда в исходной матрице, скажем, в 4-м столбце есть два готовых нуля.

Примечание : термин «базис» имеет алгебраический смысл и понятие геометрического базиса здесь не при чём!

Если в расширенной матрице данных размеров вдруг обнаруживается пара линейно зависимых строк, то её следует попытаться привести к привычному виду с базисными переменными . Образец такого решения есть в Примере №7 статьи об однородных системах линейных уравнений , причём там выбран другой базис .

Продолжаем совершенствовать свои навыки на следующей прикладной задаче:

Как найти обратную матрицу методом Гаусса?

Обычно условие формулируют сокращённо, но, по существу, здесь также работает алгоритм Гаусса-Жордана. Более простой метод нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы мы давным-давно рассмотрели на соответствующем уроке, и суровой поздней осенью тёртые студенты осваивают мастерский способ решения.

Краткое содержание предстоящих действий таково: сначала следует записать квадратную матрицу в тандеме с единичной матрицей: . Затем с помощью элементарных преобразований необходимо получить единичную матрицу слева, при этом (не вдаваясь в теоретические подробности) справа нарисуется обратная матрица. Схематически решение выглядит следующим образом:

(Понятно, что обратная матрица должна существовать)

Демо-пример 4

Найдём обратную матрицу для матрицы с помощью элементарных преобразований. Для этого запишем её в одной упряжке с единичной матрицей, и понеслась «двойка скакунов»:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К первой строке прибавили вторую строку.

(3) Вторую строку разделили на –2.

Ответ :

Сверьтесь с ответом первого примера урока Как найти обратную матрицу?

Но то была очередная заманивающая задачка – в действительности решение гораздо более длительно и кропотливо. Как правило, вам будет предложена матрица «три на три»:

Пример 5


Решение : присоединяем единичную матрицу и начинаем выполнять преобразования, придерживаясь алгоритма «обычного» метода Гаусса :

(1) Первую и третью строки поменяли местами. На первый взгляд, перестановка строк кажется нелегальной, но на самом деле переставлять их можно – ведь по итогу слева нам нужно получить единичную матрицу, а справа же «принудительно» получится именно матрица (вне зависимости от того будем ли мы переставлять строки в ходе решения или нет) . Обратите внимание, что здесь вместо перестановки можно организовать «шестёрки» в 1-м столбце (наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3, 2 и 1) . Решение через НОК особенно удобно, когда в первом столбце отсутствуют «единицы».

(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили 1-ю строку, умноженную на –2 и –3 соответственно.

(3) К 3-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на –1

Вторая часть решения проводится по уже известной из предыдущего параграфа схеме: перестановки строк становятся бессмысленными, и мы находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –5, 4): 20. Существует строгий алгоритм нахождения НОК, но здесь обычно хватает подбора. Ничего страшного, если взять бОльшее число, которое делится и на 1, и на –5, и на 4, например, число 40. Отличие будет в более громоздких вычислениях.

К слову о вычислениях. Для решения задачи совсем не зазорно вооружиться микрокалькулятором – числа здесь фигурируют немалые, и будет очень обидно допустить вычислительную ошибку.

(4) Третью строку умножаем на 5, вторую строку на 4, первую строку на «минус двадцать»:

(5) К 1-й и 2-й строкам прибавили третью строку.

(6) Первую и третью строки разделили на 5, вторую строку умножили на –1.

(7) Наименьшее общее кратное ненулевых чисел второго столбца (–20 и 44) равно 220. Первую строку умножаем на 11, вторую строку – на 5.

(8) К первой строке прибавили вторую строку.

(9) Первую строку умножили на –1, вторую строку разделили «обратно» на 5.

(10) Теперь на главной диагонали левой матрицы целесообразно получить наименьшее общее кратное чисел диагонали (44, 44 и 4). Совершенно понятно, что это число 44. Третью строку умножаем на 11.

(11) Каждую строку делим на 44. Данное действие выполняется в последнюю очередь!

Таким образом, обратная матрица:

Внесение и вынесение -й, в принципе, лишние действия, но того требует протокол оформления задачи.

Ответ :

Проверка выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке об обратной матрице .

Продвинутые люди могут несколько сократить решение, но должен предупредить, спешка тут чревата ПОВЫШЕННЫМ риском допустить ошибку.

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Пример 6

Найти обратную матрицу методом Гаусса-Жордана.

Примерный образец оформления задачи внизу страницы. И ради того, чтобы вы «не проехали мимо с песнями» я оформил решение в уже упомянутом стиле – исключительно через НОК столбцов без единой перестановки строк и дополнительных искусственных преобразований. По моему мнению, эта схема – если и не самая, то одна из самых надёжных .

Иногда бывает удобно более короткое «модернистское» решение, которое заключается в следующем: на первом шаге всё как обычно: .

На втором шаге накатанным приёмом (через НОК чисел 2-го столбца) организуются сразу два нуля во втором столбце: . Перед данным действием особенно трудно устоять, если во 2-м столбце нарисовались одинаковые по модулю числа, например, те же банальные «единицы».

И, наконец, на третьем шаге точно так же получаем нужные нули в третьем столбце: .

Что касается размерности, то в большинстве случаев приходится разруливать матрицу «три на три». Однако время от времени встречается лайт-версия задачи с матрицей «два на два» и хард… – специально для всех читателей сайт:

Пример 7

Найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований

Это задание из моей собственной физматовской контрольной работы по алгебре, …эх, где мой первый курс =) Пятнадцать лет назад (листочек на удивление ещё не пожелтел) , я уложился в 8 шагов, а сейчас – всего лишь в 6! Матрица, кстати, весьма творческая – на первом же шаге просматривается несколько заманчивых путей решения. Моя поздняя версия внизу страницы.

И заключительный совет – после таких примеров очень полезна гимнастика для глаз и какая-нибудь хорошая музыка для релаксации =)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение : запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований получим базисное решение:


(1) Первую и вторую строки поменяли местами.

(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 5.
(3) Третью строку разделили на 3.
(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.
(5) Третью строку разделили на 7.
(6) Наименьшее кратное чисел 3-го столбца (–3, 5, 1) равно 15. Первую строку умножили на 5, вторую строку умножили на –3, третью строку умножили на 15.
(7) К первой строке прибавили 3-ю строку. Ко второй строке прибавили 3-ю строку.
(8) Первую строку разделили на 5, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на 15.
(9) Наименьшее кратное ненулевых чисел 2-го столбца (–2 и 1) равно: 2. Вторую строку умножили на 2
(10) К первой строке прибавили вторую строку.
(11) Вторую строку разделили на 2.
Выразим базисные переменные через свободные переменные :

Ответ : общее решение:

Пример 6: Решение : обратную матрицу найдём с помощью элементарных преобразований:


(1) Первую строку умножили на –15, вторую строку умножили на 3, третью строку умножили на 5.

(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку.
(3) Первую строку разделили на –15, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на –5.
(4) Вторую строку умножили на 7, третью строку умножили на –9.
(5) К третьей строке прибавили вторую строку.


(6) Вторую строку разделили на 7.

(7) Первую строку умножили на 27, вторую строку умножили на 6, третью строку умножили на –4.
(8) К первой и второй строкам прибавили третью строку.
(9) Третью строку разделили на –4. К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
(10) Вторую строку разделили на 2.
(11) Каждую строку разделили на 27.
В результате:
Ответ :

Пример 7: Решение : найдём обратную матрицу методом Гаусса-Жордана:
(1) К 1-й и 4-й строкам прибавили 3-ю строку.
(2) Первую и четвёртую строки поменяли местами.
(3) Ко 2-й строке прибавили 1-ю строку. К 3-й строке прибавили 1-ю строку, умноженную на 2:


(4) К 3-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на –2. К 4-й строке прибавили 2-ю строку.
(5) К 1-й и 3-й строкам прибавили 4-ю строку, умноженную на –1.
(6) Вторую строку умножили на –1, третью строку разделили на –2.
Ответ :

Записывается в виде расширенной матрицы, т.е. в столбец свободных членов помещается в одну матрицу с коэффициентами неизвестных. Аалгоритм заключается в приведении исходной матрицы, характеризующей систему линейных уравнений, к единичной путем эквивалентных преобразований (домножения строки матрицы на константу и сложения с другой строкой матрицы). В качестве константы используется 1/a[i][i] , т.е. число, обратное по отношению к элементу диагонали. Естественно, в ряде случаев возникают проблемы, связанные с делением на ноль, которые решаются перестановкой строк и столбцов:

Весь алгоритм можно представить 10 пунктами:

    В качестве опорной выбираем первую строку матрицы.

    Если элемент опорной строки, индекс которого равен номеру опорной строки, равен нулю, то меняем всю опорную строку на первую попавшуюся строку снизу, в столбце которого нет нуля.

    Все элементы опорной строки делим на первый слева ненулевой элемент этой строки.

    Из оставшихся снизу строк вычитают опорную строку, умноженную на элемент, индекс которого равен номеру опорной строки.

    В качестве опорной строки выбираем следующую строку.

    Повторяем действия 2 – 5 пока номер опорной строки не превысит число строк.

    В качестве опорной выбираем последнюю строку.

    Вычитаем из каждой строки выше опорную строку, умноженную на элемент этой строки с индексом равным номеру опорной строки.

    В качестве опорной строки выбираем строку выше.

    Повторяем 8 – 9 пока номер опорной строки не станет меньше номера первой строки.

Пусть имеется система уравнений:

Запишем расширенную матрицу системы:

и выполним элементарные преобразования ее строк.

Для этого умножим первую строку на 1 и вычитаем из второй строки; затем умножим первую строку на 2 и вычтем из третьей строки.

В результате мы исключим переменную x 1 из всех уравнений, кроме первого. Получим:

Теперь вычтем из строки 3 строку 2, умноженную на 3:

Теперь вычитаем из 1 строки сначала 3 строку, а затем 2 строку:

После преобразований получаем систему уравнений:

Из этого следует, что система уравнений имеет следующее решение:

x1 = 1, x2 = 3 , x3 = -1

    В качестве примера решим систему уравнений, представленную в виде матрицы (Таблица 1), методом Гаусса – Жордана.

Делим первую строку на 3 (элемент первой строки, расположенный на главной диагонали), получим:

Умножаем первую строку на 1 и вычитаем из второй строки. Умножаем первую строку на 6 и вычитаем из третьей строки. Получим:

В первом столбце все элементы кроме диагонального равны нулю, займемся вторым столбцом, для этого выберем вторую строку в качестве опорной. Вторая Делим ее на 17/3:

Умножаем строку 2 на -6 и вычитаем из третьей строки:

Теперь третья строка – опорная, делим ее на -33/17:

Умножаем опорную строку на 3/17 и вычитаем ее из второй. Умножаем третью строку на 1 и вычитаем ее из первой

Получена треугольная матрица, начинается обратный ход алгоритма (во время которого получим единичную матрицу). Вторая строка становится опорной. Умножаем третью строку на 4/3 и вычитаем ее из первой:

Последний столбец матрицы – решение системы уравнений.


Калькулятор матриц — простой, удобный и совместим со старыми смартфонами

Приближается новый учебный год, и многие студенты уже начали к нему готовиться, несмотря на солнечную погоду, которая настраивает скорее на развлечения, чем на серьезные занятия. Среди того, что нужно современному студенту, — не только талант к математике, учебники, тетради и ручки, но и набор программных инструментов, который поможет в решении даже самых сложных задач. Одним из таких приложений является Калькулятор матриц от разработчика Koliuzhnov Viacheslav, которое можно загрузить из Google Play.

Приложение не только позволяет выполнять над матрицами различные действия, но и шаг за шагом последовательно отображает процесс выполняемых вычислений. Матрицы в рассматриваемом калькуляторе можно не только складывать и вычитать, но также умножать и возводить в степень. Матрица может быть также умножена на определенное число.

Кроме того, как следует из описания рассматриваемого приложения, с его помощью может быть найден детерминант матрицы или осуществлено ее транспортирование. Данный калькулятор предназначен в том числе и для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методами Крамера и Гаусса.

Калькулятор дает возможность задать значения матриц (A, B) и указать их размерность (по умолчанию 3×3). Матрица C — результат произведенных вычислений. В приложении, воспользовавшись специальными экранными кнопками, можно поменять матрицы местами (к примеру, [A⇿B]).

В настройках приложения (Настройки) могут быть заданы точность вычислений, размер шрифта математических формул и возможность не отключать экран в процессе работы приложения.

Умножение матрицы в данном приложении может осуществляться как на вещественное число, так и на простую дробь.

В дизайне приложения преобладает светло-серый цвет, удобный для зрительного восприятия и психологически настраивающий на то, что приложение предназначено для решения сложных математических задач и пользователю необходимо сосредоточиться на правильном вводе значений, не отвлекаясь на красочные элементы интерфейса. Страницы вычислений стилизованы под привычную студенческую тетрадь в клетку.

Отсутствие эстетических излишеств в значительной мере упрощает использование приложения, делая его интерфейс понятным даже для тех пользователей, которые не считают высшую математику своей сильной стороной. Такой дизайнерский подход также позволяет осуществлять столь сложные вычисления даже на телефонах, которые помогают своим пользователям уже не первый год.

Приложением смогут воспользоваться обладатели девайсов под управлением операционных систем Android начиная с версии 2.3.3. Таким образом, рассматриваемый «Калькулятор матриц» доступен даже тем пользователям операционной системы Android, которые не считают нужным часто менять смартфон.

В Google Play присутствует также простой калькулятор интегралов и дифференциальных уравнений. Обладатели Android-устройств могут одним касанием решать квадратные уравнения и системы линейных уравнений. Рассмотренное приложение в очередной раз показывает, что смартфон — не только замена игровой консоли, но и мощный инструмент, помогающий достигать успехов в учебе.

Стало ли студентам с появлением Android-девайсов проще изучать точные науки?

Приложение: Калькулятор матриц
Разработчик: Koliuzhnov Viacheslav
Категория: Образование
Версия: 1.5
Цена: Бесплатно
Скачать: Google Play
Приложением уже заинтересовались: 262 человека

Решение СЛАУ и матрицы в Matlab

Доброго времени суток, читатели! Сегодня мы поговорим о матрицах в Matlab, об их применении в решении систем линейных алгебраических уравнений. Подробно разберем методы решения, и для этого необходимо знание нескольких базовых алгоритмов.

Также стоит отметить, что у каждого алгоритма, которым мы будем искать решение СЛАУ в Matlab, своя скорость нахождения этого решения, наличие или отсутствие условия выполнения алгоритма и т.д.

В традициях нашего сайта разберём на примере:

Решить систему линейных уравнений:

4*a + b - c = 6
a - b + c = 4
2*a - 3*b - 3*c = 4

Метод обратной матрицы в Matlab

Начнем с достаточно распространенного метода. Его суть состоит в том, что сначала необходимо выписать коэффициенты при a, b и c (то есть те коэффициенты, которые находятся слева) в одну матрицу, а свободный член (то есть то, что справа) в другую.

В итоге у нас получится 2 матрицы:

A=[4  1 -1; 1 -1  1; 2 -3 -3];   % коэффициенты
B=[6; 4; 4];

Для реализации этого метода (и следующих методов тоже) требуется одно условие: чтобы определитель матрицы, составленной из коэффициентов левой части не был равен нулю. Проверка на определитель:

det(A)

Вывод: 30

После проверки условия можем перейти к следующему шагу: нахождение обратной матрицы. В Matlab для этого используется оператор inv.
А само решение СЛАУ в Matlab находится как перемножение найденной обратной матрицы на матрицу свободных членов:

x=inv(A)*B

Вывод:
2
-1
1

Мы получили 3 значения, которые и соответствуют нашим коэффициентам: то есть a = 2, b = -1, c = 1. Можете проверить, подставив полученные ответы в исходную систему, и убедиться, что мы решили СЛАУ правильно.

Также следует отметить, что матрицы нужно перемножать именно, как сделали мы, то есть слева обратная матрица, справа матрица свободных членов.

Если вы не все поняли, то советую вам почитать нашу статью по основам Matlab.

Метод Гаусса

Метод Гаусса в Matlab реализуется достаточно просто: для этого нам нужно всего лишь изучить один новый оператор.
(\) - левое деление.
При следующей записи:

x = A\B

Вывод:
2
-1
1

Мы получим ответы на нашу исходную систему. Только заметьте, мы решили СЛАУ стандартным набором функций в Matlab, и желательно этот оператор использовать когда матрица коэффициентов квадратная, так как оператор приводит эту матрицу к треугольному виду. В других случаях могут возникнуть ошибки.

Метод разложения матрицы

Теперь поговорим о разложении матрицы. Нахождение решения через разложение матрицы очень эффективно. Эффективность обусловлена скоростью нахождения решения для данного вида систем и точностью полученных результатов.

Возможны следующие разложения:

  • разложение Холецкого
  • LU разложение
  • QR разложение

Разберём решение через LU и QR разложение, так как в задачах чаще всего встречается задание на решение именно через такие разложения.

Основное отличие этих двух разложений: LU разложение применимо только для квадратных матриц, QR — возможно и для прямоугольных.

LU разложение

Решим выше предложенную задачу через LU разложение:

[L, U] = lu(A);

Вывод:

L =
    1       0     0
    0.25    1     0
    0.5     2.8   1

U =
    4     1     -1
    0    -1.25   1.25
    0     0     -5

Затем:

y = L\B;
x = U\y

Вывод:

2
-1
1

QR разложение

И через QR разложение соответственно:

[Q, R] = qr(A);
x = R\(Q'*B)

Вывод:

2.0000
-1.0000
1.0000

Отметим, что апостроф (  '  ) после Q означает транспонирование.

Стандартные функции Matlab

Так же Matlab предлагает функцию linsolve, с помощью которой возможно решить систему линейных алгебраических уравнений. Выглядит это так:

x = linsolve(A,B)

Вывод:

2
-1
1

Как видите, ничего сложного тут нет, на то они и стандартные функции Matlab.

Повторение

Итак, сегодня мы с вами изучили несколько методов для решения СЛАУ в Matlab, как с помощью матриц, так и с помощью стандартных функций. Давайте их повторим на другом примере:

Решить систему линейных уравнений:
6*a - b - c = 0
a - 2*b + 3*d = 0
3*a - 4*b - 4*c = -1

A=[6 -1 -1; 1 -2 3; 3 -4 -4];
B=[0; 0; -1];
  • Методом обратной матрицы:
x=inv(A)*B

Вывод:
    0.0476
    0.1810
    0.1048
  • Методом Гаусса:
  • x = A\B
    
    Вывод:
        0.0476
        0.1810
        0.1048
    
  • LU разложение:
  • [L, U] = lu(A);
    y = L\B;
    x = U\y
    
    Вывод:
        0.0476
        0.1810
        0.1048
    
  • QR разложение:
  • [Q, R] = qr(A);
    x = R\(Q'*B)
    
    Вывод:
        0.0476
        0.1810
        0.1048
    

    На этом я с вами попрощаюсь, надеюсь, вы научились применять матрицы в Matlab для решения СЛАУ.

    Поделиться ссылкой:

    Похожее

    Калькулятор Системы линейных уравнений

    Этот калькулятор решает систему линейных уравнений любого вида с указанными шагами, используя либо метод исключения Гаусса-Жордана, либо правило Крамера.

    Связанный калькулятор: Калькулятор системы уравнений

    Через запятую, например, x + 2y = 5,3x + 5y = 14.

    Оставьте поле пустым для автоматического определения или укажите такие переменные, как x, y (через запятую).

    Метод:

    Исключение Гаусса-Джордана Правило Крамера

    Если калькулятор что-то не вычислил, или вы определили ошибку, или у вас предложение / отзыв, напишите в комментариях ниже.

    Ваш ввод

    Решите $$$ \ begin {case} 5 x - 2 y = 1 \\ x + 3 y = 7 \ end {cases} $$$ для $$$ x $$$, $ $$ y $$$ с использованием метода исключения Гаусса-Джордана.

    Решение

    Запишите расширенную матрицу: $$$ \ left [\ begin {array} {cc | c} 5 & -2 & 1 \\ 1 & 3 & 7 \ end {array} \ right] $ $$.

    Выполните исключение Гаусса-Жордана (шаги см. В калькуляторе исключения Гаусса-Жордана): $$$ \ left [\ begin {array} {cc | c} 5 & -2 & 1 \\ 0 & \ frac {17 } {5} & \ frac {34} {5} \ end {array} \ right] $$$

    Обратный заменитель:

    $$$ y = \ frac {\ frac {34} {5}} { \ frac {17} {5}} = 2 $$$

    $$$ x = \ frac {1 - \ left (-2 \ right) \ left (2 \ right)} {5} = 1 $$$

    Ответ

    $$$ x = 1 $$$, $$$ y = 2 $$$ A

    Система двух линейных уравнений с двумя переменными Калькулятор

    [1] 2021.01.28 10:36 Мужчина / До 20 лет / Начальная школа / Ученик средней школы / Очень /

    Цель использования
    Исследование Руководство
    Комментарий / запрос
    Очень полезно для быстрых ответов на 2 уравнения.

    [2] 2021.01.20 20:31 Женский / 20-летний уровень / Старшая школа / Университет / Аспирант / Полезно /

    Цель использования
    , чтобы узнать, как его использовать.

    [3] 2020/12/01 19:17 Мужчина / 60 лет и старше / Инженер / Полезно /

    Цель использования
    Для проекта строительства моста
    Комментарий / Запрос
    полезно для инженеры

    [4] 2020/07/23 14:40 Мужчина / Моложе 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Очень /

    Цель использования
    Решающая статистика
    Комментарий / Запрос
    Довольно хорошо

    [5] 2020/06/23 12:09 Женский / До 20 лет / Начальная школа / Неполный средний класс / Немного /

    Комментарий / Запрос
    Невозможно вычислить с корневыми значениями

    [6] 2020/03/21 05:46 Женский / Моложе 20 лет / Начальная школа / Младший школьник / Полезно /

    Цель использования
    Математическое представление / застрял на двух линейных уравнениях

    [7] 2019/11/23 21:00 Мужчины / До 20 лет ars old / Высшая школа / ВУЗ / Аспирант / Очень /

    Назначение
    Не терять время.

    [8] 2019/10/15 20:25 Женский / Моложе 20 лет / Высшая школа / Университет / аспирант / Не совсем /

    Цель использования
    Не хочу решать
    Комментарий / запрос
    просто оставьте его дробями НЕ НУЖНО РЕШИТЬ в десятичных дробях

    [9] 26.05.2019 04:43 Женщина / До 20 лет / Инженер / Немного /

    Цель используйте
    домашнее задание
    Комментарий / запрос
    нет необходимости в графике, просто скажите

    [10] 2018/12/01 18:21 Мужчина / Моложе 20 лет / Средняя школа / Университет / Аспирант / A little /

    Цель использования
    ЧТОБЫ ПРОВЕРИТЬ МОЙ ОТВЕТ
    Комментарий / запрос
    ЭТО ТОЛЬКО ДОЛЖНО БЫТЬ НЕКОТОРЫМ СЛУЧАЙНЫМ НОМЕРОМ.ОТВЕТ НЕ СООТВЕТСТВУЕТ МОИМ РАСЧЕТАМ ИЛИ ОТВЕТАМ В МОЕМ ТЕКСТЕ ... Я ХОТЕЛ ПРОВЕРИТЬ, ЧТО ДЕВУШКА ОТЧАСНА ОТ ЛЮБВИ ... ДАЙТЕ МНЕ УЗНАТЬ НА ЭТОМ САЙТЕ

    Калькулятор системы уравнений

    Добро пожаловать в калькулятор системы , где мы узнаем, как решить систему линейных уравнений . Наш удобный калькулятор быстро найдет решение любой проблемы, которую вы ему дадите, и, если существует бесконечное количество решений, даже подскажет, как они выглядят ! Решатель системы уравнений использует так называемый метод исключения Гаусса , но это не единственный метод, поэтому ниже мы представляем пять различных ответов на вопрос «Как решить систему уравнений?»

    Давайте не будем терять ни секунды и займемся этим, не так ли?

    Что такое система линейных уравнений?

    Вспомните все те загадок на Facebook или Instagram , знаете, те, где три яблока равны 30, яблоко и два банана равны 18, а банан минус кокос равен двум, и вам нужно было вычислить сколько стоят яблоко, банан и кокос? Это то, что математики называют системой линейных уравнений Но как? Математики не используют яблоки и бананы, не так ли? » Ну, им тоже нравится держать доктора подальше и время от времени кусать яблоко, но ты прав, они не делают рассчитать в яблоках . Однако нет никакой разницы, если вы правы: « Три яблока равны 30 » или 3x = 30 .

    Появившееся выше значение x - это то, что мы называем переменной . Он обозначает число или элемент, значение которого мы не знаем, но о котором мы знаем что-то .В нашем случае мы знаем, что три яблока равно 30 , но яблоко - это просто переменная, например x , поскольку мы не знаем ее значения. По сути, «, что является решением системы уравнений ... » - это то же самое, что « дать мне значение яблока (или x ) , которое удовлетворяет ...» Честно говоря , мы знаем, что большинство ученых хотели бы использовать бананы вместо x , но они просто не уверены в своих навыках рисования .

    " Но что, черт возьми, означает linear ? " Мы говорим, что уравнение линейно, если его переменные (будь то x или кокосы) находятся в первой степени. Это означает, что, например, они не возведены в квадрат , как в квадратных уравнениях, или знаменатель дроби, или квадратный корень. Однако их можно умножить на любое число, как мы имели 3 в нашем уравнении 3x = 30 . Это относится к всем переменным в уравнении .Например, уравнение -2x + 14y - 0,3z = 0 является линейным, а 10x - 7y + z² = 1 - нет.

    Наконец, если у нас есть несколько уравнений, которые нужно решить вместе, мы называем их системой уравнений . Обозначим это, нарисовав фигурную скобку (или повернутый набор усов, как вам больше нравится) слева от них. Это означает, что нас интересуют только решений всех уравнений в системе . Если мы найдем значения, которые работают для первого уравнения, но не для второго, мы не будем называть это решением.

    Как решить систему уравнений?

    Существует много разных способов, решить систему линейных уравнений. Кратко опишем несколько наиболее распространенных методов.

    1. Замена

    Первый метод, которому обучают студентов, и самый универсальный метод , работает путем выбора одного из уравнений, выбора одной из переменных в нем, и делает эту переменную объектом этого уравнения .Затем мы используем это преобразованное уравнение и подставляем его каждый раз, когда эта переменная появляется в других уравнениях. Таким образом, в других уравнениях теперь на одну переменную меньше , что упрощает их решение.

    Например, если у нас есть уравнение 2x + 3y = 6 и мы хотим получить из него x , то мы начинаем с , избавляясь от всего, что не содержит x с левой стороны . Для этого мы должны вычесть 3y с обеих сторон (потому что это выражение находится слева).Это означает, что левая сторона будет 2x + 3y - 3y , что просто 2x , а правая сторона будет 6 - 3y . Другими словами, мы преобразовали наше уравнение в 2x = 6 - 3y .

    Поскольку мы хотим получить x , а не 2x , нам все равно нужно избавиться от 2 . Для этого мы разделим обе стороны на 2. Таким образом, слева мы получим (2x) / 2 , что составляет всего x , а справа у нас будет (6 - 3y) / 2 , что составляет 3 - 1.5лет . В целом, мы получили x = 3 - 1,5y , и мы можем использовать эту новую формулу для замены 3 - 1,5y in на каждые x в других уравнениях.

    1. Исключение переменных

    Решение систем уравнений методом исключения означает, что мы пытаемся уменьшить количество переменных в некоторых уравнениях, чтобы упростить их решение . Для этого мы начнем с преобразования двух уравнений так, чтобы они выглядели одинаково.Чтобы быть точным, мы хотим сделать коэффициент (число рядом с переменной) одной из переменных уравнения противоположным коэффициенту той же переменной в другом уравнении . Затем мы складываем два уравнения, чтобы получить новое, в котором нет этой переменной, поэтому его легче вычислить.

    Например, если у нас есть система уравнений,

    2x + 3y = 6 и

    4x - у = 3 ,

    , то мы можем попытаться сделать коэффициент x в первом уравнении противоположным коэффициенту во втором уравнении.В нашем случае это означает, что мы хотим преобразовать 2 в противоположность 4 , то есть -4 . Для этого нам нужно умножить обе части первого уравнения на -2 , так как 2 * (-2) = -4 . Это изменяет первое уравнение на

    2x * (-2) + 3y * (-2) = 6 * (-2) ,

    , что равно

    -4x - 6y = -12 .

    Теперь мы можем добавить это уравнение ко второму ( 4x - y = 3 ), добавив левую часть к левой и правую к правой.Это дает

    4x - y + (-4x - 6y) = 3 + (-12) ,

    , что равно

    -7y = -9 .

    Мы получили новое уравнение всего с одной переменной, что означает, что мы можем легко решить y . Затем мы можем подставить это число в любое из исходных уравнений, чтобы получить x .

    1. Метод исключения Гаусса

    Это метод, используемый нашим калькулятором системы уравнений. Названный в честь немецкого математика Иоганна Гаусса, он представляет собой алгоритмическое расширение метода исключения, представленного выше. В случае всего двух уравнений это одно и то же. Однако решение систем уравнений путем регулярного исключения становится все сложнее и сложнее с появлением все большего числа уравнений и переменных. Вот где пригодится метод исключения Гаусса.

    Допустим, у нас есть четыре уравнения с четырьмя переменными . Чтобы найти решение нашей системы, мы хотим попытаться получить значения наших переменных одно за другим, последовательно удаляя все остальные.Для этого мы, , берем первое уравнение и первую из переменных . Мы используем его коэффициент, чтобы исключить все вхождения этой конкретной переменной в трех других уравнениях , точно так же, как мы это сделали при обычном исключении. Таким образом, у нас остается первое уравнение, такое же, как и было, и три уравнения, теперь каждое с только тремя переменными .

    Теперь посмотрим на первое уравнение, отметим его, и оставим его как есть до самого конца .Мы повторяем процесс для остальных трех уравнений. Другими словами, мы берем вторую переменную и ее коэффициент из второго уравнения , чтобы исключить все вхождения этой переменной в последних двух уравнениях. Это оставляет нам первое уравнение с четырьмя переменными, второе - с тремя, а последние два - с только с двумя переменными .

    Затем мы объявляем второе уравнение красивым и красивым и оставляем его в покое. Мы переходим к двум оставшимся уравнениям и берем третью переменную и ее коэффициент в третьем уравнении, чтобы исключить эту переменную из четвертого равенства.

    В итоге мы получаем систему из четырех уравнений, в которой первая имеет четыре переменных, вторая - три, третья - две, а последняя - только одну . Это означает, что мы можем легко получить значение четвертой переменной из четвертого уравнения (поскольку в нем нет других переменных). Затем мы подставляем это значение в третье уравнение и получаем значение третьей переменной (поскольку теперь у нее нет других переменных) и так далее.

    1. Графическое представление

    Возможно, наименее используемый метод, но тем не менее метод.Он берет каждое из уравнений в нашей системе, и переводит их в функцию . Точки на графике такой функции соответствуют координатам, которые удовлетворяют этому уравнению. Следовательно, если мы хотим решить систему линейных уравнений, то достаточно найти все точки пересечения линии на графике , то есть координаты, удовлетворяющие всем уравнениям.

    Однако это может быть непросто. Если у нас есть только два уравнения и две переменные, то функции представляют собой линии на двумерной плоскости.Следовательно, нам просто нужно найти точку, где эти две линии пересекают .

    Для трех переменных функции теперь находятся в трехмерном пространстве, и больше не линии, а плоскости . Это означает, что нам нужно будет нарисовать три плоскости (что само по себе сложно), а затем также найти, где эти плоскости пересекаются. И, если вы думаете, что это сложно, попробуйте представить с четырьмя переменными и четырьмя измерениями . Если это произойдет естественным образом, свяжитесь с нами, и мы направим вас к ближайшему объекту, удостоенному Нобелевской премии, или к неврологу для тщательной проверки состояния головы.

    1. Правило Крамера

    Достаточно простой и очень простой способ решить систему линейных уравнений. Однако для этого требуется хорошее понимание матриц и их детерминантов . В качестве поощрения отметим, что он не нуждается ни в какой замене, ни в играх с уравнениями, это просто старая добрая базовая арифметика . Например, для системы трех уравнений с тремя переменными мы подставляем коэффициенты из этих уравнений, чтобы сформировать четыре матрицы размером три на три и вычислить их детерминанты.Мы заканчиваем делением соответствующих значений, которые мы только что получили, чтобы получить окончательное решение.

    Пример: Использование решателя системы уравнений

    Давайте посмотрим на одну из этих загадок с картинками и попробуем решить ее с помощью нашего калькулятора системы уравнений .

    Первое, что нам нужно сделать, это записать все вкусные сладости в виде буквенных переменных. Мы знаем, что выражение, которое мы получим, будет далеко от , сладкого для глаз , но математики не имеют большого вкуса .Ладно, приступим к работе, а оставим каламбуры на десерт .

    В нашей загадке три символа - пончик, печенье и конфета. Мы не знаем значения ни одного из них, поэтому нам понадобятся три переменные - по одной для каждого изображения. Обычно используются такие буквы, как x , y и z , но не стесняйтесь использовать другие, если хотите. Обозначим пончик x , печенье y , и конфету z .Это позволяет нам написать загадку выше в виде:

    х + х + х = у

    y + y - z = 25

    z + z - x = 16 .

    Итак, каково решение системы уравнений? Теперь держите лошадей. Прежде всего, мы попытаемся упростить каждое из трех выражений , прежде чем мы даже подумаем о том, как решить эту систему уравнений. Обратите внимание, что наш решатель системы уравнений не использует формулы в том виде, в котором мы сейчас имеем .В частности, у него нет никаких переменных справа от знака = , как в первом выражении. Итак, нам действительно нужно сначала поработать.

    Мы берем каждое из уравнений, и перемещаем все переменные в левую часть . Затем мы складываем вместе все слагаемые с той же переменной ( x , y или z ) в этом уравнении. Наконец, мы записываем полученные слагаемые в алфавитном порядке в терминах переменных.Это означает, что мы сначала записываем выражение с x , затем выражение с y , а затем с z .

    В нашем случае это означает, что сначала нужно переместить на в первом уравнении справа налево. Для этого вычтем y из обеих частей равенства. Это дает

    х + х + х - у = у - у ,

    , что равно

    х + х + х - у = 0 .

    Теперь вся система выглядит так:

    х + х + х - у = 0

    y + y - z = 25

    г + г - х = 16

    Теперь мы складываем все слагаемые, содержащие одну и ту же переменную .Это означает, что в первом уравнении мы складываем три x , во втором мы складываем два y , а в третьем мы складываем два z . Получаем

    3x - y = 0

    2y - z = 25

    2z - x = 16 .

    Помните, что когда мы пишем 3x , , мы имеем в виду 3 * x , или «три копии x » . Теперь мы записываем переменные в алфавитном порядке .Первые два уравнения уже имеют желаемую форму, но в последнем нам нужно переместить выражение с x перед выражением с z . Это дает

    3x - y = 0

    2y - z = 25

    -x + 2z = 16

    Обратите внимание, что, на первый взгляд, это не похоже на выражение, которое у нас есть в калькуляторе системы уравнений . Однако это так. Например, в первом уравнении нет z .Но помните, что «no z 's» означает «ноль копий z ». Следовательно, мы можем записать недостающие переменные с коэффициентами 0. Таким образом, мы получаем

    3x - y + 0z = 0

    0x + 2y - z = 25

    -x + 0y + 2z = 16

    Теперь это больше похоже на - это просто форма решателя системы уравнений! Чтобы быть уверенным, помните, что когда у нас нет числа перед переменной, тогда принято говорить, что число равно 1.Например, -y в первом уравнении фактически равно -1y .

    Наконец, нам нужно определить, какие данные нам нужно взять из системы, которую мы получили, и куда поместить их в калькуляторе системы уравнений . Что ж, давайте посмотрим на первое равенство, которое у нас есть, и на верхнее равенство решателя и сравним их:

    3x - y + 0z = 0

    a₁x + b₁y + c₁z = d₁

    Соответствие выглядит так, как выглядит: a₁ - это число рядом с x в уравнении, b₁ - это число рядом с y , c₁ - число рядом с z и d₁ - это номер справа.В нашем случае это означает, что мы должны положить a₁ = 3 , b₁ = -1 , c₁ = 0 и d₁ = 0 . Повторим это со вторым и третьим уравнениями: a₂ = 0 , b₂ = 2 , c₂ = -1 , d₂ = 25 , a₃ = -1 , b₃ = 0 , c₃ = 2 , d₃ = 16 . Как только мы дадим все эти числа , решатель системы уравнений даст нам решение . В следующем разделе мы опишем , как он это делает, шаг за шагом .

    Пример: решение систем уравнений методом исключения Гаусса

    Работа с печеньем и пончиками - это развлечение и игра, но давайте теперь попробуем сжечь некоторые из этих сладких калорий, описав , как решить систему уравнений , которую мы получили в предыдущем разделе:

    3x - y + 0z = 0

    0x + 2y - z = 25

    -x + 0y + 2z = 16

    Мы хотим оставить в первом уравнении равным , поскольку оно имеет ненулевой коэффициент рядом с переменной x .Однако мы будем использовать этот коэффициент для , чтобы избавиться от x в других уравнениях . Обратите внимание, что нам не нужно беспокоиться о втором, потому что его коэффициент x равен нулю. Чтобы справиться с третьим, мы удалим из него -x , сначала преобразовав его в противоположность 3x из первого уравнения. Фактически, достаточно умножить обе части третьего уравнения на 3 .

    3x - y + 0z = 0

    0x + 2y - z = 25

    -3x + 0y + 6z = 48

    Теперь у нас есть противоположные числа рядом с x в первом и последнем равенстве, мы складываем два выражения вместе

    (3x - y + 0z) + (-3x + 0y + 6z) = 0 + 48 ,

    , что равно

    0x -y + 6z = 48 .

    Теперь мы можем заменить третье уравнение на то, что мы только что получили , чтобы получить

    3x - y + 0z = 0

    0x + 2y - z = 25

    0x - y + 6z = 48

    В результате мы получили то, что в двух последних выражениях нет x , и всегда легче решить систему линейных уравнений с двумя переменными вместо трех.

    Следующим шагом в методе исключения Гаусса является повторение того же процесса для последних двух уравнений .По сути, мы будем использовать ненулевой коэффициент y во втором равенстве, чтобы избавиться от y из последнего. Как мы уже делали выше, мы начинаем с преобразования -y в противоположность 2y , то есть в -2y . Для этого достаточно обе части последнего уравнения умножить на 2.

    3x - y + 0z = 0

    0x + 2y - z = 25

    0x - 2y + 12z = 96

    Теперь мы можем сложить два последних уравнения , чтобы получить

    (0x + 2y - z) + (0x - 2y + 12z) = 25 + 96 ,

    , что равно

    0x + 0y + 11z = 121 .

    Пора заменить третье уравнение

    3x - y + 0z = 0

    0x + 2y - z = 25

    0x + 0y + 11z = 121 .

    Это конечная форма системы уравнений, которую мы получаем из метода исключения Гаусса . Теперь решить систему линейных уравнений стало намного проще. Как так? Что ж, начнем с последнего равенства. В нем есть только одна переменная с ненулевым коэффициентом, а именно z .Мы можем забыть о нулевых членах, что дает нам

    11z = 121 ,

    , а это значит, что у нас должно получиться z = 11 . Теперь, когда мы знаем, какова первая часть решения системы уравнений, мы можем использовать это знание, чтобы заменить это число на z в двух других уравнениях :

    3х - у + 0 = 0

    0x + 2y - 11 = 25 ,

    , что равно

    3x - y = 0

    0x + 2y = 36 .

    Теперь у нас есть второе уравнение только с одной переменной с ненулевым коэффициентом. Если забыть о нулевых членах, получим

    2y = 36 ,

    и, следовательно, должно получиться y = 18 . Опять же, мы заменяем это число на y в первом уравнении :

    3x - 18 = 0 ,

    , что дает

    3x = 18 ,

    , а это значит, что x = 6 .В общем, нам удалось решить систему линейных уравнений, и нашла решение

    .

    х = 6

    у = 18

    г = 11

    Если мы теперь посмотрим на нашу загадку с картинками, все это решение системы уравнений методом исключения приводит нас к ответу, что пончик равен 6 , печенье равно 18 , и конфета равна 11 .

    Кусок торта, не так ли?

    Решатель системы уравнений - MathCracker.com

    инструкции : Эта программа для решения системы уравнений позволяет вам найти точку пересечения (если таковая имеется) между двумя прямыми линиями. Вам необходимо предоставить уравнение каждой линии. Решатель вычислит точку пересечения и построит график. Например, в первом поле вы можете ввести «2x + 1», а во втором поле вы можете ввести «x-1».


    Калькулятор системы уравнений

    Решение систем уравнений - обычная задача в алгебре из-за ее многочисленных приложений.Либо когда вы решаете простую задачу со словами или сложную систему распределения, вы, вероятно, в конечном итоге решите систему уравнений.

    Существует множество типов систем с разными характеристиками и особенностями. Большинство систем будут определены с конкретными числами, тогда как другие поставляются с буквальными константами и называются буквальные уравнения .

    Система уравнений хороша тем, что существует несколько стандартных способов их решения. Действительно, на основе коэффициентов в системе мы можем сказать, имеет ли система единственное решение, или система имеет много (бесконечных) решений, или система не имеет решений.

    Графическое решение системы уравнений

    Этот подход работает только для систем с двумя уравнениями и двумя переменными.Можно построить график каждого уравнения как функции одной из переменных (обычно это переменные \ (x \) и \ (y \), и обычно \ (y \) используется в качестве зависимой переменной). Полученные графики будут двумя линиями.

    Глядя на график, мы видим, что если линии пересекаются, то существует единственное решение. Тогда, если линии параллельны, делаем вывод, что решений нет.И линии перекрываются (так что это одна и та же линия), тогда у нас есть бесконечные решения.

    Решение системы уравнений подстановкой

    Другой способ решения систем уравнений - записать одну переменную через другие и заменить в других уравнениях.Это довольно хорошо работает с системами уравнений 2x2, но может стать громоздким для более крупных систем.

    Решение системы уравнений подстановкой

    Другой способ решения систем уравнений - записать одну переменную через другие и заменить в других уравнениях.Это довольно хорошо работает с системами уравнений 2x2, но может стать громоздким для более крупных систем.

    Хороший калькулятор системы уравнений

    Вы можете использовать этот решатель, если хотите решить систему линейных уравнений 2x2 .Подход, используемый в этом калькуляторе, заключается в использовании Правило Крамера для решения системы уравнений 2x2. Преимущество метода Крамера в том, что он отлично работает как для малых, так и для больших систем, подход тот же.

    Для более крупных систем уравнений лучшей альтернативой является использование Метод исключения Гаусса , которая систематически занимается линейными системами любого размера.2-1 Пример задачи Ничья


    Количество решаемых уравнений: 23456789 Пример задачи

    Решить

    Введите неравенство в график, например.грамм. y Пример задачи
    Ничья

    Количество решаемых неравенств: 23456789 Пример задачи

    Решить

    НАСТРОЙКА: Удалите все фракции и круглые скобки, сгруппировать термины, возвести в квадрат член положительным,
    и поместить в стандартную форму:

    Ax 2 + Bx + C = 0

    ВСЕГДА: Вынесите все общие множители сначала

    Решите одновременный набор двух линейных уравнений

    Быстро! Мне нужна помощь с: Выберите пункт справки по математике...Calculus, DerivativesCalculus, IntegrationCalculus, Quotient RuleCoins, CountingCombrations, Finding allComplex Numbers, Adding ofComplex Numbers, Calculating withComplex Numbers, MultiplyingComplex Numbers, Powers ofComplex NumberConversion, SubtractingConversion, TemperatureConversion, FindConversion, MassConversion, Mass анализ AverageData, поиск стандартного отклонения, анализ данных, гистограммы, десятичные дроби, преобразование в дробь, электричество, стоимость факторинга, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DividingFractions, MultiplyingFractions, SubplicationFractions are, SubplicationFractions , BoxesGeometry, CirclesGeometry, CylindersGeometry, RectanglesGeometry, Right TrianglesGeometry, SpheresGeometry, SquaresGraphing, LinesGraphing, Любая функцияGraphing, CirclesGraphing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, The Equation from point and slopeLines, Equation from slope и y-intLines, The Equation from two pointsLodsottery Практика многочленов Математика, Практика основ , Факторинг разности квадратов многочленов, разложение на множители трехчленов, многочленов, разложение на множители с GCF, многочлены, умножение многочленов, возведение в степень ns, Решить с помощью факторинга Радикалы, Другие корни Радикалы, Отношения квадратного корня, Что они собой представляют, Выведение на пенсию, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, РазделениеНаучная нотация, Умножение форм, ПрямоугольникиУпрощение, Все, что угодноУпрощение, Образцы, Образцы, Упрощение, Методы Правые треугольники, Ветер, рисунок

    Система линейных уравнений и обращения матриц

    Система линейных уравнений и обращения матриц

    Этот обучающий объект JavaScript E-labs предназначен для нахождения решения систем линейных уравнений, содержащих до трех уравнений с тремя неизвестными.Это также позволяет нам найти обратную матрицу.

    Другие учебные объекты JavaScript для принятия решений в этой серии сгруппированы по различным областям приложений в разделе МЕНЮ на этой странице.


    При вводе данных для перехода от ячейки к ячейке в матрице данных используйте клавишу табуляции , а не клавиши со стрелками или клавиши ввода.

    Инструкции и приложения:

    1. Неизвестные имена переменных: X1, X2, X3 ,..и X10, в зависимости от того, есть ли у вас одно уравнение, два уравнения или три уравнения с одной неизвестной, двумя неизвестными или тремя неизвестными переменными, соответственно.
    2. Начиная с левого верхнего угла, при необходимости замените столько нулей в матрице данных на коэффициенты неизвестных переменных в уравнениях вместе с их значениями в правой части. Матрица коэффициентов должна быть квадратной матрицей, появляющейся в верхнем левом углу матрицы данных, поэтому не оставляйте пустых строк между ними.
    3. JavaScript основан на строковых операциях Гаусса-Джордана (GJ). Требование для операций GJ состоит в том, что первый элемент в матрице коэффициентов должен быть ненулевым. Поэтому сначала введите коэффициенты всех уравнений с ненулевым коэффициентом X1; затем введите все остальные уравнения. То есть любое уравнение с нулевыми коэффициентами для X1 должно появиться в конце таблицы ввода данных.

      Численный пример 1: Рассмотрим следующую систему уравнений:

      Х2 + Х3 = 5
      3X1 + X3 = 6
      -X1 + X2 = 1

      Матрица коэффициентов переменных:

      0 1 1
      3 0 1
      -1 1 0

      Первая запись первого столбца равна нулю, хотя в ней всегда есть хотя бы один ненулевой элемент.Следовательно, мы должны перестроить систему уравнений таким образом, чтобы любое уравнение с нулевым коэффициентом X1 появилось среди последней системы уравнений. То есть, рассматривая эквивалентную систему уравнений:

      3X1 + X3 = 6
      -X1 + X2 = 1
      Х2 + Х3 = 5

      Решите эту эквивалентную систему уравнений, введя ее коэффициент и значения RHS в таблицу ввода данных, затем нажмите кнопку «Рассчитать». На выходе получается решение: X1 = 1, X2 = 2 и X3 = 3, которое можно проверить с помощью подстановок.

    4. Нахождение обратной матрицы с помощью решателя системы уравнений: Чтобы найти обратную квадратную матрицу размера n, решите n систем уравнений с единичным вектором в качестве правой части. Следующий числовой пример иллюстрирует процесс:

      Числовой пример 2: Предположим, мы хотим найти обратную (A -1 ) следующую матрицу (если она существует) A:

      В общем, чтобы найти A -1 , столбец за столбцом, решите n систем уравнений, имеющих матрицу коэффициентов A, но с n различными единичными векторами в качестве их значения RHS.

      Для этого числового примера мы должны решить следующие две системы уравнений:

      2X1 + X1 = 1
      Х1 - Х2 = 0

      а также

      2X1 + X1 = 0
      Х1 - Х2 = 1

      Обратите внимание, что коэффициенты переменных X1 и X2 представляют собой матрицу A в обеих системах уравнений, однако RHS - это два единичных вектора в n = 2-мерном пространстве.

      Решения, соответствующие приведенной выше инструкции, первой и второй систем уравнений обеспечивают первый и второй столбцы матрицы A -1 .

      Чтобы найти первый столбец A -1 , решите:

      2X1 + X1 = 1
      Х1 - Х2 = 0

      Это дает X1 = 1/3, X2 = 1/3. Чтобы найти второй столбец A -1 , решите:

      2X1 + X1 = 0
      Х1 - Х2 = 1

      Это дает X1 = 1/3, X2 = -2/3. Следовательно, A -1 p равно

      1/3 1/3
      A -1 =
      1/3 -2/3
    5. Примечание: Матрица, имеющая инверсию, называется невырожденной , или обратимой.Матрица называется сингулярной, если у нее нет обратной. Например, следующая матрица является сингулярной:

      1 6 4
      2 4 -1
      -1 2 5

      Следовательно, при применении описанной выше процедуры обращения матрицы, если матрица является сингулярной, то по крайней мере одна из систем уравнений не имеет решения.

    6. Для редактирования ваших данных, включая добавление / изменение / удаление, вам не нужно нажимать кнопку «очистить» и заново вводить данные заново.Вы можете просто добавить, изменить число на другое в той же ячейке или удалить число из ячейки, установив его значение на ноль. После редактирования нажмите кнопку «рассчитать».

      Это полезно, например, в найти инверсию матрицы A 10x10 , где нам нужно изменить только значения RHS.

      Для расширенного редактирования или использования JavaScript для нового набора данных используйте кнопку «Очистить».



    Для технических подробностей, назад:
    Темы линейной алгебры

    Пожалуйста, отправьте свои комментарии по адресу:
    Профессор Хоссейн Аршам


    МЕНЮ


    Заявление об авторских правах. Добросовестное использование материалов, представленных на этом веб-сайте, в соответствии с Принципами добросовестного использования образовательных мультимедиа от 1996 года, разрешено только в некоммерческих и учебных целях.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *