Когда у неравенства меняется знак: основные ошибки и полезные лайфхаки

основные ошибки и полезные лайфхаки

Вы умеете решать неравенства? Уверены?

Вспомним для начала, что вообще можно делать с неравенствами и чего с ними делать нельзя.

При решении неравенств мы можем:

1. Умножать обе части неравенства на число или выражение, не равное нулю.
При умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется.

При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

2. Можем возводить обе части неравенства в квадрат при условии, что они неотрицательны

3. Имея дело с показательным или логарифмическим неравенством, мы можем «отбрасывать» основания или логарифмы. Если основание степени или логарифма больше единицы – знак неравенства будет тот же. Если основание степени или логарифма положительно и меньше единицы – знак неравенства меняется на противоположный.

Конечно, мы не просто «отбрасываем» основания степеней или логарифмы. Мы пользуемся свойствами монотонности соответствующих функций. Если основание степени больше единицы, показательная функция монотонно возрастает. Если основание положительно и меньше единицы – показательная функция монотонно убывает. Аналогично ведет себя и логарифмическая функция.

4. При решении показательных или логарифмических неравенств применяется метод рационализации (замены множителя).

5. Общее правило. Если неравенство можно хоть как-то упростить – это необходимо сделать! Иначе его решение может занять восемь страниц и два часа времени.

Чего нельзя делать при решении неравенств? Вот 7 ловушек, в которые часто попадают абитуриенты.

1. Нельзя умножать (или делить) неравенство на выражение, знака которого мы не знаем.

Например, в неравенстве > нельзя поделить левую и правую часть на . Правильный способ: перенести всё в левую часть неравенства, разложить на множители и решить неравенство методом интервалов.

> 0

> 0

Получаем, что < 0 или > . «Сократив» на , который может быть отрицательным, мы не получили бы правильного ответа.

2. Извлекать из неравенства корень тоже нельзя. Такого действия просто нет.

Как, например, решить неравенство

>

Перенесем все в левую часть неравенства, чтобы в правой остался ноль.

> 0

Разложим левую часть на множители.

> 0

Решим неравенство, пользуясь свойствами квадратичной функции , и запишем ответ: < или > .

Запомним: ответы типа « > » абсурдны.

Как решать неравенство > 0? Это типичная «ловушка для абитуриентов». Так и хочется сказать, что > 0 (то есть извлечь корень из неравенства). Но этого делать нельзя. Выражение положительно при всех , кроме нуля. Правильное решение неравенства: .

4. Возводить обе части неравенства в квадрат можно только если они неотрицательны.

5. Помним о том, в каких случаях знак показательного или логарифмического неравенства меняется, а в каких – остается тем же. «Отбрасывая» логарифмы, делаем это грамотно.

6. Если в неравенстве есть дроби, корни четной степени или логарифмы – там обязательно будет область допустимых значений.

7. Сложная тем для старшеклассников – задачи с модулем. Проверьте, умеете ли вы их решать.

При решении неравенств большое значение имеет правильное оформление. Рекомендуется оформлять решение как цепочку равносильных переходов: от исходного неравенства к равносильному ему неравенству или системе.

Обратите внимание на приемы, позволяющие решать неравенства легко, быстро и без лишних вычислений.

А теперь – полезный лайфхак для решения дробно-рациональных неравенств.

Решите неравенство

Запишем ОДЗ:

Что будет, если действовать «по шаблону» — то есть собрать всё в левой части неравенства и привести к одному знаменателю? — Будет много вычислений и выражение четвертой степени.

Может быть, сделаем проще? Представим дробь в виде суммы дробей и .

Продолжаем упрощать левую часть:

Теперь можно и привести дроби к одному знаменателю.

Все, больше ничего не пишем. Решаем неравенство методом интервалов.

Ответ: .

В каком случае меняется знак больше или меньше?

В каком случае меняется знак больше или меньше?

Если неравенство умножается на отрицательное число, то знак «больше (либо равно)» меняется на «меньше (либо равно)» и наоборот.

Как расставить знаки на интервалах?

Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Решить уравнение f (x) = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще;
2. Отметить все полученные корни на координатной прямой. …
3. Выяснить знак (плюс или минус) функции f (x) на самом правом интервале. …
4. Отметить знаки на остальных интервалах.

Что называется линейным неравенством?

Линейным неравенством с одной переменной x называют неравенство вида a·x+b>0, где вместо знака > естественно может быть любой другой знак неравенства (, ≥), где a, b и c – некоторые числа, причем a≠0, а x – переменная (переменная может быть обозначена и любой другой буквой).

Что является решением линейного неравенства?

Решением неравенства будет любое число, подстановка которого вместо переменной сделает неравенство верным. Решить неравенство – значит найти все такие числа. Например, для неравенства x−2>0 x − 2 > 0 число 5 будет решением, т.

Что является решением системы неравенств?

Решить систему неравенств — это значит найти значения неизвестного, которые удовлетворяют КАЖДОМУ неравенству системы. Алгоритм решения системы неравенств с одним неизвестным прост: 1. Сначала решаем каждое неравенство системы по отдельности, и на своей оси.

Как записать ответ в неравенстве?

Запись ответа неравенства всегда делается слева направо (как мы привыкли читать). Начнем слева направо записывать интервалы в ответ. Первый интервал начинается с «минус» бесконечности и заканчивается на «−1» (включительно).

Что называется системой неравенств с одной переменной?

Система неравенств с одной переменной появляется, когда требуется найти общее решение не одного, а сразу двух или более неравенств. Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство.

Сколько решений может иметь неравенство?

неравенство может иметь лишь одно решение.

Как решать иррациональные неравенства?

Если в неравенство входят функции под знаком корня, то такие неравенства называют иррациональными. Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень: если в неравенство входит квадратный корень, то в квадрат; входит корень третьей степени − в куб и т.

Как решить квадратное неравенство Если дискриминант меньше нуля?

Решение квадратных неравенств с дискриминантом равным нулю или меньше нуля – разобраны отдельно.

1. Приведите неравенство к виду ax2+bx+c⋁0 a x 2 + b x + c ⋁ 0 . . ..
2. Разложите выражение слева на множители. …
3. Начертите числовую ось и отметьте на ней найденные корни. …
4. Нанесенные корни разбивают числовую ось на несколько интервалов.

Что называется квадратным неравенством с одной переменной?

Неравенства вида где a,b,c –любые числа, называются квадратными неравенствами с одной переменной. Решить неравенство, значит найти такие значения переменной, при которых неравенства будут верными, или доказать, что таких значений нет. Решать такие неравенства можно различными способами.

Как решать квадратные дробные неравенства?

Как решать дробные рациональные неравенства:

1. Равносильными преобразованиями приведите неравенство к виду: (x−x1)n(x−x2)k… (x−x3)l(x−x4)m… …
2. Найдите корни числителя и знаменателя (т. …
3. Нанесите их на числовую ось. …
4. Расставьте знаки на интервалах числовой оси. …
5. Выделите нужные промежутки. …
6. Запишите в ответ выделенные промежутки и корни, отмеченные флажком (если они есть).

Когда вы переворачиваете знак неравенства?

Обновлено 14 мая 2018 г. Неравенство с большим количеством отрицаний и абсолютных значений. Помощь! Когда переворачивать знак неравенства?

Не бойся! Есть пара случаев, когда вы переворачиваете неравенство, и мы рассмотрим их ниже.

TL;DR (слишком длинное; не читал)

TL;DR (слишком длинное; не читал)

Переворачивать знак неравенства при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число .

Также часто приходится переворачивать знак неравенства при решении неравенств с абсолютными значениями.

Умножение и деление неравенств на отрицательные числа

Основная ситуация, когда вам нужно перевернуть знак неравенства, — это когда вы умножаете или делите обе части неравенства на отрицательное число.

Например, рассмотрим следующую задачу:

3_x_ + 6 > 6_x_ + 12

Чтобы решить, вам нужно получить все x -es на одной стороне неравенства. Вычтите 6_x_ с обеих сторон, чтобы получить только х слева.

3_x_ −6_x_ + 6 > 6_x_ −6_x_ + 12

−3_x_ + 6 > 12

Теперь изолируем x в левой части, переместив константу 6 в другую часть неравенства. Для этого отнимите 6 с обеих сторон.

− 3_x_ + 6 − 6 > 12 − 6

−3_x_ > 6

Теперь разделите обе части неравенства на −3. Поскольку вы делите на отрицательное число, вам нужно перевернуть знак неравенства .

−3_x_ (÷ −3) < 6 (÷ − 3)

x < − 2.

То же правило применимо, если вы умножаете обе части на дробь. Умножение и деление являются противоположностями одного и того же процесса, вроде сложения и вычитания, поэтому к ним применяются одни и те же правила.

Проблемы с абсолютными значениями

Вам также нужно подумать об изменении знака неравенства, когда вы имеете дело с задачами с абсолютными значениями .

Возьмем следующий пример. Если у вас есть:

| 3_x_ | + 6 < 12,

Тогда, прежде всего, вы хотите выделить выражение абсолютного значения в левой части неравенства (это облегчает жизнь). Вычтите 6 с обеих сторон, чтобы получить:

| 3_x_ | < 6.

Теперь вам нужно переписать это выражение в виде составного неравенства . | 3_x_ | < 6 можно записать двумя способами:

3_x_ < 6 («положительная» версия) или

3_x_ > −6 («отрицательная» версия).

Эти два оператора также можно записать в одну строку:

−6 < 3_x_ < 6.

Вывод выражения абсолютного значения всегда положителен, но « x » внутри знаков абсолютного значения может быть отрицательным, поэтому нам нужно рассмотреть случай, когда x равно отрицательный. По сути, мы умножаем на -1: мы умножаем x на отрицательную единицу слева (но поскольку она находится внутри знаков абсолютного значения, результат все еще положительный), а затем мы умножаем правую часть на отрицательную и переключение знака неравенства, потому что мы только что умножили на минус.

Это дает нам два наших неравенства (или наше «составное неравенство»). Мы можем легко решить обе из них.

3_x_ < 6 становится x < 2, когда мы делим обе части на 3.

3_x_ > −6 становится x > −2, когда мы делим обе части на 3.

Таким образом, решение равно x < 2 и x > −2 или −2 < x < 2.

Для решения подобных задач требуется некоторая практика, так что не беспокойтесь, если сначала у вас не получится! Продолжайте в том же духе, и в конечном итоге это станет вашей второй натурой.

Правила работы по неравенству

БА: Мэри Джейн Стерлинг и

Обновлено: 07-28-2018

Из книги: Minite Math для Demmies

Minite Math Math. Купить на Amazon. Однако есть два огромных исключения, о которых вы узнаете здесь.

В следующем списке перечислены все правила, которые необходимо знать при выполнении операций над неравенствами. Обратите внимание, что хотя в этом списке показан только символ <, те же самые правила применяются к любому неравенству, включая >, ≤ и ≥.

• Если a < b , то a + c < b + c. Добавление одного и того же числа к каждой стороне неравенства не меняет направление символа неравенства.
• Если a < b , то a – c < b – c . Вычитание одного и того же числа с каждой стороны неравенства не меняет направление символа неравенства.
• Если a < b и если c положительное число, то a · c < b · c. Умножение каждой стороны неравенства на положительное число не меняет направления символа неравенства.
• Если a < b и если c является положительным числом, то Деление каждой стороны неравенства на положительное число не меняет направления символа неравенства.
• Если a < b и c отрицательное число, то a · c > b · c. Умножение каждой стороны неравенства на отрицательное число меняет направление символа неравенства на противоположное.
• Если a < b и если c является отрицательным числом, то Деление каждой стороны неравенства на отрицательное число меняет направление символа неравенства на противоположное.

Теперь давайте применим эти правила к некоторым примерам. Во-первых, упростите линейное неравенство 4

x – 3 ≥ 21 и найдите x . Сначала нужно прибавить по 3 к каждой стороне, а затем разделить каждую сторону на 4. Символ неравенства остается в том же направлении.

Любое число 6 или больше является решением неравенства 4 x – 3 ≥ 21.

Теперь давайте рассмотрим пример с делением на отрицательное число: решите 16 – 5 x < 11 для x .