Комбинаторика задачи с решением 5 класс: Простейшие комбинаторные задачи. 5-й класс

alexxlab / / Разное

Решение комбинаторных задач. 5-й класс

Тип урока:  формирование и совершенствование умений и навыков.

Цели урока:

  • Образовательные: закрепить умение решения комбинаторных задач на примере составления  многозначных чисел из предложенных цифр с помощью перечисления комбинаций (дерева возможных вариантов), подсчет общего числа комбинаций по правилу умножения.
  • Развивающие:  развитие математического мышления;  развитие познавательного интереса учащихся;  развитие умения самостоятельно выбирать способ решения и умения обосновать выбор;
  • Воспитательные:  формирование навыков самоконтроля, воспитание самостоятельности и настойчивости в достижении цели.

Оборудование:  карточки с заданиями для индивидуальной работы, карточки с решением задач для самопроверки, карточки-«подсказки» для решения задач.

Структура урока:

  1. Организационный момент
  2. Актуализация опорных знаний и умений учащихся (устный опрос)
  3. Формирование и закрепление знаний и умений:
    1. Коллективная работа над задачами
    2. Индивидуальная работа над задачами
  4. Подведение итогов урока
  5. Домашнее задание

Показатель реального результата достижения цели урока: самостоятельное выполнение заданий на составление многозначных чисел с применением дерева возможных вариантов и подсчет общего числа комбинаций по правилу умножения в знакомой  и измененной ситуациях.

ХОД УРОКА

1. Устный опрос

2. Натуральные числа

– Какие числа называются натуральными?

(Числа, используемые при счете предметов)
– С помощью каких «знаков» можно написать любое натуральное число? (С помощью цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
– Как называется группа из трех цифр в записи числа, считая справа налево? (Класс)
– Как называется место, занимаемое цифрой в записи числа? (Разряд)
– Сколько разрядов в каждом классе? (Три)
– Что обозначает цифра 0 в десятичной записи числа? (Отсутствие единиц данного разряда)
– Какая цифра не может стоять в старшем разряде числа? (0)

3. Комбинаторные задачи

– Какие задачи называются комбинаторными? (Задачи, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов)

– Что такое комбинаторика? (Раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить)
– Какими способами мы умеем решать комбинаторные задачи? (С помощью правила умножения и с помощью дерева возможных вариантов)
– В чем заключается правило умножения?  (Если первый элемент в комбинации можно выбрать а способами, после чего второй элемент b способами, то общее число комбинаций из двух элементов будет a . b).
– В чем заключается правило решения задач с помощью дерева вариантов?

4. Работа по теме урока:

1 этап. Коллективная работа над задачами

№ 1

Запишите все трехзначные числа, для записи которых употребляются только цифры 1 и 2.

– Какая цифра может стоять в разряде сотен? (1 или 2)
– Какая цифра может стоять в разряде десятков в каждом из полученных двух случаев? (1 или 2)
– Какая цифра может стоять в разряде единиц в каждом из полученных четырех случаев? (1 или 2)
По ходу рассуждений выполняется схема на доске

Получили 8 чисел: 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222

№ 2

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр  2, 4, 6, 8, если цифры в записи числа не повторяются?

– Сколько цифр дано? (Четыре)
– Какое условие поставлено? (Цифры не должны повторяться)
– Какая цифра может стоять на первом месте?

(Любая)
– Если цифру поставили на первое место, может она занимать второе, третье место? (Нет)

Первой цифрой числа может быть любая из четырех данных цифр, второй – любая из трех других. А третьей – любая из двух оставшихся. Всего из данных цифр можно составить
4 . 3 . 2 = 24 трехзначных числа.

Ответ: 24 числа.

Вывод: для удобства перечисления всех возможных вариантов мы пользовались деревом вариантов. При большом количестве комбинаций дерево быстро ветвится и становится необозримым. Поэтому для подсчета количества комбинаций, если не требуется перечислить все комбинации, лучше пользоваться правилом умножения.

2 этап. Индивидуальная работа над задачами

Индивидуальная работа над задачами состоит из двух шагов:

Шаг 1 задачи № 3 и № 4. Задачи решаются самостоятельно с последующей самопроверкой по карточке с решением, выданным учителем. (Приложение 1)
Если учащиеся справились с решением задач № 3 и № 4, то им предлагаются  задачи № 5,  № 6, № 7
Если учащийся не справился с задачами № 3 и № 4, ему предлагаются аналогичные задачи № 3. 1 и № 4.1.  Если учащийся справляется с задачами № 3.1 и № 4.1, он решет  № 5, № 6, № 7.
В случае, если учащиеся затрудняются в решении задач № 3.1, № 4.1, № 5, № 6, № 7 им выдаются карточки-«подсказки». (Приложение 2)

№ 3

Запишите все трехзначные числа, для записи которых используются цифры 5 и 7.

№ 4

Запишите все трехзначные числа, для записи которых используются цифры 0, 2, 5, если цифры в записи не повторяются.

№ 3.1

Запишите все трехзначные числа, для записи которых используются цифры 2 и 9

№ 4.1

Запишите все трехзначные числа,  в записи которых используются цифры 0, 3, 7. Если цифры в записи не повторяются.

№ 5

Сколько двухзначных  чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, если цифры в записи числа не повторяются? Запишите все эти числа.

№ 6

Сколько трехзначных чисел можно составить из нечетных цифр, если цифры в записи числа не повторяются? Запишите первые 12  чисел, если составленные числа расположены в порядке возрастания.

№ 7

Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых нет цифры 3?

Ответы:

№ 3.1          222, 229, 292, 299, 922, 929, 992, 999
№ 4.1          307, 370, 703, 730
№ 5             3 . 3 = 9 чисел 20, 24, 26, 40, 42, 46, 60, 62, 64
№ 6             5 . 4 . 3 = 60 чисел 135, 137, 139, 153, 157, 159, 173, 175, 179, 193, 195, 197
№ 7             8 . 9 . 9 = 648 чисел

5. Итог урока

– Чем удобно пользоваться при перечислении всех возможных комбинаций?
– Почему при большом количестве комбинаций неудобно пользоваться деревом вариантов?
– Какое правило вы знаете для подсчета количества комбинаций? Сформулируйте его.

6.

Рефлексия. Что нового узнали на уроке? Что уже было знакомо ранее? Какие задачи вызвали наибольшее затруднение? Какая задача понравилась больше остальных?

7. Оценивание работы на уроке каждого учащегося в соответствии с количеством и номерами решенных задач и взятых подсказок.

8. Задание на дом

– Составить и решить две  комбинаторных задачи на составление многозначных чисел из предложенных цифр.

Презентация к уроку математики 5 класс «Комбинаторные задачи»

Комбинаторные задачи

УМК: А.Г. Мерзляк и др.

5 класс

Разработано учителем математики МБОУ — Полужская ООШ им.Ф.Е.Стрельца.

Басовой Е.В.

2020 г.

Прозвенел уже звонок,

Встали тихо, замолчали,

Всё, что нужно, вы достали.

Приготовились к уроку,

В нём иначе нету проку.

Здравствуйте, садитесь,

Больше не вертитесь.

Мы урок начнем сейчас,

Интересен он для вас.

Слушай всё внимательно,

Поймешь всё обязательно.

Математика уступает свои крепости лишь сильным и смелым.

(А.П. Конфорович)

Какой рисунок солнышка соответствует твоему настроению на начало урока

3

1

2

Повторение

1. Чему равен объём куба, ребро которого равно 8 дм?

2. Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда с с измерениями и 2см, 6 см и 10 см?

3.Вычислите сумму

27 + 16 + 33 + 24.

4. Из цифр 7, 4, 5 составили трёхзначные числа. Сколько чисел получится и какие это числа, если цифры не повторяются?

Задача

Туристическая фирма планирует посещение туристами в Германии трех городов: Берлина, Дрездена и Мюнхена. Сколько существует вариантов такого маршрута?

Решение

М

Д

Б

Д

Б

М

Б

М

Д

М

Д

М

Б

Б

Д

БДМ БМД ДБМ ДМБ МБД МДБ

Нередко в повседневной жизни мы встречаемся с задачами, решение которых требует рассмотрения всех возможных случаев, или, как ещё принято говорить, всех возможных комбинаций . Поэтому такие задачи называют комбинаторными

Комбинаторные

задачи

Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».

Термин «комбинаторика» был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, — всемирно известным немецким учёным.

Занимался идеями комбинаторного искусства.

Комбинаторика   — раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить.

Методы решения комбинаторных задач

— Метод перебора вариантов:

если нужных комбинаций не слишком много, то все их можно просто

Перечислить, или, как говорят перебрать все возможности.

-Изображение дерева возможных вариантов: позволяет наглядно представить

все варианты.

  • Правило умножения:
  • Применяется, когда количество возможных вариантов достаточно велико.

Задача № 1

В 5 классе в пятницу 3 урока: математика, литература, родной язык. Сколько вариантов расписания можно составить?

Задача №2

У Арсения есть три книги: красная, зелёная и фиолетовая. Сколько существует способов расставить эти книги на полку?

Задача № 3

Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5? (Цифры НЕ могут повторяться!)

Задача № 4

Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 6? (Цифры НЕ могут повторяться!)

Решение задачи № 3

Цифры

5

3

1

3

5

1

1

5

3

1

5

1

3

5

3

Ответ: 6 чисел (135, 153, 315, 351, 513, 531)

Физкультминутка

  • Потрудились – отдохнем.
  • Встанем, глубоко вздохнем.
  • Руки в стороны, вперед,
  • Влево, вправо поворот.
  • Три наклона, прямо встать,
  • Руки вниз и вверх поднять.
  • Руки плавно опустили,
  • Всем улыбки подарили .

Задача № 5

Сколько различных завтраков, состоящих из 1 напитка и 1 вида выпечки, можно составить из чая, кофе, бутерброда, печенья и вафель?

Решение задачи № 5

Завтрак

Ответ: 6 завтраков.

Задача № 6

У ослика Иа-Иа есть три надувных шарика: красный, зелёный и жёлтый. Он хочет подарить их Винни-Пуху, Пятачку и Кролику. Сколько у ослика есть вариантов сделать подарки своим друзьям?

Решение задачи № 6

Ответ: 6 вариантов.

Проблемный вопрос:

Может ли нам комбинаторика помочь в реальной жизни?

Области

применения

комбинаторики:

ГИА

Домашнее задание

Прочитать параграф 24(стр. 160-163)

№ 646, 648,652, 662, 4(стр163)

Рефлексия

Мне было интересно. Я доволен своей работой на уроке

На уроке я работал неплохо, но не всё было понятно

На уроке мне было трудно

Искусство решения проблем

В комбинаторике рассмотрение дела — это метод подсчета, который включает в себя разделение задачи на несколько частей, подсчет этих частей по отдельности, а затем суммирование итогов каждой части. Кейсворк — это очень общий подход к решению проблем, и поэтому он имеет широкое применение.

Содержимое

  • 1 Примеры
    • 1.1 Пример 1
    • 1.2 Пример 2
    • 1.3 Пример 3
    • 1.4 Другие примеры
  • 2 Ресурсы
  • 3 См. также

Примеры

Вот несколько примеров, демонстрирующих делопроизводство в действии. В отличие от вариантов, приведенных в этой статье, большинство проблем не могут быть полностью решены с помощью работы с кейсами. Тем не менее, это важно как промежуточный шаг во всей математике, а не только в соревнованиях.

В то время как есть проблемы, где рассмотрение дела дает наиболее элегантное решение, в тех случаях, когда существует более короткий ответ, рассмотрение дела может рассматриваться как грубая сила. Это особенно верно, если в этом альтернативном решении используется дополнительный подсчет.

Пример 1

Сколько слов имеют длину менее четырех букв и содержат только буквы A, B, C, D и E? Здесь «слово» относится к любой последовательности букв.

Решение : Мы делим задачу на случаи в зависимости от длины слова.

Случай 1 : Слово состоит из одной буквы. Ясно, что есть такие слова.

Случай 2 : Слово состоит из двух букв. При построении множества этих слов есть варианты на первую букву и варианты на вторую букву, значит есть из этих слов.

Случай 3 : Слово состоит из трех букв. По той же логике, что и выше, у нас есть варианты для первой буквы, варианты для второго и варианты для третьего. Тогда есть из этих писем.

Суммируя все наши случаи, есть слова, которые состоят менее чем из четырех букв и содержат только буквы A, B, C, D и E.

Пример 2

Сколько положительных целых чисел удовлетворяют уравнению ?

Решение : Мы используем делопроизводство на основе значения x.

Случай 1 : . Тогда эта проблема становится , так что есть возможные значения для и, следовательно, решения, когда это одно.

Случай 2 : . Тогда эта проблема становится , так что возможны значения для , и, следовательно, решения, когда равно два.

Если , проблема становится . Но вопрос требует положительного ответа, поэтому решений нет, когда . Таким образом, существуют положительные целые решения уравнения.

Пример 3

2004 AIME II Задача 4. Сколько положительных целых чисел, меньших 10 000, имеют не более двух разных цифр?

Решение : Позвольте и быть двумя цифрами числа. Используйте разбор дела в зависимости от того, сколько цифр в номере.

Вариант 1 : Одноразрядный номер. Все числа в этой категории удовлетворяют заданному условию, значит, есть такие.

Случай 2 : Номер двузначный. Опять же, все числа в этой категории имеют две разные цифры, поэтому есть и такие.

Случай 3 : Номер трехзначный. Возможные случаи в этой категории: и Используя конструктивный подход, есть цифры для того, что может быть первым числом, нуль исключен, чтобы сохранить число трехзначным. Вторая цифра может быть цифрой, включая ноль и удаляя номер первой цифры. Тогда есть из этих чисел.

Случай 4 : Четырехзначный номер. Возможные случаи в этой категории: и Используя ту же логику, что и раньше, первая цифра имеет варианты, как и вторая. Тогда есть из этих чисел.

Таким образом, существуют целые числа, меньшие которых имеют не более двух различных цифр.

Другие примеры

  • 2000 AIME 1 Задача 5

Ресурсы

  • AoPS Casework Counting Part 1
  • Подсчет дел AoPS, часть 2

См.

также
  • Дополнительный счет
  • Конструктивный счет
  • Пересчет

Темы по алгебре и комбинаторике для учителей K-8 Задание № 2, примечания

Глава 2 Раздел 2 (стр. 26-27)
  • #2: I и II, I и III, I и IV, II и III, II и IV, III и IV, IV и VI
  • #3: I/II/III; I/II/IV; II/III/IV; I/II/III/IV
  • #4: f,j,k,l,q,v,w,z
  • #5: 10 букв
  • #6: 8 букв
  • #11: 17 вариантов

Глава 2 Раздел 3 (стр. 32-33)

  • #1: 3*2*5=30
  • #2: 5*6*2*4=240
  • #3: 5*7*7*6; Сначала поместите цифру единиц, затем цифру тысяч, затем оставшиеся две цифры.
  • #5: Рассмотрите все 7-значные значения, которые удовлетворяют второму и третьему условию. Это можно сделать P(9,7) способами. Теперь вычтите те, у которых 5 и 6 рядом в любом порядке. Для этого сначала поставьте пять из семи цифр в {1,2,3,4,7,8,9}. Теперь из шести пробелов, существующих между этими пятью цифрами, сложи 5/6 вместе. Это размещение может быть выполнено 6 способами. наконец, учтите, что 5 и 6 можно поменять местами, поэтому для этого существует два способа. Итак, мы вычитаем P(7,5)*6*2. Окончательный результат: P(9,7) — Р(7,5)*6*2. См. также решение 7 Приложения B, предыдущий курс (http://www.math.ilstu.edu/day/courses/old/305/supbsoln.html) для альтернативного объяснения.
  • #6: Р(8,5)*Р(8,4)*Р(7,5). Разместите 5 человек в первом ряду, 4 человека в заднем ряду и оставшиеся места.
  • #8: Р(5,5)*Р(6,3). Обсудили в классе.
  • #10: 5*5*5

Обзор главы 2 (стр. 33-36)

  • №1: См. стратегию, использованную в Задании №1, Задаче №16.
  • #2: 96 ответов
  • #4: (a) 20 вариантов (b) 8*12=96 вариантов
  • #8: Рассмотрим два случая: I: четыре символа: 2*36*36*36; II: пять знаков: 2*36*36*36*36. По принципу сложения общее количество вариантов равно сумме (2*36*36*36) + (2*36*36*36*36)

Глава 3 Раздел 1 (стр. 42-47)