Комплексные числа как складывать: Сложение комплексных чисел в алгебраической форме

Содержание

Как сложить комплексное число с обычным?

Примеры. Чтобы сложить два комплексных числа в алгебраической форме, надо отдельно сложить действительные части этих чисел, отдельно — коэффициенты при мнимых частях. Комплексные числа также можно складывать, как обычные многочлены, то есть раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

Как записать комплексное число в алгебраической форме?

Алгебраическая форма записи комплексного числа выглядит так: z=x+i*y , где x — действительная часть комплексного числа, y — мнимая часть.

Как производятся действия над комплексными числами в алгебраической форме?

Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.

Сложение. Определение. …
Вычитание. Определение. …
Умножение. Определение. …
Деление. Определение. …
Возведение в целую положительную степень.

Как представить комплексное число в показательной форме?

Запись комплексного числа в виде z = r ⋅ e i φ называется показательной формой записи, где число — модуль комплексного числа , — аргумент комплексного числа .

Как перевести комплексное число в тригонометрическую форму?

z = a + bi = r(cos φ + i sin φ). Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Чему равно произведение двух сопряженных комплексных чисел?

Произведение двух взаимно сопряженных комплексных чисел есть число действительное. Но i2 = — 1. (а + bi) (а — bi) = а2 + b2.

Чему равно I в комплексных числах?

Комплексное число — это выражение вида a + bi, где a, b — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, символ, квадрат которого равен –1, то есть i2 = –1. Число a называется действительной частью, а число b — мнимой частью комплексного числа z = a + bi.

Чему равно I в математике?

Мнимая единица — в основном комплексное число , квадрат которого равняется отрицательной единице: . называется мнимой единицей. Мнимая единица не относится к привычному нам множеству действительных чисел, а используется для расширения этого множества.

Как найти модуль Z?

находим модуль |z| = sqrt(x2 + y2) .

Как найти аргумент?

Аргумент заданного комплексного числа z = a + b i можно вычислить, используя следующие формулы: ⁡ φ = a a 2 + b 2 ; sin ⁡

Что такое мнимая часть?

мнимая часть — комплексного числа z=х+iy, множитель у при мнимой единице i; обозначается Imz. * * * МНИМАЯ ЧАСТЬ МНИМАЯ ЧАСТЬ комплексного числа z = x + iy, множитель y при мнимой единице i; обозначается Imz …

Для чего нужны комплексные числа?

Комплексные числа нужны для описания тех процессов, которые мы не «видим». … Примерно для того же, для чего нужны отрицательные, а так же иррациональные и рациональные — чтобы ловко и умело решать всякие задачи, которые не решаются в простых и умозрительные натуральных числах.

Какие комплексные числа называются чисто мнимыми?

Чи́сто мни́мое число́ — комплексное число с нулевой действительной частью. Иногда только такие числа называются мнимыми числами, но этот термин также используется для обозначения произвольных комплексных чисел с ненулевой мнимой частью.

Что такое действительная часть?

Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z=a+bi и обозначается a=Rez (От французского слова reel — действительный). Действительное число b называется мнимой частью числа z=a+bi и обозначается b=Imz (От французского слова imaginaire — мнимый). Например.

Что такое re и im?

Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.

Чему равны модуль и аргумент произведения и частного комплексных чисел?

Теорема 1. Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент — сумме их аргументов.

Как найти модуль комплексного числа?

Данная плоскость называется комплексной. Действительные числа располагаются на горизонтальной (вещественной) оси, мнимые части – на вертикальной (мнимой) оси. Таким образом, модуль вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой частей комплексного числа.

Как геометрически изображаются комплексные числа?

Комплексные числа изображаются на так называемой комплексной плоскости. Ось, соответствующая в прямоугольной декартовой системе координат оси абсцисс, называется действительной осью, а оси ординат — мнимой осью (рис. 1).

Как найти разность комплексных чисел?

Вычитание комплексных чисел поддается обычными правилам вычитания действительных чисел. Разностью двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di является комплексное число z1-z2 = a-c+i(b-d). Таким образом, реальные и мнимые части комплексных чисел вычитаются при вычитании комплексных чисел.

сложение, умножение, вычитание и др.

Автор fast12v0_omatema На чтение 12 мин Просмотров 7 Опубликовано 08.12.2021

Содержание

Комплексные числа — простое объяснение
Вычитание комплексных чисел
Комплексная плоскость
Алгебраические формы комплексного числа
Другие действия над комплексными числами
Примеры
Примеры корректных выражений
Операции с комплексными числами
Сложение и вычитание комплексных чисел
Умножение и деление комплексных чисел
Умножение комплексных чисел
Понятие бесконечности на множестве комплексных чисел
Равенство комплексных чисел
Извлечение корня из комплексного числа
Формы представления комплексных чисел
Основные действия с комплексными числами
Примеры
Деление комплексных чисел
Возведение комплексного числа в степень
Сопряженные комплексные числа
Сложение комплексных чисел
Поддерживаемые операции и математические функции
Примеры комплексных чисел
Ввод комплексных чисел

Комплексные числа — простое объяснение

Чтобы иметь дело с комплексными числами, вы должны сначала рассмотреть набор действительных чисел. В этот набор входят целые числа, дроби и иррациональные числа. При этом каждая точка числовой прямой обязательно должна соответствовать действительному числу.

Рассмотрим две точки на прямой A = 1 и B = 2. Сложите эти две точки вместе. Их сумма, это третья точка B = 1 + 2 = 3.

Очки также можно умножать. Давайте посмотрим, например, как мы умножаем на минус 2. Это действие преобразует точку 1 в минус 2. Если мы снова умножим на минус 2, нам придется повторить то же движение по прямой, изменив сторону относительно начала координат и удвоить расстояние от него. В итоге получаем 4.

Умножение на минус 1 несложно. Каждая точка преобразуется в точку, симметричную ей относительно начала координат. Другими словами, вам нужно сделать пол-оборота (повернуть на 180 °). Повторение умножения на минус 1 возвращает в исходное положение. Умножение на минус 1 преобразует 1 в минус 1. Если мы снова умножим на минус 1, мы вернемся к 1.

На этом этапе мы можем определить правило, согласно которому если вы умножите число на себя, результат всегда будет положительным. Другими словами, минус 1 не имеет квадратного корня. Но не в случае комплексных чисел.

В начале 19 века Роберт Арган выдвинул следующую идею. Поскольку умножение на минус 1 означает поворот на 180 градусов, квадратный корень из минус 1 означает поворот на половину (90 градусов). Если дважды повернуть его на четверть оборота, сделайте пол-оборота. Четверть оборота — это половина оборота (минус 1).

То есть квадратный корень из минус 1 соответствует тому, куда идет минус 1 при повороте на 90 °. Поскольку такая конструкция, выходящая за горизонтальную линию, выглядит странно, говорят, что такая точка, являющаяся квадратным корнем из минус 1, является мнимым числом. А в математике это обозначается — i.

Выходя за прямую линию, все последующие действия выполняются легко. Вы можете отметить цифры 2i, 3i и так далее. Каждой точке плоскости соответствует комплексное число. И наоборот: любое комплексное число определяет точку на плоскости.

Вычитание комплексных чисел

Разница в цифрах и есть такое число. Обозначение :. Используя правило сложения, находим разницу равенства .

Правило вычитания Когда обнаруживается разница между действительной и мнимой частями уменьшенного, вычитаются действительная и мнимая части вычитаемого соответственно:

Комплексная плоскость

Из определения комплексного числа как упорядоченной пары действительных чисел (см. Введение) мы находим, что указание комплексного числа можно рассматривать как указание точки на плоскости, абсцисса которой является ординатой, т. Е. Число соответствует точке .

Между набором точек на плоскости и набором комплексных чисел (вместе) устанавливается взаимно однозначное соответствие: каждой точке соответствует одно число, каждое число соответствует одной точке с координатами; план называется комплексным планом (планом).

Используя геометрическую интерпретацию комплексных чисел как точек плоскости, мы убеждаемся, что утверждение о том, что комплексные числа не сравниваются, верно, т.е операции сравнения не определены на множестве (нет топонимического знака). Это происходит из-за того, что набор точек на плоскости не упорядочен.

Алгебраические формы комплексного числа

Алгебраические формы комплексного числа — это комплексное число в форме, где и — действительные числа; число называется действительной и мнимой частью комплексного числа.

Обозначение: символ, формально определяемый равенством, называется мнимой единицей.

Два комплексных числа считаются равными, если их действительное и мнимое числа равны.

Ниже мы более подробно рассмотрим основные операции над комплексными числами в алгебраической форме.

Кроме того, мы соглашаемся рассматривать выражения и т.д. Как комплексные числа, записанные в алгебраической форме, что означает, и т.д., приобретаются только действительные значения.

Другие действия над комплексными числами

Помимо основных операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел, существуют также различные математические функции. Рассмотрим некоторые из них:

Получите действительную часть числа: Re (z) = a
Получите мнимую часть числа: Im (z) = b
Форма номера: | z | = (a2 + b2)
Числовой аргумент: arg z = arctan (b / a)
Показатель степени: ez = ea cos (b) + i ea sin (b)
Логарифм: Ln (z) = ln | z | + i аргумент (z)
Тригонометрические функции: sin z, cos z, tg z, ctg z
Гиперболические функции: sh z, ch z, th z, cth z
Обратные тригонометрические функции: arcsin z, arccos z, arctan z, arcctg z
Обратные гиперболические функции: arsh z, arth z, arth z, arcth z

Примеры

Найдите действительную и мнимую части числа z, а также его модуль, если z = 4 — 3i
Re (z) = Re (4 — 3i) = 4
Im (z) = Im (4 — 3i) = -3
| z | = (42 + (-3) 2) = √25 = 5

Примеры корректных выражений

(2 + 3i) * (5-7i)
ш (я)
(4 + i) / (3 — 4i)
sqrt (2i)
(-3 + 4i) * 2i / esp (2i + (15 — 8i) / 4 — 3,75)

Операции с комплексными числами

Помимо действительных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств действительных чисел. Например, невозможно указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше.

Сложение и вычитание комплексных чисел

Комплексные числа можно складывать и вычитать как обычные числа.

Рассмотрим точку, представляющую число 1 + 2i. Добавим к нему цифру 3 + 1i. Его можно сложить в столбик и получить 4 + 3i. Геометрически это простое сложение векторов.

Разность комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, представляет собой комплексное число, действительная часть которого и коэффициент в мнимой части равны, соответственно, разности действительных частей и разности коэффициентов в мнимой части уменьшенная и вычтенная часть.

В общем случае вычитание комплексных чисел z1 = a + bi и z2 = c + di можно записать следующим образом: z1-z2 = (a + bi) — (c + di) = (ac) + (bd) i.

Некоторые примеры вычитания:

(5 + 9i) — (3 + 24i) = (5-3) + (9-24) i = 2-15i.
(-4 + 16i) — (11-8i) = (-4-11) + (16 + 8) i = -15 + 24i.

Умножение и деление комплексных чисел

Комплексные числа чередуются, как и действительные числа. Давайте посмотрим на несколько примеров.

2 × (1 + 1i) = 2 + 2i. С геометрической точки зрения умножение на два приводит к двойному растяжению прямой и точки на плоскости.

Умножить на i тоже несложно. Известно, что i соответствует четверти оборота. Например, чтобы умножить 3 + 1i на i, просто поверните десятичную точку на четверть оборота. Получаем -1 + 3i.

Умножаем два комплексных числа 2 + 1.5i и -1 + 2.4i:

Сначала нужно умножить (-1 + 2,4 i) на два, затем на 1,5 i. Затем результаты складываются. (2 + 1.5i) × (-1 + 2.4i) = 2 (-1 + 2.4i) + 1.5i (-1 + 2.4i) = -2 + 4.8i-1.5i + 3.6 × i × ii в квадрате равно равно минус 1. Следовательно, -2 + 4.8i-1.5i + 3.6 × i × i = -2 + 4.8i-1.5i-3.6 = -5.6 + 3.3 the.

Частное комплексных чисел z1 = x1 + y1i и z2 = x2 + y2i в алгебраической форме получается путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное со знаменателем:

z1 ÷ z2 = (x1 + y1i) ÷ (x2 + y2i) = ((x1 + y1i) × (x2-y2i)) ÷ ((x2 + y2i) × (x2-y2i)) = ((x1 × x2 + y1 × y2) ÷ (x2² + y2²)) + (i × (x2 × y1-x1 × y2) ÷ (x2² + y2²)).

Рассмотрим пример деления -1 + 3i на 1 + 2i. Используя формулу для нахождения частного, мы получаем:

z1 ÷ z2 = (-1 + 3i) ÷ (1 + 2i) = ((-1 + 3i) × (1-2i)) ÷ ((1 + 2i) × (1-2i)) = ((-1 × 1 + 3 × 2) ÷ (1² + 2²)) + (i × (3 × 1 + (- 1) × (-2)) ÷ (1² + 2²)) = 5 ÷ 5 + i × 5 ÷ 5 = 1 + я.

Умножение комплексных чисел

Произведение чисел — это такое число, при котором выполняются равенства. Обозначение: .

несложно проверить, что эти равенства имеют место, если мы произведем формальное умножение выражений и, как биномов:

Правило умножения С учетом этого комплексные числа умножаются как биномиальные .

Результат решения примера можно сформулировать как свойство: сумма и произведение сопряженных комплексных чисел являются действительными числами.

Понятие бесконечности на множестве комплексных чисел

Как и в реальной области, на множестве комплексных чисел вводится понятие бесконечности, бесконечно удаленной точки. Это можно сделать по аналогии с набором действительных чисел по геометрическим причинам.

Рассмотрим числовую прямую и круг, соприкасающиеся с линией в точке; будет указана точка, диаметрально противоположная точке.

Соединим разные точки оси точкой с прямыми линиями; точки пересечения прямых с кругом будут обозначены значком. Очевидно, каждая точка соответствует точке. Обратное верно для всех точек в круге, кроме точки. Но когда вы удаляетесь по прямой от точки (с увеличением расстояния, равным), ее изображение на окружности приближается к точке.

Для такой последовательности в анализе принято бесконечно большое имя (значение) последовательности. Ее предел обозначается и называется бесконечностью или бесконечно удаленной точкой. Следовательно, точку можно рассматривать как изображение бесконечно удаленной точки на окружности, а бесконечность — как «точку» оси, изображение которой на окружности является точкой .

По аналогии рассмотрим плоскость (плоскость) и касательную к ней сферу в начале координат, т.е в точке (рис. 1.2, а). Лучи, соединяющие точки с точкой, пересекают сферу в точках. В этом случае одна точка соответствует любой точке, и наоборот, одна точка соответствует любой точке. Очевидно, что чем дальше точка от начала координат (это длина радиус-вектора точки), тем ближе ее изображение к точке. Чтобы совпадение было полным, вводится «несоответствующий» элемент (символ), бесконечно удаленная точка, такая как точка на плоскости, изображение которой находится на этой точке .

Плоскость, объединенная элементом, называется расширенной комплексной плоскостью и обозначается значком .

Однозначное соответствие, построенное между точками сферы и целым, называется стереографической проекцией, а сфера — сферой Римана.

Равенство комплексных чисел

Комплексные числа и называются равными, если их действительная и мнимая части равны соответственно

Извлечение корня из комплексного числа

Корень n-й степени комплексного числа — это такое число, что. Обозначение: .

Правило извлечения корня Чтобы извлечь корень (путем нахождения и), можно, используя определение корня и правило возведения в степень, составить и решить систему уравнений относительно желаемого е и :

Формы представления комплексных чисел

комплексные числа принято представлять в одной из следующих трех форм: алгебраической, тригонометрической и экспоненциальной.

Алгебраическая форма — наиболее часто используемая форма комплексного числа, записывающая число как сумму действительной и мнимой частей: x + iy, где x — действительная часть, а y — мнимая часть
Тригонометрическая форма — это обозначение вида r (cos φ + isin φ), где r — модуль комплексного числа (r = | z |), а φ — аргумент этого числа (φ = arg (z))
Экспоненциальная форма — это обозначение формы r eiφ, где r — модуль комплексного числа (r = | z |), e — число Эйлера, а φ — аргумент комплексного числа (φ = arg (z))

Основные действия с комплексными числами

Основные операции, определенные для комплексных чисел, — это сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:

сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i

вычитание: (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d) i
умножение: (a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac — bd) + (bc + ad) i
деление: a + bic + di = (a + bi) (c — di) c2 + d2 = (ac + bd) c2 + d2 + (bc — ad) c2 + d2i

Примеры

Найдите сумму чисел 5 + 7i и 5. 5-2i:

Находим отдельно сумму действительных частей и сумму мнимых частей: re = 5 + 5,5 = 10,5, im = 7 — 2 = 5.
Пишем их рядом, добавляя к мнимой части i: 10,5 + 5i
Полученное число будет ответом: 5 + 7i + 5,5-2i = 10,5 + 5i

Найдите разницу между числами 12-i и -2i:

Находим отдельно различия действительных частей и различия мнимых частей: re = 12 — 0 = 12, im = -1 — (-2) = 1.
Пишем их рядом, добавляя к мнимой части i: 12 + 1i
Полученное число и будет ответом: 12-i — (-2i) = 12 + i

Найдите произведение чисел 2 + 3i и 5-7i:

Находим действительную и мнимую части по формуле: re = 2 · 5 — 3 · (-7) = 31, im = 3 · 5 + 2 · (-7) = 1.
Пишем их рядом, добавляя к мнимой части i: 31 + 1i
Полученное число будет ответом: 2 + 3i * (5-7i) = 31 + i

Найдите соотношение между числами 75-50i и 3 + 4i:

Находим действительную и мнимую части по формуле: re = (75 3 — 50 4) / 25 = 1, im = (-50 3 — 75 4) / 25 = -18.
Пишем их рядом, добавляя к мнимой части i: 1 — 18i
Полученное число будет ответом: 75-50i / (3 + 4i) = 1 — 18i

Деление комплексных чисел

Частное от деления числа на — это такое число, при котором выполняется равенство. Обозначение :. Задача нахождения частного сводится к определению и по системе

При нахождении частного удобно использовать свойство произведения сопряженных чисел.

Чтобы разделить число на, числитель и знаменатель дроби необходимо умножить на сопряжение знаменателя.

Возведение комплексного числа в степень

Возвести комплексное число в степень — значит найти произведение множителей, каждый из которых равен, например

Правило возведения в степень Когда число возводится в степень (найти е), используется правило возведения степени в бином, в общем случае применяется формула Ньютона бинома:

Сопряженные комплексные числа

Комплексные числа называются сопряженными, если они имеют одинаковую действительную чистоту, а мнимые — противоположного знака.

Получите абсолютное значение числа: абс

Основные математические функции: exp, ln, sqrt

Получение реальных и мнимых частей: re, im

Тригонометрические функции: sin, cos, tg, ctg

Гиперболические функции: sh, ch, th, cth

Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg

Обратные гиперболические функции: arsh, arch, arth, arcth

Примеры комплексных чисел

4 + 3i — действительная часть = 4, мнимая = 3
-2 + i — действительная часть = -2, мнимая = 1
i — действительная часть = 0, мнимая = 1
-i — действительная часть = 0, мнимая = -1
10 — действительная часть = 10, мнимая = 0

Ввод комплексных чисел

комплексные числа можно вводить в следующих трех форматах:

Только действительная часть: 2, 2.5, -6.7, 12.25
Только мнимая часть: i, -i, 2i, -5i, 2.16i, -12.5i
Действительная и мнимая части: 2 + i, -5 + 15i, -7 + 2.
5i, -6 + i
Математические константы: π, e

Комплексные числа

Цели урока:

расширить понятие числа, ввести понятие комплексного числа;
рассмотреть действия над комплексными числами;
рассмотреть геометрическую интерпретацию комплексного числа;
ввести тригонометрическую и показательную формы комплексного числа;
развивать у учащихся интерес к дальнейшему изучению математики;
расширить математический кругозор учащихся.

Задачи урока:

1. Образовательные:

повторить историю развития чисел;
показать необходимость расширения множеств натуральных, рациональных, действительных чисел;
научить выполнять действия над комплексными числами;
научить выполнять переход от одной формы комплексного числа к другой.

2. Развивающие:

развитие логического мышления;
развитие абстрактного мышления;
развитие пространственного воображения.

Оборудование: компьютер, видеопроектор, экран.

План урока:

Вводная часть.
История развития числа.
Понятие комплексного числа.
Действия над комплексными числами.
Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Показательная форма комплексного числа.
Подведение итогов.

1. Вводная часть.

Сегодня мы поговорим о числах, изучаемых в курсе математики. С какими числами вы уже знакомы? (Ответы учащихся). Зачем человеку нужно было придумывать различные множества чисел? (Потому что во множестве натуральных чисел не всегда можно выполнить вычитание и деление, во множестве рациональных чисел нельзя извлечь корень квадратный из положительного числа). Как геометрически можно изобразить натуральные, целые, рациональные, действительные числа? Мы кратко повторили историю развития понятия числа, а теперь посмотрим презентацию этого материала, подготовленную Долгополовым О. После просмотра вы должны выполнить самостоятельную работу.

2. История развития числа (Презентация).

На первых этапах существования человеческого общества числа служили для примитивного счета предметов, дней, шагов. В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числа. С развитием цивилизации ему потребовалось изобретать все больше числа, этот процесс продолжался на протяженности многих столетий и требовал напряженного интеллектуального труда. При обмене продуктами появилась необходимость сравнивать числа, возникли понятия больше, меньше, равно. На этом же этапе люди стали складывать числа, затем научились вычитать, делить, умножать. При делении двух натуральных чисел появились дроби, при вычитании – отрицательные числа.

Необходимость выполнять арифметические действия привела к понятию рациональных чисел. В IV в. до н.э. греческие математики открыли несоизмеримые отрезки, длины которых не выражались ни целым, ни дробным числом (например, длина диагонали квадрата со стороной, равной 1). Потребовалась не одна сотня лет, чтобы математики смогли выработать способ записи таких чисел в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Так появились иррациональные числа, которые вместе с рациональными назвали действительными числами.

Но затем выяснилось, что во множестве действительных чисел не имеют решения простейшие квадратные уравнения, например, х² + 1 = 0. Математики пришли к необходимости расширить понятия числа, чтобы в новом множестве можно было всегда извлечь квадратный корень. Новое множество назвали множеством комплексных чисел, введя понятие мнимой единицы: i² = – 1.

Выражение вида а + вi назвали комплексным числом. Долгое время многие ученые не признавали их за числа. Только после того, как нашли возможность представить мнимое число геометрически, так называемые мнимые числа получили свое место во множестве чисел. [2]

3. Понятие комплексного числа.

Мы посмотрели слайды, показывающие как расширялось понятие числа. Запишите в тетрадях историю развития числа на языке множеств, используя круги Эйлера. В тетрадях должен появиться чертеж:

N – натуральные числа.

Q – рациональные числа.

R – действительные числа.

Учитель: Попробуйте сформулировать тему нашего урока (Выслушиваются предложения учащихся). Итак, тема занятия «Комплексные числа». Скажите еще раз, зачем нужно было расширять множества натуральных, целых, рациональных, действительных чисел? (Чтобы можно было выполнять любые действия над числами).

Определение. Комплексными называются числа вида а + вi, где а и в – действительные числа, i – мнимая единица: i² = – 1. а называется действительной частью, вi – мнимой частью комплексного числа. [1]

Придумайте и запишите в тетрадях три комплексных числа.

Определение. Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях, т. е. а + вi = с + di a = c, b = d.

Для комплексных чисел не существует соотношений «больше», «меньше».

Примеры: Найдите действительные числа х и у из уравнений:

а) х – 8i + (у – 3)i = 1 б) (3 + i) х – 2 (1 + 4i) у = — 2 — 4i

4. Действия над комплексными числами.

Определение. Суммой двух комплексных чисел а + вi = с + di называется комплексное число, равное (а + с) + (в +d) i.

Определение. Числа а + вi и – а – вi называются противоположными.

Действительно, (а + вi) + (– а – вi) = (а – а) + (в – в)i = 0 + 0i = 0.

Определение. Числа а + вi и а – вi называются сопряженными.

(а + вi) + (а – вi) = 2а;

(а + вi) + (а – вi) = a² – (bi)² = a² – b²i² = a² – b² (- 1) = a² + b².

Найдем произведение двух комплексных чисел:

(а + вi) (с + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac – bd) + (ad + bc)i

Пример: (4 – 3i) (–2 + 5i) = (–8 + 15) + (20 + 6)i = 7 + 26i

Самостоятельная работа в тетрадях. Вычислить (1+ 5i)(-2 + 3i), (1 — 2i)(0,6 – i).

Чтобы найти частное двух комплексных чисел, надо умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю (этим действием мы избавляемся от мнимой части в знаменателе):

Запоминать формулу не обязательно, важно помнить практический способ деления комплексных чисел.

Пример:

Самостоятельная работа в тетрадях. Вычислить (1 — 2i) / (1 + 2i), 6 / (3i – 4).

Рассмотрим действие возведения в степень мнимой единицы:

i¹ = i; i² = – 1; i³ = i² · i = – i; i⁴ = (i²)² = (– 1)² = 1; i⁵ = i⁴ · i = I; и т.д. Заметив повторение через некоторый интервал ответов, запишем общую формулу:

Решить квадратные уравнения:

5. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Как известно, действительные числа можно изображать точками числовой прямой. При этом каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой прямой. Верно и обратное утверждение: каждой точке числовой прямой соответствует единственное действительное число. Значит, между точками числовой прямой и множеством всех действительных чисел установлено взаимно однозначное соответствие.

Подобно тому, как действительные числа изображаются точками числовой прямой, комплексные числа можно изображать геометрически точками плоскости. Каждому комплексному числу а + вi поставили в соответствие точку плоскости с координатами А(а; в).

Множество всех комплексных чисел находится во взаимно-однозначном соответствии с множеством всех точек плоскости. К любой точке плоскости можно провести радиус-вектор.

Ось ОХ – действительная ось;

ОУ – мнимая ось.

6. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Пусть комплексному числу а + вi соответствует вектор с координатами (а; в). Обозначим длину этого вектора через r, а угол, который он образует с осью ОХ, через φ. Из тригонометрии известно, что

а + вi можно записать в виде: а + вi = r cos φ + i r sin φ = r (cos φ + i sin φ) – тригонометрическая форма комплексного числа.

Самостоятельная работа в тетрадях. Запишите комплексные числа в тригонометрической форме: 1; — i; 1 + i; 1 + i²⁷.

7. Показательная форма комплексного числа.

Комплексное число а + вi может быть представлено и в показательной форме: Z = r (cos φ + i sin φ) = r e ^iφ .

Самостоятельная работа в тетрадях. Записать комплексные числа в показательной форме: — 1; 1 — i ; 4 — 3i.

На этом наш урок закончен. Чем вас обогатил этот урок?

Домашнее задание:

Информацию, полученную на уроке, структурируйте (запишите в виде плана).
Решите примеры по книге А.А.Дадаян. Сборник задач по математике, №№ 16. 14 – 16.17.

Список литературы:

Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ, 10-11 классы. – М.:Просвещение, 2003.
ГлейзерГ.И. История математики в школе, IX — X классы. – М.: Просвещение, 1983.
Дадаян А.А. Сборник задач по математике. М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2006. – 352 с.
Шипачев В.С.Задачник по высшей математике: Учеб. Пособие для вузов. – 2-е изд., испр. – 304 с.: ил.

Сложение и вычитание комплексных чисел

Сложение и вычитание комплексных чисел — математические операции над комплексными числами. Прежде чем вдаваться в подробности сложения и вычитания комплексных чисел, давайте вспомним значение комплексных чисел. Комплексное число — это комбинация действительного числа и мнимого числа. Он имеет вид a + ib и обычно обозначается буквой z. Действительная и мнимая части комплексного числа складываются отдельно при сложении комплексных чисел. Точно так же для вычитания комплексных чисел мы вычитаем действительную и мнимую части комплексных чисел отдельно.

В этой статье мы рассмотрим концепцию сложения и вычитания комплексных чисел вместе с их правилами и шагами с помощью примеров. Мы также изучим концепцию сложения и вычитания комплексных чисел в полярной форме.

1.	Что такое сложение и вычитание комплексных чисел?
2.	Добавление комплексных чисел
3.	Вычитание комплексных чисел
4.	Шаги и правила сложения и вычитания комплексных чисел
5.	Свойства сложения и вычитания комплексных чисел
6.	Часто задаваемые вопросы о сложении и вычитании комплексных чисел

Что такое сложение и вычитание комплексных чисел?

Сложение и вычитание комплексных чисел являются фундаментальными операциями, применяемыми к комплексным числам. Точно так же, как когда мы складываем или вычитаем многочлены, мы комбинируем одинаковые члены. Точно так же для сложения и вычитания комплексных чисел мы объединяем действительные части и мнимые части комплексных чисел, а затем применяем операцию. Давайте посмотрим формулу сложения и вычитания комплексных чисел z

1 = a + ib и z ₂ = c + id, где a, b, c, d — действительные числа:

Добавление комплексных чисел

При выполнении операции сложения комплексных чисел мы соединяем действительные и мнимые части комплексных чисел и складываем их. Формула сложения комплексных чисел:

z ₁ + z ₂ = a + ib + c + id

= (a + c) + (ib + id)

= (a + c ) + i(b + d)

Отсюда имеем (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)

Вычитание комплексных чисел

Для вычитания комплексных чисел мы рассматриваем действительную и мнимую части комплексных чисел отдельно и вычитаем действительную и мнимую части одного комплексного числа из действительной и мнимой частей соответственно другого комплексного числа.

Формула вычитания комплексных чисел:

z ₁ — z ₂ = (a + ib) — (c + id)

= a + ib — c — id

= (a — c) + (ib — id)

= (a — c) + i(b — г)

Отсюда имеем (а + ib) — (с + id) = (а — с) + i(b — d)

Шаги и правила сложения и вычитания комплексных чисел

Теперь мы знаем формулы сложения и вычитания комплексных чисел. Далее мы будем понимать процесс для того же пошагово. Ниже приведены шаги для сложения и вычитания комплексных чисел:

Шаг 1: Разделите действительные и мнимые части комплексных чисел.
Шаг 2: Сложите (вычтите) действительные части комплексных чисел.
Шаг 3: Сложите (вычтите) мнимые части комплексных чисел.
Шаг 4: Дайте окончательный ответ в формате + ib.

Свойства сложения и вычитания комплексных чисел

Ниже приведен список свойств сложения и вычитания комплексных чисел:

Свойство замыкания: сумма и разность комплексных чисел также являются комплексными числами. Следовательно, он обладает свойством замыкания.
Коммутативное свойство: сложение комплексных чисел коммутативно, но вычитание комплексных чисел не коммутативно.
Ассоциативное свойство: сложение комплексных чисел является ассоциативным, но вычитание комплексных чисел не является ассоциативным.
Аддитивное тождество: 0 — это аддитивное тождество комплексных чисел, т. е. для комплексного числа z мы имеем z + 0 = 0 + z = z.
Обратное сложение: для комплексного числа z обратным сложением в комплексных числах является -z, т. е. z + (-z) = 0

Важные замечания по сложению и вычитанию комплексных чисел

Сложение и вычитание комплексных чисел аналогично сложению и вычитанию двух двучленов. т. е. нам нужно просто скомбинировать подобные термы.

Все действительные числа являются комплексными числами, но не все комплексные числа должны быть действительными числами.
Вычитание комплексных чисел не соблюдает коммутативный закон.
Для сложения и вычитания комплексных чисел в полярной форме мы сначала преобразуем комплексные числа в прямоугольную форму, а затем выполняем операцию. Затем мы преобразуем окончательный ответ в полярную форму.

Связанные темы

Комплексные числа
Деление комплексных чисел
Умножение комплексных чисел

Часто задаваемые вопросы о сложении и вычитании комплексных чисел

Что такое сложение и вычитание комплексных чисел в математике?

Сложение и вычитание комплексных чисел — это основные операции, применяемые к комплексным числам. Точно так же, как когда мы складываем или вычитаем многочлены, мы комбинируем одинаковые члены. Точно так же для сложения и вычитания комплексных чисел мы объединяем действительные части и мнимые части комплексных чисел, а затем применяем операцию.

Что такое сложение комплексных чисел?

При выполнении операции сложения комплексных чисел мы соединяем действительные и мнимые части комплексных чисел и складываем их.

Что такое вычитание комплексных чисел?

Как складывать и вычитать комплексные числа?

Действительная и мнимая части комплексного числа складываются отдельно при сложении комплексных чисел. Точно так же для вычитания комплексных чисел мы вычитаем действительную и мнимую части комплексных чисел отдельно.

Каковы свойства сложения и вычитания комплексных чисел?

Некоторые из важных свойств сложения и вычитания комплексных чисел :

Сумма и разность комплексных чисел также являются комплексными числами.
Сложение комплексных чисел ассоциативно, но вычитание комплексных чисел не ассоциативно.
Сложение комплексных чисел коммутативно, но вычитание комплексных чисел не коммутативно.

Как найти сумму и разность двух комплексных чисел?

Чтобы найти сумму двух комплексных чисел, мы объединяем действительные части и мнимые части комплексных чисел, а затем складываем их и даем окончательный ответ в формате a + bi. Мы следуем тому же процессу, чтобы найти разность двух комплексных чисел. Единственное отличие состоит в том, что здесь мы вычитаем действительные и мнимые части, а не складываем их.

Какие формулы для сложения и вычитания комплексных чисел?

Для вычитания комплексных чисел мы используем формулу (a + ib) — (c + id) = (a — c) + i(b — d), а для сложения комплексных чисел используем формулу (a + ib) + (с + id) = (а + с) + i(b + d).

Интуитивная арифметика с комплексными числами – BetterExplained

Воображаемые числа имеют интуитивное объяснение: они «вращают» числа точно так же, как отрицания создают «зеркальное отражение» числа. Это понимание упрощает понимание арифметики с комплексными числами и является отличным способом перепроверить свои результаты. Вот наша шпаргалка:

В этом посте мы рассмотрим интуитивное значение.

Комплексные переменные

В обычной алгебре мы часто говорим «x = 3», и все отлично — есть какое-то число «x», значение которого равно 3. С комплексными числами есть проблема: нужно говорить о двух измерениях. Когда мы пишем

, мы говорим, что есть число «z», состоящее из двух частей: 3 (действительная часть) и 4i (мнимая часть). Немного странно, как «одно» число может состоять из двух частей, но мы уже давно так делаем. Мы часто пишем:

и нас не смущает, что одно число «y» имеет как целую часть (3), так и дробную часть (.4 или 4/10). Y представляет собой комбинацию двух. Комплексные числа похожи: их действительная и мнимая части «содержатся» в одной переменной (сокращенно Re и Im).

К сожалению, у нас нет удобной записи типа (3.4), чтобы «слить» части в одно число. У меня была идея написать воображаемую часть вертикально, тускнеющими чернилами, но она не пользовалась большой популярностью. Так что будем придерживаться формата «а+би».

Измерение размера

Поскольку комплексные числа используют две независимые оси, мы находим размер (величину) с помощью теоремы Пифагора:

Итак, число z = 3 + 4i будет иметь величину 5. z” это: |z|

Видите, как выглядит знак абсолютного значения? Ну, в некотором смысле, это так. Величина измеряет «расстояние от нуля» комплексного числа, точно так же, как абсолютное значение измеряет «расстояние от нуля» отрицательного числа.

Комплексное сложение и вычитание

Мы видели, что обычное сложение можно рассматривать как «скольжение» числа. Сложение с комплексными числами аналогично, но мы можем скользить в двух измерениях (реальных или мнимых). Например:

Добавление (3 + 4i) к (-1 + i) дает 2 + 5i.

Опять же, это визуальная интерпретация того, как объединяются «независимые компоненты»: мы отслеживаем реальную и мнимую части отдельно.

Вычитание обратно сложению — сдвиг в в противоположном направлении . Вычитание (1 + i) аналогично прибавлению -1 * (1 + i) или добавлению (-1 – i).

Комплексное умножение

Здесь математика становится интересной. Когда мы умножаем два комплексных числа (x и y), чтобы получить z:

Складываем углы: угол(z) = угол(x) + угол(y)
Умножьте величины: |z| = |х| * |у|

То есть угол z является суммой углов x и y, а величина z является произведением величин. Хотите верьте, хотите нет, но магия комплексных чисел заставляет математику работать!

Умножение на величину (размер) имеет смысл — мы привыкли к тому, что происходит при обычном умножении (3 × 4 означает, что вы умножаете 3 на размер 4). Причина, по которой сложение углов работает, более подробная, и мы сохраним ее для другого раза. (Любопытно? Найдите формулы сложения синуса и косинуса и сравните их с тем, как умножается (a + bi) * (c + di).

Время для примера: умножим z = 3 + 4i само на себя. Прежде чем приступать к математике, мы знаем несколько вещей:

Результирующая величина будет равна 25. z имеет величину 5, поэтому |z| * |г| = 25.
Результирующий угол будет больше 90. 3 + 4i больше 45 градусов (поскольку 3 + 3i будет 45 градусов), поэтому удвоенный угол будет больше 90.

С нашими предсказаниями на бумаге мы можем сделать математику:

Время проверить наши результаты:

Величина: $\sqrt{(-7 * -7) + (24 * 24)} = \sqrt {625} = 25$, что соответствует нашему предположению.

Ницца. Хотя мы всегда можем посчитать, интуиция о поворотах и масштабировании помогает нам проверить результат. Если бы результирующий угол был меньше 90 (например, вперед и вверх) или результирующая величина не равнялась 25, мы бы знали, что в наших вычислениях допущена ошибка.

Комплексное деление

Деление противоположно умножению, так же как вычитание противоположно сложению. При делении комплексных чисел (x делится на y) мы:

Вычесть углы угол(z) = угол(x) – угол(y)
Разделить на величину |z| = |х| / |у|

Звучит хорошо. Теперь попробуем это сделать:

Hrm. Когда начать? Как мы на самом деле делаем деление? Деление обычных алгебраических чисел вызывает у меня мурашки, не говоря уже о странности i ( Мистер мистер! Знаете ли вы, что 1/i = -i? Просто умножьте обе части на i и убедитесь сами! Eek.). К счастью, есть короткий путь.

Введение в комплексные сопряжения

Наша первая цель деления — вычитание углов. как нам это сделать? Умножьте на противоположный угол! Это «добавит» отрицательный угол, выполняя вычитание угла.

Вместо z = a + bi подумайте о числе z* = a – bi, называемом «комплексно-сопряженным». Он имеет ту же действительную часть, но является «зеркальным отражением» в мнимом измерении. Сопряженное или «воображаемое отражение» имеет ту же величину, но противоположный угол!

Таким образом, умножение на a – bi равносильно вычитанию из угла. Неато.

Комплексно-сопряженные числа обозначаются звездочкой (z*) или чертой над числом — математики любят спорить об этих условных обозначениях. В любом случае сопряженное число — это комплексное число с перевернутой мнимой частью:

Обратите внимание, что b не обязательно должно быть «отрицательным». Если z = 3 – 4i, то z* = 3 + 4i.

Умножение на сопряженное число

Что произойдет, если умножить на сопряженное число? Сколько будет z умножить на z*? Не задумываясь, подумайте об этом: 92, так как мы масштабировали по размеру дважды.

Теперь давайте сделаем пример:

Мы получили реальное число, как и ожидали! Любители математики могут также попробовать алгебру:

Тада! Результат не имеет мнимых частей и представляет собой квадрат величины. Понимание комплексно-сопряженных чисел как «отрицательного поворота» позволяет по-другому предсказывать эти результаты.

Масштабирование ваших чисел

При умножении на сопряженное z* мы масштабируем на величину |z*|. Чтобы обратить этот эффект, мы можем разделить на |z|, и на самом деле 92 = 2$

Ответ при таком подходе:

Более традиционный метод «подключи и пыхни» состоит в том, чтобы умножить верх и низ на комплексное сопряжение:

Нас традиционно учат «просто умножать обе стороны». комплексным сопряжением», не задаваясь вопросом, что на самом деле означает комплексное деление. Но не сегодня.

Мы знаем, что происходит: деление — это вычитание угла и уменьшение величины. Умножая вершину и низ на сопряженное, мы вычитаем угол (1-i), что делает знаменатель действительным числом (это не совпадение, так как это прямо противоположный угол). Мы масштабировали верх и низ на одинаковую величину, поэтому эффекты отменяются. В результате деление превращается в умножение в числителе.

Оба подхода работают (обычно вас учат второму), но хорошо иметь один, чтобы перепроверить другой.

Дополнительные математические хитрости

Теперь, когда мы понимаем, что такое сопряжение, нужно рассмотреть несколько свойств:

Первое должно иметь смысл. Сложение двух чисел и «отражение» (сопряжение) результата — это то же самое, что сложение отражений. Другой способ подумать об этом: сдвинуть два числа, а затем взять противоположное, это то же самое, что сдвинуть оба раза в противоположном направлении.

Второе свойство сложнее. Конечно, алгебра может работать, но каково интуитивное объяснение?

Результат (xy)* означает:

Умножьте величины: |x| * |у|
Сложите углы и возьмите сопряженное (противоположное): угол(х) + угол(у) становится «-угол(х) + -угол(у)»

И x* умножить на y* означает:

Умножить величины: |x| * |у| (это то же самое, что и выше)

Ага! В каждом случае мы получаем один и тот же угол и величину, и нам не нужно было прибегать к традиционному алгебраическому объяснению. Алгебра — это хорошо, но это не всегда самое удовлетворительное объяснение.

Краткий пример

Сопряжение — это способ «отменить» вращение. Подумайте об этом так:

Я внес на свой счет 3 доллара, 10 долларов, 15,75 и 23,50 долларов. Какая транзакция отменит их? Чтобы найти обратное: сложите их и умножьте на -1.
Я повернул линию, выполнив несколько операций умножения: (3 + 4i), (1 + i) и (2 + 10i). Какая ротация отменит их? Чтобы найти обратное: перемножьте комплексные числа вместе и возьмите сопряженное от результата.

Рассматривайте сопряжение z* как способ «отменить» эффекты вращения z, точно так же, как отрицательное число «отменяет» эффекты сложения. Одно предостережение: с конъюгатами нужно делить на |z| * |г| чтобы удалить эффекты масштабирования, а также.

Заключительные мысли

Математика здесь не нова, но я так и не понял, почему комплексные сопряжения работают именно так. Почему а-би, а не -а+би? Что ж, комплексные сопряжения — это не случайный выбор, а зеркальное отражение с воображаемой точки зрения, с точно противоположным углом.

Представление о мнимых числах как о вращениях дает нам новый подход к решению проблем; формулы «подключи и пыхни» могут иметь интуитивно понятный смысл даже для такой странной темы, как комплексные числа. Счастливая математика.

Другие сообщения из этой серии

Наглядное интуитивное руководство по воображаемым числам
Интуитивная арифметика с комплексными числами
Понимание того, почему сложное умножение работает
Интуитивное руководство по углам, градусам и радианам
Интуитивное понимание формулы Эйлера
Интерактивное руководство по преобразованию Фурье
Интуитивное руководство по свертке
Интуитивное понимание синусоиды
Интуитивное руководство по линейной алгебре
Интуиция программиста для умножения матриц
Мнимое умножение против мнимых показателей
Интуитивное руководство по гиперболическим функциям

Объяснение урока: приравнивание, сложение и вычитание комплексных чисел

В этом пояснении мы научимся приравнивать, складывать и вычитать комплексные числа.

Начнем с определения комплекса числа и некоторые обозначения комплексных чисел.

Определение: комплексные числа

Комплексное число — это число вида 𝑎+𝑏𝑖, где оба 𝑎 и 𝑏 — действительные числа и 𝑖 это квадратный корень из −1. Комплектация всего комплекса цифры обозначаются ℂ.

Для комплексного числа 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 определим действительную часть 𝑧 быть 𝑎 и написать Re(𝑧)=𝑎.

Точно так же мы определяем мнимую часть 𝑧 как 𝑏 и напишите Im(𝑧)=𝑏.

В некоторых книгах и статьях обозначения ℜ(𝑧) и ℑ(𝑧) используются для обозначения реальной и мнимой частей 𝑧.

Прежде чем мы начнем арифметические действия с комплексными числами, нам нужно понять, что это означает для двух комплексных чисел. числа должны быть равны. Мы определяем равенство комплексных чисел аналогично тому, как мы определяем равенство алгебраических чисел. выражения с переменными. Например, если 𝑥 — переменная и 𝑎, 𝑏, 𝑐 и 𝑑 — действительные числа, выражающие два алгебраических выражения 𝑎+𝑏𝑥 и 𝑐+𝑑𝑥 эквивалентны утверждению, что 𝑎=𝑐 и 𝑏=𝑑. Аналогично определяем равенство комплексных чисел.

Определение: равенство комплексных чисел

Два комплексных числа 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 и 𝑧=𝑐+𝑑𝑖 называются равными, если 𝑎=𝑐 и 𝑏=𝑑. И наоборот, если 𝑧=𝑧, то 𝑎=𝑐 и 𝑏=𝑑. Эквивалентно, мы можем утверждать, что два комплексных числа 𝑧 и 𝑧 равны, если ReRe(𝑧)=(𝑧) и ImIm(𝑧)=(𝑧) и эквивалентное обратное утверждение.

Зачастую работать со второй версией проще всего, как мы увидим в некоторых примерах ниже.

Начнем с примера, где можно применить равенство сложных числа для идентификации неизвестных значений в заданных сложных выражениях.

Пример 1: Равенство комплексных чисел

Если комплексные числа 7+𝑎𝑖 и 𝑏−3𝑖 равны, каковы значения 𝑎 и 𝑏?

Ответ

Напомним, что два комплексных числа называются равными, если равны их действительные и мнимые части. Начало приравнивая действительные части, имеем 7=𝑏. Аналогично, приравнивая мнимые части, мы приходим к уравнению 𝑎=−3 (здесь нужно быть осторожным, чтобы не пропустить отрицательный знак). Следовательно, имеем 𝑎=−3 и 𝑏=7.

В предыдущем примере мы смогли идентифицировать два разных неизвестных константы с помощью одного комплексного равенства. Поскольку равенство для комплексного числа приравнивает действительную и мнимую части отдельно, один комплекс равенство порождает два отдельных уравнения. Это позволяет выделить два разные неизвестные из одного комплексного равенства. Рассмотрим другой пример, где мы находим два неизвестных из уравнения, включающего сложные числа.

Пример 2. Решение простых уравнений с комплексными числами

Определите действительные числа 𝑥 и 𝑦, которые удовлетворяют уравнению 5𝑥+2+(3𝑦−5)𝑖=−3+4𝑖.

Ответ

Напомним, что два комплексных числа называются равными, если оба их действительных и мнимые части равны. Рассматривая действительную и мнимую части по отдельности мы можем вывести два уравнения, которые затем решим для 𝑥 и 𝑦. Поскольку нам говорят, что 𝑥 и 𝑦 — действительные числа, мы знаем, что 5𝑥+2 и 3𝑦−5 равны, соответственно действительная и мнимая части комплексного числа на левая часть данного уравнения. Начав с реальных частей, мы есть 5𝑥+2=−3.

Вычитание 2 с обеих сторон дает 5𝑥=−5.

Тогда, разделив на 5, мы получим 𝑥=−1.

Взяв мнимые части обеих сторон, мы получим 3𝑦−5=4.

Прибавление 5 к обеим сторонам дает 3𝑦=9; то деление на 3 дает 𝑦=3.

Следовательно, 𝑥=−1 и 𝑦=3.

Подобно тому, как мы определяли равенство комплексных чисел, основные принципы сложения и вычитания комплексных чисел числа аналогичны своим эквивалентам в алгебре многочленов. Чтобы складывать и вычитать многочлены, мы добавить и вычесть соответствующие коэффициенты.

Определение: сложение и вычитание комплексных чисел

Для двух комплексных чисел 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 и 𝑧=𝑐+𝑑𝑖, мы определяем 𝑧+𝑧=(𝑎+𝑐)+(𝑏+𝑑)𝑖.

Аналогично, мы складываем или вычитаем комплексные числа по отдельности сложение или вычитание их действительных частей и мнимые части.

Кроме того, мы можем складывать или вычитать комплексные числа, расширяя их. скобки и сбор действительных и мнимых терминов. Используя это метод, 𝑧+𝑧=(𝑎+𝑏𝑖)+(𝑐+𝑑𝑖)=𝑎+𝑏𝑖+𝑐+𝑑𝑖=(𝑎+𝑐)+(𝑏+𝑑)𝑖.

Заметим, что это приводит к тому же выражению, что и выше. Чтобы вычесть два комплексные числа: 𝑧−𝑧=(𝑎+𝑏𝑖)−(𝑐+𝑑𝑖), где мы должны быть осторожны, чтобы расширить −(𝑐+𝑑𝑖)=−𝑐−𝑑𝑖. Это ведет к 𝑎+𝑏𝑖−𝑐−𝑑𝑖=(𝑎−𝑐)+(𝑏−𝑑)𝑖, что также то же самое, что и выше.

Это утверждение можно обобщить, чтобы охватить ситуацию, когда мы добавляем или вычесть несколько комплексных чисел. В таких случаях мы отдельно добавляем или вычесть действительную часть и мнимую часть каждого комплексного числа. В нашем В следующем примере мы будем складывать и вычитать несколько комплексных чисел.

Пример 3. Сложение и вычитание комплексных чисел

Что такое −9+(7+4𝑖)+(−4−4𝑖)−(1+3𝑖)?

Ответ

Здесь мы продемонстрируем два разных метода.

Метод 1: Вспомните, что мы можем складывать или вычитать несколько комплексных чисел, сложение или вычитание действительной части и мнимой части каждого Комплексный номер отдельно. Начиная с вещественных частей, имеем −9+7+(−4)−1=−7.

Итак, действительная часть результата равна −7. Сходным образом, для мнимых частей имеем 4+(−4)−3=−3.

Объединив эти две части, мы получим результат −7−3𝑖.

Метод 2: Кроме того, мы можем складывать или вычитать комплексные числа с помощью расширяясь через круглые скобки и собирая действительные и мнимые термины. В частности, мы должны быть осторожны при раскрытии последней скобки так как перед скобкой стоит знак минус. Мы знаем что −(1+3𝑖)=−1−3𝑖. Используя этот метод, мы можем написать −9+(7+4𝑖)+(−4−4𝑖)−(1+3𝑖)=−9+7+4𝑖−4−4𝑖−1−3𝑖=(−9+7−4−1)+(4−4−3)𝑖, что упрощается до −7−3𝑖.

На практике мы часто используем метод сбора подобных терминов. Однако иногда полезно вспомнить что существует альтернативный метод, как мы увидим в примере ниже.

Пример 4. Вычитание комплексных чисел

Если 𝑟=5+2𝑖 и 𝑠=9−𝑖, найти Re(𝑟−𝑠).

Ответ

Для этого примера мы представим два разных метода, но Обратите внимание, что второй способ предпочтительнее, так как он гораздо проще.

Метод 1. Начнем с вычисления 𝑟−𝑠 путем сбора подобных терминов. Во-первых, подставляя значения 𝑟 и 𝑠, имеем 𝑟−𝑠=5+2𝑖−(9−𝑖).

Здесь нам нужно быть осторожными со знаками минус. Умножение каждого члена в скобках на −1 дает 𝑟−𝑠=5+2𝑖−9+𝑖.

Собирая подобные термины, это упрощается до 𝑟−𝑠=(5−9)+(2+1)𝑖=−4+3𝑖.

Взяв действительную часть, имеем Re(𝑟−𝑠)=−4.

Хотя этот метод приводит к правильному решению, он требует больше вычислений, чем необходимо. В частности, у нас нет необходимости вычислил мнимую часть 𝑟−𝑠.

Метод 2: Мы помним, что действительная часть разности двух сложных чисел есть разность их действительных частей: ReReRe(𝑟−𝑠)=(𝑟)−(𝑠).

Мы можем упростить наш расчет следующим образом: ReReRe(𝑟−𝑠)=(5+2𝑖)−(9−𝑖)=5−9=−4.

Мы закончим рассмотрением одного более сложного примера.

Пример 5: Решение уравнений с комплексными числами

Пусть 𝑧=4𝑥+2𝑦𝑖 и 𝑧=4𝑦+𝑥𝑖, где 𝑥, 𝑦∈ℝ. Учитывая, что 𝑧−𝑧=5+2𝑖, найти 𝑧 и 𝑧.

Ответ

Мы можем вычитать комплексные числа, вычитая действительное и мнимые части отдельно. Кроме того, равенство в комплексных числах подразумевает как равенство действительных частей, так и равенство мнимых части комплексных чисел. Рассматривая действительную и мнимую части отдельно, мы можем вывести два уравнения, которые затем решим. для 𝑥 и 𝑦. Начиная с вещественной части, имеем ReReRe(𝑧)−(𝑧)=(5+2𝑖).

Поскольку нам сказали, что 𝑥 и 𝑦 — действительные числа, мы знаем, что 4𝑥 и 4𝑦 — действительные части 𝑧 и 𝑧 соответственно. Этот говорит нам, что ReRe(𝑧)−(𝑧)=4𝑥−4𝑦. Замена этого выражение в уравнении выше, мы получаем

4𝑥−4𝑦=5.

(1)

Аналогично, рассматривая мнимые части, имеем ImImIm(𝑧)−(𝑧)=(5+2𝑖).

Так как 2𝑦 и 𝑥 — мнимые части 𝑧 и 𝑧, соответственно имеем ImIm(𝑧)−(𝑧)=2𝑦−𝑥. Замена это выражение к уравнению выше, мы получаем 2𝑦−𝑥=2.

Переставляя 𝑥 предмет, получаем

𝑥=2𝑦−2.

(2)

Подставляя это в (1), получаем 4(2𝑦−2)−4𝑦=5.

Теперь мы можем умножить скобки. Однако эффективнее разделить обе стороны уравнение на 4 следующим образом: 2𝑦−2−𝑦=54.

Добавление двух к обеим сторонам и упрощение дает 𝑦=134. Подставив это обратно в (2) дает 𝑥=2134−2.=92.

Найдя 𝑥 и 𝑦, у нас может возникнуть соблазн остановиться. Однако на самом деле вопрос задавал нам 𝑧 и 𝑧. Следовательно, нам все еще нужно подставить эти значения обратно в уравнения для 𝑧 и 𝑧, чтобы закончить. Начиная с 𝑧, у нас 𝑧=492+2134𝑖=18+132𝑖.

Аналогично, 𝑧=4134+92𝑖=13+92𝑖.

Всегда полезно Проверьте свой ответ. Следовательно, мы вычитаем 𝑧 из 𝑧 и получаем 5+2𝑖, как и ожидалось.

Давайте повторим несколько важных понятий из этого объяснения.