Комплексные числа примеры решений деление: Комплексные числа, примеры с решением

Решение задач и курсовых по электротехнике Сайт Электротехника и электроника на «пять»

• Главная
• Заказать
• Примеры решений
• Теория электротехники
• Оплата и гарантии
• Цены
• Контакты
• Сотрудничество

В общем случае комплексные числа могут быть заданы в двух формаз записи — показательной или алгебраической. Рассмотрим оба случая.

Умножать и делить числа, записанные в показательной форме очень просто. Главное — помнить, что в показательной форме любое число задается двумя параметрами — модулем и аргументом. Модуль — это часть числа до буквы «е», показывающая длину вектора. Агрумент — число в степени буквы «е» (то есть показатель степени, откуда и происходит название формы записи). Агрумент задает угол поворота вектора.

Перемножать такие числа проще некуда — сначала перемножаем модули, а аргументы просто складыавем и все!

Делить не намного сложнее — сначала делим модули чисел, а затем из аргумента числителя вычитаем аргумент знаменателя.

Например, для тех же X и Y:

Ситуация немного усложняется, если у вас два числа, записанных в алгебраической форме. Однако и здесь разобраться можно за несколько минут. Можно вообще схитрить и сначала перевести числа из алгебраической формы в показательную. А затем поступить так, как описано выше.

Умножение двух чисел в алгебраической форме обычно не представляет сложности — просто раскрываем скобки, отдельно суммируем числа без мнимой единицы и отдельно — с ней. Основной момент — не забывать, что мнимая единица, умноженная сама на себя (то есть в квадрате) равна минус один:

Пример умножения двух чисел в алгебраической форме записи:

Самый сложный случай — деление двух чисел в алгебраической форме записи. Но и тут дел на пару минут — вся хитрость в том, что нужно умножить всю дробь на комплескно-сопряженное к знаменателю. Это позволит нам избавиться от комплексного числа в знаменателе. «Комплексно-сопряженное» — это число, у которого изменен знак мнимой части. Чаще всего обозначается звездочкой в верхнем индексе:

Трюк в том, что, если умножить любое комплексное число на его сопряженное, то мы всегда получим сумму квадратов двух чисел (можете проверить это, подставив комплексно-сопряженные числа в пример умножения, описанный выше):

Зная это, можно легко делить два числа в алгебраической форме:

Вот и все. Подведем итоги, записав алгоритм действий

Для комплексных чисел в показательной форме при их умножении:

Перемножаем модули чисел.

Складываем аргументы чисел (углы в градусах или радианах)

Записываем результат.

Для комплексных чисел в показательной форме при их делении:

Делим модули чисел.

Вычитаем аргумент знаменателя (делителя) из аргумента числителя (делимого)

Записываем результат.

Для комплексных чисел в алгебраической форме при их умножении:

По правилам арифментики раскрываем скобки, обращая особое внимание на момент, когда мнимая единица возводится в квадрат — тогда это произведение меняет знак.

Группируем числа без мнимой единицы в действительную часть числа, с мнимой единицей — в мнимую часть

Записываем результат.

Для комплексных чисел в алгебраической форме при их делении:

Умножаем всю дробь на комплексно-сопряженное к знаменателю

Раскрываем скобки в числителе, группируя действительную и мнимую части

Вычисляем знаменатель как сумму квадратов двух чисел

Делим отдельно действительную и мнимую части числителя на число в знаменателе

Записываем результат.

Электротехника — ТОЭ, ОТЦ — решение задач

Деление комплексных чисел в алгебраической форме

Определение:

Комплексное число =x – yiназывается сопряженным числом по отношению кw = x + yi.

Примеры сопряженных комплексных чисел:

–1 + 5iи –1 – 5i, 2 – 3i и 2 + 3i.

Для деления двух комплексных чисел в алгебраической форме, как правило, удобно числитель и знаменатель дроби домножать на число, сопряженное знаменателю [1, с. 190-191].

Пример 4Выполнить деление:= [домножаем числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю] =

= . Заметим, чтоесть выражение, а не число, поэтому его нельзя рассматривать как ответ.

Пример 5Выполнить действия:=

==.

Пример 6Выполнить действия:= [домножаем числитель и знаменатель дроби на числа, сопряженные обоим числам знаменателя] =

=

=.

3. Извлечение квадратного корня из комплексного числа в алгебраической форме

Определение. Комплексное числоназывается квадратным корнем из комплексного числаz, если[1, с. 191].

Пример 7 Вычислить.

Решение.Пусть= x + yi, тогда

Составляем систему, приравнивая вещественные и мнимые части левой и правой частей равенства:

Решим отдельно биквадратное уравнение:

Ответ:{‑3 + 4i; 3 ‑ 4i}.

Другой способ решения возможен после введения тригонометрической формы записи комплексного числа (см. с. 14).

2. Решение линейных и квадратных уравнений для комплексных чисел

В области комплексных чисел верны те же формулы для решения линейных и квадратных уравнений, что и в области действительных чисел.

Пример 8 Решить уравнение: (‑2 ‑i)z = 3 +i.

Пример 9 Решить уравнение:.

Решение. Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

Ответ:{‑2 +i; ‑2 –i}.

Пример 10 Решить уравнение:.

Решение:

Ответ:{1 ‑ 2i; 1 –i}.

Пример 11 Решить уравнение:.

Решение:

Вычислим:

Составляем систему, приравнивая вещественные и мнимые части левой и правой частей равенства:

Ответ:{2;i}.

Пример 12 Решить систему уравнений:

Решение. Выражаем из первого уравнения системы переменнуюxчерез переменнуюy:

Домножаем числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю:

В числителе дроби раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

Подставляем полученное значение переменной x во второе уравнение системы:

;

Ответ: {1 +i; i}.

3. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

   1. Геометрическое изображение комплексных чисел

При изучении свойств комплексных чисел весьма удобной является их геометрическая интерпретация [1, с. 186-187]. Поскольку комплексное число определяется как пара действительных чисел, то каждое комплексное число z = a + biизображается точкой плоскости (x, y) с координатамиx = a и y = b. Такая плоскость называется комплексной плоскостью, ось абсцисс ‑ действительной (Rez), а ось ординат ‑ мнимой осью (Im

z).

Пример 13 Изобразить на плоскости точки, соответствующие числам:

Решение. У числаz₁действительная часть равна ‑2, а мнимая ‑ 0. Следовательно, изображением числаz₁служит точка (‑2, 0) (рис. 1.1).

У числа z₂действительная часть равна 0, а мнимая равна 3. Следовательно, изображением числаz₂служит точка (0, 3). У числаz₃действительная часть равна 1, а мнимая ‑4. Следовательно, изображением числаz₃служит точка (1, ‑4).

У числа z₄действительная часть равна 1 и мнимая 1. Следовательно, изображением числаz₄служит точка (1, 1).

У числа z₅действительная часть равна ‑3, а мнимая ‑2.

Следовательно, изображением числаz₅служит точка (‑3, ‑2).

Сопряженные числа изображаются точками на комплексной плоскости, симметричными относительно действительной оси Rez.

Как делить комплексные числа

Все математические ресурсы SAT

16 диагностических тестов 660 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

SAT Math Help » Алгебра » Экспоненты » Возведение в квадрат / Квадратные корни / Радикалы » Сложные числа » Как делить комплексные числа

Для какого из следующих значений  наименьшее значение?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

   совпадает с  , а это означает, что чем больше ответ на  , тем меньше будет дробь.

Следовательно, это правильный ответ, потому что

.

Сообщить об ошибке

Определите операцию , чтобы для любых двух комплексных чисел  и :

Вычислить .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Explanation:

, so

Rationalize the denominator by multiplying both numerator and denominator by the complex conjugate of the latter, which is :

Сообщить об ошибке

Определите операцию , чтобы для любого комплексного числа 

Если , то оценить .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Explanation:

, so

, so

, and

Rationalize the denominator by multiplying both numerator and denominator by the complex conjugate of the latter, which is :

Сообщить об ошибке

Определите операцию следующим образом:

Для любых двух комплексных чисел  и ,

Вычислить.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

, поэтому

Мы можем упростить каждое выражение по отдельности, рационализируя знаменатели.

 

4

40004

Следовательно,

Сообщение о ошибке

Определите операцию, так что для любых двух комплексных номеров и:

:

Правильный ответ:

Объяснение:

, поэтому

Рационализируйте знаменатель, умножив и числитель, и знаменатель на комплексное сопряжение последнего, которое равно :

Отчет о ошибке

Определите операцию, так что для любого комплексного номера

Если, Evaluate.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Сначала подставьте нашу переменную N везде, где есть a.

Таким образом , становится .

Так как , замените:

Чтобы найти переменную, нам нужно изолировать переменную с одной стороны от всех остальных констант с другой. Для этого примените к функции обратную операцию.

Сначала вычтите i с обеих сторон.

Теперь разделите на 2i с обеих сторон.

Отсюда умножьте числитель и знаменатель на i для дальнейшего решения.

Напомним, что  по определению. Следовательно,

.

 

Сообщить об ошибке

Пусть . Что эквивалентно следующему выражению:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Сначала найдите x через y и снова подставьте в уравнение.

Затем вернитесь к уравнению, которое вы решаете:

 подставьте

Отчет о ошибке

Упростите выражение, рационализируя знаменатель и напишите результат в стандартной форме:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Правильный ответ:

. Объяснение:

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно-сопряженный знаменатель, который равен :

Сообщить об ошибке

Уведомление об авторских правах

Все математические ресурсы SAT

16 диагностических тестов 660 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Деление комплексных чисел — примеры и практические задачи

Деление комплексных чисел решается путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное комплексное число в знаменателе. Это позволит нам получить действительное число в знаменателе и мы получим результат деления.

Здесь мы научимся делить комплексные числа, используя их сопряженные числа. Кроме того, мы рассмотрим несколько примеров с ответами, чтобы посмотреть на применение этого процесса.

АЛГЕБРА

Актуально для …

Обучение делению комплексных чисел на примерах.

См. примеры

Содержание

1. Как делить комплексные числа?
2. Деление комплексных чисел – Примеры с ответами
3. Деление комплексных чисел – практические задачи
4. См. также

АЛГЕБРА

Актуально для …

Обучение делению комплексных чисел на примерах.

См. примеры

Как делить комплексные числа?

Чтобы разделить комплексные числа, мы должны начать с записи задачи в дробной форме. Затем мы должны умножить и числитель, и знаменатель на сопряженную часть знаменателя.

Помните, что для нахождения сопряженного знаменателя нам просто нужно поменять знак на мнимую составляющую. Например, $latex a+bi$ сопряжен с $latex a-bi$. 92}$ равно $latex -1$.

Затем объединяем одинаковые члены, чтобы упростить полученное выражение, и, наконец, запишем ответ в виде $latex a+bi$.

---

Деление комплексных чисел – примеры с ответами

В следующих упражнениях используется описанный выше процесс для решения деления комплексных чисел. Каждый пример имеет свое решение, но рекомендуется попробовать решить упражнения самостоятельно, прежде чем смотреть ответ.

ПРИМЕР 1

Разделите комплексные числа: $latex (2+4i) \div (1+2i)$.

Решение

Начнем с записи исходной задачи в дробной форме:

⇒   $latex  \frac{2+4i}{1+2i}$

Теперь умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателя. В этом случае сопряжение знаменателя равно $latex 1-2i$. Таким образом, мы имеем:

$latex  \frac{2+4i}{1+2i}=\frac{2+4i}{1+2i}\times \frac{1-2i}{1-2i}$ 92}$ равно $latex -1$:

$latex = \frac{2-8(-1)}{1-2(-1)}$

$latex = \frac{10}{3 }$

ПРИМЕР 2

Разделите комплексные числа: $latex  (5+10i) \div (4+3i)$.

Решение

Перепишем комплексные числа в дробной форме:

⇒   $latex  \frac{5+10i}{4+3i}$

Здесь знаменатель равен $latex 4-3i$. Поэтому мы умножаем числитель и знаменатель на это сопряженное:

$latex  \frac{5+10i}{4+3i}=\frac{5+10i}{4+3i}\times \frac{4-3i} {4-3i}$ 92}$ равно $latex -1$:

$latex = \frac{20+25i-30(-1)}{16-9(-1)}$

$latex = \frac{50+ 25i}{25}$

Мы уже получили ответ, но нам нужно записать его в виде $latex a+bi$. Таким образом, мы имеем:

$latex =\frac{50}{25}+\frac{25}{25}i$

$latex =2+i$

ПРИМЕР 3

Какой результат? деления $латекс (4-6i)\div (-2-4i)$?

Решение

Мы должны записать деление в дробной форме: 92}$ равно $latex -1$:

$latex = \frac{-8+28i-24(-1)}{4-16(-1)}$

$latex = \frac{16 +28i}{20}$

Записав в виде $latex a+bi$, получим:

$latex =\frac{16}{20}+\frac{28i}{20}$

$latex =\frac{4}{5}+\frac{7i}{5}$

ПРИМЕР 4

Что получится в результате деления $latex (-4-4i) \div (-4+4i) $?

Решение

Деление в дробной форме:

⇒   $latex  \frac{-4-4i}{-4+4i}$ 92}$ равно $latex -1$:

$latex = \frac{16+32i+16(-1)}{16-16(-1)}$

$latex = \frac{32i} {32}$

$latex =i$

ПРИМЕР 5

Решите деление $latex \frac{10-2i}{-4+5i}$.

Решение

В этом случае деление уже записано в дробной форме, поэтому начнем с умножения числителя и знаменателя на сопряженное знаменателю.

В этом случае сопряжение знаменателя равно $latex -4-5i$. Поэтому имеем: 92}$ равно $latex -1$:

$latex = \frac{-40-32i+10(-1)}{16-25(-1)}$

$latex = \frac{- 50-32i}{41}$

$latex =-\frac{50}{41}-\frac{32}{41}i$

ПРИМЕР 6

Решите деление $latex  \frac{- 4}{1-i}$.

Решение

Здесь у нас уже есть деление в дробной форме, поэтому начнем с умножения и числителя, и знаменателя на сопряженное знаменателю.

В этом случае сопряжение знаменателя равно $latex 1+i$. Поэтому имеем: 92}$ равно $latex -1$:

$latex = \frac{-4-4i}{1+1}$

$latex = \frac{-4-4i}{2}$

$latex =-\frac{4}{2}-\frac{4}{2}i$

$latex =-2-2i$

---

Деление комплексных чисел – Практические задачи

Практика того, что вы узнали о делении комплексных чисел со следующими задачами.

No related posts.