Комплексные числа возведение в степень онлайн: Возвести комплексное число в степень онлайн, подробное решение

Комплексные числа · Калькулятор Онлайн

Калькулятор комлексных чисел

Препод очень удивится увидев твоё верное решение😉

Калькулятор работает, доволен как слон

Введите комплексное выражение, которое необходимо вычислить

Выполняет простые операции с комплексными числами.

Также умеет:

• Выполнять деление с подробным решением
• Находить разные формы комплексных чисел:
  1. Алгебраическую
  2. Тригонометрическую
  3. Показательную
• Модуль и аргумент комплексного числа
• Комплексно-сопряжённое к данному
• Геометрическую интерпретацию комплексного числа

Правила ввода комплексных выражений с примерами:

Комплексное число записывается в виде

a + bj, например 1.5 + 4.7j (j писать слитно)

Комплексная единица (Мнимая)

— должна записываться в виде 1j (Просто j не будет работать)

(3+4j)/(7-5j)

— деление

(3. 7

— возведение в степень

(5+6j) + 8j

— сложение

(5+6j) — (7-1j)

— вычитание

conjugate(1+4j) или conj(1+4j)

Сопряженное (комплексно-сопряженное) число для (1 + 4j)

re(1+I)

Реальная часть комплексного числа 1 + I

im(1+I)

Мнимая часть 1 + I

sign(1+I)

Комплексный знак числа 1 + I

absolute(1+I)

Модуль от 1 + I

arg(1+I)

Аргумент от 1 + I

Другие примеры:

Квадратный корень из комплексного числа

sqrt(1-24*i)

Деление комплексных чисел

(1-2i)/(1+4i)

Кубический корень

cbrt(1-7*i)

Умножение комплексных чисел

(5+4i)*(8-2i)

Корни четвертой и пятой степени

(1-11*i)^(1/4)

(1-11*i)^(1/5)

Комплексно-сопряженное число

conj(1 + 4j)

(3/2-3*sqrt(3)/2*i)/conj(-5/2-1/3*i)

Реальная часть комплексного числа

re(1+I)

Комплексные уравнения

z - |z| = 2 + i

(i + 5)*z - 2*i + 1 = 0

Возведение в степень

i^15

(1 - 2*i)^32

Мнимая и действительная часть

im(re(x) + y)

Мнимая часть

im(1+I)

Модуль комплексного числа

absolute(1+I)

Аргумент

arg(1+I)

Комплексный знак числа

sign(1+I)

Можно использовать следующие функции от z (например, от z = 1 + 2. 2

Функция — Квадрат x

ctg(x)

Функция — Котангенс от x

arcctg(x)

Функция — Арккотангенс от x

arcctgh(x)

Функция — Гиперболический арккотангенс от x

tg(x)

Функция — Тангенс от x

tgh(x)

Функция — Тангенс гиперболический от x

cbrt(x)

Функция — кубический корень из x

gamma(x)

Гамма-функция

LambertW(x)

Функция Ламберта

x! или factorial(x)

Факториал от x

DiracDelta(x)

Дельта-функция Дирака

Heaviside(x)

Функция Хевисайда

Интегральные функции:

Si(x)

Интегральный синус от x

Ci(x)

Интегральный косинус от x

Shi(x)

Интегральный гиперболический синус от x

Chi(x)

Интегральный гиперболический косинус от x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа

вводить в виде 7.

3

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

15/7

— дробь

Другие функции:

asec(x)

Функция — арксеканс от x

acsc(x)

Функция — арккосеканс от x

sec(x)

Функция — секанс от x

csc(x)

Функция — косеканс от x

floor(x)

Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)

ceiling(x)

Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)

sign(x)

Функция — Знак x

erf(x)

Функция ошибок (или интеграл вероятности)

laplace(x)

Функция Лапласа

asech(x)

Функция — гиперболический арксеканс от x

csch(x)

Функция — гиперболический косеканс от x

sech(x)

Функция — гиперболический секанс от x

acsch(x)

Функция — гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:

pi

Число «Пи», которое примерно равно ~3. 14159..

e

Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..

i

Комплексная единица

oo

Символ бесконечности — знак для бесконечности

Полярные и экспоненциальные формы комплексных чисел

Прежде чем перейти к обсуждению различных форм комплексных чисел и преобразования между ними, мы должны знать о комплексных числах. Комплексные числа — это часть математики, представленная в виде комбинации действительной и мнимой частей. Комплексное число содержит действительную часть, а также мнимую часть, где действительная часть является постоянным числом, а мнимая часть содержит переменную «i» с постоянным коэффициентом. Пусть a+ib — комплексное число, тогда a называется действительной частью, а b — мнимым коэффициентом.

Существуют три формы комплексных чисел. К ним относятся: b называется мнимой частью комплексного числа. Его также можно представить в виде диаграммы ниже.

Схематическое изображение комплексного номера

Представление комплексных чисел в полярной форме

Полярная форма комплексного числа представляется как z = r(cos∅ + i sin∅), где rcos∅ называется действительной частью, а rsin∅ называется мнимой частью комплексного числа . Его также можно представить в декартовой форме ниже.

Диаграмма полярной формы комплексных чисел

На приведенной выше диаграмме a = rcos∅ и b = rsin∅. В общем виде a + ib, где a = действительная часть, а b = мнимая часть, но в полярной форме есть угол, включенный в декартово выражение, где a=rcos∅ и b=rsin∅. Здесь r — квадратный корень из суммы квадратов a и b, а также ∅ также может иметь формулу tan ^-1 (мнимая часть/действительная часть). Следовательно, r можно представить как Квадратный корень (a ² + b ² ). Следовательно, ∅ можно представить как tan ^-1 (b/a) , где b — мнимая часть , а a — действительная часть.

Представление комплексных чисел в экспоненциальной форме

Экспоненциальная форма комплексного числа представляется как z = r exp(i∅), где exp(i∅) также представляется как cos∅ + i sin∅. Исходя из этого, я могу сказать, что экспоненциальная форма, полярная форма и общая форма тесно связаны.

Z = r(cos∅ + i sin∅)

Z = r e ^{i ∅}

Z = r angle(∅) [Это векторное представление экспоненциальной формы]

Различное представление комплексных чисел

1. В общей форме Z = a + ib
2. В полярной форме Z = r(cos∅ + i sin∅)
3. В экспоненциальной форме Z = r e ^{i ∅}

Преобразование комплексных чисел

Комплексные числа can быть преобразованы в удобную полярную форму или экспоненциальную форму или общую форму. Как это было преобразовано, показано ниже.

Преобразование общей формы в полярную форму

1. Перед преобразованием общей формы в полярную форму проверьте, имеет ли общая форма форму a+ib и значения a и b уже известны в общей форме.
2. Полярная форма имеет вид Z = r(cos∅ + i sin∅).
3. Чтобы преобразовать в приведенную выше структуру полярной формы, нам нужно знать, как значения a и b в общей форме соотносятся с r, ∅.
4. Формулы r,∅ таковы: r = √(a ² + b ² ), ∅ = тангенс ^-1 (б/а).
5. Приведенные выше формулы для a и b получены для преобразования общей формы в полярную форму, чтобы мы могли заменить r, ∅ в полярной форме Z = r(cos∅ + i sin∅).

Преобразование общей формы в экспоненциальную

1. Перед преобразованием общей формы в экспоненциальную проверьте, имеет ли общая форма вид Z = a + ib и значения a и b уже известны в общая форма.
2. Экспоненциальная форма выглядит так: Z = r e ^{i ∅} .
3. Чтобы преобразовать в приведенную выше структуру экспоненциальной формы, нам нужно знать, как значения a и b в общей форме соотносятся с r, ∅.
4. Формулы r, ∅ таковы: r = √(a ² + b ² ), ∅ = tan ^-1 (b/a).
5. Приведенные выше формулы в терминах a и b получены для преобразования общей формы в полярную форму, чтобы мы могли заменить r, ∅ в полярной форме Z = r e ^{я ∅} .

Преобразование полярной формы в общую форму

1. Перед преобразованием полярной формы в общую форму проверьте, имеет ли полярная форма вид Z = r(cos∅ + i sin∅) и значения r, ∅, который известен уже в полярной форме.
2. Общая форма имеет вид Z = a + ib.
3. Чтобы преобразовать в приведенную выше структуру общей формы, нам нужно знать, как значения r,∅ в общей форме соотносятся с a, b.
4. Формулы a,b таковы: a = rcos∅, b = rsin∅ , где r,∅ уже известно в полярной форме.
5. Приведенные выше формулы в терминах r,∅ получены для преобразования полярной формы в общую форму, чтобы мы могли заменить a, b в общей форме Z = a + ib.  

Преобразование полярной формы в экспоненциальную

1. Перед преобразованием полярной формы в экспоненциальную проверьте, соответствует ли полярная форма форме Z = r(cos∅ + i sin∅) и значения r, ∅, которые известны уже в полярной форме.
2. Экспоненциальная форма выглядит так: Z = re ^i∅ .
3. Чтобы преобразовать в приведенную выше структуру экспоненциальной формы, нам нужно знать значения r,∅ только потому, что экспоненциальная форма также требует значений r,∅.
4. Замените значение r,∅ на Z = re ^i∅ , чтобы преобразовать полярную форму в экспоненциальную.

Преобразование экспоненциальной формы в общую форму

1. Перед преобразованием экспоненциальной формы в общую форму проверьте, имеет ли экспоненциальная форма вид Z = re ^i∅ и значения r,∅ известны уже в экспоненциальной форме.
2. Общая форма имеет вид Z = a + ib.
3. Чтобы преобразовать в приведенную выше структуру общей формы, нам нужно знать, как значения r, ∅ в общей форме соотносятся с a, b.
4. Формулы для a,b, полученные из Z = re ^i∅ = r(cos∅ + isin∅) , где а = rcos∅, b = rsin∅. Поскольку e ^i∅ = cos∅ + isin∅ мы знаем это уже в тригонометрии.
5. Приведенные выше формулы в терминах r, ∅ получены для преобразования экспоненциальной формы в общую, чтобы мы могли заменить a, b в общей форме Z = a + ib.

Преобразование экспоненциальной формы в полярную

1. Перед преобразованием экспоненциальной формы в полярную проверьте, соответствует ли экспоненциальная форма форме Z = re ^i∅  и значения r, ∅ известны уже в экспоненциальной форме.
2. Полярная форма выглядит так: Z = r(cos∅ + isin∅).
3. Чтобы преобразовать в приведенную выше структуру полярной формы, нам нужно знать значения r,∅ только потому, что полярная форма также требует значений r,∅.
4. Замените значение r, ∅ на Z = r(cos∅ + isin∅) для преобразования экспоненциальной формы в полярную.

Примеры вопросов

Вопрос 1: Преобразуйте 2 + i 9 в полярную форму.

Решение:  

Пусть Z = 2 + i 9 

Z имеет вид a + ib

Где a = 2 и b = 9

Полярная форма комплексного числа Z = r ∅ + i sin∅)

Сравните a + ib с полярной формой r cos∅ + i rsin∅

Здесь r = √(a ² + b ² )

r = √3 + 1 29003 9 ² ) 

r = √(4+81) 

r = квадратный корень (85)

r = 9,2

И ∅ имеет формулу, которая представляет собой tan(b/a)

∅ = tan ^-1 (b/a) = tan ^-1( 9/2)

∅ = 77°

Из этого r,∅ мы можем представить общую форму 2 + i9 в p olar форма Z = 9,2(cos 77° + i sin 77°)

Вопрос 2: Преобразовать полярную форму (r, ∅) = (-1,0) в общую форму.

Решение:  

Учитывая, что координаты полярной формы (r, ∅) = (-1, 0)

Общая форма или прямоугольная форма комплексного числа Z = a + ib

Где a = rcos∅, b = r sin∅

Из рассматриваемой полярной формы a = -1 × cos(0) и b = -1 × sin(0)

a = -1, b = 0 [cos(0) = 1 и sin(0) = 0]

Общая форма Z = a + ib = -1 + i 0.

Вопрос 3: Преобразование экспоненциальной формы 2e ⁱ⁸⁰ в общая форма, а также полярная форма.

Решение:      

Учитывая, что экспоненциальная форма 2e ⁱ⁹⁰

2 e ⁱ⁸⁰ представлен в виде r e ^i∅

r e ^i∅ представлен в полярной форме как r(cos∅ + isin∅)

Где r=2 и ∅=80 путем сравнения

3 ,∅ в полярной форме r(cos∅+isin∅) мы получаем полярную форму как 2(cos80+i sin80)

В приведенной выше полярной форме a=2 cos80 и b=2 sin80 путем сравнения общей формы и полярной формы

a = 2 cos80 = 0,17 и b = 2 sin80 = 0,98

Общий вид a + ib = 0,17 + i 0,98.

Вопрос 4: Преобразуйте полярную форму (r, ∅) = (1, 90) в общую форму.

Решение:  

Учитывая, что координаты полярной формы (r, ∅) = (1, 89)

Общая форма или прямоугольная форма комплексного числа Z = a + ib

Где a = rcos∅, b = r sin∅

Из рассматриваемой полярной формы a = 1 × cos(89) и b = 1 × sin(89)

a = 0,017, b = 0,99 [cos(89) = 0,017 и sin(89) ) = 0,99]

Общий вид Z = a + ib = 0,017 + i 0,99   

Вопрос 5. Преобразуйте полярную форму (r, ∅) = (4, 45°) в экспоненциальную форму.

Решение:  

Учитывая, что координаты полярной формы (r,∅)=(4,45)

Для преобразования в экспоненциальную форму мы имеем формулу r e ^i∅

9000 Где = 45

Следовательно, экспоненциальная форма r e ^i∅ = 4e ⁱ⁴⁵

Вопрос 6: Преобразование Z = 7 + i9в экспоненциальную форму.

Решение:    

Чтобы преобразовать в экспоненциальную форму, мы имеем формулу re ^i∅

Сравните Z = 7 + i9 с Z = a + ar ib, тогда a = 7 и b = 9

3 9 Где где (b/a) = tan

^-1 (9/7)

∅ = 52,12°    

Следовательно, экспоненциальная форма относительно ^i∅  = 11,4 ei ^52,12

возведение в степень — Комплексный показатель комплексного числа

Вам очень повезло! Возведение комплексных чисел в степень связано с очень красивой геометрией! Мы могли бы сделать это с помощью некоторых алгебраических манипуляций достаточно легко, но нам интереснее попробовать и посмотреть, что происходит!

Начнем с возведения комплексного числа в действительную степень.