Комплексный ряд фурье: Недопустимое название — Циклопедия

Ряд Фурье в комплексной форме

Пусть периодическая функция с периодом разложена в ряд Фурье

. (31)

Из формулы Эйлера следует, что

и .

Тогда ; .

Подставив эти выражения в (31) и отдельно группируя слагаемые, содержащие и , получим

.

Если обозначить ; ; , то ряд примет вид

,

а просуммировав по отрицательным значениям , запишем комплексную форму ряда Фурье в окончательном виде

. (32)

Комплексные коэффициенты Фурье вычисляются по формуле

. (33)

Для произвольного периода формулы (31) и (32) принимают вид

; . (34)

Модуль позволяет найти амплитуду -ой гармоники

; .

Комплексная форма ряда Фурье имеет более простой вид по сравнению с формулами (24, 25).

Кроме того, в ряде случаев она облегчает вычисления.

В электротехнике числа называют волновыми числами, а их совокупность — спектром. Для ряда Фурье спектр имеет дискретный характер.

Пример 33. Разложить в ряд Фурье в комплексной форме периодическую функцию

Решение. По формуле (33), интегрируя по частям, находим коэффициент Фурье для .

Так как

и ,

то .

Для имеем:

.

Используя формулу (31), получим ряд Фурье:

.

Непериодическую функцию можно представить как периодическую с периодом . При числа будут охватывать все значения, то есть спектр волновых чисел будет непрерывным, и суммирование в ряде Фурье (34) заменится на интегрирование.

Если непериодическая функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном интервале и сходится, то ее можно представить интегралом Фурье, который в комплексной форме имеет вид

(35)

где S(. (36)

является аналогом коэффициента (формулы 34 и 36). Однако, если характеризует амплитуду волнового числа , то — плотность распределения комплексной амплитуды. Поэтому данную функцию называют спектральной плотностью или спектральной функцией. Ее модуль называют амплитудой спектральной плотности или амплитудным спектром.

Формулу (36) называют прямым преобразованием Фурье, а формулу (35) — обратным. Вместе они составляют пару преобразований Фурье.

В точках разрыва функции интеграл Фурье как и сумма ряда Фурье равен полусумме пределов функции слева и справа.

Интеграл Фурье можно представить аналогично формулам (24-25), то есть без комплексных выражений

,

где , .

Спектральная плотность выражается через функции и следующим образом

. (38)

Пример 34. Найти спектр прямоугольного импульса.

Прямоугольный импульс (рис. 5) высотой и длительностью  задан уравнениями:

=

По формуле:

, находим спектральную плотность.

Так как — площадь импульса, то

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Что называется числовым рядом, частичной суммой, общим членом ряда, его суммой?

2. Запишите ряд в кратком виде. После записи проверьте, получаются ли из них все члены ряда:

а) ;

б) .

3. Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда . Используя его, докажите расходимость рядов:

а) ; б) ; в) .

4. Сформулируйте достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: признак Даламбера, признаки Коши. Исследуйте на сходимость ряды:

а) . Ответ: ряд сходится .

б) . Ответ: ряд расходится .

в) . Ответ: ряд расходится .

5. Сформулируйте признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

6. Дайте определение абсолютно и условно сходящихся рядов.

7. Что называется областью сходимости функционального ряда?

8. Выведите формулу для вычисления радиуса сходимости степенного ряда?

9. Как исследуется сходимость степенного ряда в граничных точках области сходимости?

10. Найти области сходимости следующих рядов:

а) Ответ. при x =-2

ряд сходится условно.

б) Ответ.

в) Ответ.

11.Разложить в ряд по степеням x следующие функции:

а) Ответ.

б) Ответ.

в) Ответ.

Указание. Использовать формулу

12. Вычислить приближенно , воспользовавшись рядом

и взяв сумму первых пяти членов при х=1.

Какова будет величина допущенной ошибки?

13. Разложить функцию в ряд Фурье

а)

б)

Ответ: а) б) .

14. Разложить функцию в ряд Фурье по косинусам, продолжив ее в симметричный интервал:

а) Ответ:. .

б) Ответ: .

15. Написать формулу прямого и обратного преобразований Фурье.

16. Что называется спектральной плотностью?

17. Найти комплексный и амплитудный спектр функции

Ответ: ,

.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4.

Исследовать знакоположительные числовые ряды (а) на сходимость и знакочередующиеся числовые ряды (б) на абсолютную и условную сходимость.

1. а) ; б) .

2. а) . б)

3. а) ; б) .

4. а) ; б) .

5. а) ; б) .

6. а) ; б) .

7. а) ; б) .

8. а) ; б) .

9. а) б) .

10 а) ; б)

Найти интервал сходимости степенного ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

Таблица 1.

11		16
12		17
13		18
14		19
15		20

Разлагая подынтегральную функцию в ряд, вычислить приближенно значение определенного интеграла с точностью до =0,001.

Таблица 2.

№		b	№		b
21		1	26
22			27		2
23		1	28
24		1	29		1
25		1	30

Разложите в ряд Фурье периодическую функцию, аналитическое выражение которой задано на промежутке длиной, равной периоду.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38. ,

39. Т=1. 40. ,

Разложите функцию в ряд Фурье по синусам. Постройте график суммы ряда.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.

49. 50.

Найдите преобразование Фурье функции .

51. 52.

53. 54.

55. 56.

57. 58.

59. 60.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Введение Рабочая программа Варианты контрольных заданий Литература Числовые ряды Числовой ряд. Общий член ряда Сходящиеся и расходящиеся ряды Основные свойства сходящихся рядов Признаки сходимости числовых рядов Необходимый признак сходимости ряда Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Знакочередующиеся ряды Знакопеременные ряды Функциональные ряды Функциональный ряд и его область сходимости Степенные ряды Ряды Маклорена и Тейлора Ряды Фурье Ряд Фурье в комплексной форме Интеграл Фурье Вопросы и упражнения для самопроверки Контрольная работа №4

3 3 4 5 6 6 6 7 8 8 9 14 14 15 18 18 19 21 24 30 32 33 36

План 2001/2002, поз. 31

Гладков Лев Львович

Гладкова Галина Александровна

Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Высшая математика», часть IV для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 145. 01. 03 «Сети телекоммуникаций»

Редактор Вердыш Н.В.

Подписано к печати 20.12.2002

Формат 60S84/16

Усл. Печ. Л. 2,3. Уч. — изд. Л. 2,0

Тираж 90 экз. Заказ 675.

Высший государственный колледж связи

Комплексная форма ряда Фурье — Студопедия

Поделись  

Пусть f(x) — периодическая функция, с периодом Т=2π, отвечающая условиям Дирихле. Тогда она может быть представлена рядом Фурье:

где коэффициенты ряда Фурье для периодической функции f(x) с Т=2π вычисляются в соответствии с формулами (4.3):

Воспользуемся показательной и тригонометрической формами комплексного числа и Z=ρ cos φ + iρ sin φ.

Приравняем эти выражения.

Тогда: , поменяем φ на –φ

Сложим два последних выражения:

,т.е. (4.14)

После вычитания второго выражения из первого в итоге получим:

, т.е. (4.15)

Формулы (4.14) и (4.15) называются формулами Эйлера. Используем их для выражения (простой гармоники) общего члена ряда Фурье

. Домножим числитель и знаменатель второго слагаемого на i (избавимся от мнимости в знаменателе).

Тогда общий член ряда Фурье запишется в виде:

Обозначим

Очевидно тогда, что сумма N членов ряда Фурье для функции может быть записана в виде:

При N ∞, получим:

(4.16)

Если предел существует, то ряд сходиться для данного значения x.

n=1,2,3…

По другому можем записать так:

(4.17)

где n= ±1, ±2, ±3, …

где n=0

Зная коэффициенты комплексного ряда Фурье, формулы (4. 16) и (4.17), можно найти коэффициенты действительного ряда Фурье для той же функции

,т.е. , b_n =-2Im (C_n )

Пример: разложить заданную функцию в ряд Фурье в действительной и комплексной формах

рис. 4.4

Функция отвечает условиям Дирихле: имеет период 2π; на отрезке [-π; π] (длиной в период) функция ограничена; непрерывна и монотонна.

 

При вычислениях учитывали, что cos nπ=(-1)?; sin nπ=0,

т.е.

(Подробнее о гиперболических функциях следует посмотреть в «Приложении»). Перейдем к действительной форме ряда Фурье для заданной функции:

= 2?(-1)??shπ /(π(1+n²))

bn = -2?Im(Cn) = -2n?(-1)??shπ/(π(1+n²))

Окончательно получим:

Пример: записать ряд Фурье в комплексной форме для периодической функции f(x)=e^x(период T=2 ), определенной при 0<x<2 . Воспользуемся формулами (4.16) и (4.17).

где

 

= =

(n=0,

Тогда

Пример: от комплексной формы ряда Фурье, полученной в предыдущей задаче перейти к действительной форме ряда Фурье.

Т.к.

Пример: записать ряд Фурье для периодической (T=2π) функции , на интервале [-π ] в комплексной форме.

, где

Воспользуемся формулой Эйлера:

тогда , следовательно,

= =

= =

= = = = =

При этом учли, что:

, а

Тогда

От комплексной формы ряда Фурье перейдем к действительной форме. Т.к. , где n=0,1,2.., то

;

b_n= — 2Im(C_n) но Im(C_m)=0, т.е. ряд Фурье в действительной форме примет вид:

Комплексная форма ряда Фурье периодической функции периода

Пусть — периодическая функция периода , удовлетворяющая условиям Дирихле. Тогда подстановка приводит к функции , разложимой в ряд Фурье с периодом 2 . Тогда для такой функции имеем:

, где

Сделаем обратный переход к аргументу с помощью подстановки . Получим комплексную форму ряда Фурье для периодической функции с периодом T= 2l.

При этом

,



{ — \frac{{in\pi x}}{L}}}dx} ,\;\; n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots\]

Комплексная форма ряда Фурье алгебраически проще и симметричнее. Поэтому его часто используют в физике и других науках.

Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение.

Пример 1

Используя комплексную форму, найдите ряд Фурье функции

\[ е \ влево ( х \ вправо) = \ текст {знак} \, х = \begin{случаи} -1, & -\pi \le x \le 0 \\ 1, & 0 \lt x \le \pi \end{case}.\] 9\ infty {\ frac {{\ sin \ left ({2k — 1} \ right) x}} {{2k — 1}}} .\]

График функции и ее приближение Фурье для \(n = 5\) и \(n = 50\) представлены на рисунке \(1. \)

Рисунок 1, n = 5, n = 50

См. другие задачи на стр. 2.

4.2: Комплексные ряды Фурье — Инженерные тексты

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

1614

• Дон Х. Джонсон
• Rice University via Connections

Цели обучения

• Определение сложного ряда Фурье.

В предыдущем модуле мы показали, что меандр может быть выражен как суперпозиция импульсов. Каким бы полезным ни было это разложение в этом примере, оно плохо обобщается на другие периодические сигналы: как суперпозиция импульсов может равняться гладкому сигналу, подобному синусоиде? Из-за важности синусоид для линейных систем у вас может возникнуть вопрос, можно ли их сложить вместе для представления большого количества периодических сигналов. Вы были бы правы и в хорошей компании, а также. Эта проблема особенно беспокоила Эйлера и Гаусса, и Жан Батист Фурье получил признание, хотя сложные математические вопросы были решены лишь позднее. Они работали над тем, что сейчас известно как ряд Фурье : представление любого периодического сигнала в виде суперпозиции синусоид.

Но ряд Фурье выходит далеко за рамки еще одного метода разложения сигнала. Скорее, ряды Фурье начинают наше путешествие, чтобы оценить, как сигнал может быть описан либо во временной области, либо в частотной области с без компромиссов .

Пусть s(t) будет периодическим сигналом с периодом T . Мы хотим показать, что периодические сигналы, даже те, которые имеют сегменты с постоянными значениями, такие как прямоугольная волна, могут быть выражены как сумма 9{i\frac{2\pi kt}{T}} \номер\]

с

\[c_{k}=\frac{1}{2}\left ( a_{k}-ib_{k}\right ) \nonumber \]

Действительная и мнимая части коэффициентов Фурье c _k написаны таким необычным способом для удобства определения классического ряда Фурье. Нулевой коэффициент равен среднему значению сигнала и является действительным для сигналов с действительным знаком: c ₀ =a ₀ . Семейство функций 9{i\frac{2\pi kt}{T}} \right \} \nonumber \]

называются базисными функциями и составляют основу ряда Фурье. Каким бы ни был периодический сигнал, эти функции всегда присутствуют и образуют строительные блоки представления. Они зависят от периода сигнала T и индексируются как k .

Примечание

Если мы знаем период, то знание коэффициентов Фурье эквивалентно знанию сигнала. Таким образом, не имеет значения, имеем ли мы характеристику сигнала во временной или частотной области. 9{T}s(t)dt\номер\]

Пример \(\PageIndex{1}\):

Нахождение коэффициентов ряда Фурье для прямоугольной волны sq _T (t) очень просто. Математически этот сигнал можно выразить как

\[sq_{T}(t)=\begin{cases} 1 & \text{ if } 0< t< \frac{T}{2} \\ -1& \text { if } \frac{T}{2}< t< T \end{cases} \nonumber \]

Выражение для коэффициентов Фурье имеет вид

\[c_{k}=\frac{1}{ T} \ int_ {0} ^ {\ frac {T} {2}} e ^ {- \ left ( i \ frac {2 \ pi kt} {T} \ right )} dt- \ frac {1} {T }\int_{\frac{T}{2}}^{T}e^{-\left ( i\frac{2\pi kt}{T}\right )} dt \nonumber \] 9{(i)\frac{2\pi kt}{T}} \nonumber \]

Следовательно, прямоугольная волна равна сумме комплексных экспонент, но только тех, частоты которых равны нечетным кратным основной частоты 1/ Т . Коэффициенты медленно затухают по мере увеличения индекса частоты k . Этот индекс соответствует k-й гармонике периода сигнала.

Свойства спектра ряда Фурье

Спектр сигнала ряда Фурье c _k обладает интересными свойствами.

Свойство 1

Если s(t) действительно,

\[c_{k}=\overline{c_{-k}} \nonumber \]

Периодические сигналы с действительными значениями имеют сопряженно-симметричные спектры .

Этот результат следует из интеграла, который вычисляет c _k из сигнала. Кроме того, этот результат означает, что:

\[\Re (c_{k})=\Re ({c_{-k}}) \nonumber \]

Действительная часть коэффициентов Фурье для вещественных сигналов равна даже. Точно так же

\[\Im (c_{k})=\Im ({c_{-k}}) \nonumber \]

Мнимые части коэффициентов Фурье имеют нечетную симметрию. Следовательно, если вам даны коэффициенты Фурье для положительных индексов и нуля, и вам говорят, что сигнал является действительным, вы можете найти коэффициенты с отрицательными индексами, а значит, и весь спектр. Этот вид симметрии

\[c_{k}=\overline{c_{-k}} \nonumber \]

известен как сопряженная симметрия .

Недвижимость 2

Если s(-t) = s(t) , что говорит о том, что сигнал имеет четную симметрию относительно начала координат,

\[c_{-k}=c_{k} \nonumber \]

Учитывая предыдущее свойство для сигналов с действительным знаком коэффициенты Фурье четных сигналов являются действительными. Разложение Фурье с действительным знаком представляет собой разложение только по косинусам, что является простейшим примером четного сигнала.

Свойство 3

Если s(-t) = — s(t) , что говорит о том, что сигнал имеет нечетную симметрию, 9{2} \nonumber \]

Этот результат является (более простым) повторным выражением того, как вычислить мощность сигнала, чем с выражением для мощности в виде ряда Фурье с действительным знаком.

Рассчитаем коэффициенты Фурье периодического импульсного сигнала, показанного на рисунке 4. {-\frac{i2\pi \Delta}{T}} -1\right ) \right ) \ не число \] 9{\ frac {i \ pi k \ Delta {T}} \ frac {\ sin \ left ( \ frac {\ pi k \ Delta {T} \ right )} {\ pi k} \ nonumber \]

Поскольку этот сигнал является действительным, мы обнаруживаем, что коэффициенты действительно имеют сопряженную симметрию:

\[c_{k}=\overline{c_{-k}} \nonumber \]

четная и нечетная симметрия; следовательно, никакой дополнительной симметрии в спектре не существует. Поскольку спектр является комплексным, для его построения нам необходимо вычислить его амплитуду и фазу.

\[\слева | c_{k}\право |=А\лево | \ frac {\ sin \ left ( \ frac {\ pi k \ Delta {T} \ right )} {\ pi k} \ right | \nonumber \]

\[\angle c_{k}=-\frac{\pi k\Delta}{T}+\pi \, neg\left | \frac{\sin \left ( \frac{\pi k\Delta}}{T} \right )}{\pi k} \right |\, sign(k) \nonumber \]

Функция neg( •) равно -1, если его аргумент отрицателен, и нулю в противном случае. Несколько сложное выражение для фазы получается из-за того, что синусоидальный член может быть отрицательным; величины должны быть положительными, а случайные отрицательные значения следует учитывать как фазовый сдвиг на π .

Рисунок 4.2.2 Периодическая последовательность импульсов

Амплитуда и фаза спектра периодической последовательности импульсов показаны для индексов с положительной частотой. Здесь Δ/T = 0,2 и A = 1

Также обратите внимание на наличие линейного фазового члена (первый член в ∠c _k 1 пропорционален частоте ). Сравнивая этот член с тем, который был предсказан по задержке сигнала, задержка Δ/2 присутствует в нашем сигнале. Продвижение сигнала на эту величину центрирует импульс относительно начала координат, оставляя четный сигнал, что, в свою очередь, означает, что его спектр является действительным. Таким образом, наш рассчитанный спектр согласуется со свойствами спектра Фурье.

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Каково значение c ₀ ? Учитывая, что этот спектральный коэффициент соответствует среднему значению сигнала, имеет ли смысл ваш ответ?

Решение

\[c_{0}=\frac{A\Delta }{T} \nonumber \]

Эта величина явно соответствует среднему значению сигнала периодического импульса.

Фазовый график, показанный на рис. 4.2.2, требует некоторых пояснений, поскольку он, кажется, не согласуется с тем, что предлагает уравнение для ∠c _k . Там фаза имеет линейную составляющую со скачком π каждый раз, когда синусоидальный член меняет знак. Мы должны понимать, что любое целое число, кратное 2 π можно добавить к фазе на каждой частоте без влияния на значение комплексного спектра. Мы видим, что при частотном индексе 4 фаза примерно равна — π . Фаза с индексом 5 не определена, поскольку в этом примере амплитуда равна нулю. При индексе 6 формула предполагает, что фаза линейного члена должна быть меньше — π (более отрицательное). Кроме того, мы ожидаем смену — π в фазе между индексами 4 и 6 . Таким образом, значение фазы, предсказанное формулой, немного меньше -(2 π ) . Поскольку мы можем добавить 2 π , не затрагивая значение спектра по индексу 6 , результатом будет слегка отрицательное число, как показано. Таким образом, формула и сюжет совпадают. В фазовых расчетах, подобных тем, которые выполняются в MATLAB, значения обычно ограничиваются диапазоном [- π , π ] путем добавления некоторого (возможно отрицательного) числа, кратного 2 π к каждому значению фазы.

---

Эта страница под названием 4.2: Комплексный ряд Фурье распространяется под лицензией CC BY 1.0 и была создана, изменена и/или курирована Доном Х. Джонсоном посредством исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.