Корень 2 x: Решите уравнение Корень 2-x + корень x-5 = 3

Содержание

2 синус х корень из 2

Вы искали 2 синус х корень из 2? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и sin x 2 корень 2, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «2 синус х корень из 2».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 2 синус х корень из 2,sin x 2 корень 2,sin x корень из 2 на 2,sin корень из 2,sin корень из 2 на 2,sinx корень из 2 на 2,sinx корень2 2,решите уравнение sinx корень из 2 на 2,синус 2 корень 2,синус 2 х равен корень из 2 на 2,синус корень из 2 на 2,синус корень из 2 на 2 равен,синус корня из 2 на 2,синус равен корень из 2 на 2,синус х равен корень из 2 на 2. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 2 синус х корень из 2. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, sin x корень из 2 на 2).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 2 синус х корень из 2 Онлайн?

Решить задачу 2 синус х корень из 2 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Квадратное уравнение

Предварительные навыки

Что такое квадратное уравнение и как его решать?

Мы помним, что уравнение это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой нужно найти.

Если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение называют уравнением второй степени или квадратным уравнением.

Например, следующие уравнения являются квадратными:

Решим первое из этих уравнений, а именно x²− 4 = 0.

Все тождественные преобразования, которые мы применяли при решении обычных линейных уравнений, можно применять и при решении квадратных.

Итак, в уравнении x²− 4 = 0 перенесем член −4 из левой части в правую часть, изменив знак:

Получили уравнение x²= 4. Ранее мы говорили, что уравнение считается решённым, если в одной части переменная записана в первой степени и её коэффициент равен единице, а другая часть равна какому-нибудь числу. То есть чтобы решить уравнение, его следует привести к виду x = a, где a — корень уравнения.

У нас переменная x всё ещё во второй степени, поэтому решение необходимо продолжить.

Чтобы решить уравнение x²= 4, нужно ответить на вопрос при каком значении x левая часть станет равна 4. Очевидно, что при значениях 2 и −2. Чтобы вывести эти значения воспользуемся определением квадратного корня.

Число b называется квадратным корнем из числа a, если b²= a и обозначается как

У нас сейчас похожая ситуация. Ведь, что такое x²= 4? Переменная x в данном случае это квадратный корень из числа 4, поскольку вторая степень

x прирáвнена к 4.

Тогда можно записать, что . Вычисление правой части позвóлит узнать чему равно x. Квадратный корень имеет два значения: положительное и отрицательное. Тогда получаем x = 2 и x = −2.

Обычно записывают так: перед квадратным корнем ставят знак «плюс-минус», затем находят арифметическое значение квадратного корня. В нашем случае на этапе когда записано выражение , перед следует поставить знак ±

Затем найти арифметическое значение квадратного корня

Выражение x = ± 2 означает, что x = 2 и x = −2. То есть корнями уравнения x²− 4 = 0 являются числа 2 и −2. Запишем полностью решение данного уравнения:

Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

В обоих случаях левая часть равна нулю. Значит уравнение решено верно.

Решим ещё одно уравнение. Пусть требуется решить квадратное уравнение (x + 2)²= 25

Для начала проанализируем данное уравнение. Левая часть возведенá в квадрат и она равна 25. Какое число в квадрате равно 25? Очевидно, что числа 5 и −5

То есть наша задача найти x, при которых выражение x + 2 будет равно числам 5 и −5. Запишем эти два уравнения:

Решим оба уравнения. Это обычные линейные уравнения, которые решаются легко:

Значит корнями уравнения (x + 2)²= 25 являются числа 3 и −7.

В данном примере как и в прошлом можно использовать определение квадратного корня. Так, в уравнения (x + 2)²= 25 выражение (x + 2) представляет собой квадратный корень из числа 25. Поэтому можно cначала записать, что .

Тогда правая часть станет равна ±5. Полýчится два уравнения:

x + 2 = 5 и x + 2 = −5. Решив по отдельности каждое из этих уравнений мы придём к корням 3 и −7.

Запишем полностью решение уравнения (x + 2)²= 25

Из рассмотренных примеров видно, что квадратное уравнение имеет два корня. Чтобы не забыть о найденных корнях, переменную x можно подписывать нижними индексами. Так, корень 3 можно обозначить через x₁, а корень −7 через x₂

В предыдущем примере тоже можно было сделать так. Уравнение x²− 4 = 0 имело корни 2 и −2. Эти корни можно было обозначить как x₁= 2 и x₂= −2.

Бывает и так, что квадратное уравнение имеет только один корень или вовсе не имеет корней. Такие уравнения мы рассмотрим позже.

Сделаем проверку для уравнения (x + 2)²= 25. Подставим в него корни 3 и −7. Если при значениях 3 и −7 левая часть равна 25, то это будет означать, что уравнение решено верно:

В обоих случаях левая часть равна 25. Значит уравнение решено верно.

Квадратное уравнение бывает дано в разном виде. Наиболее его распространенная форма выглядит так:

ax² + bx + c = 0,
где a, b, c — некоторые числа, x — неизвестное.

Это так называемый общий вид квадратного уравнения. В таком уравнении все члены собраны в общем месте (в одной части), а другая часть равна нулю. По другому такой вид уравнения называют нормальным видом квадратного уравнения.

Пусть дано уравнение 3x²+ 2x = 16. В нём переменная x возведенá во вторую степень, значит уравнение является квадратным. Приведём данное уравнение к общему виду.

Итак, нам нужно получить уравнение, которое будет похоже на уравнение ax²+ bx + c = 0. Для этого в уравнении 3

x²+ 2x = 16 перенесем 16 из правой части в левую часть, изменив знак:

3x² + 2x − 16 = 0

Получили уравнение 3x²+ 2x − 16 = 0. В этом уравнении a = 3, b = 2, c = −16.

В квадратном уравнении вида ax²+ bx + c = 0 числа a, b и c имеют собственные названия. Так, число a называют первым или старшим коэффициентом; число b называют вторым коэффициентом; число c называют свободным членом.

В нашем случае для уравнения 3x²+ 2x − 16 = 0 первым или старшим коэффициентом является 3; вторым коэффициентом является число 2; свободным членом является число −16. Есть ещё другое общее название для чисел a, b и c — параметры.

Так, в уравнении 3x²+ 2x − 16 = 0 параметрами являются числа 3, 2 и −16.

В квадратном уравнении желательно упорядочивать члены так, чтобы они располагались в таком же порядке как у нормального вида квадратного уравнения.

Например, если дано уравнение −5 + 4x²+ x = 0, то его желательно записать в нормальном виде, то есть в виде ax²+ bx + c = 0.

В уравнении −5 + 4x²+ x = 0 видно, что свободным членом является −5, он должен располагаться в конце левой части. Член 4x² содержит старший коэффициент, он должен располагаться первым. Член x соответственно будет располагаться вторым:

Квадратное уравнение в зависимости от случая может принимать различный вид. Всё зависит от того, чему равны значения a, b и с.

Если коэффициенты a, b и c не равны нулю, то квадратное уравнение называют полным. Например, полным является квадратное уравнение 2

x²+ 6x − 8 = 0.

Если какой-то из коэффициентов равен нулю (то есть отсутствует), то уравнение значительно уменьшается и принимает более простой вид. Такое квадратное уравнение называют неполным. Например, неполным является квадратное уравнение 2x²+ 6x = 0, в нём имеются коэффициенты a и b (числа 2 и 6), но отсутствует свободный член c.

Рассмотрим каждый из этих видов уравнений, и для каждого из этих видов определим свой способ решения.

Пусть дано квадратное уравнение 2x²+ 6x − 8 = 0. В этом уравнении a = 2, b = 6, c = −8. Если b сделать равным нулю, то уравнение примет вид:

Получилось уравнение 2x²− 8 = 0. Чтобы его решить перенесем −8 в правую часть, изменив знак:

2x²= 8

Для дальнейшего упрощения уравнения воспользуемся ранее изученными тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

У нас получилось уравнение, которое мы решали в начале данного урока. Чтобы решить уравнение x²= 4, следует воспользоваться определением квадратного корня. Если x²= 4, то . Отсюда x = 2 и x = −2.

Значит корнями уравнения 2x²− 8 = 0 являются числа 2 и −2. Запишем полностью решение данного уравнения:

В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение решено верно.

Уравнение, которое мы сейчас решили, является неполным квадратным уравнением. Название говорит само за себя. Если полное квадратное уравнение выглядит как ax²+ bx + c = 0, то сделав коэффициент b нулём получится неполное квадратное уравнение ax²+ c = 0.

У нас тоже сначала было полное квадратное уравнение 2x²+ 6x − 4 = 0. Но мы сделали коэффициент b нулем, то есть вместо числа 6 поставили 0. В результате уравнение обратилось в неполное квадратное уравнение 2x²− 4 = 0.

В начале данного урока мы решили квадратное уравнение x²− 4 = 0. Оно тоже является уравнением вида ax²+ c = 0, то есть неполным. В нем a = 1, b = 0, с = −4.

Также, неполным будет квадратное уравнение, если коэффициент c равен нулю.

Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x²+ 6x − 4 = 0. Сделаем коэффициент c нулём. То есть вместо числа 4 поставим 0

Получили квадратное уравнение 2x²+ 6x=0, которое является неполным. Чтобы решить такое уравнение, переменную x выносят за скобки:

Получилось уравнение x(2x + 6) = 0 в котором нужно найти x, при котором левая часть станет равна нулю. Заметим, что в этом уравнении выражения x и (2x + 6) являются сомножителями. Одно из свойств умножения говорит, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

В нашем случае равенство будет достигаться, если x будет равно нулю или (2x + 6) будет равно нулю. Так и запишем для начала:

Получилось два уравнения: x = 0 и 2x + 6 = 0. Первое уравнение решать не нужно — оно уже решено. То есть первый корень равен нулю.

Чтобы найти второй корень, решим уравнение 2x + 6 = 0. Это обычное линейное уравнение, которое решается легко:

Видим, что второй корень равен −3.

Значит корнями уравнения 2x²+ 6x = 0 являются числа 0 и −3. Запишем полностью решение данного уравнения:

Выполним проверку. Подставим корни 0 и −3 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 0 и −3 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

Следующий случай это когда числа b и с равны нулю. Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x²+ 6x − 4 = 0. Сделаем коэффициенты b и c нулями. Тогда уравнение примет вид:

Получили уравнение 2x²= 0. Левая часть является произведением, а правая часть равна нулю. Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Очевидно, что x = 0. Действительно, 2 × 0²= 0. Отсюда, 0 = 0. При других значениях x равенства достигаться не будет.

Проще говоря, если в квадратном уравнении вида ax²+ bx + c = 0 числа b и с равны нулю, то корень такого уравнения равен нулю.

Отметим, что когда употребляются словосочетания «b равно нулю» или «с равно нулю«, то подразумевается, что параметры b или c вовсе отсутствуют в уравнении.

Например, если дано уравнение 2x²− 32 = 0, то мы говорим, что b = 0. Потому что если сравнить с полным уравнением ax²+ bx + c = 0, то можно заметить, что в уравнении 2x²− 32 = 0 присутствует старший коэффициент a, равный 2; присутствует свободный член −32; но отсутствует коэффициент b.

Наконец, рассмотрим полное квадратное уравнение ax²+ bx + c = 0. В качестве примера решим квадратное уравнение x²− 2x + 1 = 0.

Итак, требуется найти x, при котором левая часть станет равна нулю. Воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями.

Прежде всего заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадрат разности двух выражений. Если мы вспомним как раскладывать многочлен на множители, то получим в левой части (x − 1)².

Рассуждаем дальше. Левая часть возведенá в квадрат и она равна нулю. Какое число в квадрате равно нулю? Очевидно, что только 0. Поэтому наша задача найти x, при котором выражение x − 1 равно нулю. Решив простейшее уравнение x − 1 = 0, можно узнать чему равно x

Этот же результат можно получить, если воспользоваться квадратным корнем. В уравнении (x − 1)²= 0 выражение (x − 1) представляет собой квадратный корень из нуля. Тогда можно записать, что . В этом примере записывать перед корнем знак ± не нужно, поскольку корень из нуля имеет только одно значение — ноль. Тогда получается x − 1 = 0. Отсюда x = 1.

Значит корнем уравнения x²− 2x + 1 = 0 является единица. Других корней у данного уравнения нет. В данном случае мы решили квадратное уравнение, имеющее только один корень. Такое тоже бывает.

Не всегда бывают даны простые уравнения. Рассмотрим например уравнение x²+ 2x − 3 = 0.

В данном случае левая часть уже не является квадратом суммы или разности. Поэтому нужно искать другие пути решения.

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадратный трехчлен. Тогда можно попробовать выделить полный квадрат из этого трёхчлена и посмотреть что это нам даст.

Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена, располагающего в левой части уравнения:

В получившемся уравнении перенесем −4 в правую часть, изменив знак:

Теперь воспользуемся квадратным корнем. В уравнении (x + 1)²= 4 выражение (x + 1) представляет собой квадратный корень из числа 4. Тогда можно записать, что . Вычисление правой части даст выражение x + 1 = ±2. Отсюда полýчится два уравнения: x + 1 = 2 и x + 1 = −2, корнями которых являются числа 1 и −3

Значит корнями уравнения x²+ 2x − 3 = 0 являются числа 1 и −3.

Выполним проверку:

Пример 3. Решить уравнение x²− 6x + 9 = 0, выделив полный квадрат.

Выделим полный квадрат из левой части:

Далее воспользуемся квадратным корнем и узнáем чему равно x

Значит корнем уравнения x²− 6x + 9 = 0 является 3. Выполним проверку:

Пример 4. Решить квадратное уравнение 4x²+ 28x − 72 = 0, выделив полный квадрат:

Выделим полный квадрат из левой части:

Перенесём −121 из левой части в правую часть, изменив знак:

Воспользуемся квадратным корнем:

Получили два простых уравнения: 2x + 7 = 11 и 2x + 7 = −11. Решим их:

Пример 5. Решить уравнение 2x²+ 3x − 27 = 0

Это уравнение немного посложнее. Когда мы выделяем полный квадрат, первый член квадратного трёхчлена мы представляем в виде квадрата какого-нибудь выражения.

Так, в прошлом примере первым членом уравнения был 4x². Его можно было представить в виде квадрата выражения 2x, то есть (2x)²= 2²x²= 4x². Чтобы убедиться что это правильно, можно извлечь квадратный корень из выражения 4x². Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней:

В уравнении 2x²+ 3x − 27 = 0 первый член это 2x². Его нельзя представить в виде квадрата какого-нибудь выражения. Потому что нет числá, квадрат которого равен 2. Если бы такое число было, то этим числом был бы квадратный корень из числа 2. Но квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. А приближённое значение не годится для представления числá 2 в виде квадрата.

Если обе части исходного уравнения умножить или разделить на одно и то же число, то полýчится уравнение равносильное исходному. Это правило сохраняется и для квадратного уравнения.

Тогда можно разделить обе части нашего уравнения на 2. Это позвóлит избавиться от двойки перед x² что впоследствии даст нам возможность выделить полный квадрат:

Перепишем левую часть в виде трёх дробей со знаменателем 2

Сократим первую дробь на 2. Остальные члены левой части перепишем без изменений. Правая часть по-прежнему станет равна нулю:

Выделим полный квадрат.

При представлении члена в виде удвоенного произведения, появление множителя 2 привело бы к тому, что этот множитель и знаменатель дроби сократились бы. Чтобы этого не произошло, удвоенное произведение было домножено на . При выделении полного квадрата всегда нужно стараться сделать так, чтобы значение изначального выражения не изменилось.

Свернём полученный полный квадрат:

Приведём подобные члены:

Перенесём дробь в правую часть, изменив знак:

Воспользуемся квадратным корнем. Выражение представляет собой квадратный корень из числа

Для вычисления правой части воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

Тогда наше уравнение примет вид:

Полýчим два уравнения:

Решим их:

Значит корнями уравнения 2x²+ 3x − 27 = 0 являются числа 3 и .

Корень удобнее оставить в таком виде, не выполняя деления числителя на знаменатель. Так проще будет выполнять проверку.

Выполним проверку. Подставим найденные корни в исходное уравнение:

В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение 2x²+ 3x − 27 = 0 решено верно.

Решая уравнение 2x²+ 3x − 27 = 0, в самом начале мы разделили обе его части на 2. В результате получили квадратное уравнение, в котором коэффициент перед x² равен единице:

Такой вид квадратного уравнения называют приведённым квадратным уравнением.

Любое квадратное уравнение вида ax²+ bx + c = 0 можно сделать приведённым. Для этого нужно разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x². В данном случае обе части уравнения ax²+ bx + c = 0 нужно разделить на a

Пример 6. Решить квадратное уравнение 2x²+ x + 2 = 0

Сделаем данное уравнение приведённым:

Выделим полный квадрат:

Получили уравнение , в котором квадрат выражения равен отрицательному числу . Такого быть не может, поскольку квадрат любого числа или выражения всегда положителен.

Следовательно, нет такого значения x, при котором левая часть стала бы равна . Значит уравнение не имеет корней.

А поскольку уравнение равносильно исходному уравнению 2x²+ x + 2 = 0, то и оно (исходное уравнение) не имеет корней.

Формулы корней квадратного уравнения

Выделять полный квадрат для каждого решаемого квадратного уравнения не очень удобно.

Можно ли создать универсальные формулы для решения квадратных уравнений? Оказывается можно. Сейчас мы этим и займёмся.

Взяв за основу буквенное уравнение ax²+ bx + c = 0, и выполнив некоторые тождественные преобразования, мы сможем получить формулы для вывода корней квадратного уравнения ax²+ bx + c = 0. В эти формулы можно будет подставлять коэффициенты a, b, с и получать готовые решения.

Итак, выделим полный квадрат из левой части уравнения ax²+ bx + c = 0. Сначала сделаем данное уравнение приведённым. Разделим обе его части на a

Теперь в получившемся уравнении выделим полный квадрат:

Перенесем члены и в правую часть, изменив знак:

Приведём правую часть к общему знаменателю. Дроби, состоящие из букв, привóдят к общему знаменателю методом «крест-нáкрест». То есть знаменатель первой дроби станóвится дополнительным множителем второй дроби, а знаменатель второй дроби станóвится дополнительным множителем первой дроби:

В числителе правой части вынесем за скобки a

Сократим правую часть на a

Поскольку все преобразования были тождественными, то получившееся уравнение имеет те же корни, что и исходное уравнение ax²+ bx + c = 0.

Уравнение будет иметь корни только тогда, если правая часть больше нуля или равна нулю. Это потому что в левой части выполнено возведéние в квадрат, а квадрат любого числа положителен или равен нулю (если в этот квадрат возвóдится ноль). А чему будет равна правая часть зависит от того, что будет подставлено вместо переменных a, b и c.

Поскольку при любом a не рáвным нулю, знаменатель правой части уравнения всегда будет положительным, то знак дроби будет зависеть от знака её числителя, то есть от выражения b²− 4ac.

Выражение b²− 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Дискриминант это латинское слово, означающее различитель. Дискриминант квадратного уравнения обозначается через букву D

D = b²− 4ac

Дискриминант позволяет заранее узнать имеет ли уравнение корни или нет. Так, в предыдущем задании мы долго решали уравнение 2x²+ x + 2 = 0 и оказалось, что оно не имеет корней. Дискриминант же позволил бы нам заранее узнать, что корней нет. В уравнении 2x²+ x + 2 = 0 коэффициенты a, b и c равны 2, 1 и 2 соответственно. Подставим их в формулу D = b²−4ac

D = b² − 4ac = 1² − 4 × 2 × 2 = 1 − 16 = −15.

Видим, что D (оно же b²− 4ac) является отрицательным числом. Тогда нет смысла решать уравнение 2x²+ x + 2 = 0, выделяя в нём полный квадрат, потому что когда мы дойдем до уравнения вида , окажется что правая часть станет меньше нуля (из-за отрицательного дискриминанта). А квадрат числа не может быть отрицательным. Следовательно, корней у данного уравнения не будет.

Станóвится понятно почему древние люди считали выражение b²− 4ac различителем. Это выражение подобно индикатору позволяет различить уравнение имеющего корни от уравнения, не имеющего корней.

Итак, D равно b²− 4ac. Подставим в уравнении вместо выражения b²− 4ac букву D

Если дискриминант исходного уравнения окажется меньше нуля (D < 0), то уравнение примет вид:

В этом случае говорят, что у исходного уравнения корней нет, поскольку квадрат любого числа не должен быть отрицательным.

Если дискриминант исходного уравнения окажется больше нуля (D > 0), то уравнение примет вид:

В этом случае уравнение будет иметь два корня. Для их вывода воспользуемся квадратным корнем:

Получили уравнение . Из него полýчится два уравнения: и . Выразим x в каждом из уравнений:

Получившиеся два равенства это и есть универсальные формулы для решения квадратного уравнения ax²+ bx + c = 0. Их называют формулами корней квадратного уравнения.

Чаще всего эти формулы обозначаются как x₁ и x₂. То есть для вычисления первого корня используется формула c индексом 1; для вывода второго корня — формула с индексом 2. Обозначим свои формулы так же:

Очерёдность применения формул не важнá.

Решим например квадратное уравнение x²+ 2x − 8 = 0 с помощью формул корней квадратного уравнения. Коэффициенты данного квадратного уравнения это числа 1, 2 и −8. То есть, a = 1, b = 2, c = −8.

Прежде чем использовать формулы корней квадратного уравнения, нужно найти дискриминант этого уравнения.

Найдём дискриминант квадратного уравнения. Для этого воспользуемся формулой D = b²− 4ac. Вместо переменных a, b и c у нас будут коэффициенты уравнения x²+ 2x − 8 = 0

D = b²− 4ac = 2²− 4 × 1 × (−8) = 4 + 32 = 36

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Теперь можно воспользоваться формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения x²+ 2x − 8 = 0 являются числа 2 и −4. Проверкой убеждаемся, что корни найдены верно:

Наконец, рассмотрим случай когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Вернёмся к уравнению . Если дискриминант равен нулю, то правая часть уравнения примет вид:

И в этом случае квадратное уравнение будет иметь только один корень. Воспользуемся квадратным корнем:

Далее выражаем x

Это ещё одна формула для вывода корня квадратного корня. Рассмотрим её применение. Ранее мы решили уравнение x²− 6x + 9 = 0, имеющее один корень 3. Решили мы его методом выделения полного квадрата. Теперь попробуем решить с помощью формул.

Найдём дискриминант квадратного уравнения. В этом уравнении a = 1, b = −6, c = 9. Тогда по формуле дискриминанта имеем:

D = b²− 4ac = (−6)²− 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0

Дискриминант равен нулю (D = 0). Это означает, что уравнение имеет только один корень, и вычисляется он по формуле

Значит корнем уравнения x²− 6x + 9 = 0 является число 3.

Для квадратного уравнения, имеющего один корень также применимы формулы и . Но применение каждой из них будет давать один и тот же результат.

Применим эти две формулы для предыдущего уравнения. В обоих случаях получим один и тот же ответ 3

Если квадратное уравнение имеет только один корень, то желательно применять формулу , а не формулы и . Это позволяет сэкономить время и место.

Пример 3. Решить уравнение 5x²− 6x + 1 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения 5x²− 6x + 1 = 0 являются числа 1 и .

Ответ: 1; .

Пример 4. Решить уравнение x²+ 4x + 4 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант равен нулю. Значит уравнение имеет только один корень. Он вычисляется по формуле

Значит корнем уравнения x²+ 4x + 4 = 0 является число −2.

Ответ: −2.

Пример 5. Решить уравнение 3x²+ 2x + 4 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант меньше нуля. Значит корней у данного уравнения нет.

Ответ: корней нет.

Пример 6. Решить уравнение (x + 4)²= 3x + 40

Приведём данное уравнение к нормальному виду. В левой части располагается квадрата суммы двух выражений. Раскрóем его:

Перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив их знаки. В правой части останется ноль:

Приведём подобные члены в левой части:

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

Значит корнями уравнения (x + 4)²= 3x + 40 являются числа 3 и −8.

Ответ: 3; −8.

Пример 7. Решить уравнение

Умнóжим обе части данного уравнения на 2. Это позвóлит нам избавиться от дроби в левой части:

В получившемся уравнении перенесём 22 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

Приведём подобные члены в левой части:

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

Значит корнями уравнения являются числа 23 и −1.

Ответ: 23; −1.

Пример 8. Решить уравнение

Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях. Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 это число 6. Тогда получим:

В получившемся уравнении раскроем скобки в обеих частях:

Теперь перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив у них знаки. В правой части останется 0

Приведём подобные члены в левой части:

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

Значит корнями уравнения являются числа и 2.

Примеры решения квадратных уравнений

Пример 1. Решить уравнение x²= 81

Это простейшее квадратное уравнение, в котором надо определить число, квадрат которого равен 81. Таковыми являются числа 9 и −9. Воспользуемся квадратным корнем для их вывода:

Ответ: 9, −9.

Пример 2. Решить уравнение x²− 9 = 0

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения нужно перенести член −9 в правую часть, изменив знак. Тогда получим:

Ответ: 3, −3.

Пример 3. Решить уравнение x²− 9x = 0

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения сначала нужно вынести x за скобки:

Левая часть уравнения является произведением. Произведение равно нулю, если хотя один из сомножителей равен нулю.

Левая часть станет равна нулю, если отдельно x равно нулю, или если выражение x − 9 равно нулю. Получится два уравнения, одно из которых уже решено:

Ответ: 0, 9.

Пример 4. Решить уравнение x²+ 4x − 5 = 0

Это полное квадратное уравнение. Его можно решить методом выделения полного квадрата или с помощью формул корней квадратного уравнения.

Решим данное уравнение с помощью формул. Сначала найдём дискриминант:

D = b²− 4ac = 4²− 4 × 1 × (−5) = 16 + 20 = 36

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Вычислим их:

Ответ: 1, −5.

Пример 5. Решить уравнение

Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное чисел 5, 3 и 6. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях:

В получившемся уравнении перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется ноль:

Приведём подобные члены:

Решим получившееся уравнение с помощью формул:

Ответ: 5, .

Пример 6. Решить уравнение x²= 6

В данном примере как и в первом нужно воспользоваться квадратным корнем:

Однако, квадратный корень из числа 6 не извлекается. Он извлекается только приближённо. Корень можно извлечь с определённой точностью. Извлечём его с точностью до сотых:

Но чаще всего корень оставляют в виде радикала:

Ответ:

Пример 7. Решить уравнение (2x + 3)²+ (x − 2)²= 13

Раскроем скобки в левой части уравнения:

В получившемся уравнении перенесём 13 из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные члены:

Получили неполное квадратное уравнение. Решим его:

Ответ: 0, −1,6.

Пример 8. Решить уравнение (5 + 7x)(4 − 3x) = 0

Данное уравнение можно решить двумя способами. Рассмотрим каждый из них.

Первый способ. Раскрыть скобки и получить нормальный вид квадратного уравнения.

Раскроем скобки:

Приведём подобные члены:

Перепишем получившееся уравнение так, чтобы член со старшим коэффициентом располагался первым, член со вторым коэффициентом — вторым, а свободный член располагался третьим:

Чтобы старший член стал положительным, умнóжим обе части уравнения на −1. Тогда все члены уравнения поменяют свои знаки на противоположные:

Решим получившееся уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения:

Второй способ. Найти значения x, при которых сомножители левой части уравнения равны нулю. Этот способ удобнее и намного короче.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. В данном случае равенство в уравнении (5 + 7x)(4 − 3x) = 0 будет достигаться, если выражение (5 + 7x) равно нулю, или же выражение (4 − 3x) равно нулю. Наша задача выяснить при каких x это происходит:

Примеры решения задач

Предстáвим, что возникла необходимость построить небольшую комнату, площадь которой 8 м². При этом длина комнаты должна быть в два раза больше её ширины. Как определить длину и ширину такой комнаты?

Сделаем примерный рисунок этой комнаты, который иллюстрирует вид сверху:

Обозначим ширину комнаты через x. А длину комнаты через 2x, потому что по условию задачи длина должна быть в два раза больше ширины. Множитель 2 и выполнит это требование:

Поверхность комнаты (её пол) является прямоугольником. Для вычисления площади прямоугольника, нужно длину данного прямоугольника умножить на его ширину. Сделаем это:

2x × x

По условию задачи площадь должна быть 8 м². Значит выражение 2x × x следует приравнять к 8

2x × x = 8

Получилось уравнение. Если решить его, то можно найти длину и ширину комнаты.

Первое что можно сделать это выполнить умножение в левой части уравнения:

2x² = 8

В результате этого преобразования переменная x перешла во вторую степень. А мы говорили, что если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение является уравнением второй степени или квадратным уравнением.

Для решения нашего квадратного уравнения воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

Теперь воспользуемся квадратным корнем. Если x²= 4, то . Отсюда x = 2 и x = −2.

Через x была обозначена ширина комнаты. Ширина не должна быть отрицательной, поэтому в расчёт берём только значение 2. Такое часто бывает при решении задачи, в которых применяется квадратное уравнение. В ответе получаются два корня, но условию задачи удовлетворяет только один из них.

А длина была обозначена через 2x. Значение x теперь известно, подставим его в выражение 2x и вычислим длину:

2x = 2 × 2 = 4

Значит длина равна 4 м, а ширина 2 м. Это решение удовлетворяет условию задачи, поскольку площадь комнаты равна 8 м²

4 × 2 = 8 м²

Ответ: длина комнаты составляет 4 м, а ширина 2 м.

Пример 2. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определить длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м²

Решение

Длина прямоугольника, как правило, больше его ширины. Пусть ширина участка x метров, а длина (x + 10) метров. Площадь участка составляет 1200 м². Умножим длину участка на его ширину и приравняем к 1200, получим уравнение:

x(x + 10) = 1200

Решим данное уравнение. Для начала раскроем скобки в левой части:

Перенесём 1200 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

Решим получившееся уравнение с помощью формул:

Несмотря на то, что квадратное уравнение имеет два корня, в расчёт берём только значение 30. Потому что ширина не может выражаться отрицательным числом.

Итак, через x была обозначена ширина участка. Она равна тридцати метрам. А длина была обозначена через выражение x + 10. Подставим в него найденное значение x и вычислим длину:

x + 10 = 30 + 10 = 40 м

Значит длина участка составляет сорок метров, а ширина тридцать метров. Эти значения удовлетворяют условию задачи, поскольку если перемножить длину и ширину (числа 40 и 30) получится 1200 м²

40 × 30 = 1200 м²

Теперь ответим на вопрос задачи. Какова длина изгороди? Чтобы её вычислить нужно найти периметр участка.

Периметр прямоугольника это сумма всех его сторон. Тогда:

P = 2(a + b) = 2 × (40 + 30) = 2 × 70 = 140 м.

Ответ: длина изгороди огородного участка составляет 140 м.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 2; −2.

Задание 2. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: корней нет.

Задание 3. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 3; −3.

Задание 4. Решить уравнение, используя выделение полного квадрата:

Решение:

Ответ: 3; −13.

Задание 5. Решить уравнение, используя выделение полного квадрата:

Решение:

Ответ: 12; 4.

Задание 6. Решить уравнение, используя выделение полного квадрата:

Решение:

Ответ: 7; 5.

Задание 7. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 0; 1.

Задание 8. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 0; −3.

Задание 9. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 7; −7.

Задание 10. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 11. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 5; −5.

Задание 12. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 7; 2

Задание 13. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: корней нет.

Задание 14. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 15. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 1; −5.

Задание 16. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 5; −9.

Задание 17. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: −3; −4.

Задание 18. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: .

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Как решать неполные квадратные уравнения? Примеры и Формулы

Основные понятия

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.

Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b² − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

если D < 0, корней нет;
если D = 0, есть один корень;
если D > 0, есть два различных корня.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax² + 0x+c=0 и оно равносильно ax² + c = 0.
Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax² + bx = 0.
Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² = 0.

Такие уравнения отличаются от полного квадратного тем, что их левые части не содержат слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три формулы неполных квадратных уравнений:

ax² = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
ax² + c = 0, при b = 0;
ax² + bx = 0, при c = 0.

Как решить уравнение ax² = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0.

Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −5x² = 0.

Как решаем:

Замечаем, что данному уравнению равносильно x2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.

По шагам решение выглядит так:
−5x² = 0
x² = 0
x = √0
x = 0
Ответ: 0.

Как решить уравнение ax² + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. То есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:

перенесем c в правую часть: ax² = — c,
разделим обе части на a: x² = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а < 0, то уравнение x² = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а < 0 ни для какого числа p равенство р² = — c/а не является верным.

Если — c/а > 0, то корни уравнения x² = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)² = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)² = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

В двух словах

Неполное квадратное уравнение ax² + c = 0 равносильно уравнению ax² + c = 0, которое:

не имеет корней при — c/а < 0;
имеет два корня х = √- c/а и х = -√- c/а при — c/а > 0.

Пример 1. Найти решение уравнения 9x² + 4 = 0.

Как решать:

Перенесем свободный член в правую часть:
9x² = — 4

Разделим обе части на 9:
x² = — 4/9

В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней.

Пример 2. Решить -x² + 9 = 0.

Как решаем:

Перенесем свободный член в правую часть:
-x² = -9

Разделим обе части на -1:
x² = 9

Найти корни:
x = √9
x = -3
x = 3

Ответ: уравнение -x² + 9 = 0 имеет два корня -3; 3.

Как решить уравнение ax² + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Квадратное уравнение без с непривычно решать только первые несколько примеров. Запомнив алгоритм, будет значительно проще щелкать задачки из учебника.

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 2x² — 32x = 0

Как решать:

Вынести х за скобки
х(2x — 32) = 0

Это уравнение равносильно х = 0 и 2x — 32 = 0.

Решить линейное уравнение:
2x = 32,
х = 32/2

Разделить:
х = 16

Значит корни исходного уравнения — 0 и 16.

Ответ: х = 0 и х = 16.

Пример 2. Решить уравнение 3x² — 12x = 0

Как решать:

Разложить левую часть уравнения на множители и найти корни:

Ответ: х = 0 и х = 4.

Как упростить квадратный корень

Если подкоренное выражение содержит набор математических действий с переменными, то иногда в результате его упрощения есть возможность получить относительно простое значение, часть которого можно вынести из под корня. Бывает полезно такое упрощение и в тех случаях, когда приходится производить расчеты в уме, а стоящее под знаком корня число слишком велико. Возникает необходимость разделить подкоренное выражение на насколько сомножителей и для того, чтобы оставить часть выражения под знаком радикала, так как требуется получить точный результат, а извлечение его из полного подкоренного значения дает в результате бесконечную десятичную дробь.

Если под знаком корня стоит численное значение, то попробуйте разбить его на несколько сомножителей таким образом, чтобы из одного или нескольких из них можно было бы без проблем извлечь квадратный . Например, если под знаком радикала стоит число 729, то его можно разбить на два сомножителя — 81 и 9 (81*9=729). Извлечение квадратного корня из каждого из них никаких трудностей не представляет — в отличие от 729 эти числа принадлежат к знакомой со школы таблице умножения.

Так как корень из произведения чисел равен раздельно, а полученные значения перемножьте между собой. Для использованного выше примера это действие можно записать так: √729 = √(81*9) = √81*√9 = 9*3 = 27.

Не всегда из каждого сомножителя можно извлечь корень с целочисленным результатом. В этом случае подберите наибольший множитель, с которым это можно сделать, и вынесите его из подкоренного выражения, а второй оставьте под знаком радикала. Например, для числа 192 наибольшим множителем, из которого можно извлечь квадратный корень, будет 64, а под знаком радикала надо оставить тройку: √192 = √(64*3) = √64*√3 = 8*√3.

Если подкоренное выражение содержит переменные, то его иногда тоже можно упростить и вынести из под знака радикала. Например, подкоренное выражение 4*x²+4*y²+8*x*y можно преобразовать к виду 4*(x+y)², а затем извлечь квадратный корень из каждого сомножителя и получить простое выражение: √(4*x²+4*y²+8*x*y) = √(4*(x+y) ²) = √4*√(x+y)² = 2*(x+y).

Как и с численными значениями, выражения с переменными не всегда можно вынести из под радикала полностью. Например, при подкоренном выражении x³-y³-3*y*x²+3x*y² можно вынести только часть, но полученный результат будет проще исходного: √(x³-y³-3*y*x²+3x*y²) = √(x-y)³ = (x-y)*√(x-y).

Расширение команды не всегда ведет к росту производительности

Когда появляется желание ускорить процесс разработки, первое, что приходит в голову – надо нанять больше людей. Допустим, в данный момент у нас над проектом работает один разработчик. Пусть теперь их станет двое.

Отлично. Если предположить, что после обучения навыки у нового разработчика будут примерно на том же уровне, что и у старого, то общая производительность должна практически удвоиться. Возможно, немного временных затрат придется заложить на обсуждение и все прочее, но тем не менее, объем кода, который будет выдаваться за единицу времени, определенно возрастет в существенной мере.

Если нас в первую очередь интересует качество, можно организовать сеансы парного программирования, что позволит усовершенствовать код. Тогда объем кода не возрастет в той же мере, но мы всё-таки получим выгоду от пополнения в команде в виде более качественного итогового продукта.

Само собой, придет момент, когда снова станет нужно развивать проект активнее, и нам автоматически придет в голову нанять еще сколько-то разработчиков. Ну ладно, давайте добавим одного или двоих.

С появлением третьего и четвёртого разработчиков мы по-прежнему наблюдаем прирост в производительности, однако в процентном отношении эффект уже не так велик, как было со вторым. Почему?

Как вы можете заметить, на рисунке сверху я соединил работников линиями со стрелками на обоих концах. Они обозначают всю коммуникацию, которая происходит при работе в команде. Каждое изменение в коде, каждое решение нужно обсудить, а потом держать коллег в курсе по ходу дела, чтобы никто не выпал из процесса.

Команда из четверых человек, в целом, пока еще представляет собой здоровую структуру – здесь кроется много возможностей для обмена знаниями и так далее. Если все участники вписываются в командную культуру, то в таком составе людям будет комфортнее работать, чем вдвоем.

Под давлением необходимости развивать проект очень легко попасть в ловушку и продолжать нанимать всё больше и больше сотрудников, чтобы распределить между ними работу. Давайте посмотрим, что будет, если добавить еще от одного до четверых разработчиков – размер команды, таким образом, будет составлять от пяти до восьми человек.

Как видите, чем больше сотрудников мы вводим, тем более сложной и разветвлённой становится система коммуникации. Всем нужно взаимодействовать со всеми.

В математическом выражении число направлений коммуникации возрастает по схеме, показанной на графике ниже.

2 человека = 1 x 2 = 2 связи 3 человека = 3 x 2 = 6 связей 4 человека = 6 x 2 = 12 связей 5 человек = 10 x 2 = 20 связей 6 человек = 15 x 2 = 30 связей 7 человек = 21 x 2 = 42 связей 8 человек = 28 x 2 = 56 связей

Издержки, связанные с коммуникацией, начинают тормозить процесс разработки.

Ресурс времени на написание кода сокращается, по мере того как возрастают временные затраты на собрания, обсуждения и планирование. Синхронизация обходится команде всё дороже и дороже.
Так как все работают на одном и том же проекте, люди всё чаще непредумышленно наступают друг другу на ноги.

При таком раскладе каждый дополнительно нанятый разработчик будет не повышать суммарную производительность, а служить помехой для неё.

Масштабирование не сводится к умножению числа разработчиков

Корень проблемы, к которой мы пришли в итоге вышесказанного, не в том, что мы нанимали разработчиков, а в том, что мы предварительно не выстроили структуру, способную выдержать возрастающее число людей.

Вместо того чтобы просто добавлять новых и новых сотрудников, нам следовало в первую очередь задуматься, не нужно ли для начала разбить структуру кода на модули и четко прописать для каждого модуля соответствующий набор обязанностей.

Давайте попробуем разбить наш крупный, единый, модулярный проект на два модуля и разделить разработчиков поровну между ними. Таким образом, каждому разработчику будет уже не нужно ни принимать участие в работе над чужим модулем, ни отслеживать процессы по нему – исключение составляет только особый представитель группы.

На графике ниже эта схема представлена яснее.

В математическом выражении мы свели число связей к гораздо меньшему значению: вместо 56 связей теперь насчитывается 26. Сокращение более чем в два раза!

(Группа1) + (Группа2) + (Коммуникация между группами) => 12 связей + 12 связей + 2 связи = 26 связей

Это дает нам много преимуществ:

Требуется меньше синхронизации – теперь всем не нужно быть в курсе всего. Значит, больше времени можно тратить на написание кода.
Объем информации, с которым приходится работать каждому из разработчиков, уменьшается, и это упрощает им жизнь.
Из-за разделения ответственности по модулям, снижается риск того, что кто-то вторгнется на чужую территорию.

Если вкратце

Масштабирование проектов по созданию ПО – это не только бесконечный наем сотрудников. Необходима более тщательная предварительная подготовка к расширению, в частности, создание подходящей для роста структуры команды. Соответственно, разделение на модули представляет собой крайне важную составляющую масштабирования. Хотя сама идея, конечно, не нова – она применяется даже при делении клетки у живых организмов.

Решите радикальные уравнения sqrt (2x-9) -sqrt (x-4) = 3 Tiger Algebra Solver

Введено радикальное уравнение:

√2x-9-√x-4 = 3

Пошаговое решение:

Шаг 1:

Выделите квадратный корень в левой части:

Исходное уравнение
√2x-9-√x-4 = 3

Изолировать
√2x-9 = √x-4 + 3

Шаг 2 :

Удалите радикал с левой стороны:

Возвести обе стороны во вторую степень
(√2x-9) ² = (√x-4 + 3) ²

После возведения в квадрат
2x- 9 = x-4 + 9 + 6√x-4

Шаг 3:

Получить оставшийся радикал сам по себе:

Текущее уравнение
2x-9 = x-4 + 9 + 6√x-4

Изолировать радикал слева
-6√x-4 = -2x + 9 + x-4 + 9

Привести в порядок
6√x-4 = x-14

Шаг 4:

Удалите радикал слева рука сид e:

Поднять обе стороны во вторую степень
(6√x-4) ² = (x-14) ²

После возведения в квадрат
36x-144 = x ² -28x + 196

Шаг 5:

Решите квадратное уравнение:

Преобразованное уравнение
x ² — 64x + 340 = 0

Это уравнение имеет два действительных корня:
x1 = (64 + sqrt (2736)) / 2 = 58.1534
x2 = (64 — sqrt (2736)) / 2 = 5,8466

Шаг 6:

Проверьте правильность первого решения:

Исходное уравнение, изолированный корень, после очистки
√2x-9 = √ x-4 + 3

Вставьте 58.1534 для x
√2 • (58.1534) -9 = √ (58.1534) -4 + 3

Simplify
√107.307 = 10.359
Проверки решения !!
Решение:
x = 58,1534

Шаг 7:

Проверьте правильность второго решения:

Исходное уравнение, корень изолирован, после очистки
√2x-9 = √x-4 + 3

Plug в 5.8466 для x
√2 • (5,8466) -9 = √ (5,8466) -4 + 3

Упростить
√2,693 = 4,359
Решение не проверяет
1,641 ≠ 4,359

Найдено одно решение:

x = 58,1534

Квадраты и квадратные корни в алгебре

Вы можете сначала прочитать наше Введение в квадраты и квадратные корни.

Квадраты

Чтобы возвести число в квадрат, просто умножьте его само на себя …

Пример: Что такое 3 в квадрате?

3 Квадрат

= 3 × 3 = 9

«В квадрате» часто записывают как две маленькие цифры:

Это говорит о том, что «4 в квадрате равно 16»
(маленькая 2 означает число появляется дважды при умножении, поэтому 4 × 4 = 16)

Квадратный корень

Квадратный корень из идет в обратном направлении:

в квадрате 3 равно 9, поэтому квадратный корень из 9 это 3

Это как спросить:

Что можно умножить само на себя, чтобы получить это?

Определение

Вот определение:

Квадратный корень из x равен , число r , квадрат которого равен x:

r ² = x
r квадратный корень из x

Символ квадратного корня

Это специальный символ, означающий «квадратный корень», это как галочка,
и на самом деле началось сотни лет назад в виде точки с движением вверх.

Он называется радикалом и всегда делает математику важной!

Мы можем использовать это так:

мы говорим «квадратный корень из 9 равен 3»

Пример: Что такое √36?

Ответ: 6 × 6 = 36, поэтому √36 = 6

Отрицательные числа

Мы также можем возводить в квадрат отрицательные числа.

Пример: Что такое

минус 5 в квадрате ?

Но подождите… что означает «минус 5 в квадрате»?

квадрат 5, тогда минус?
или квадрат (−5)?

Непонятно! И получаем разные ответы:

возвести в квадрат 5, затем вычислить минус: — (5 × 5) = −25
квадрат (−5): (−5) × (−5) = +25

Итак, давайте проясним это с помощью «()».

Это было интересно!

Когда мы возводим в квадрат отрицательное число , мы получаем положительный результат .

Точно так же, как при возведении в квадрат положительного числа:

Теперь помните наше определение квадратного корня?

Квадратный корень из x равен , число r , квадрат которого равен x:

r ² = x
r квадратный корень из x

И мы только что обнаружили, что:

(+5) ² = 25
(−5) ² = 25

Итак, и +5, и −5 являются квадратными корнями из 25

Два квадратных корня

Может быть положительный и отрицательный квадратный корень !

Это важно помнить.

Пример: Решите w

² = a

Ответ:

w = √a и w = −√a

Главный квадратный корень

Итак, если на самом деле есть два квадратных корня, почему люди говорят √25 = 5?

Потому что √ означает главный квадратный корень … тот, который не является отрицательным!

— это два квадратных корня, но символ √ означает просто главный квадратный корень .

Пример:

Квадратные корни из 36 равны 6 и −6

Но √36 = 6 (не −6)

Главный квадратный корень иногда называют положительным квадратным корнем (но он может быть нулевым).

Знак плюс-минус

±	— специальный символ, означающий «плюс или минус»,

поэтому вместо записи:		w = √a и w = −√a
мы можем написать:		Вт = ± √a

В двух словах

Когда имеем: r ² = x

, тогда: r = ± √x

Почему это важно?

Почему этот «плюс-минус» важен? Потому что мы не хотим упустить решение!

Пример: Решить x

² — 9 = 0

Начать с: x ² — 9 = 0

Переместите 9 вправо: x ² = 9

Квадратный корень: x = ± √9

Ответ: x = ± 3

Знак «±» говорит нам также включить ответ «−3».

Пример: найти x в (x — 3)

² = 16

Начать с: (x — 3) ² = 16

Квадратный корень: x — 3 = ± √16

Вычислить √16: x — 3 = ± 4

Добавьте 3 к обеим сторонам: x = 3 ± 4

Ответ: x = 7 или −1

Чек: (7−3) ² = 4 ² = 16
Чек: (−1−3) ² = (−4) ² = 16

Квадратный корень xy

Когда два числа умножаются на на квадратный корень , мы можем разделить это на умножение двух квадратных корней следующим образом:

√xy = √x√y

, но только когда x и y равны , оба больше или равны 0

Пример: Что такое

√ (100 × 4) ?

√ (100 × 4) = √ (100) × √ (4)

= 10 × 2

= 20

И √x√y = √xy :

Пример: Что такое

√8√2 ?

√8√2 = √ (8 × 2)

= √16

= 4

Пример: Что такое

√ (−8 × −2) ?

√ (−8 × −2) = √ (−8) × √ (−2)

= ???

Похоже, мы здесь попались в какую-то ловушку!

Мы можем использовать мнимые числа, но это приводит к неправильному ответу −4

Да, верно…

Правило работает, только если x и y оба больше или равны 0

Итак, мы не можем использовать это правило здесь.

Вместо этого просто сделайте это так:

√ (−8 × −2) = √16 = +4

Почему √xy = √x√y?

Мы можем использовать тот факт, что возведение квадратного корня в квадрат снова возвращает нам исходное значение:

(√a) ² = a

Предполагая, что , не отрицательное!

Мы можем сделать это для xy: (√xy) ² = xy

А также для x и y по отдельности: (√xy) ² = (√x) ² (√y) ²

Используйте a ² b ² = (ab) ²: (√xy) ² = (√x√y) ²

Убрать квадрат с обеих сторон ^{: √xy = √x√y}

Показатель половины

Квадратный корень можно также записать в виде дробной степени от половины:

, но только для x больше или равно 0

Как насчет квадратного корня негативов?

Результат — мнимое число.{- 1}} \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) + c \\ \ end {gather} \]

Что такое квадратный корень из 2x в квадрате?

Что такое квадратный корень из 600?

Математика

Квадратный корень из 600 равен 24,4948974. Чтобы узнать квадратный корень любого числа, вы …

Что такое квадратный корень из 85?

Математика

Я не хочу по ошибке набрать неправильную цифру, поэтому перейдите на csgnetwork.com, чтобы найти точный ответ …

Где квадратный корень из 44 делится на 2?

Математика

Это очень просто. Сначала разделите число 44 на 2, а затем извлеките квадратный корень. Ваш вопрос может быть …

Что такое квадратный корень из 39?

Математика

Квадратный корень из 39 равен 6,244. Вы можете рассчитать это с помощью калькулятора или следовать обычным правилам…

Что такое квадратный корень из 150?

Математика

Найти квадратные корни очень просто. 150 не является точным квадратом, поэтому его квадратный корень будет в десятичных дробях ….

Что такое упрощенный квадратный корень из 40?

Математика

40 = 5 * 23, поэтому лучшее, что вы можете сделать, вычленив квадраты, — это 2 * sqrt [10] …

Что такое квадратный корень из 169?

Математика

169 = 132√169 = 13 Если вы хотите вычислить это самостоятельно, ознакомьтесь с ответом на этот вопрос.1/2 = 1,414 + 2,236 + 1,732 = 5,382 …

Что такое 3x в квадрате плюс 2x в квадрате?

Математика

3 ничего плюс еще 2 — это 5 единиц. 3×2 + 2×2 = 5×2 …

Что такое упрощенный квадратный корень из 48?

Математика

√48 можно выразить как квадратный корень из произведения его множителей. Итак, √48 = √ (2 x 2 x 2 x 2 …

Бесплатный калькулятор квадратного корня

| Math Goodies

Работа с квадратными корнями — увлекательная тема для студентов-математиков, но они могут быть непростыми.Начинающие математики часто полагаются на предположения, например, ошибочно принимают квадрат 3 за 6 только потому, что 6 ощущается как тройка, посчитанная дважды. Но возведение в квадрат предполагает умножение, а не сложение. Когда мы возводим в квадрат 3 (или умножаем 3 на себя), мы получаем 9 — квадратный корень из 9 равен 3.

Квадратные корни не должны быть сложной задачей. На самом деле, легко запомнить таблицу идеальных квадратов и произвести впечатление на учителя. Но работа с несовершенными квадратами — или с числами, квадратные корни которых содержат дроби или десятичные дроби — не всегда бывает так просто.Здесь на помощь приходит наш бесплатный онлайн-калькулятор квадратного корня.

Как использовать наш бесплатный онлайн-калькулятор квадратного корня

Как и некоторые другие наши калькуляторы, этот бесплатный онлайн-калькулятор квадратного корня чрезвычайно прост в использовании. В калькуляторе всего четыре части:

Числовое поле
Кнопка расчета
Кнопка очистки
Поле квадратного корня

Чтобы найти квадратный корень с помощью нашего бесплатного онлайн-калькулятора квадратного корня:

Щелкните ОЧИСТИТЬ, чтобы обновить калькулятор.
Введите значение, квадратный корень которого вы хотите найти, в числовое поле.
Щелкните ВЫЧИСЛИТЬ.
Ваш ответ появится в поле квадратного корня.
Щелкните ОЧИСТИТЬ, чтобы начать заново и найти другое значение.

Другие калькуляторы

Что такое квадратный корень?

Квадратный корень относится к любому числу, которое дает вам исходное число как произведение при умножении на само себя. Квадратные корни, обозначенные символом «√», принадлежат семейству показателей.Квадраты и корни — особые показатели. Любой квадрат x просто возводится в степень ½ или x1 / 2.

Пример

Например, когда вас спрашивают о квадратном корне из 16, вы ищете число, которое даст вам произведение 16 при умножении на само себя. Это число равно 4, потому что 4, умноженное на 4 — или возведенное в степень 2 (математически выражается как 42) — равно 16. 161/2 равно 4.

Работа с идеальными квадратами

Полные квадраты — это положительные числа, квадратные корни которых представляют собой целые числа.Ниже приведены наиболее распространенные способы найти квадратный корень из этих идеальных квадратов.

Повторное вычитание

Вычтите последовательные нечетные числа (1, 3, 5, 7 и т. Д.), Начиная с 1, из числа, квадратный корень которого вы пытаетесь найти, пока не получите 0.

Например:

9 — 1 = 8
8–3 = 5
5 — 5 = 0

Вы выполнили 3 вычитания до 0. Корень квадратный из 9 равен 3.

Основная факторизация

Этот метод состоит из четырех этапов.Давайте пройдемся по каждому из них, чтобы найти квадратный корень из 144.

Разбейте 144 на простые множители.
Объедините похожие факторы.
- (2×2) x (2×2) x (3×3)
Умножьте на один множитель из каждой пары.
Квадратный корень из 144 равен 12.

Несовершенные квадраты: оценка и длинное деление

Повторное вычитание и разложение на простые множители действительно хорошо работают для полных квадратов, а иногда и для несовершенных квадратов. 2} с левой стороны, добавив обе стороны на +1.Затем решите значения x, извлекая квадратные корни из обеих частей уравнения. Как я упоминал ранее, нам нужно прикрепить символ плюс или минус к квадратному корню из константы.

Итак, у меня x = 5 и x = — \, 5 в качестве окончательных ответов , поскольку оба этих значения удовлетворяют исходному квадратному уравнению. Я оставлю это на ваше усмотрение.

Пример 2 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.

Эта проблема очень похожа на предыдущий пример.2}, по одному с каждой стороны уравнения. Мой подход состоит в том, чтобы собрать все квадраты x с левой стороны и объединить все константы с правой стороны. Затем решите относительно x как обычно, как в примерах 1 и 2.

Решения этой квадратной формулы: x = 3 и x = — \, 3.

Пример 4 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.

Две круглые скобки не должны вас беспокоить. Факт остается фактом: все переменные имеют квадратную форму, чего мы и хотим.2} термины слева и константы справа. Наконец, примените операцию извлечения квадратного корня с обеих сторон, и все готово!

Неплохо, правда?

Пример 5 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.

Поскольку член x дважды возводится во вторую степень, это означает, что мне нужно выполнить две операции извлечения квадратного корня, чтобы найти x.

Первый шаг — получить что-то вроде этого: () ² = константа .2} = \ pm \, 6 + 10 на два случая из-за «плюс» или «минус» в 6.

Решите первый случай, когда 6 — это положительное значение .

Решите второй случай, когда 6 — это отрицательное значение .

Решения этого квадратного уравнения: x = 4, x = — \, 4, x = 2 и x = — \, 2. Да, у нас есть четыре значения x, которые могут удовлетворять исходному квадратному уравнению.

Пример 6 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.

Решение :

Пример 7 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.

Решение:

Практика с рабочими листами

Возможно, вас заинтересует:

Решение квадратных уравнений методом факторинга
Решение квадратных уравнений по квадратичной формуле
Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата

Вычислить lim x → 3 √3x-3 / √ (2x-4) -√2

В этой предельной задаче задается функция, и функция формируется путем участия двух иррациональных функций $ \ sqrt {3x} -3 $ и $ \ sqrt {2x-4} — \ sqrt {2} $ в форме отношения .Предел данной иррациональной функции должен оцениваться по мере приближения значения $ x $ к $ 3 $.

$ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} {\ normalsize \ dfrac {\ sqrt {3x} -3} {\ sqrt {2x-4} — \ sqrt {2}}} $

Предел данной иррациональной функции может быть вычислен двумя разными способами. Давайте изучим каждый метод шаг за шагом для оценки предела функции, поскольку $ x $ стремится к $ 3 $.

Фундаментальный метод

Давайте узнаем, как найти предел отношения квадратного корня из $ 3x $ минус $ 3 $ на квадратный корень из $ 2x $ минус $ 4 $ минус квадратный корень из $ 2 $, когда $ x $ приближается к $ 3 $.

Вычислить предел функции

Попробуем вычислить предел этой иррациональной функции при приближении $ x $ к $ 3 $ методом прямой подстановки.

$ = \, \, \, $ \ dfrac {\ sqrt {3 (3)} — 3} {\ sqrt {2 (3) -4} — \ sqrt {2}} $

$ = \, \, \, $ \ dfrac {\ sqrt {9} -3} {\ sqrt {6-4} — \ sqrt {2}} $

$ = \, \, \, $ \ dfrac {3-3} {\ sqrt {2} — \ sqrt {2}} $

$ = \, \, \, $ \ dfrac {0} {0} $

Установлено, что предел данной иррациональной функции неопределен.Таким образом, метод прямой подстановки не рекомендуется для определения предела данной иррациональной функции. Следовательно, мы должны думать об альтернативном методе. 2} {( \ sqrt {2x-4} — \ sqrt {2}) (\ sqrt {3x} +3)}

долл. США

$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} $ $ \ dfrac {3x-9} {(\ sqrt {2x-4} — \ sqrt {2 }) (\ sqrt {3x} +3)}

долл. США

Значение выражения в знаменателе также равно нулю, поскольку значение $ x $ стремится к $ 3 $.Чтобы решить эту проблему, умножьте знаменатель на его рационализирующий коэффициент.

$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} $ $ \ dfrac {3x-9} {(\ sqrt {2x-4} — \ sqrt {2 }) (\ sqrt {3x} +3)} $ $ \ times $ 1 $

$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} $ $ \ dfrac {3x-9} {(\ sqrt {2x-4} — \ sqrt {2 }) (\ sqrt {3x} +3)} $ $ \ times $ $ \ dfrac {\ sqrt {2x-4} + \ sqrt {2}} {\ sqrt {2x-4} + \ sqrt {2}} $

$ = \, \, \, $ $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} $ $ \ dfrac {(3x-9) (\ sqrt {2x-4} + \ sqrt {2 })} {(\ sqrt {3x} +3) (\ sqrt {2x-4} — \ sqrt {2}) (\ sqrt {2x-4} + \ sqrt {2})} $

$ = \, \, \, $ $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} $ $ \ dfrac {(3x-9) (\ sqrt {2x-4} + \ sqrt {2 })} {(\ sqrt {3x} +3) ({(\ sqrt {2x-4})} ^ 2 — {(\ sqrt {2})} ^ 2)} $

$ = \, \, \, $ $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} $ $ \ dfrac {(3x-9) (\ sqrt {2x-4} + \ sqrt {2 })} {(\ sqrt {3x} +3) (2x-4-2)}

долларов

$ = \, \, \, $ $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} $ $ \ dfrac {(3x-9) (\ sqrt {2x-4} + \ sqrt {2 })} {(\ sqrt {3x} +3) (2x-6)}

долларов

$ = \, \, \, $ $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} $ $ \ dfrac {(3x-9) (\ sqrt {2x-4} + \ sqrt {2 })} {(2x-6) (\ sqrt {3x} +3)}

долл. США

Второй множитель как в числителе, так и в знаменателе — это биномы на основе суммы в иррациональной форме.Их значения не равны нулю, поскольку значение $ x $ приближается к $ 3 $. Теперь сосредоточьтесь на упрощении остальных факторов.

$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} $ $ \ dfrac {(3 \ times x-3 \ times 3) (\ sqrt {2x-4 } + \ sqrt {2})} {(2 \ times x-2 \ times 3) (\ sqrt {3x} +3)}

долларов

Теперь отделите общий множитель от членов первого множителя числителя и знаменателя.

$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} $ $ \ dfrac {3 (x-3) (\ sqrt {2x-4} + \ sqrt { 2})} {2 (x-3) (\ sqrt {3x} +3)}

долл. США

$ = \, \, \, $ $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} $ $ \ require {cancel} \ dfrac {3 \ cancel {(x-3)} (\ sqrt {2x-4} + \ sqrt {2})} {2 \ cancel {(x-3)} (\ sqrt {3x} +3)}

долл. США

$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} $ $ \ dfrac {3 (\ sqrt {2x-4} + \ sqrt {2})} { 2 (\ sqrt {3x} +3)}

долл. 2}} $

$ = \, \, \, $ \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} $

Правило L’Hopital’s

$ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} {\ normalsize \ dfrac {\ sqrt {3x} -3} {\ sqrt {2x-4} — \ sqrt {2}}} $

Дифференцируйте иррациональные выражения

Выражения в числителе и знаменателе определены в терминах $ x $.Следовательно, дифференцируйте каждое выражение относительно $ x $, чтобы реализовать правило L’Hospital.

$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} {\ normalsize \ dfrac {\ dfrac {d} {dx} (\ sqrt {3x} -3) } {\ dfrac {d} {dx} (\ sqrt {2x-4} — \ sqrt {2})}}

долларов

Каждое алгебраическое выражение в числителе и знаменателе образовано разностью двух выражений. Производная от разности терминов может быть оценена по разнице их производных в соответствии с правилом разности производных.

$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} {\ normalsize \ dfrac {\ dfrac {d} {dx} (\ sqrt {3x}) — \ dfrac {d} {dx} (3)} {\ dfrac {d} {dx} (\ sqrt {2x-4}) — \ dfrac {d} {dx} (\ sqrt {2})}} $

Согласно правилу производной константы дифференцирование константы равно нулю.

$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} {\ normalsize \ dfrac {\ dfrac {1} {2 \ sqrt {3x}} \ times \ dfrac {d} {dx} (3x) -0} {\ dfrac {1} {2 \ sqrt {2x-4}} \ times \ dfrac {d} {dx} {(2x-4)} — 0}} $

$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} {\ normalsize \ dfrac {\ dfrac {1} {2 \ sqrt {3x}} \ times \ dfrac {d} {dx} (3x)} {\ dfrac {1} {2 \ sqrt {2x-4}} \ times \ dfrac {d} {dx} {(2x-4)}}} $

$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} {\ normalsize \ dfrac {\ dfrac {1} {2 \ sqrt {3x}} \ times \ dfrac {d} {dx} (3x)} {\ dfrac {1} {2 \ sqrt {2x-4}} \ times \ bigg (\ dfrac {d} {dx} {(2x)} — \ dfrac {d} {dx} {(4)} \ bigg)}}

долларов США

$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} {\ normalsize \ dfrac {\ dfrac {1} {2 \ sqrt {3x}} \ times \ dfrac {d} {dx} (3 \ times x)} {\ dfrac {1} {2 \ sqrt {2x-4}} \ times \ bigg (\ dfrac {d} {dx} {(2 \ times x)} — \ dfrac {d} {dx} {(4)} \ bigg)}}

долларов США.

Теперь отделите постоянные множители от членов согласно правилу постоянных множественных производных.

$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} {\ normalsize \ dfrac {\ dfrac {1} {2 \ sqrt {3x}} \ times 3 \ раз \ dfrac {d} {dx} {(x)}} {\ dfrac {1} {2 \ sqrt {2x-4}} \ times \ bigg (2 \ times \ dfrac {d} {dx} {(x )} — \ dfrac {d} {dx} {(4)} \ bigg)}}

долларов

$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} {\ normalsize \ dfrac {\ dfrac {1} {2 \ sqrt {3x}} \ times 3 \ раз \ dfrac {dx} {dx}} {\ dfrac {1} {2 \ sqrt {2x-4}} \ times \ bigg (2 \ times \ dfrac {dx} {dx} — \ dfrac {d} {dx } {(4)} \ bigg)}}

долларов США

Производная переменной по той же переменной равна единице в соответствии с правилом производной переменной по той же переменной.

$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} {\ normalsize \ dfrac {\ dfrac {1} {2 \ sqrt {3x}} \ times 3 \ раз 1} {\ dfrac {1} {2 \ sqrt {2x-4}} \ times (2 \ times 1-0)}}

долларов

Упростить иррациональную функцию в форме отношения

Правило Л’Опиталя успешно применяется один раз. Теперь давайте упростим иррациональную функцию.

$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} {\ normalsize \ dfrac {\ dfrac {1} {2 \ sqrt {3x}} \ times 3} {\ dfrac {1} {2 \ sqrt {2x-4}} \ times (2-0)}}

долларов США

$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} {\ normalsize \ dfrac {\ dfrac {1} {2 \ sqrt {3x}} \ times 3} {\ dfrac {1} {2 \ sqrt {2x-4}} \ times (2)}}

долларов США

$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} {\ normalsize \ dfrac {\ dfrac {1} {2 \ sqrt {3x}} \ times 3} {\ dfrac {1} {2 \ sqrt {2x-4}} \ times 2}}

долларов

$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} {\ normalsize \ dfrac {\ dfrac {1 \ times 3} {2 \ sqrt {3x}}} {\ dfrac {1 \ times 2} {2 \ sqrt {2x-4}}}}

долларов

$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} {\ normalsize \ dfrac {\ dfrac {3} {2 \ sqrt {3x}}} {\ dfrac {1 \ times \ cancel {2}} {\ cancel {2} \ sqrt {2x-4}}}}

долларов США

$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} {\ normalsize \ dfrac {\ dfrac {3} {2 \ sqrt {3x}}} {\ dfrac {1} {\ sqrt {2x-4}}}} 9 0005 долл. США

$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} {\ normalsize \ Bigg (\ dfrac {3} {2 \ sqrt {3x}} \ times \ dfrac {\ sqrt {2x-4}} {1} \ Bigg)}

долларов США

$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} {\ normalsize \ dfrac {3 \ times \ sqrt {2x-4}} {2 \ sqrt {3x } \ times 1}}

долларов

$ = \, \, \, $ \ displaystyle \ large \ lim_ {x \, \ to \, 3} {\ normalsize \ dfrac {3 \ sqrt {2x-4}} {2 \ sqrt {3x}} } $

Оцените предел прямой заменой

Данная иррациональная функция успешно упрощена, и теперь давайте оценим предел упрощенной иррациональной функции, когда $ x $ приближается к $ 3 $ путем прямой подстановки.2}

долларов США

$ = \, \, \, $ \ dfrac {1 \ times \ sqrt {2}} {\ sqrt {2} \ times \ sqrt {2}} $

$ = \, \, \, $ $ \ dfrac {1 \ times \ cancel {\ sqrt {2}}} {\ sqrt {2} \ times \ cancel {\ sqrt {2}}} $

$ = \, \, \, $ \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} $