Некоторые приемы извлечения квадратного корня из числа
Многим старшеклассникам часто приходится сталкиваться с заданиями типа “Сравните числа…” или “Решите уравнение…”, в которых или извлекаемый, но из неимоверно большого числа (настолько большого, что не поможет даже таблица квадратов) корень, либо неизвлекаемый. Конечно, можно воспользоваться калькулятором и не мучиться. Но как же быть с предстоящими экзаменами? Да и на контрольной работе особо техникой не воспользуешься.
Именно этот вопрос может стать прекрасной темой для исследовательской работы.
Исследуем некоторые способы извлечения квадратных корней из различных чисел.
Задачи:
- Познакомиться с историей квадратного корня
- Научиться извлекать квадратные корни без помощи электронно-вычислительной техники
- Познакомить с этими способами учащихся.
Данная тема очень актуальна, так как каждому
выпускнику предстоит сдавать экзамены, а
приобретённые навыки помогут не только на ЕГЭ по
математике, но и на других предметах.
История квадратного корня.
Как мы знаем из определения, квадратный корень из числа а — это такое число, квадрат которого равен а, то есть решения уравнения относительно переменной х:
Квадратным корнем называют также функцию вещественной переменной х, которая каждому ставит в соответствие арифметическое значение корня.
Знак корня происходит из строчной латинской буквы (от латинского radix — корень), сросшейся с надстрочной чертой. Ранее надчеркивание выражения использовалось вместо заключения его в скобки. Так что есть всего лишь видоизменённый способ записи выражения .
Впервые такое обозначение использовал немецкий математик Томас Рудольф в 1525 году.
В ходе работы над данным исследованием можно обнаружить занимательную информацию. Оказывается, существует неофициальный праздник, посвящённый квадратному корню.
День квадратного корня — праздник,
отмечаемый девять раз в столетие: в день, когда и
число, и порядковый номер месяца являются
квадратными корнями из двух последних цифр года
(например, 2 февраля 2004 года: 02.
02.04 или 3 марта 2009
года: 03.03.09). Ближайший такой праздник состоится 4
апреля 2016 года (04.04.16).
Впервые этот праздник отмечался 9 сентября 1981 года (09.09.81). Основателем праздника является школьный учитель Рон Гордон из города Редвуд Сити, штат Калифорния, США. Его дочь с помощью всемирных социальных сетей собрала группы поклонников этого праздника, где каждый может поделиться своим способом отметить эту необычную дату.
Главным блюдом на этом “праздничном столе” обычно являются варёные кубики из овощей и выпечка в форме математического знака квадратного корня.
По объективным математическим причинам это праздник отмечается строго девять раз в столетие (семь раз в первой половине века и дважды — во второй), всегда в одни и те же дни:
- января ХХ01 года
- февраля ХХ04 года
- марта ХХ09 года
- апреля XX16 года
- мая ХХ25 года
- июня ХХ36 года
- июня ХХ49 года
- августа ХХ64 года
- сентября ХХ81 года.
При этом интересно заметить, что промежуток (в годах) между праздниками составляет непрерывную последовательность нечётных чисел: 3, 5, 7,9, 11, 13, 15, 17, 19.
Методы извлечения квадратного корня.
Рассмотрим несколько методов извлечения квадратного корня. Начнём с алгоритма для извлечения квадратного корня из целого и дробного числа; арифметического способа; метода грубой прикидки. Далее рассмотрим два замечательных (и весьма удобных) метода Герона.
Первый метод:
Алгоритм для извлечения квадратного корня из целого числа нацело. Данный алгоритм требует вычислений в столбик. Изучим предложенный алгоритм, а затем применим для нескольких чисел.
Разбить число на группы по две цифры справа налево.
Для первой группы (она может в итоге состоять из двухзначного и однозначного числа) подобрать такую цифру, чтобы её квадрат был наибольшим и не превосходящим данное число.
Из первой группы вычитается квадрат найденного
числа, а само число будет первым в ответе.
Далее работаем столбиком, то есть к остатку (если он есть) сносим следующую группу.
Самый сложный. Помните то число, которое было первым в ответе? Его необходимо умножить на 2, а затем справа к нему приписать ещё одну цифру, такую, чтобы произведение полученного числа на приписанную цифру было наибольшим, но не превосходило снесённое число. Эта самая цифра будет следующей в ответе.
Затем мы вычитаем столбиком полученное число и сносим следующую группу, если такая есть. И повторяем шаги 4-5, только берём уже все число, которое выходит в ответе.
Записываем ответ.
Без примера разобраться с этим алгоритмом трудно. Начнём с числа попроще, с табличного значения.
Пример: вычислим .
Разбиваем число: 31’36
Для первой группы (31) подбираем цифру, чтобы её квадрат был максимален, но не превосходил группу. В данном случае это число 5, которое первым пойдёт в ответ.
, Пусть цифра – 6;
Пример: возьмём число повнушительнее, например
Разбиваем число:
Для первой группы (29) подбираем цифру, чтобы её
квадрат был максимален, но не превосходил группу.
В данном случае это число 5, которое первым пойдёт
в ответ.
а) , Пусть цифра – 4;
б) , Пусть цифра – 7;
Если корень не извлекается из числа нацело, то нужно пользоваться тем же самым алгоритмом, добавив справа от исходного числа дробные группы ’00’ (чем больше групп, тем точнее результат). Если необходимо вычислить корень квадратный из дробного числа, то также пользуются данным алгоритмом, только дробную часть разбивать на группы необходимо слева направо, считая от запятой.
Второй метод:
Для относительно небольших чисел существует арифметический способ вычисления их квадратного корня. Ну, мало ли на экзамене переволнуешься, и забудешь корень квадратный из 4. Бывает и не такое.
В чем суть метода. Для квадратов чисел справедливы следующие равенства:
1=12
1+3=22
1+3+5=32
То есть найдём, например: .
25-1=24 (1)
24-3=21 (2)
21-5=16 (3)
16-7=9 (4)
9-9=0 (5)
В принципе, этим способом можно найти целую
часть квадратного корня для чисел, из которых
корень нацело не выносится.
=2 (и остаток 4)
8-1=7(1)
7-3=4(2)
Третий метод:
Метод грубой прикидки может быть использован при наличии под рукой таблицы квадратов.
Например, вам необходимо грубо оценить значение .
Тогда можно поступить следующим образом. Нужно умножить исходное число на 100 (т.е. ) и найти ближайшие к полученному числу значения по таблице. В данном случае, это числа 484 и 529. Квадратными корнями для этих чисел являются 22 и 23. , , тогда
Аналогично, для больших чисел: найдём .
Четвёртый метод:
Древнегреческий учёный Герон, живший ещё в I веке нашей эры, придумал метод вычисления квадратных корней, который, возможно, используется в ваших собственных калькуляторах. Суть первого метода проще всего понять сразу на примере.
Найдём. Число не имеет рационального корня,
поэтому возьмём корень с очень малой
погрешностью. Это 1369, имеющее корень 37.
Разделим 1360 на 37. Получается .
Теперь сложим 37 и , получается .
Разделим результат на 2, получим . Безусловно, мы получаем число с погрешностью, но эту погрешность можно уменьшить, если повторить все операции ещё раз.
Второй метод Герона ещё проще, чем первый.
В этом случае, исходное число представляется как . где а2 – ближайший точный квадрат, и считают по формуле
Например,
По моему мнению, методы Герона являются самыми простыми для понимания школьников, а также очень эффективными, так как имеют самую маленькую погрешность. Успехов на экзамене!
Формулы корней. Свойства квадратных корней. — МегаЛекции
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…» )
В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень.
Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней, каковы свойства корней, и что со всем этим можно делать.
Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями — это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да…
Начнём с самой простой. Вот она:
Напоминаю (из предыдущего урока): а и b — неотрицательные числа! Иначе формула смысла не имеет…
Это свойство корней, как видите простое, короткое и безобидное. Но с помощью этой формулы корней можно делать массу полезных вещей! Разберём на примерах все эти полезные вещи.
Полезная вещь первая. Эта формула позволяет нам умножать корни.
Как умножать корни?
Да очень просто.
Прямо по формуле. Например:
Казалось бы, умножили, и что? Много ли радости?! Согласен, немного… А вот как вам такой пример?
Из множителей корни ровно не извлекаются. А из результата — отлично! Уже лучше, правда? На всякий случай сообщу, что множителей может быть сколько угодно. Формула умножения корней всё равно работает. Например:
Так, с умножением всё ясно, зачем нужно это свойство корней — тоже понятно.
Полезная вещь вторая. Внесение числа под знак корня.
Как внести число под корень?
Предположим, что у нас есть вот такое выражение:
Можно ли спрятать двойку внутрь корня? Легко! Если из двойки сделать корень, сработает формула умножения корней. А как из двойки корень сделать? Да тоже не вопрос! Двойка — это корень квадратный из четырёх!
Вот и пишем:
Корень, между прочим, можно сделать из любого неотрицательного числа! Это будет корень квадратный из квадрата этого числа.
3 — корень из 9. 8 — корень из 64. 11 — корень из 121. Ну, и так далее.
Конечно, расписывать так подробно нужды нет. Разве что, для начала… Достаточно сообразить, что любое неотрицательное число, умноженное на корень, можно внести под корень. Но — не забывайте! — под корнем это число станет квадратом самого себя. Это действие — внесение числа под корень — можно ещё назвать умножением числа на корень. В общем виде можно записать:
Процедура простая, как видите. А зачем она нужна?
Как и любое преобразование, эта процедура расширяет наши возможности. Возможности превратить жестокое и неудобное выражение в мягкое и пушистое). Вот вам простенький пример:
Как видите, свойство корней, позволяющее вносить множитель под знак корня, вполне годится для упрощения.
Кроме того, внесение множителя под корень позволяет легко и просто сравнивать значения различных корней. Безо всякого их вычисления и калькулятора! Третья полезная вещь.
Как сравнивать корни?
Это умение очень важно в солидных заданиях, при раскрытии модулей и прочих крутых вещах.
Сравните вот эти выражения. Какое из них больше? Без калькулятора! С калькулятором каждый… э-э-э… короче, каждый справится!)
Так сразу и не скажешь… А если внести числа под знак корня?
и
Запомним (вдруг, не знали?): если число под знаком корня больше, то и сам корень — больше! Отсюда сразу правильный ответ, безо всяких сложных вычислений и расчётов:
и, следовательно:
Здорово, да? Но и это ещё не всё! Вспомним, что все формулы работают как слева направо, так и справа налево. Мы пока формулу умножения корней слева направо употребляли. Давайте запустим это свойство корней наоборот, справа налево. Вот так:
И какая разница? Разве это что-то даёт!? Конечно! Сейчас сами увидите.
Предположим, нам нужно извлечь (без калькулятора!) корень квадратный из числа 6561.
Кое-кто на этом этапе и падёт в неравной борьбе с задачей… Но мы упорные, мы не сдаёмся! Полезная вещь четвёртая.
Воспользуйтесь поиском по сайту:
Квадратный корень
Квадратный корень — это число, которое можно умножить само на себя, чтобы получить значение под радикалом (также называемым основанием). Квадратный корень обозначается следующим образом:
На приведенном выше рисунке z — это квадратный корень из x. Мы также можем записать это как «z, возведенное в степень 2, равно x» следующим образом:
z 2 = x
Распознавание идеальных квадратов полезно для решения уравнений, а также для упрощения радикальных выражений. Важно отметить, что квадратный корень на самом деле имеет два решения: положительное и отрицательное. Это потому, что отрицательное число, умноженное само на себя, является положительным числом (и положительное число, умноженное само на себя, также является положительным числом).
Следовательно, квадратный корень из 9равно либо -3, либо 3, поскольку и 3 × 3, и -3 × -3 равны 9. Это особенно важно помнить при решении алгебраических уравнений с квадратными корнями. Однако при написании с подкоренным символом мы обычно просто даем положительное решение.
Примеры
1. Упростить:
Используя одно из свойств радикалов:
В этом случае знание того, что 4 является полным квадратом, позволило нам упростить радикал.
2. Решите: 2x 2 — 8 = 0
Тот факт, что х должен равняться как положительному, так и отрицательному числу 2, станет более очевидным, если мы решим это уравнение, разложив его на множители:
3 либо (x + 2), либо (x — 2), а затем решить уравнение, используя оставшийся член. Если мы сначала решим x + 2 = 0, мы получим x = -2. Решение для x — 2 = 0 дает нам 2, показывая нам, что есть два решения.
Найти квадратный корень из полного квадрата относительно просто.
Пока вы распознаете несколько идеальных квадратов, вы, вероятно, сможете возвести в квадрат несколько близких чисел и довольно быстро найти решение.
Однако вычисление квадратного корня из неполных квадратов намного сложнее, и обычно от нас этого не требуется. Если нужно, мы можем вычислить квадратный корень, угадывая значения между известными полными квадратами.
Пример
1. Оценка:
Мы знаем, что квадратный корень из 4 равен 2, а квадратный корень из 1 равен 1. Итак, мы знаем, что квадратный корень из 2 должен быть между 1 и 2. Так как 2 ближе к 1, чем к 4 (мы пропустили 3, потому что это тоже не полный квадрат), мы можем предположить, что значение его квадратного корня ближе к квадратному корню из 1, чем к квадрату корень из 4, поэтому он должен быть меньше 1,5.
После этого мы могли бы продолжать угадывать значения и вручную умножать их друг на друга, чтобы все ближе и ближе приближаться к 2, но это очень утомительно. Квадратный корень из 2 — это иррациональное число, первые цифры которого равны 1,41421.
Существуют также алгоритмы вычисления квадратного корня, но маловероятно, что вам потребуется вычислять квадратный корень с точностью вручную, поэтому в большинстве случаев, когда калькулятор недоступен, должно быть достаточно приближения.
Что такое n-й корень?
Что такое энный корень числа?
Содержание
- Что такое энный корень числа?
- Корень n-й степени в алгебре. Объяснение
- Пример корня n-й степени
- Как найти корень n-й степени числа
- Свойства корня n-й степени
- Как умножать и делить функции корня n-й степени.
- Как складывать и вычитать энные корневые функции.
- n-й корень из единицы
- n-й корень Excel
«n-й корень» числа — это число, которое умножается само на себя «n» раз, чтобы получить начальное значение.
n-й корень представлен символом n √ .
Чтобы найти n-й корень числа, мы должны найти это число, чье n-кратное умножение само на себя дает число, для которого мы должны найти n-й корень.
Следовательно, число, умноженное само на себя n раз, является корнем n-й степени данного числа.
Здесь n может быть любым числом 2, 3, 4, 5 …… и т. д.
Объяснения n-го корня в алгебре
Например, найти n-й корень из «a» или можно сказать найти n √a
Это всего лишь (1/n) -й корень числа, такой же, как квадратный корень, тогда это 1/2 корня и кубический корень, тогда это 1/3 корня. Следовательно, n-й корень может быть представлен как 1/n экспоненциально.
В показателях мы можем представить это как n √a = a 1/n
2 nd корень квадратный корень √y x √y = y 1/2 x y 1/2 = y
3 rd корень кубический корень ∛y x 7 ∛y x y ∛ x y 1/3 x y 1/3 = y
n th корень является n-м корнем.
n √y x n √y x n √y x…… n √y (n раз) = y
Вместо того, чтобы использовать 4 th , и т. д. обычно можно использовать 0,00009, 5 900 п й .
Использование № й корень это общий способ записи корней это может быть 2 й корень (квадратный корень), 3 й корень (кубический корень), 4 й корень, 5 й корень и т.д.
| Примеры корня | Имя корня | Уравнение |
|---|---|---|
| Второй корень | Квадратный корень | √y x √y = y1/2 x y1/2 = y |
| Корень 3-й степени | Кубический корень | ∛y x ∛y x ∛y = y1/3 x y1/3 x y1/3 = y |
| n-й корень | n-й корень | n√y x n√y x n√y x…… n√y (n раз) = y |
Пример корня n-й степени
Как найти корень n-й степени числа
Пример: Найдите «n» в этом вопросе.
n √32 = 2
Решение: Значение n √32 равно 2. Таким образом, мы должны разложить 32 на 2.
32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
n √32 = 2
n √2 × 2 × 2 × 2×2 = 2
2 здесь умножается 5 раз, чтобы получить 32.
Следовательно, значение n равно 5.
n
th Свойства корняКак умножить и разделить n-ю корневую функцию.
Свойства умножения и деления
Как складывать и вычитать энные корневые функции.
Свойства сложения и вычитания
Связь между корнями и показателями Корень с одной стороны от равенства «=» может быть заменен на показатель степени с другой стороны от равенства «=».
Если = n √y, то x = y n .
Например: n √81 = 3
итак, 81 = 3 4 .
n-й корень из единицы
n-й корень из единицы — это комплексное число, которое равно 1, когда оно возведено в степень положительного целого числа.