2. Методы нахождения корней уравнений
Как известно, компьютеры в первую очередь начали применять для выполнения трудоемких расчетов и для получения хотя бы приблизительных значений каких-либо величин при решении таких задач, для которых получить точное аналитическое решение либо невозможно, либо нецелесообразно. Примером таких задач являются задачи на уточнение корней уравнений. При их решении используют различные численные методы. Здесь представлены три метода уточнения корней уравнений, используя которые можно находить корни уравнений с требуемой точностью.
Очень
часто на практике приходится решать
уравнения вида f(x)=0,
где функция f(x) определена
и непрерывна в интервале а < х < b.
Под решением уравнения понимают
нахождение некоторого значения х0,
которое обращает функцию f(x)
в ноль. Значение х0 и называется корнем уравнения f(x)=0.
Если функция представляет собой многочлен, то уравнение f(x)=0 называют алгебраическим. Если же в функцию входят элементарные функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и пр.), то такое уравнение называют трансцендентным.
Метод половинного деления, или метод деления отрезка пополам (дихотомии), чрезвычайно прост, и его алгоритм легко реализуется на ЭВМ.
Пусть необходимо решить уравнение f(х) = 0, где функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b], и только один корень х0 заключен в том же интервале. Таким образом, функция f(х) будет знакопеременной на концах отрезка [а; b] (рис. 2.1). Математически это можно записать как f(a)f(b)<0. Разделим отрезок [а; b] пополам, т. е. найдем и вычислим значение функции f(x) в этой точке.
Если окажется, что f(x) = 0, то х
корень уравнения.
Если f(x)0,
то выбираем ту половину отрезка [а; х] или [х; b], на концах которой
функция f(x)
имеет противоположные знаки. На рис.
2.1 это отрезок [х; b]. Половина
отрезка, не содержащая корня [а; x],
отбрасывается. Это означает, что левая
граница интервала перемещается в точку
деления пополам (a=x).Y f(b)
y=f(x)
a x b
x0 X
f(x)
Рис. 2.1. Геометрическое представление метода половинного деления
При повторном
делении производятся те же самые
операции: новый отрезок [а; b]
делится пополам, вычисляется значение
функции в точке деления f(x)
и определяется отрезок, содержащий
истинный корень х0.
Процесс
деления продолжают до тех пор, пока
длина отрезка, содержащего корень, не
станет меньше некоторого наперед
заданного числа
(точности) или пока значение функции в
точке деления y=f(x)
превышает по
абсолютной величине.
Ввод границ интервала a, b
и точности Epsz = f(a)
x = (a+b) /2
y = f(x)
y*z
да
> 0
нет
a = x
b = x
z = y
Повторять, пока ba > Eps
Вывод x, f(x)
Рис.
2.2. Структурограмма метода половинного
деления (метод дихотомии)
Алгоритм метода половинного деления приведен на рис. 2.2. Отметим, что выделение знакопеременного интервала на основе вычисления произведения f(a)f(x) не является оптимальным, так как необходим лишь знак этого произведения. Поэтому разумнее определять знак на основе использования логических функций сравнения > или <, а также логических функций умножения и сложения: “и“ (&&) и “или“ (||). Попробуйте самостоятельно определить вид такого «логического» перемножения. Учтите, что возможны два варианта знакопеременности: на левой границе – минус, на правой – плюс, и наоборот.
Научитесь решать уравнения, извлекая квадратный корень
Часть 1
В этом видео мы рассмотрим решение уравнений, извлекая квадратный корень.
Например:
Если нам дано уравнение
, мы можем найти x, взяв квадратный корень из обеих частей.
У нас останется только x. Однако квадратный корень из 9 — это не просто 3. Он может быть положительным или отрицательным 3. Итак,
Если бы у нас было что-то более сложное, например
, тогда нам сначала нужно было бы получить сам по себе. Итак, сначала добавьте 5 к обеим сторонам, чтобы изолировать . Теперь нам осталось. Затем извлеките квадратный корень из обеих сторон
Часть 2
В этом видео мы собираемся более подробно рассмотреть решение уравнений путем извлечения квадратного корня.
Например:
Если нам дано уравнение
, мы можем сначала извлечь квадратный корень из обеих частей.
Остается
Затем вычтите 5 с обеих сторон и получите
и
.
Это приводит нас к окончательному ответу
. Если бы у нас было что-то более сложное, например
, то нам сначала пришлось бы получить само по себе. Итак, сначала добавьте 3 к обеим сторонам, чтобы изолировать . Теперь нам осталось. Затем извлеките квадратный корень из обеих сторон
Вычтите 2 из обеих сторон
и
Итак
Примеры решения уравнения путем извлечения квадратного корня
Пример 1
Каковы решения ?
Найдите квадратный корень из обеих частей.
Мы можем разбить это на:
Окончательный ответ:
Наши решения:
и
Пример 2
Каковы решения ?
Во-первых, давайте вычтем обе стороны
Затем найдем, извлекая квадратный корень из обеих сторон.
Итак, у нас есть два ответа:
и
Стенограмма видеоурока. Часть 1
Давайте рассмотрим решение уравнений методом извлечения квадратных корней.
Если у нас есть это уравнение:
Чтобы найти значение , мы должны получить квадратный корень.
Сложность здесь заключается в извлечении квадратного корня из .
Потому что он может быть не только положительным, но и отрицательным.
Итак, у нас есть два ответа:
и
Давайте посложнее.
Чтобы решить эту проблему, мы должны сначала уйти сами по себе.
Итак, давайте избавимся, добавив обе части уравнения.
Таким образом, наши решения
{}
Также возможно, что мы получим решение, которое не сработает.
На этом остановимся.
Наши окончательные ответы:
и
. Давайте еще один
. Мы можем разбить это на:
Я решил написать это, потому что квадратный корень возможен.
Итак, наш ответ
Наши решения:
и
Стенограмма видеоурока – Часть 2
Давайте более подробно рассмотрим решение квадратных уравнений методом извлечения квадратного корня.
Напомню:
Если у нас есть , чтобы решить это
Таким образом, наш набор решений равен
{}
Мы могли бы использовать тот же метод, если у нас есть
Вместо умножения, давайте просто получим квадратные корни из обе стороны.
Теперь давайте получим значение
Итак, у нас есть два ответа:
и
Наш набор решений составляет
{}
Давайте посмотрим на этот один
Давайте сделаем то же самое
, так что мы имеем
и
Наше решение набор
{}
и.
Давайте составим другое уравнение, такое как
Чтобы решить это, мы должны сначала избавиться от .
Итак, у нас есть два ответа:
и
Наш набор решений:
{}
Давайте посмотрим на этот
Давайте посмотрим, что произойдет, когда мы решим это
Поскольку мы не можем получить квадратный корень из , мы оставим его как:
Затем изолируем
Это уже могут быть наши ответы.