Косинус угла и синус: Синус, косинус, тангенс и котангенс

Синус, косинус, тангенс угла. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения 9 класс онлайн-подготовка на

Тема 30.

Синус, косинус, тангенс угла. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения.

Введем прямоугольную систему координат Oxy и построим полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, расположенную в первом и втором квадрантах. Назовем ее единичной полуокружностью. Из точки O проведем луч h, пересекающий единичную полуокружность в точке M(x;y).

Обозначим буквой α угол между лучом hи положительной полуосью абсцисс (если луч h совпадает с положительной полуосью абсцисс, то будем считать, что α = 0°).

Если угол α острый, то из прямоугольного ∆DOM:

имеем sinα=MDOM , cosα=ODOM. Но OM = 1, MD = x, OD = y, поэтому sin α = y, cos α = x

.

Итак, синус острого угла α равен ординате у точки М, а косинус угла α — абсцисса x точки M. Если угол α прямой, тупой или развернутый или α = 0°, то синус и косинус угла α также определим по этим формулам.

Таким образом, для любого угла α из промежутка 0° ≤ α ≤ 180° синусом угла α называется ордината y точки М, а косинусом угла α — абсцисса x точки М. Так как координаты (x; y) точек единичной полуокружности заключены в промежутках 0 ≤ y ≤ 1, -1 ≤ x ≤ 1, то для любого α из промежутка 0° ≤ α ≤ 180° справедливы неравенства 0 ≤ sin α ≤ 1, -1 ≤ cos α ≤ 1.

Найдем значения синуса и косинуса для углов 0°, 90°, 180°. Для этого рассмотрим лучи OA, OC и OB, соответствующие этим углам. Так как точки

А, С и В имеют координаты А(1; 0), С(0; 1), В(-1; 0), то

sin 0° = 0, sin 90° = 0, sin 180° = 0

cos 0° = 1, cos 90° = 0, cos 180° = -1.

Тангенсом угла α(α ≠ 90°) называется отношение sinαcosα, т.е. tgα=sinαcosα

При α = 90° tg α не определен, поскольку cos 90° = 0, и знаменатель обращается в ноль.

tg 90° = 0, tg 180° = 0.

Котангенсом угла α(α ≠ 0°,α ≠ 180°) называется отношение cos⁡αsin⁡α, т.е. ctgα=cos⁡αsin⁡α

При α = 0° и α = 180° сtg α не определен, поскольку

sin⁡ 0° = 0 sin⁡ 180° = 0

ctg 90° = 0

Вернемся к нашей единичной полуокружности АСВ с центром О. Эта полуокружность является дугой окружности, уравнение которой имеет вид x² + y² = 1. Подставив сюда выражения для х и у получим равенство sin^2⁡α + cos^2⁡α = 1, которое выполняется для любого α из промежутка 0° ≤ α ≤ 180°. Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством.

Справедливы также следующие тождества:

sin⁡ 90° — α = cos⁡ α, cos⁡ 90° — α = sin⁡ α при 0° ≤ α ≤90°

sin⁡ 180° —

α = sin⁡ α, cos⁡ 180° — α = — cos⁡ α при 0° ≤ a ≤ 180°.

Они называются формулами приведения.

Рассмотрим примеры:

1. Найти cos⁡ α если sin⁡α=32.

   sin²α + cos²α = 1

   322+cos2α=1

   34+cos2α=1

   cos2α=1-34

   cos2α=14

   cosα=±12

   Ответ: ±12

2. Найти sin⁡ 120°, cos⁡ 120°, tg 120°

   sin⁡120°=sin⁡180°-60°=sin⁡60°=32

   cos⁡120°=cos⁡180°-60°=-cos⁡60°=-12

   tg120°=sin⁡120°cos⁡120°=32÷-12=-3

Синус и косинус угла — matematika

w3.org/1999/xhtml» align=»left»> Синус и косинус угла Что же такое синусы и косинусы углов? Все это особые тригонометрические единицы углов, которые показывают отношения соответствующих катетов (сторон прямого угла прямоугольного треугольника) к гипотенузе. Синус показывает отношение противоположного катета к гипотенузе этого же треугольника, а вот косинус – то же отношение, но уже рядом расположенного катета к гипотенузе. Это означает, что колебание значений этих функций не может превысить по модулю единицы: ни один катет не может быть длиннее гипотенузы. Однако сейчас интересен совсем другой момент. Этот момент выражается множеством сложных тригонометрических формул и обозначает произведение синусов и косинусов разных противоположных углов прямоугольного треугольника. Первый вопрос – это произведение синусов углов прямоугольного треугольника. Оно выражается формулой, в которой разность косинусов (первый косинус – разности углов, второй – их суммы) делится на 2. Произведение синусов вычисляется именно таким методом и полезно для упрощения той или иной функции. Произведение синуса на косинус вычисляется немного иначе. В этом случае сумма синусов (первый – суммы углов, второй – их разности) делится на 2. Произведение синуса на косинус, которое берется от одного и того же угла высчитывать приходится достаточно редко, однако и для этой цели можно воспользоваться этой формулой. Стоит заметить лишь то, что произведение синуса на косинус, берущееся от одного и того же угла будет равняться поделенному на два синусу двойного угла, так как синус любого угла в ноль градусов приравнивается к тому же самому нулю. Конечно же, это не все действия, которые возможно выполнить, задействовав синус. Произведения могут быть высчитаны и при участии тангенсов, и других тригонометрических функций. Однако формулы будут уже совершенно другие, куда более простые при использовании функций одного угла и немного более сложные при подсчетах с применением функций различных углов. Произведение синусов с тангенсами и котангенсами одного угла удачно вписываются в формулы, выражающие соотношения этих функций с синусом и косинусом. Синус произведения угла путем умножения его на целое число выражается более сложными для запоминания формулами. Это зависит от того, на какое число помножен угол – на четное или нечетное. К примеру, синус простого двойного угла равен двойке, поделенной на сумму тангенса и котангенса угла. Синус тройного угла равен разности трех синусов угла с четырьмя синусами этого же угла в кубе. Синус произведения угла на 4 равен произведению косинуса на разность четырех синусов угла с восемью синусами в кубе.

Определения синуса и косинуса — Концепция

Определения синуса и косинуса прямоугольного треугольника применимы только к острым углам, поэтому необходимо более полное определение. Точка, в которой крайняя сторона пересекает единичную окружность (x, y), является основой для этого определения. Поскольку радиус (и, следовательно, гипотенуза прямоугольного треугольника) равен 1, знаменатели косинус = соседний / гипотенуза и синус = противоположный / гипотенуза также равны 1. Таким образом, определение синуса — это y = синус и x = косинус.

синус косинус определение синуса и косинуса прямоугольного треугольника углы в стандартном положении единица круг определения синуса и косинуса

Я хочу поговорить о чем-то действительно важном определении синуса и косинуса. Теперь вы, возможно, помните из геометрии определение синуса и косинуса прямоугольного треугольника, которое начинается с прямоугольного треугольника, и мы обозначим 3 стороны x, y и z, острый угол здесь — тета, а это прямой угол. Мы определили косинус теты как сторону, примыкающую к тете, деленную на гипотенузу. И под соседним мы подразумеваем сторону, которая находится рядом с тета, это гипотенуза, длинная сторона прямоугольного треугольника, и поэтому это означает, что x больше z. Синус определяется как сторона, противоположная тете y относительно гипотенузы, поэтому y больше z.

Проблема с этим определением в том, что оно работает только для острых углов. Это означает, что тета должна быть между 0 и 90 градусами вправо, иначе этот треугольник не будет иметь смысла, поэтому одна из вещей, которую мы делаем в предварительном исчислении, — расширяем это определение, чтобы оно включало все углы. Хорошо, вот как выглядит угол в стандартном положении. В стандартном положении вы рисуете угол так, чтобы его вершина находилась в начале координат на плоскости координат. Это начальная сторона, это конечная сторона, и вы можете думать об угле как о вращении, как если бы конечная сторона начиналась здесь и вращалась на угол тета, заканчивающийся здесь.
Теперь прибавьте к этому углу в стандартном положении единичную окружность, окружность с радиусом 1 x в квадрате плюс у в квадрате равно 1, здесь это окружность. Теперь, чтобы сориентироваться, когда у вас есть радиус окружности 1, он пройдет через точку 1, 0 пройдет через точку 0, 1 минус 1, 0 и 0 минус 1. Тот же угол, который мы хотим отметить точка, в которой крайняя сторона пересекает единичную окружность. Эта точка будет иметь координаты x, y, мы определяем косинус как значение x и синус как значение y. Эта точка, конечно, будет уникальной, она будет однозначно зависеть от тета угла, поэтому для разных тета углов вы получите разные значения синуса и косинуса, но эта идея здесь позволит нам измерить синус и косинус для любого угла вообще. . Это сработает для острых углов, когда тета находится здесь в первом квадранте.
Это будет работать для 0 градусов, 90 градусов и любого другого угла, так что сила определений единичного круга заключается в том, что они работают для всех углов, которые мы будем использовать для остальной части курса тригонометрии.

тригонометрия — Почему синус/косинус угла равен его дополнению?

спросил 6 лет, 7 месяцев назад

Изменено 3 года, 5 месяцев назад

Просмотрено 3к раз

$\begingroup$

Я только что получил тригонометрический текст и изучал закон синусов и косинусов, чтобы решать треугольники, отличные от прямоугольных. Что-то, что я нашел странным при изучении доказательств этих теорем, — это утверждения о том, что синус / косинус угла равен его дополнению. Это не кажется мне интуитивным, и мне трудно понять, как синус угла 45 градусов может равняться синусу угла 135 градусов. Может кто-нибудь объяснить мне эту концепцию?

Спасибо

• тригонометрия

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Не верно для косинуса.

$\cos (\theta) = -\cos (180-\theta)$

Самый простой способ изучить эти функции — начать с единичного круга. Нарисуйте окружность радиусом 1 с центром в начале координат. Рисовать в радиусе. $\theta$ — это угол между положительной осью x и вашим радиусом, измеренный против часовой стрелки от положительной оси x.

Координата Y, где этот радиус пересекает окружность, равна $\sin\theta$, координата x равна $\cos\theta$.

Начиная с этой структуры, должно быть немного яснее, что $\sin(180-\theta)=\sin(\theta)$.

Если вы исходите из закона синусов. Если у вас есть $\треугольник ABC$, то площадь $\треугольника ABC = (mAB)(mAC)\sin A$

Если построить точку D так, что $\угол DAC$ является дополнительным к $\углу BAC $ и $mAD = mAB$, то DB параллелен AC и площадь $\треугольника DAC$ = площадь $\треугольника BAC$.

площадь $\треугольника ABC = (mAB)(mAC)\sin A$ = площадь $\треугольника ADC = (mAD)(mAC)\sin \sup A$

$\sin A = \sin \sup

австралийских долларов

$\endgroup$

$\begingroup$

Как и многие вещи в тригонометрии, здесь есть несколько подходов. Я не знаю вашего триггерного фона, поэтому буду максимально простым.

Подход к единичной окружности

Единичная окружность — это окружность с центром $(0,0)$ и радиусом $1$. комментарий мечтателя к вашему исходному вопросу содержит хорошую картинку.