Котангенс 65: Таблица котангенсов, прочитать полную таблицу котангенсов

Сторона, прилегающая к углу, равна 15, а гипотенуза треугольника равна 17, поэтому:

[латекс] \ begin {align} \ cos \ left (\ alpha \ right) = \ frac {\ text {смежный}} {\ text {hypotenuse}} = \ frac {15} {17} \ end {align} [/ латекс]

Попробуйте

Для треугольника, показанного на рисунке 4, найдите значение [latex] \ text {sin} t [/ latex].

Рисунок 4

[латекс] \ frac {7} {25} [/ латекс]

Взаимосвязь углов и их функций

При работе с прямоугольными треугольниками применяются одни и те же правила независимо от ориентации треугольника.Фактически, мы можем оценить шесть тригонометрических функций любого из двух острых углов в треугольнике на рисунке 5. Сторона, противоположная одному острому углу, является стороной, смежной с другим острым углом, и наоборот.

Рис. 5. Сторона, прилегающая к одному углу, противоположна другой.

Нас попросят найти все шесть тригонометрических функций для заданного угла в треугольнике. Наша стратегия — сначала найти синус, косинус и тангенс углов. Затем мы можем легко найти другие тригонометрические функции, потому что мы знаем, что величина, обратная синусу, является косекансной, обратная величина косинуса — секущей, а обратная величина касательной — котангенсом.

Как сделать: учитывая длины сторон прямоугольного треугольника, вычислите шесть тригонометрических функций одного из острых углов.

1. При необходимости нарисуйте прямоугольный треугольник и обозначьте полученный угол.
2. Определите угол, прилегающую сторону, сторону, противоположную углу, и гипотенузу прямоугольного треугольника.
3. Найдите нужную функцию:
   • синус как отношение противоположной стороны к гипотенузе
   • Косинус как отношение смежной стороны к гипотенузе
   • касательная как отношение противоположной стороны к соседней стороне
   • секанс как отношение гипотенузы к смежной стороне
   • косеканс как отношение гипотенузы к противоположной стороне
   • котангенс как отношение соседней стороны к противоположной

Пример 2: Оценка тригонометрических функций углов, отличных от стандартного положения

Используя треугольник, показанный на рисунке 6, оцените [latex] \ sin \ alpha [/ latex], [latex] \ cos \ alpha [/ latex], [latex] \ tan \ alpha [/ latex], [latex] \ sec \ alpha [/ latex], [latex] \ csc \ alpha [/ latex] и [latex] \ cot \ alpha [/ latex].

Рисунок 6

[латекс] \ begin {align} & \ sin \ alpha = \ frac {\ text {напротив} \ alpha} {\ text {hypotenuse}} = \ frac {4} {5} \\ & \ cos \ alpha = \ frac {\ text {примыкает к} \ alpha} {\ text {hypotenuse}} = \ frac {3} {5} \\ & \ tan \ alpha = \ frac {\ text {напротив} \ alpha} {\ text {примыкает к} \ alpha} = \ frac {4} {3} \\ & \ sec \ alpha = \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {примыкает к} \ alpha} = \ frac {5} { 3} \\ & \ csc \ alpha = \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {напротив} \ alpha} = \ frac {5} {4} \\ & \ cot \ alpha = \ frac {\ text {примыкает к} \ alpha} {\ text {напротив} \ alpha} = \ frac {3} {4} \ end {align} [/ latex]

Попробуйте

Используя треугольник, показанный на рисунке 7, оцените [latex] \ sin t [/ latex], [latex] \ cos t [/ latex], [latex] \ tan t [/ latex], [latex] \ sec t [ / latex], [латекс] \ csc t [/ latex] и [латекс] \ cot t [/ latex].

Рисунок 7

[латекс] \ begin {align} & \ sin t = \ frac {33} {65}, \ cos t = \ frac {56} {65}, \ tan t = \ frac {33} {56}, \ \ & \ sec t = \ frac {65} {56}, \ csc t = \ frac {65} {33}, \ cot t = \ frac {56} {33} \ end {align} [/ latex]

Нахождение тригонометрических функций специальных углов по длинам сторон

Мы уже обсуждали тригонометрические функции в связи с особыми углами на единичной окружности. Теперь мы можем использовать эти отношения для оценки треугольников, содержащих эти особые углы.\ circ [/ latex] треугольник, который также можно описать как [latex] \ frac {\ pi} {4}, \ frac {\ pi} {4}, \ frac {\ pi} {2} [/ latex ] треугольник, имеют длины в соотношении [latex] s, s, \ sqrt {2} s [/ latex]. Эти отношения показаны на рисунке 8.

Рисунок 8. Длины сторон специальных треугольников

Затем мы можем использовать отношения длин сторон для оценки тригонометрических функций специальных углов.

Как сделать: даны тригонометрические функции специального угла, оцените, используя длины сторон.

1. Используйте длины сторон, показанные на рисунке 8, для особого угла, который вы хотите оценить.
2. Используйте соотношение длин сторон, соответствующее функции, которую вы хотите оценить.

Пример 3: Оценка тригонометрических функций специальных углов с использованием длин сторон

Найдите точное значение тригонометрических функций [latex] \ frac {\ pi} {3} [/ latex], используя длины сторон.

[латекс] \ begin {align} & \ sin \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) = \ frac {\ text {opp}} {\ text {hyp}} = \ frac {\ sqrt {3} s} {2s} = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ & \ cos \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) = \ frac {\ text {adj} } {\ text {hyp}} = \ frac {s} {2s} = \ frac {1} {2} \\ & \ tan \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) = \ frac { \ text {opp}} {\ text {adj}} = \ frac {\ sqrt {3} s} {s} = \ sqrt {3} \\ & \ sec \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) = \ frac {\ text {hyp}} {\ text {adj}} = \ frac {2s} {s} = 2 \\ & \ csc \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right ) = \ frac {\ text {hyp}} {\ text {opp}} = \ frac {2s} {\ sqrt {3} s} = \ frac {2} {\ sqrt {3}} = \ frac {2 \ sqrt {3}} {3} \\ & \ cot \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) = \ frac {\ text {adj}} {\ text {opp}} = \ frac { s} {\ sqrt {3} s} = \ frac {1} {\ sqrt {3}} = \ frac {\ sqrt {3}} {3} \ end {align} [/ latex]

Попробуйте

Найдите точное значение тригонометрических функций [latex] \ frac {\ pi} {4} [/ latex], используя длины сторон. {\ circ} [/ latex] Косинус 1 [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ латекс] [латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ латекс] [латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс] 0 Синус 0 [латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс] [латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ латекс] [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ латекс] 1 Касательная 0 [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {3} [/ латекс] 1 [латекс] \ sqrt {3} [/ латекс] Неопределенный Секант 1 [латекс] \ frac {2 \ sqrt {3}} {3} [/ латекс] [латекс] \ sqrt {2} [/ латекс] 2 Неопределенный Косеканс Неопределенный 2 [латекс] \ sqrt {2} [/ латекс] [латекс] \ frac {2 \ sqrt {3}} {3} [/ латекс] 1 Котангенс Неопределенный [латекс] \ sqrt {3} [/ латекс] 1 [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {3} [/ латекс] 0

Теперь, когда у нас есть эта таблица, мы можем использовать ее для нахождения точных значений тригонометрических выражений. \ circ \ right) [/ latex], используя таблица выше.

Использование равных функций дополнений

Если мы посмотрим на таблицу выше, мы заметим закономерность. В прямоугольном треугольнике с углами [latex] \ frac {\ pi} {6} [/ latex] и [latex] \ frac {\ pi} {3} [/ latex] мы видим, что синус [latex] \ frac {\ pi} {3} [/ latex], а именно [latex] \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ latex], также является косинусом [latex] \ frac {\ pi} { 6} [/ latex], в то время как синус [latex] \ frac {\ pi} {6} [/ latex], а именно [latex] \ frac {1} {2} [/ latex], также является косинусом [латекс] \ frac {\ pi} {3} [/ латекс].

[латекс] \ begin {align} & \ sin \ frac {\ pi} {3} = \ cos \ frac {\ pi} {6} = \ frac {\ sqrt {3} s} {2s} = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ & \ sin \ frac {\ pi} {6} = \ cos \ frac {\ pi} {3} = \ frac {s} {2s} = \ frac {1 } {2} \ end {align} [/ latex]

Рис. 9. Синус [latex] \ frac {\ pi} {3} [/ latex] равен косинусу [latex] \ frac {\ pi} {6} [/ latex] и наоборот.

Этот результат не должен вызывать удивления, потому что, как мы видим на Рисунке 9, сторона, противоположная углу [latex] \ frac {\ pi} {3} [/ latex], также является стороной, смежной с [latex] \ frac { \ pi} {6} [/ latex], поэтому [latex] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) [/ latex] и [latex] \ cos \ left (\ frac {\ pi } {6} \ right) [/ latex] — это точно такое же соотношение тех же двух сторон, [latex] \ sqrt {3} s [/ latex] и [latex] 2s [/ latex].Аналогично, [latex] \ cos \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) [/ latex] и [latex] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) [/ latex ] также имеют такое же соотношение с использованием тех же двух сторон, [латекс] [/ латекс] и [латекс] 2 [/ латекс].

Взаимосвязь между синусами и косинусами [latex] \ frac {\ pi} {6} [/ latex] и [latex] \ frac {\ pi} {3} [/ latex] также сохраняется для двух острых углов в любой прямоугольный треугольник, так как в любом случае отношение одних и тех же двух сторон будет составлять синус одного угла и косинус другого.Поскольку три угла треугольника складываются в [латекс] \ pi [/ latex], а прямой угол равен [latex] \ frac {\ pi} {2} [/ latex], оставшиеся два угла также должны составлять [латекс] \ frac {\ pi} {2} [/ латекс]. Это означает, что прямоугольный треугольник может быть образован любыми двумя углами, которые складываются с [latex] \ frac {\ pi} {2} [/ latex] — другими словами, любыми двумя дополнительными углами. Таким образом, мы можем сформулировать тождество совместной функции : Если любые два угла дополняют друг друга, синус одного является косинусом другого, и наоборот.Эта идентичность проиллюстрирована на рисунке 10.

Рис. 10. Идентичность совместных функций синуса и косинуса дополнительных углов

Используя это тождество, мы можем утверждать, не вычисляя, например, что синус [latex] \ frac {\ pi} {12} [/ latex] равен косинусу [latex] \ frac {5 \ pi} {12 } [/ latex], и что синус [latex] \ frac {5 \ pi} {12} [/ latex] равен косинусу [latex] \ frac {\ pi} {12} [/ latex]. Мы также можем заявить, что если для определенного угла [латекс] t [/ латекс], [латекс] \ cos \ text {} t = \ frac {5} {13} [/ latex], то [латекс] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) = \ frac {5} {13} [/ latex].

Общее примечание: идентификационные данные совместных функций

Идентификаторы совместных функций в радианах перечислены в таблице ниже.

Как сделать: учитывая синус и косинус угла, найдите синус или косинус его дополнения.

1. Чтобы найти синус дополнительного угла, найдите косинус исходного угла.
2. Чтобы найти косинус дополнительного угла, найдите синус исходного угла.

Пример 5: Использование идентификаторов совместных функций

Запишите следующее как эквивалентное выражение косинуса: [latex] \ sin \ left (\ frac {5 \ pi} {12} \ right) [/ latex].

Согласно тождествам совместных функций для синуса и косинуса,

[латекс] \ sin t = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) [/ latex].\ circ \ right) [/ латекс]

Использование тригонометрических функций

В предыдущих примерах мы вычисляли синус и косинус в треугольниках, где мы знали все три стороны. Но настоящая сила тригонометрии прямоугольного треугольника проявляется, когда мы смотрим на треугольники, в которых мы знаем угол, но не знаем всех сторон.

Как: для прямоугольного треугольника, длины одной стороны и меры одного острого угла найдите оставшиеся стороны.

1. Для каждой стороны выберите тригонометрическую функцию с неизвестной стороной в качестве числителя или знаменателя.Известная сторона, в свою очередь, будет знаменателем или числителем.
2. Напишите уравнение, устанавливающее значение функции известного угла, равное отношению соответствующих сторон.
3. Используя значение тригонометрической функции и известную длину стороны, найдите недостающую длину стороны.

Пример 7: Нахождение недостающих длин сторон с использованием тригонометрических соотношений

Найдите неизвестные стороны треугольника на рисунке 11.

Рисунок 11

Нам известны угол и противоположная сторона, поэтому мы можем использовать касательную, чтобы найти прилегающую сторону.\ circ \ right)} \\ & = 14 \ end {align} [/ latex]

Попробуйте

Прямоугольный треугольник имеет один угол [латекс] \ frac {\ pi} {3} [/ latex] и гипотенузу 20. Найдите неизвестные стороны и угол треугольника.

[латекс] \ text {смежный} = 10 [/ латекс]; [латекс] \ текст {напротив} = 10 \ sqrt {3} [/ латекс]; отсутствующий угол [латекс] \ frac {\ pi} {6} [/ latex]

Тригонометрия прямоугольного треугольника имеет множество практических приложений. Например, способность вычислять длины сторон треугольника позволяет определить высоту высокого объекта, не взбираясь на вершину и не протягивая рулетку по его высоте.Мы делаем это, измеряя расстояние от основания объекта до точки на земле на некотором расстоянии, откуда мы можем смотреть на вершину высокого объекта под углом. Угол подъема объекта над наблюдателем относительно наблюдателя — это угол между горизонталью и линией от объекта до глаза наблюдателя. Правый треугольник, создаваемый этим положением, имеет стороны, которые представляют неизвестную высоту, измеренное расстояние от основания и наклонную линию обзора от земли до вершины объекта.Зная измеренное расстояние до основания объекта и угол прямой видимости, мы можем использовать тригонометрические функции для вычисления неизвестной высоты. Точно так же мы можем сформировать треугольник из вершины высокого объекта, глядя вниз. Угол наклона объекта под наблюдателем относительно наблюдателя — это угол между горизонталью и линией от объекта до глаза наблюдателя. На рисунке ниже [latex] \ alpha [/ latex] представляет угол возвышения , а [latex] \ beta [/ latex] представляет угол возвышения .

Рисунок 12

Практическое руководство. Для высокого объекта измерьте его высоту косвенно.

1. Сделайте набросок проблемной ситуации, чтобы отслеживать известную и неизвестную информацию.
2. Разместите измеренное расстояние от основания объекта до точки, где верх объекта будет хорошо виден.
3. На другом конце измеренного расстояния посмотрите на верхнюю часть объекта. Измерьте угол, под которым линия визирования образует горизонталь.\ circ \ right) && \ text {Умножение}. \\ & h \ приблизительно 46,2 && \ text {Используйте калькулятор}. \ end {align} [/ latex]

   Дерево примерно 46 футов в высоту.

   Попробуйте

   Какова длина лестницы, чтобы добраться до подоконника на высоте 50 футов над землей, если лестница упирается в здание под углом [латекс] \ frac {5 \ pi} {12} [/ latex]? Округлите до ближайшего фута.

   Обратная тригонометрическая функция на калькуляторе

   Если заданы две стороны прямоугольного треугольника, обратная тригонометрическая функция может использоваться для нахождения острого угла в треугольнике.{-1} [/ латекс]. Калькулятор вернет угол в радианах или градусах, в зависимости от того, в каком режиме находится ваш калькулятор. Нам понадобится функция арктангенса для пеленга.

   Подшипник

   Пеленг — это направление, в котором вы движетесь по компасу. На большинстве карт N вверху, S внизу, W слева, а E справа. Подшипники записываются в такой форме: (N или S) (Острый угол) (E или W). Угол измеряется либо от севера, либо от юга, в зависимости от того, какая буква идет первой в вашем азимуте.\ circ E [/ latex] означает, что вы пойдете на север, а затем на 20 градусов на восток или вправо. На рисунке ниже показан пример рисования подшипников. Как видите, каждый угол измеряется от N или S в зависимости от первой буквы подшипника. Подшипники НЕ рисуются в стандартном положении, что означает, что НЕ отрисовываются от положительной оси x.
   

   Теперь мы рассмотрим некоторые прикладные задачи, связанные с пеленгами и прямоугольными треугольниками.

   Пример 9: Найти подшипник

   Полуавтоматический самолет едет на восток на 8 миль, делает поворот направо, а затем едет на юг еще на 11 миль.\ circ E [/ latex] на 5 миль. Как далеко на восток и как далеко на юг бегун от исходной точки? Округлите ответы до ближайшей мили.

   Показать решение

   4 мили на восток, 3 мили на юг

   Преобразовать процентную оценку в градусы

   Процентный уклон часто встречается на дорогах или тропах, и это показатель крутизны. Например, если дорога имеет уклон 6%, это означает, что дорога поднимается на 6 футов на горизонтальное расстояние (пробег) в 100 футов. Процентное уклонение определяется путем деления прибавки за пробег, как показано на Рисунке 14.Подъем и бег — это тоже противоположные и смежные стороны. Мы можем найти [latex] \ theta [/ latex], взяв арктангенс.

   Рисунок 14

   Чтобы вычислить градусное измерение степени в процентах, сначала измените процент на десятичное число, разделив его на 100. Затем возьмите арктангенс этого десятичного числа, и это даст угол в градусах. На самом деле это угол возвышения , который мы изучали ранее в этом разделе!

   Как преобразовать процентную оценку в градусы

   Убедитесь, что ваш калькулятор работает в градусном режиме. {- 1} \ left (\ dfrac {\ text {процентная оценка}} {100} \ right) [/ latex]

   Ключевые понятия

   • Мы можем определить тригонометрические функции как отношения длин сторон прямоугольного треугольника.
   • Можно использовать одинаковые длины сторон для оценки тригонометрических функций любого острого угла в прямоугольном треугольнике.
   • Мы можем оценить тригонометрические функции особых углов, зная длины сторон треугольников, в которых они встречаются.
   • Любые два дополнительных угла могут быть двумя острыми углами прямоугольного треугольника.
   • Если два угла дополняют друг друга, тождества совместных функций утверждают, что синус одного равен косинусу другого и наоборот.
   • Мы можем использовать тригонометрические функции угла, чтобы найти неизвестные длины сторон.
   • Выберите тригонометрическую функцию, представляющую отношение неизвестной стороны к известной стороне.
   • Тригонометрия прямоугольного треугольника позволяет измерять недоступные высоты и расстояния.
   • Неизвестную высоту или расстояние можно найти, создав прямоугольный треугольник, в котором неизвестная высота или расстояние являются одной из сторон, а другая сторона и угол известны.
   • Подшипники измеряются от N или S, в зависимости от первой буквы подшипника.
   • Процент уклона можно выразить в градусе, который представляет собой угол подъема.

   Глоссарий

   смежная сторона

   в прямоугольном треугольнике, сторона между заданным углом и прямым углом

   угол наклона

   угол между горизонталью и линией от объекта до глаза наблюдателя, предполагая, что объект расположен ниже, чем наблюдатель

   угол возвышения

   угол между горизонталью и линией от объекта до глаза наблюдателя, предполагая, что объект расположен выше, чем наблюдатель

   противоположная сторона

   в прямоугольном треугольнике со стороной, наиболее удаленной от заданного угла

   гипотенуза

   сторона прямоугольного треугольника напротив прямого угла

   процентная оценка

   Коэффициент роста за пробег, выраженный в процентах.Это мера крутизны.

   Раздел 4.3 Домашние упражнения

   1. Для данного прямоугольного треугольника отметьте прилегающую сторону, противоположную сторону и гипотенузу для указанного угла.
   

   2. Когда прямоугольный треугольник с гипотенузой 1 помещается в единичный круг, какие стороны треугольника соответствуют координатам x и y?

   3. Тангенс угла сравнивает стороны прямоугольного треугольника?

   4. Как соотносятся два острых угла в прямоугольном треугольнике?

   5.\ circ \ right) [/ латекс]

   13. [латекс] \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = \ cot \ left (\ text {__} \ right) [/ latex]

   Для следующих упражнений найдите длины недостающих сторон, если сторона [латекс] a [/ латекс] находится под противоположным углом [латекс] A [/ латекс], сторона [латекс] b [/ латекс] находится под противоположным углом [латекс] B [/ latex], а side [latex] c [/ latex] — гипотенуза.

   14. [латекс] \ cos B = \ frac {4} {5}, a = 10 [/ латекс]

   15. [латекс] \ sin B = \ frac {1} {2}, a = 20 [/ латекс]

   16. [латекс] \ tan A = \ frac {5} {12}, b = 6 [/ latex]

   17.{\ circ} [/ латекс]

   Для следующих упражнений используйте Рис. 14, чтобы оценить каждую тригонометрическую функцию угла [латекс] A [/ латекс].

   Рисунок 14

   21. [латекс] \ sin A [/ латекс]

   22. [латекс] \ cos A [/ латекс]

   23. [латекс] \ tan A [/ латекс]

   24. [латекс] \ csc A [/ латекс]

   25. [латекс] \ сек A [/ латекс]

   26. [латекс] \ cot A [/ латекс]

   Для следующих упражнений используйте Рис. 15, чтобы оценить каждую тригонометрическую функцию угла [латекс] A [/ латекс].

   Рисунок 15

   27. [латекс] \ sin A [/ латекс]

   28. [латекс] \ cos A [/ латекс]

   29. [латекс] \ tan A [/ латекс]

   30. [латекс] \ csc A [/ латекс]

   31. [латекс] \ сек A [/ латекс]

   32. [латекс] \ cot A [/ latex]

   Для следующих упражнений решите неизвестные стороны данного треугольника.

   33.
   

   34.
   

   35.
   

   Для следующих упражнений используйте калькулятор, чтобы найти длину каждой стороны с точностью до четырех знаков после запятой.\ circ [/ латекс]. Насколько высоко лестница поднимается к стене здания?

   58. Угол подъема к верху здания в Нью-Йорке составляет 9 градусов от земли на расстоянии 1 мили от основания здания. Используя эту информацию, найдите высоту здания.

   59. Угол подъема к вершине здания в Сиэтле составляет 2 градуса от земли на расстоянии 2 миль от основания здания. Используя эту информацию, найдите высоту здания.\ circ [/ latex], как далеко я от основания дерева?

   61. Автомобиль едет на запад 5 миль, поворачивает налево и затем 9 миль на юг. Каков пеленг от исходного положения автомобиля до его текущего положения? Округлите ответ до двух десятичных знаков.

   62. Грузовик едет на восток 4 мили, поворачивает налево, а затем едет на север 6 миль. Каков подшипник от исходного положения грузовика до его текущего положения? Округлите ответ до двух десятичных знаков.

   63.\ circ W [/ latex] на 20 дюймов. Как далеко на запад и как далеко на юг находится паук от начальной точки? Округлите ответы до двух десятичных знаков.

   65. Построен в 1901 году полковником Дж. У. Эдди, компания Angels Flight в Лос-Анджелесе, как говорят, является самой короткой в ​​мире железной дорогой с внутренним доступом. Машины с противовесом, управляемые тросами, преодолевают уклон 33% на расстояние 315 футов. Какой угол образует дорожка с горизонтальной линией, округленной до одного десятичного знака?

   66. Saluda Grade — это самый крутой уклон магистральной железной дороги стандартной колеи в Соединенных Штатах.Между Мелроузом и Салудой, Северная Каролина, максимальный уклон составляет 4,9% на расстоянии около 300 футов. Какой угол образует дорожка с горизонтальной линией, округленной до одного десятичного знака?

   Трехместная тригонометрическая таблица

   Темы | Дом Для углов до 45 ° используйте левый столбец и обозначения функций синего цвета. Для углов больше 45 ° используйте правый столбец и обозначения функций красного цвета. Например, sin 5 ° = 0,087 грех 85 ° = 0,996 θ sin θ cos θ cos θ sin θ коричневый θ детская кроватка θ детская кроватка θ желто-коричневый θ сек θ csc θ csc θ сек θ 0 ° . 000 1 . 000 . 000 …….. 1 . 000 …….. 90 ° 1 ° . 017 1 . 000 . 017 57 . 290 1 . 000 57 . 299 89 ° 2 ° . 035 . 999 . 035 28 . 636 1 . 001 28 . 654 88 ° 3 ° . 052 . 999 . 052 19 . 081 1 . 001 19 . 107 87 ° 4 ° . 070 . 998 . 070 14 . 301 1 . 002 14 . 336 86 ° 5 ° . 087 . 996 . 087 11 . 430 1 . 004 11 . 474 85 ° 6 ° . 105 . 995 . 105 9 . 514 1 . 006 9 . 567 84 ° 7 ° . 122 . 993 . 123 8 . 144 1 . 008 8 . 206 83 ° 8 ° . 139 . 990 . 141 7 . 115 1 . 010 7 . 185 82 ° 9 ° . 156 . 988 . 158 6 . 314 1 . 012 6 . 392 81 ° sin θ cos θ cos θ sin θ коричневый θ детская кроватка θ детская кроватка θ желто-коричневый θ сек θ csc θ csc θ сек θ 10 ° . 174 . 985 . 176 5 . 671 1 . 015 5 . 759 80 ° 11 ° . 191 . 982 . 194 5 . 145 1 . 019 5 . 241 79 ° 12 ° . 208 . 978 . 213 4 . 705 1 . 022 4 . 810 78 ° 13 ° . 225 . 974 . 231 4 . 331 1 . 026 4 . 445 77 ° 14 ° . 242 . 970 . 249 4 . 011 1 . 031 4 . 134 76 ° 15 ° . 259 . 966 . 268 3 . 732 1 . 035 3 . 864 75 ° 16 ° . 276 . 961 . 287 3 . 487 1 . 040 3 . 628 74 ° 17 ° . 292 . 956 . 306 3 . 271 1 . 046 3 . 420 73 ° 18 ° . 309 . 951 . 325 3 . 078 1 . 051 3 . 236 72 ° 19 ° . 326 . 946 . 344 2 . 904 1 . 058 3 . 072 71 ° sin θ cos θ cos θ sin θ коричневый θ детская кроватка θ детская кроватка θ желто-коричневый θ сек θ csc θ csc θ сек θ 20 ° . 342 . 940 . 364 2 . 747 1 . 064 2 . 924 70 ° 21 ° . 358 . 934 . 384 2 . 605 1 . 071 2 . 790 69 ° 22 ° . 375 . 927 . 404 2 . 475 1 . 079 2 . 669 68 ° 23 ° . 391 . 921 . 424 2 . 356 1 . 086 2 . 559 67 ° 24 ° . 407 . 914 . 445 2 . 246 1 . 095 2 . 459 66 ° 25 ° . 423 . 906 . 466 2 . 145 1 . 103 2 . 366 65 ° 26 ° . 438 . 899 . 488 2 . 050 1 . 113 2 . 281 64 ° 27 ° . 454 . 891 . 510 1 . 963 1 . 122 2 . 203 63 ° 28 ° . 469 . 883 . 532 1 . 881 1 . 133 2 . 130 62 ° 29 ° . 485 . 875 . 554 1 . 804 1 . 143 2 . 063 61 ° sin θ cos θ cos θ sin θ коричневый θ детская кроватка θ детская кроватка θ желто-коричневый θ сек θ csc θ csc θ сек θ 30 ° . 500 . 866 . 577 1 . 732 1 . 155 2 . 000 60 ° 31 ° . 515 . 857 . 601 1 . 664 1 . 167 1 . 972 59 ° 32 ° . 530 . 848 . 625 1 . 600 1 . 179 1 . 887 58 ° 33 ° . 545 . 839 . 649 1 . 540 1 . 192 1 . 836 57 ° 34 ° . 559 . 829 . 675 1 . 483 1 . 206 1 . 788 56 ° 35 ° . 574 . 819 . 700 1 . 428 1 . 221 1 . 743 55 ° 36 ° . 588 . 809 . 727 1 . 376 1 . 236 1 . 701 54 ° 37 ° . 602 . 799 . 754 1 . 327 1 . 252 1 . 662 53 ° 38 ° . 616 . 788 . 781 1 . 280 1 . 269 1 . 624 52 ° 39 ° . 629 . 777 . 810 1 . 235 1 . 287 1 . 589 51 ° sin θ cos θ cos θ sin θ коричневый θ детская кроватка θ детская кроватка θ желто-коричневый θ сек θ csc θ csc θ сек θ 40 ° . 643 . 766 . 839 1 . 192 1 . 305 1 . 556 50 ° 41 ° . 656 . 755 . 869 1 . 150 1 . 325 1 . 524 49 ° 42 ° . 669 . 743 . 900 1 . 111 1 . 346 1 . 494 48 ° 43 ° . 682 . 731 . 933 1 . 072 1 . 367 1 . 466 47 ° 44 ° . 695 . 719 . 966 1 . 036 1 . 390 1 . 440 46 ° 45 ° . 707 . 707 1 . 000 1 . 000 1 . 414 1 . 414 45 ° Темы | Дом Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор Вопросы или комментарии? Эл. Почта: themathpage @ яндекс.com

   Периодичность тригонометрических функций

   Периодические процессы и функции

   Мы часто сталкиваемся с периодическими явлениями в природе, технологиях и человеческом обществе. Вспомните \ (24 \ text {-hour} \) цикл день-ночь или приливные циклы, вызванные вращением Луны вокруг Земли.

   Рисунок 1.

   Другой пример — маятник. Когда маятник совершает один полный оборот вперед и назад за \ (T \) секунд, отклонение маятника от положения равновесия будет таким же временами \ (t, \) \ (t + T, \) \ (t + 2T, \) и т. Д.

   Периодические процессы описываются с помощью периодических функций.

   Положительное действительное число \ (T \) называется периодом функции \ (f \), если

   для всех значений \ (t \) из области \ (f. \)

   Если \ (T \) — период функции \ (f, \), то произведение \ (nT, \), где \ (n \ in \ mathbb {Z}, \) также является периодом функции \ (ж: \)

   \ [f \ left (t \ right) = f \ left ({t + nT} \ right). \]

   В частности, для \ (n = -1, \) мы имеем

   \ [е \ влево ({т — Т} \ вправо) = е \ влево (т \ вправо).\]

   Наименьший положительный период функции называется основным периодом или просто периодом функции.

   Период функций синуса и косинуса

   Функции синуса и косинуса периодические с периодом \ (2 \ pi. \)

   Действительно, рассмотрим две точки \ (M \ left (\ theta \ right) \) и \ (N \ left ({\ theta + 2 \ pi} \ right) \), лежащие на единичной окружности.

   Рис. 2.

   Эти точки совпадают и имеют одинаковые координаты. Поскольку точка \ (M \ left (\ theta \ right) \) имеет координаты \ (\ cos \ theta \) и \ (\ sin \ theta, \), мы можем написать

   Эти отношения показывают, что \ (2 \ pi \) является одним из периодов синуса и косинуса.

   Докажите, что \ (2 \ pi \) — наименьший период для этих функций. От противного, предположим, что для функции косинуса существует период \ (T \) меньше \ (2 \ pi \). Тогда у нас

   \ [\ cos \ left ({\ theta + T} \ right) = \ cos \ theta. \]

   Это тождество верно для любого \ (\ theta, \), поэтому пусть \ (\ theta = 0: \)

   \ [\ cos T = \ cos 0 = 1 \]

   Уравнение \ (\ cos T = 1 \) имеет следующие решения: \ (T = 0, 2 \ pi, 4 \ pi, 6 \ pi, \ ldots \) ​​Однако по нашему предположению \ (0 \ lt T \ lt 2 \ pi.\) Получили противоречие. Следовательно, уравнение \ (\ cos T = 1 \) ложно, и функция косинуса не имеет положительных периодов меньше, чем \ (2 \ pi. \)

   Доказательство для синусоидальной функции проводится таким же образом.

   Период других тригонометрических функций

   Касательная функция имеет период \ (\ pi: \)

   Функция касательной определяется для любых углов \ (\ theta \), кроме значений, где \ (\ cos \ theta = 0, \), то есть значений \ (\ large {\ frac {\ pi} {2}} \ normalsize + \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z}.\)

   Аналогично, период функции котангенса также равен \ (\ pi: \)

   Функция котангенса — это отношение косинуса к синусу. Его область определения содержит все углы \ (\ theta \), кроме точек \ (\ pi n, n \ in \ mathbb {Z}, \), где синусоидальная функция равна нулю.

   Секанс и косеканс являются обратными функциями косинуса и синуса соответственно. Следовательно, секущая функция периодическая с периодом \ (2 \ pi: \)

   Он определен для всех действительных чисел \ (\ theta \), кроме точек \ (\ large {\ frac {\ pi} {2}} \ normalsize + \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z }. \ circ} \ right) \)

Решение.\ circ}} = {- 1.} \]

Пример 2.

1. \ (\ sin \ large {\ frac {{17 \ pi}} {3}} \ normalsize \)
2. \ (\ cos \ left ({- \ large {\ frac {{38 \ pi}} {3}} \ normalsize} \ right) \)
3. \ (\ sec {\ large {\ frac {{43 \ pi}} {6}} \ normalsize} \)
4. \ (\ csc \ left ({- \ large {\ frac {{27 \ pi}} {4}} \ normalsize} \ right) \)

Решение.

1. Выразим угол \ (\ large {\ frac {{17 \ pi}} {3}} \ normalsize \) в виде \ [{\ frac {{17 \ pi}} {3} = \ frac {{5 \ pi}} {3} + \ frac {{12 \ pi}} {3}} = {\ frac {{5 \ pi}} {3} + 4 \ pi} = {\ frac {{5 \ pi}} {3} + 2 \ pi \ times 2.} \] Учитывая, что синус — периодическая функция, с периодом \ (2 \ pi, \) получаем \ [{\ sin \ frac {{17 \ pi}} {3} = \ sin \ left ({\ frac {{5 \ pi}} {3} + 2 \ pi \ times 2} \ right)} = { \ sin \ frac {{5 \ pi}} {3}.} \] Угол \ (\ large {\ frac {{5 \ pi}} {3}} \ normalsize \) лежит в квадранте \ (4 \ text {th} \) и имеет опорный угол \ (\ large {\ frac {{\ pi}} {3}} \ normalsize. \) Синус-функция отрицательна в этом квадранте. потом \ [{\ sin \ frac {{17 \ pi}} {3} = \ sin \ frac {{5 \ pi}} {3}} = {- \ sin \ frac {\ pi} {3}} = { — \ frac {{\ sqrt 3}} {2}.} \]
2. Представим отрицательный угол \ ({- \ large {\ frac {{38 \ pi}} {3}} \ normalsize} \) следующим образом: \ [{- \ frac {{38 \ pi}} {3}} = {\ frac {{4 \ pi}} {3} — \ frac {{42 \ pi}} {3}} = {\ frac { {4 \ pi}} {3} — 14 \ pi} = {\ frac {{4 \ pi}} {3} — 2 \ pi \ times 7.} \] Период косинуса равен \ (2 \ pi. \) Тогда \ [{\ cos \ left ({- \ frac {{38 \ pi}} {3}} \ right)} = {\ cos \ left ({\ frac {{4 \ pi}} {3} — 2 \ pi \ times 7} \ right)} = {\ cos \ frac {{4 \ pi}} {3}.} \] Угол \ (\ large {\ frac {{4 \ pi}} {3}} \ normalsize \) находится в квадранте \ (3 \ text {rd} \), в котором косинус имеет отрицательные значения.Базовый угол для \ (\ large {\ frac {{4 \ pi}} {3}} \ normalsize \) равен \ (\ large {\ frac {{\ pi}} {3}} \ normalsize. \) Таким образом , \ [{\ cos \ left ({- \ frac {{38 \ pi}} {3}} \ right)} = {\ cos \ frac {{4 \ pi}} {3}} = {- \ cos \ frac {\ pi} {3}} = {- \ frac {1} {2}.} \]
3. Здесь имеем: \ [{\ frac {{43 \ pi}} {6} = \ frac {{7 \ pi}} {6} + \ frac {{36 \ pi}} {6}} = {\ frac {{7 \ pi}} {6} + 6 \ pi} = {\ frac {{7 \ pi}} {6} + 2 \ pi \ times 3.} \] Период секанса равен \ (2 \ pi. \), Поэтому уменьшаем значение угла: \ [{\ sec \ frac {{43 \ pi}} {6} = \ sec \ left ({\ frac {{7 \ pi}} {6} + 2 \ pi \ times 3} \ right)} = { \ sec \ frac {{7 \ pi}} {6}.} \] Угол \ ({\ large {\ frac {{7 \ pi}} {6}} \ normalsize} \) лежит в квадранте \ (3 \ text {rd} \), где секущая отрицательна. Его опорный угол равен \ ({\ large {\ frac {{\ pi}} {6}} \ normalsize}, \), поэтому мы имеем \ [{\ sec \ frac {{43 \ pi}} {6} = \ sec \ frac {{7 \ pi}} {6}} = {- \ sec \ frac {\ pi} {6}} = { — \ frac {2} {{\ sqrt 3}}.} \]
4. Угол \ (\ left ({- \ large {\ frac {{27 \ pi}} {4}} \ normalsize} \ right) \) можно записать как \ [{- \ frac {{27 \ pi}} {4} = \ frac {{5 \ pi}} {4} — \ frac {{32 \ pi}} {4}} = {\ frac {{5 \ pi}} {4} — 8 \ pi} = {\ frac {{5 \ pi}} {4} — 2 \ pi \ times 4.} \] Учитывая, что период косеканса равен \ (2 \ pi, \), получаем \ [{\ csc \ left ({- \ frac {{27 \ pi}} {4}} \ right)} = {\ csc \ left ({\ frac {{5 \ pi}} {4} — 2 \ pi \ times 4} \ right)} = {\ csc \ frac {{5 \ pi}} {4}.} \] Угол \ ({\ large {\ frac {{5 \ pi}} {4}} \ normalsize} \) находится в квадранте \ (3 \ text {rd} \), в котором косеканс отрицательный. Базовый угол \ ({\ large {\ frac {{5 \ pi}} {4}} \ normalsize} \) равен \ ({\ large {\ frac {{\ pi}} {4}} \ normalsize} . \) Тогда имеем \ [{\ csc \ left ({- \ frac {{27 \ pi}} {4}} \ right)} = {\ csc \ frac {{5 \ pi}} {4}} = {- \ csc \ frac {\ pi} {4}} = {- \ sqrt 2.\ circ}} = {0 — \ frac {{\ sqrt 2}} {2} — \ frac {{\ sqrt 2}} {2}} = {- \ sqrt 2.} \]

   Пример 5.

   Упростите выражение \ [\ frac {{\ sin \ left ({- \ frac {{13 \ pi}} {2}} \ right) + \ tan \ left ({- 7 \ pi} \ right)}} {{\ cos \ left ({- 7 \ pi} \ right) + \ cot \ left ({- \ frac {{65 \ pi}} {4}} \ right)}}. \]

   Решение.

   Рассчитываем каждый член отдельно:

   \ [{\ sin \ left ({- \ frac {{13 \ pi}} {2}} \ right)} = {\ sin \ left ({\ frac {{3 \ pi}} {2} — \ frac {{16 \ pi}} {2}} \ right)} = {\ sin \ left ({\ frac {{3 \ pi}} {2} — 8 \ pi} \ right)} = {\ sin \ left ({\ frac {{3 \ pi}} {2} — 2 \ pi \ times 4} \ right)} = {\ sin \ frac {{3 \ pi}} {2}} = {- 1,} \]

   \ [{\ tan \ left ({- 7 \ pi} \ right)} = {\ tan \ left ({0 — \ pi \ times 7} \ right)} = {\ tan 0} = {0,} \]

   \ [{\ cos \ left ({- 7 \ pi} \ right) = \ cos \ left ({\ pi — 8 \ pi} \ right)} = {\ cos \ left ({\ pi — 2 \ pi \ times 4} \ right)} = {\ cos \ pi} = {- 1,} \]

   \ [{\ cot \ left ({- \ frac {{65 \ pi}} {4}} \ right)} = {\ cot \ left ({\ frac {{3 \ pi}} {4} — \ frac {{68 \ pi}} {4}} \ right)} = {\ cot \ left ({\ frac {{3 \ pi}} {4} — 17 \ pi} \ right)} = {\ cot \ гидроразрыв {{3 \ pi}} {4}.} \]

   Угол \ (\ large {\ frac {{3 \ pi}} {4}} \ normalsize \) лежит в квадранте \ (2 \ text {nd} \), в котором котангенс отрицательный. Базовый угол \ (\ large {\ frac {{3 \ pi}} {4}} \ normalsize \) равен \ (\ large {\ frac {{\ pi}} {4}} \ normalsize, \ ) так

   \ [{\ cot \ left ({- \ frac {{65 \ pi}} {4}} \ right)} = {\ cot \ frac {{3 \ pi}} {4}} = {- \ cot \ frac {\ pi} {4}} = {- 1.} \]

   Следовательно,

   \ [{\ frac {{\ sin \ left ({- \ frac {{13 \ pi}} {2}} \ right) + \ tan \ left ({- 7 \ pi} \ right)}} {{ \ cos \ left ({- 7 \ pi} \ right) + \ cot \ left ({- \ frac {{65 \ pi}} {4}} \ right)}}} = {\ frac {{- 1 + 0}} {{- 1 — 1}}} = {\ frac {1} {2}.} \]

   Пример 6.

   Упростите выражение \ [\ frac {{\ cos \ left ({- 3 \ pi} \ right) + \ sin {\ frac {{8 \ pi}} {3}}}} {{\ tan {\ frac {{9 \ pi}} {4}} + \ cot {\ frac {{13 \ pi}} {6}}}}. \]

   Решение.

   Найдите значение каждого члена:

   \ [{\ cos \ left ({- 3 \ pi} \ right) = \ cos \ left ({\ pi — 4 \ pi} \ right)} = {\ cos \ left ({\ pi — 2 \ pi \ times 2} \ right)} = {\ cos \ pi} = {- 1,} \]

   \ [{\ sin \ frac {{8 \ pi}} {3}} = {\ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi}} {3} + \ frac {{6 \ pi}} { 3}} \ right)} = {\ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi}} {3} + 2 \ pi} \ right)} = {\ sin \ frac {{2 \ pi}} { 3}.} \]

   Базовый угол для \ (\ large {\ frac {{2 \ pi}} {3}} \ normalsize \) равен \ (\ large {\ frac {{\ pi}} {3}} \ normalsize. \) Тогда

   \ [{\ sin \ frac {{8 \ pi}} {3} = \ sin \ frac {{2 \ pi}} {3}} = {\ sin \ frac {\ pi} {3}} = { \ frac {{\ sqrt 3}} {2}.} \]

   Остальные термины даны в

   \ [{\ tan \ frac {{9 \ pi}} {4}} = {\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4} + \ frac {{8 \ pi}} {4}}) \ right)} = {\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4} + 2 \ pi} \ right)} = {\ tan \ frac {\ pi} {4}} = {1,} \ ]

   \ [{\ cot \ frac {{13 \ pi}} {6}} = {\ cot \ left ({\ frac {\ pi} {6} + \ frac {{12 \ pi}} {6}}) \ right)} = {\ cot \ left ({\ frac {\ pi} {6} + 2 \ pi} \ right)} = {\ cot \ frac {\ pi} {6}} = {\ sqrt 3.} \]

   Подставляем найденные значения:

   \ [{\ frac {{\ cos \ left ({- 3 \ pi} \ right) + \ sin \ left ({\ frac {{8 \ pi}} {3}} \ right)}} {{\ загар \ left ({\ frac {{9 \ pi}} {4}} \ right) + \ cot \ left ({\ frac {{13 \ pi}} {6}} \ right)}}} = {\ frac {{- 1 + \ frac {{\ sqrt 3}} {2}}} {{1 + \ sqrt 3}}} = {\ frac {{- 2 + \ sqrt 3}} {{2 \ left ( {1 + \ sqrt 3} \ right)}}} = {\ frac {{\ left ({- 2 + \ sqrt 3} \ right) \ left ({1 — \ sqrt 3} \ right)}} {{ 2 \ left ({1 + \ sqrt 3} \ right) \ left ({1 — \ sqrt 3} \ right)}}} = {\ frac {{- 2 + \ sqrt 3 + 2 \ sqrt 3 — 3} } {{2 \ left ({{1 ^ 2} — {{\ left ({\ sqrt 3} \ right)} ^ 2}} \ right)}}} = {\ frac {{3 \ sqrt 3 — 5 }} {{2 \ left ({1 — 3} \ right)}}} = {\ frac {{5 — 3 \ sqrt 3}} {4}.

   No related posts.