Моделирование в электроэнергетике — Разложение на множители алгебраического многочлена степени n
Любой алгебраический многочлен степени n может быть представлен в виде произведения n-линейных множителей вида и постоянного числа, которое является коэффициентов многочлена при старшей ступени х, т.е.
где — являются корнями многочлена.
Корнем многочлена называют число (действительное или комплексное), обращающее многочлен в нуль. Корнями многочлена могут быть как действительные корни, так и комплексно-сопряженные корни, тогда многочлен может быть представлен в следующем виде:
Рассмотрим методы разложения многочленов степени «n» в произведение множителей первой и второй степени.
Способ №1. Метод неопределенных коэффициентов.
Коэффициенты такого преобразованного выражения определяются методом неопределенных коэффициентов. Суть метода сводится к тому, что заранее известен вид множителей, на которые разлагается данный многочлен. При использовании метода неопределённых коэффициентов справедливы следующие утверждения:
П.1. Два многочлена тождественно равны в случае, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.
П.2. Любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей.
П.3. Любой многочлен четвертой степени разлагается на произведение двух многочленов второй степени.
Пример 1.1. Необходимо разложить на множители кубическое выражение:
П.1. В соответствии с принятыми утверждениями для кубического выражения справедливо тождественное равенство:
П.2. Правая часть выражения может быть представлена в виде слагаемых следующим образом:
П.3. Составляем систему уравнений из условия равенства коэффициентов при соответствующих степенях кубического выражения.
Данная система уравнений может быть решена методом подбора коэффициентов (если простая академическая задача) или использованы методы решения нелинейных систем уравнений.
Решая данную систему уравнений, получим, что неопределённые коэффициенты определяются следующим образом:
; ; ;
Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители в следующем виде:
Данный метод может использоваться как при аналитических выкладках, так и при компьютерном программировании для автоматизации процесса поиска корня уравнения.
Способ №2. Формулы Виета
Формулы Виета — это формулы, связывающие коэффициенты алгебраических уравнений степени n и его корни. Данные формулы были неявно представлены в работах французского математика Франсуа Виета (1540 — 1603). В связи с тем, что Виет рассматривал только положительные вещественные корни, поэтому у него не было возможности записать эти формулы в общем явном виде.
Для любого алгебраического многочлена степени n, который имеет n-действительных корней,
справедливы следующие соотношения, которые связывают корни многочлена с его коэффициентами:
Формулами Виета удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.
Пример 2.1. Рассмотрим, как связаны корни многочлена с его коэффициентами на примере кубического уравнения
В соответствии с формулами Виета взаимосвязь корней многочлена с его коэффициентами имеет следующий вид:
Аналогичные соотношения можно составить для любого полинома степени n.
Способ №3. Разложение квадратного уравнения на множители с рациональными корнями
Из последней формулы Виета следует, что корни многочлена являются делителями его свободного члена и старшего коэффициента. В связи с этим, если в условии задачи задан многочлен степени n c целыми коэффициентами
то данный многочлен имеет рациональный корень (несократимая дробь), где p — делитель свободного члена , а q – делитель старшего коэффициента . В таком случае многочлен степени n можно представить в виде (теорема Безу):
Многочлен , степень которого на 1 меньше степени начального многочлена, определяется делением многочлена степени n двучлен , например, с помощью схемы Горнера или самым простым способом — «столбиком».
Пример 3.1. Необходимо разложить многочлен на множители
П.1. В связи с тем, что коэффициент при старшем слагаемом равен единицы, то рациональные корни данного многочлена являются делителями свободного члена выражения, т.е. могут быть целыми числами . Подставляем каждое из представленных чисел в исходное выражение найдем, что корень представленного многочлена равен .
Выполним деление исходного многочлена на двучлен:
Воспользуемся схемой Горнера
В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена, при этом первая ячейка верхней строки остается пустой.
В первой ячейке второй строки записывается найденный корень (в рассматриваемом примере записывается число «2»), а следующие значения в ячейках вычисляются определенным образом и они являются коэффициентами многочлена, который получится в результате деления многочлена на двучлен. Неизвестные коэффициенты определяются следующим образом:
Во вторую ячейку второй строки переносится значение из соответствующей ячейки первой строки (в рассматриваемом примере записывается число «1»).
В третью ячейку второй строки записывается значение произведения первой ячейки на вторую ячейку второй строки плюс значение из третьей ячейки первой строки (в рассматриваемом примере 2 ∙1 -5 = -3).
В четвертую ячейку второй строки записывается значение произведения первой ячейки на третью ячейку второй строки плюс значение из четвертой ячейки первой строки (в рассматриваемом примере 2 ∙ (-3) +7 = 1).
И так далее. Последняя ячейка второй строки является остатком деления многочлена на двучлен. В случае если деление происходит на корень уравнения, то остаток должен быть равен «0».
Таким образом, исходный многочлен раскладывается на множители:
П.2. Далее раскладывается на множители многочлен третьей степени (кубическое выражение).
Способ №4. Использование формул сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения применяют для упрощения вычислений, а также разложение многочленов на множители.
Формулы сокращенного умножения позволяют упростить решение отдельных задач.
Формулы, используемые для разложения на множители
Формулы, используемые для разложения на слагаемые
Деление формул на две группы выполнено условно для удобства запоминания, а любые равенства справедливы как при чтении их слева направо, так и справа налево.
Пример 4.1. Необходимо разложить многочлен на множители
П.1. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов и преобразуем исходное выражение к следующему виду:
П.2. Далее решаются квадратные уравнения и исходный многочлен раскладывается на множители.
Пример 4.2. Необходимо разложить многочлен четвертой степени на множители
П.1. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов и преобразуем исходное выражение к следующему виду:
П.
2. Далее решаются квадратные уравнения и исходный многочлен раскладывается на множители.
теорема, примеры решения заданий для 9 класса
Что значит разложение квадратного трехчлена на множители
ОпределениеКвадратный трехчлен представляет собой многочлен, который можно записать в виде:
ax2+bx+c
Рассмотрим квадратные уравнения, которые записывают в общей форме:
ax2+bx+c=0
Можно заметить, что в левой части расположен квадратный трехчлен.
В процессе решения многих задач целесообразно раскладывать квадратный трехчлен на множители. При этом начальный квадратный трехчлен следует приравнять к нулю и решать квадратное уравнение, согласно стандартному алгоритму.
Данное действие называют поиском корней квадратного трехчлена. Корни, которые получились, в виде х1 и х2 подставляют в выражение, являющееся результатом разложения:
а(х – х1)(х — х2)
В результате для разложения квадратного трехчлена на множители путем поиска корней квадратного уравнения требуется применить следующую формулу:
ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)
Здесь в левой части записан начальный квадратный трехчлен.
В качестве примера можно рассмотреть задачу по разложению на множители заданного квадратного трехчлена:
x2-8x+12
В первую очередь следует определить корни данного квадратного трехчлена. При этом нужно приравнять исходный квадратный трехчлен к нулевому значению и найти решения для квадратного уравнения:
x2-8x+12=0
Можно заметить, что коэффициент b — четный. По этой причине допустимо использовать в процессе решения формулы, предусмотренные для четного второго коэффициента. С целью сэкономить время определенные нюансы в вычислениях можно пропустить:
Источник: spacemath.xyz
Таким образом:
х1 = 6
х2 = 2
Далее можно использовать формулу:
ax2+bx+c=а(х–х1)(х-х2)
Выполним замену выражения ax2+bx+c, которое записано в левой части уравнения, квадратным трехчленом из условия задачи x2-8x+12. В правую часть при этом можно записать полученные значения, то есть а = 1, х1 = 6, х2 = 2. В результате:
x2−8x+12=1(x−6)(x−2)=(x−6)(x−2)
При а = 1, как в этом случае, запись решения допустимо сократить:
x2−8x+12=(x−6)(x−2)
С целью доказательства правильности разложения квадратного трехчлена на множители следует раскрыть скобки в правой части полученного уравнения, то есть в выражении со знаками минуса (x − 6)(x − 2).
Когда ошибки отсутствуют, в результате получится квадратный трехчлен x2−8x+12:
(x−6)(x−2)=x2−6x−2x+12=x2−8x+12
Закрепить материал можно на примере второй самостоятельной задачи. Предположим, что имеется некий квадратный трехчлен, который требуется разложить на множители:
2×2−14x+24
Необходимо приравнять квадратный трехчлен к нулевому значению и найти корни уравнения:
2×2−14x+24=0
По аналогии с прошлым примером здесь коэффициент b обладает четным значением. В связи с этим допускается применять в процессе решения формулы для четного второго коэффициента:
Источник: spacemath.xyz
В результате:
х1 = 4
х2 = 3
Далее необходимо записать равенство, состоящее из квадратного трехчлена 2×2−14x+24 и выражения а(х – х1)(х — х2). Переменные а, х1 и х2 следует заменить соответствующими значениями. Заметим, что а = 2. В итоге получим:
2×2−14x+24=2(x−4)(x−3)
В процессе проверки нужно избавиться от скобок в правой части равенства, которое получилось.
Если действия выполнены верно, то результатом станет квадратный трехчлен 2×2−14x+24:
2(x−4)(x−3)=2(x2−4x−3x+12)=2(x2−7x+12)=2×2−14x+24
Определение, как это работает, теорема
Квадратный трехчлен является многочленом в виде:
ax2+bx+c , если a≠0
Пример 1Примеры квадратных трехчленов:
x2-2x+1
3×2-5x+6
Свое название квадратный трехчлен получил в связи с тем, что самая большая степень в этом случае представляет собой квадрат. С другой стороны, в состав квадратного трехчлена входят трое слагаемых, то есть одночленов. В результате получается квадратный трехчлен:
Источник: cos-cos.ru
Пример 2Трехчлены, которые не являются квадратными:
x3-3×2-5x+6 − кубический четырехчлен.
2x+1 − линейный двучлен.
ТеоремаТеорема Виета: корни уравнения x2+bx+c=0 в сумме равны второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней соответствует свободному члену.
Разложить квадратный трехчлен на множители можно путем замены коэффициентов квадратного трехчлена теоремой Виета.
Далее следует выполнить тождественные преобразования.
Рассмотрим пример, в котором коэффициент а квадратного трехчлена равен 1:
x2+bx+c
Когда квадратное уравнение является приведенным, теорема Виета принимает следующий вид:
Источник: spacemath.xyz
В результате приведенный квадратный трехчлен x2+bx+c можно разложить на множители. В первую очередь следует выразить b из уравнения х1 + х2 = -b путем умножения обеих его частей на -1:
Источник: spacemath.xyz
Переменную с, используя теорему Виета, выражать нет необходимости, так как она уже выражена. Нужно лишь переставить местами части уравнения:
Источник: spacemath.xyz
На следующем этапе следует выполнить подстановку выраженных переменных b и c в квадратный трехчлен x2+bx+c:
Источник: spacemath.xyz
Раскрыть скобки следует там, где это представляется возможным:
Источник: spacemath.xyz
Полученное выражение можно разложить на множители, используя метод группировки. В рассматриваемом примере целесообразно выполнить группировку первого и второго членов, третьего и четвертого членов.
В результате:
Источник: spacemath.xyz
Из первых скобок следует вынести общий множитель х, а вторые скобки избавить от общего множителя –х2:
Источник: spacemath.xyz
Можно заметить, что выражение (х – х1) представляет собой общий множитель. Его можно вынести за пределы скобок:
Источник: spacemath.xyz
В результате выражение x2+bx+c уровнялось с (x − x1)(x − x2):
x2+bx+c=(x−x1)(x−x2)
В рассмотренном примере начальный квадратный трехчлен был приведенным. При этом коэффициент а равен единице. Поэтому такой коэффициент допускается не учитывать.
В другом случае коэффициент а не равен 1. Тогда в формуле разложения появляется коэффициент а перед скобками:
ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)
В том случае, когда требуется решить не приведенное квадратное уравнение, то есть вида ax2+bx+c=0, теорема Виета в записи выглядит следующим образом:
Источник: spacemath.xyz
Такая запись объясняется применимостью теоремы Виета лишь в случае с приведенными квадратными уравнениями.
Преобразовать уравнение ax2+bx+c=0 в вид приведенного можно путем деления обеих его частей на а:
Источник: spacemath.xyz
Разложение квадратного трехчлена ax2+bx+c на множители выполняют путем замены b и c на соответствующие выражения из теоремы Виета. При этом следует воспользоваться равенствами:
Источник: spacemath.xyz
Источник: spacemath.xyz
В первую очередь следует выразить b и c. В первом равенстве нужно перемножить компоненты уравнения на а. Далее необходимо умножить на -1 обе части равенства, которое получилось в результате предыдущего действия.
Источник: spacemath.xyz
Затем нужно выразить с из второго равенства путем умножения обеих его частей на а:
Источник: spacemath.xyz
С помощью подстановки выраженных переменных b и с в квадратный трехчлен ax2+bx+c получим:
Источник: spacemath.xyz
Заметим, что переменные b и c заменили выражениями −ax1 − ax2 и ax1x2, которые были выражены из теоремы Виета. Далее нужно избавиться из скобок там, где это допустимо:
Источник: spacemath.
xyz
Полученное выражение можно разложить на множители с помощью метода группировки. В этом примере целесообразно сгруппировать первый и второй члены, третий и четвертый члены:
Источник: spacemath.xyz
Из первых скобок необходимо вынести единый множитель ах, а из вторых скобок вынести общий множитель -ах2:
Источник: spacemath.xyz
Заметим, что х – х1 также представляет собой общий множитель. Его аналогичным образом можно вынести за скобки:
Источник: spacemath.xyz
Во вторых скобках имеется общий множитель а. Данный множитель также можно вынести за скобки в начало выражения:
Источник: spacemath.xyz
В результате:
ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)
Заметим, что в случае отсутствия корней у квадратного трехчлена не представляется возможным выполнить разложение на множители. В действительности, когда корней нет, их не получится подставить в выражение a(x − x1)(x − x2) на место переменных x1 и x2.
Когда у квадратного трехчлена имеется единственный корень, данный корень одновременно подставляют в х1 и х2.
К примеру, у квадратного трехчлена x2+4x+4 есть только один корень -2:
Источник: spacemath.xyz
В таком случае значение -2 при разложении на множители заменит х1 и х2. С другой стороны, значение а соответствует 1. По этой причине этот коэффициент допустимо не записывать:
Источник: spacemath.xyz
Внутренние скобки целесообразно раскрыть. В результате:
Источник: spacemath.xyz
В том случае, когда ответ требуется представить в сокращенном виде, можно последнее выражение записать, как (x+2)2. Это объясняется выражением (x + 2)(x + 2), которое является результатом умножения двух сомножителей, каждый из которых соответствует (x + 2):
Источник: spacemath.xyz
Порядок разложения на множители квадратного трехчлена
Корень квадратного трехчлена является таким значением переменной х, при котором этот трехчлен принимает нулевое значение.
Пример 3Трехчлен x2-2x+1 имеет корень 1. Это объясняется тем, что: 12-2·1+1=0.
Пример 4Трехчлен x2+2x-3 обладает корнями 1 и -3, так как 12+2-3=0 и (-3)2-6-3=9-9=0.
Вычислить корни квадратного трехчлена можно путем решения соответствующего квадратного уравнения.
Пример 5Квадратный трехчлен x2-2x+1 нужно приравнять к нулю и решить уравнение x2-2x+1=0:
D=4-4·1=0
x=2-02=22=1
В результате корень равен 1.
Некий квадратный трехчлен в виде ax2+bx+c можно разложить таким образом: a(x-x1)(x-x2), когда дискриминант уравнения ax2+bx+c=0 больше нуля. x1 и x2 являются корнями этого же уравнения.
Пример 6Квадратный трехчлен 3×2+13x-10 нужно разложить на множители. Квадратное уравнение 3×2+13x-10=0 обладает дискриминантом, который равен 289, и корнями в виде -5 и 23. В результате:
3×2+13x-10=3(x+5)(x-23)
Проверить правильность действий можно путем раскрытия скобок. В итоге получится начальный трехчлен.
При нулевом дискриминанте уравнения ax2+bx+c=0 квадратный трехчлен ax2+bx+c допустимо записать в виде a(x-x1)2.
Пример 7В качестве примера можно рассмотреть трехчлен x2+6x+9. Квадратное уравнение x2+6x+9=0 имеет дискриминант, равный нулю.
Один возможный корень составляет -3. Таким образом:
x2+6x+9=(x+3)2
Коэффициент а равен единице, поэтому его можно не ставить перед скобкой.
Квадратный трехчлен ax2+bx+c невозможно разложить на множители при дискриминанте уравнения ax2+bx+c=0, который меньше нуля.
Пример 8К примеру, трехчлены x2+x+4 и -5×2+2x-1 не получится разложить на множители. Это связано с тем, что дискриминанты меньше по сравнению с нулем.
Примеры решения заданий для 9 класса
Задача 1Требуется разложить трехчлен на множители:
2×2-11x+12
Решение:
Запишем квадратное уравнение:
2×2-11x+12=0
Найдем его корни:
D=112-4·2·12=121-96=25>0
x1=11-54=1,5;x2=11+54=4
Таким образом:
2×2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)
Ответ: 2(x-1,5)(x-4)
Ответ можно записать и в другой форме: (2x-3)(x-4)
Задача 2Квадратный трехчлен разложили на множители:
5×2+33x+40=5(x+5)(x-a)
Требуется определить а.
Решение:
5×2+33x+40=0
D=332-4·5·40=1089-800=289=172
x1=-33-1710=-5
x2=-33+1710=-1,6
5×2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)
Ответ: -1,6
Задача 3Нужно разложить квадратный трехчлен 2х2-9х+7 на множители.
Решение:
Запишем квадратное уравнение:
2х2-9х+7=0
Решим это уравнение:
D=b2-4ac=81-4·2·7=25;
x1 = (9 + 5)/4 = 3,5
x2 = (9 — 5)/4 = 1
После определения корней можно их подставить в уравнение:
2х2-9х+7=2(x-3,5)(x-1)
Ответ: 2(x — 3,5)(x — 1)
Задача 4Квадратный трехчлен х2-4х+4 требуется разложить на множители.
Решение:
Запишем квадратное уравнение:
х2-4х+4=0
Данное уравнение является приведенным, поэтому решать его следует через дискриминант, либо с помощью теоремы Виета. Воспользуемся теоремой. Согласно ей, при умножении корней должно получиться число 4, как и при их сложении. Таким образом:
х1 = 2
х2 = 2
Разложим трехчлен на множители:
х2-4х+4=(x-2)(x-2)=(x-2)2
Ответ:(x-2)2
5.5 Решение кубических уравнений | Полиномы
|
Предыдущий 5.4 Факторная теорема |
Следующий 5. Окончательные решения\(x=-2\) или \(x=2±\sqrt{2}\) temp textРешение кубических уравненийУчебник Упражнение 5.6 9{2} — 7х+12)\ &= (х + 1)(х-3)(х-4) \\ \поэтому 0 &= (х + 1)(х-3)(х — 4) \\ \следовательно, x = -1 & \text{ или } x = 3 \text{ или } x = 4 \конец{выравнивание*}
Корни, граф, факторизация и решенные примеры.Многочлены можно классифицировать по разным именам в зависимости от их степени, которая также называется высшей степенью переменной. По сути, многочлены — это алгебраические выражения, в которых есть как переменные, так и константы с показателями степени в виде целых чисел. В кубическом многочлене, как следует из названия, степень многочлена равна трем. Это означает, что переменные в кубическом многочлене могут иметь максимум 3 показателя степени. В этой статье по математике мы прочитаем о кубических полиномах, их общем уравнении, корнях и факторизации. Мы также решим некоторые примеры кубических многочленов для лучшего понимания концепции. Кубический многочленМногочлены делятся на четыре типа в зависимости от их степени или, можно сказать, на основе наибольшей степени их показателя степени. Это нулевой многочлен, линейный многочлен, квадратичный многочлен и кубический многочлен. 92,\ и\х\) соответственно, а d — постоянный член. Мы можем найти решение кубического многочлена графически. Когда мы строим график кубического многочлена на плоскости xy, точки, в которых график пересекает ось x, являются решениями или корнями многочлена. Прежде чем строить график кубического полинома, необходимо учесть две важные вещи:
Кубический многочлен может быть графически представлен как: Корни кубического многочлена Решение кубического многочлена называется корнями кубического многочлена или нулями кубического многочлена.
Факторизация кубического полинома факторов называется факторизацией кубических многочленов. Можно использовать различные методы, чтобы выразить многочлен как произведение его множителей. Это длинное деление полиномиальных и алгебраических тождеств и группировка.Узнайте о нулях кубического многочлена. Шаги для факторизации кубического многочленаФакторизация многочлена может быть выполнена с использованием различных методов. Вот шаги, которые необходимо выполнить:
|
{2}-4ac}}{2a}\]
9{2}
-4\влево(1\вправо)\влево(2\вправо)}}{2\влево(1\вправо)} \\
& = \frac{4±\sqrt{8}}{2} \\
& = 2±\sqrt{2}
\конец{выравнивание*}
4 Факторная теорема 
2+cx+d\), тогда отношение между этими корнями может быть задано как: 
