Квадратные уравнения — Kid-mama
Из этой статьи вы узнаете:
- Что такое квадратные уравнения
- Коэффициенты квадратного уравнения
- Неполные квадратные уравнения и их решение
- Приведённое квадратное уравнение
- Решение квадратного уравнения. Дискриминант
- Формула корней квадратного уравнения
Что такое квадратные уравнения
Квадратные уравнения — это уравнения вида ax2 + bx + c = 0
где x — переменная, a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0 .
Коэффициенты квадратного уравнения
Числа a, b, c называют коэффициентами уравнения, причем каждое из них имеет свое название:
Число а называют первым (или старшим) коэффициентом. Число b — вторым коэффициентом, а число c — свободным членом.
Пример 1:
квадратное уравнение – 3x2 + 4x + 7 = 0 имеет следующие коэффициенты :
a = –3, b = 4, c = 7.
Пример 2:
квадратное уравнение 6x2 – 4x – 7 = 0 имеет следующие коэффициенты :
a = 6, b = –4, c = –7.
Неполные квадратные уравнения и их решение
Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю, то такое уравнение называется неполным.
Существует три вида неполных квадратных уравнений:
- ax2 = 0 ( в случае, когда b = 0, с = 0)
- ax2 + bx = 0 ( в случае, когда b ≠ 0, с = 0)
- ax2 + c = 0 ( в случае, когда b = 0, с ≠ 0)
Неполные квадратные уравнения легко решаются, рассмотрим решение каждого вида:
ax2 = 0
Поскольку a ≠ 0, то данное уравнение имеет всего один корень x = 0.
Например, квадратное уравнение –19 x2 = 0 имеет один корень : x = 0.
ax2 + bx = 0
Для решения такого уравнения выносят x за скобки и получают уравнение вида
x (ax + b) = 0
Это уравнение имеет всегда два корня (так как в левой части у нас два множителя x и (ax + b), а если хотя бы один из множителей равен нулю, то и все произведение равно нулю) .
x1 = 0, а x2 можно найти, решив простое линейное уравнение в скобках :
ax + b = 0
ax = –b
x2 = –b/a
Например, решим квадратное уравнение 5x2 + 2x = 0
x(5x + 2)= 0 Сразу напишем, что x1 = 0. Далее найдем x2.
Для этого решим уравнение 5x + 2 = 0
5x = –2
x = –2/5
Ответ: x1 = 0, x2 = –2/5
ax2 + c = 0
Это уравнение также нужно преобразовать:
ax2 =–c
x2 = –c/a
Так как с ≠ 0, то возможны два случая: –c/a < 0, и –c/a > 0.
В первом случае уравнение x2 = –c/a корней не имеет, так как квадрат числа всегда положительный. Во втором случае, то есть когда –c/a > 0, уравнение имеет два корня:
Пример 1:
2x2 + 8 = 0
2x2 = -8
x2 = –8/2
x2 = –4 Корней нет.
Пример 2:
3x2 – 15 = 0
3x2 = 15
x2 = 15/3
x2 = 5
Приведённое квадратное уравнение
Если в квадратном уравнении коэффициент a = 1, то такое уравнение называют приведённым. Приведенные уравнения также могут быть неполными.
Примеры приведённых уравнений:
Любое неприведённое квадратное уравнение можно преобразовать в приведённое, разделив обе части уравнения на коэффициент a, (поскольку в левой части уравнения сумма, то на а делим каждое слагаемое):
Пример 1:
Преобразуем неприведённое квадратное уравнение 2x2 – 6x + 8 = 0 в приведённое, для этого делим левую и правую часть уравнения на 2, получаем приведённое уравнение:
x2 – 3x + 4 = 0
Пример 2:
–4x2 + 12x = 0 Делим обе части уравнения на -4, и получаем приведённое уравнение:
x2 – 3x = 0
Решение квадратного уравнения ax
2 + bx + c = 0Для того, чтобы решить квадратное уравнение, нужно сначала найти его
При этом возможны три случая:
- D < 0
- D = 0
- D > 0
__________________________________________________
- Если D < 0, то уравнение корней не имеет.
- Если D = 0, то уравнение имеет один корень :
- Если D > 0, то уравнение имеет два корня:
————————————————————————————————————-
Формула корней квадратного уравнения выглядит так:
Эта формула подходит и для второго случая, когда D = 0, так как
Алгоритм решения квадратного уравнения
- Найти дискриминант D
- Если D < 0, написать, что корней нет
- Если D ≥ 0 , найти корни по формуле корней квадратного уравнения.
_________________________________________________________________
Пример 1:
Для данного уравнения a = 3, b = -2, с = -16
Дискриминант уравнения:
Дискриминант больше нуля, находим корни:
Пример 2 :
Для данного уравнения a = -0,5 b = 2 c = -2
Дискриминант уравнения:
Уравнение имеет один корень.
{2}-px+q=0$$.
Доказательство этой теоремы — это один из контрольных вопросов Задания. Иногда для краткости обе теоремы Виета (прямую и обратную) называют просто теорема Виета.
Квадратичная формула — УРОКИ МАТЕМАТИКИ КЕЙТ
Стандартная форма квадратного уравнения Квадратное уравнение – это многочлен, старший показатель которого равен 2. Ниже представлена стандартная форма квадратного уравнения. Когда квадратное уравнение записывается в стандартной форме, сначала будет записан член, возведенный в квадрат. Х-член будет следующим, а константа будет последней. Уравнение должно быть установлено равным 0, чтобы оно было в стандартной форме. Существует несколько различных методов решения квадратного уравнения. Посмотрите на примеры в таблице ниже, чтобы увидеть, как переписать квадратное число в стандартной форме и определить a, b и c. Решение квадратных уравнений Решить линейное уравнение типа 2x + 5 = 11 довольно просто. Вы вычитаете 5 с обеих сторон и делите на 2. Готово. К сожалению, квадратные уравнения решить немного сложнее. Есть несколько различных методов, которые вы можете использовать для их решения. Вы можете решить квадратное уравнение, построив график, разложив на множители или дополнив квадрат. | Добро пожаловать на уроки математики Кейт! Учителя, обязательно ознакомьтесь с учебными пособиями и заданиями. |
Квадратная формула — это один из методов, который вы можете использовать. Чтобы использовать квадратную формулу, уравнение должно быть в стандартной форме. 
Вы также можете использовать квадратную формулу для решения квадратного уравнения.Что такое квадратичная формула?
Квадратная формула — это формула, которую можно использовать для поиска решений квадратного уравнения, записанного в стандартной системе счисления. В формуле а — это коэффициент при квадрате х. b — это коэффициент x-члена. c в формуле — константа. Один из способов прочесть эту формулу вслух — сказать: «x равно противоположному значению b плюс или минус квадратный корень из b в квадрате минус 4ac, деленный на 2a».
Обратите внимание на -b в числителе формулы. Это напротив числа b . -b совпадает с -1b. Когда вы умножаете число на -1, оно меняет знак. Всегда меняйте знак значения b, когда подставляете его в формулу.
Также обратите внимание на b-квадрат члена под квадратным корнем. Если b отрицательно, то b-квадрат будет положительным, потому что отрицательное, умноженное на отрицательное, равно положительному.
Как использовать квадратичную формулу?
Шаг 1: Убедитесь, что квадратное уравнение находится в стандартной форме. При необходимости переставьте.
Шаг 2: Определите a, b и c. Обратите особое внимание на знаки плюс и минус.
Шаг 3: Подставьте a, b и c в формулу.
Шаг 4: Упрощение.
a) Сначала упростим числитель и знаменатель.
б) Разделить на два ответа. Один со знаком +, другой со знаком -.
c) Упростите два числителя, если это возможно.
d) Разделить в последнюю очередь.
Пример 1
Шаг 1: Нам нужно переписать это уравнение в стандартной форме, прежде чем мы сможем использовать квадратичную формулу.
Мы можем вычесть 2x с обеих сторон, чтобы установить его равным 0,
Шаг 2: Теперь, когда это в стандартной форме, мы можем определить значения a, b и c. a — коэффициент при x-квадрате члена. Если перед переменной не написано число, коэффициент равен 1, поэтому a = 1. b — это коэффициент x-члена. Есть минус 2x, поэтому b = -2. c — константа в конце (число без переменной), поэтому c = -15.
a = 1, b = -2, c = -15
Шаг 3: Теперь подставьте значения для a, b и c. Обязательно меняйте знак b при использовании формулы!
Шаг 4: Упрощение. Знаменатель прост: 2(1) = 2. В числителе начните с части под квадратным корнем. -2 в квадрате — это положительных 4 (отрицательное, умноженное на отрицательное, является положительным).
Теперь мы можем упростить то, что находится под квадратным корнем. 4 + 60 = 64, а квадратный корень из 64 равен 8,9.
0007
Далее нам нужно разделить это на два отдельных ответа. Символ между 2 и 8 является знаком плюс или минус. Это означает, что нам нужно разделить его и написать один ответ со знаком +, а другой со знаком -.
После того, как вы разделили его на два отдельных ответа, посмотрите, сможете ли вы еще упростить. 2 + 8 = 10 и 2 — 8 = -6, поэтому мы можем упростить оба числителя. Сохраните деление до самого конца, когда у вас останется только одно число в числителе. 10 разделить на 2 равно 5, а -6 разделить на 2 равно -3.
Пример 2
Шаг 1: Нам нужно переписать это уравнение в стандартной форме, прежде чем мы сможем использовать квадратичную формулу. Мы можем вычесть 9 из обеих сторон, чтобы установить его равным 0,
Шаг 2: Определите a, b и c. a = 3, b = 5, c = 1
Шаг 3: Подставьте значения в формулу. Не забудьте поменять знак b.
Шаг 4: Упрощение. Знаменатель прост: 2(3) = 6. В числителе сначала упростите часть под квадратным корнем. 5 в квадрате равно 25. -4(3)(1) равно -12. 25 -12 = 13, так что у вас осталось 13 под квадратным корнем.
В первом примере у нас получилось 64 под квадратным корнем, и мы смогли упростить его до 8. В этом случае мы не можем упростить квадратный корень из 13 (см. урок по упрощению радикалов, если вам нужна перепрошивка). Это означает, что мы можем оставить ответ как есть, если нам нужен точный ответ. Если вам нужен округленный ответ, вы можете подставить квадратный корень из 13 в свой калькулятор (это примерно 3,61) и использовать его, чтобы получить два округленных ответа.
Квадратичная формула Видео
Практика Готовы попробовать использовать квадратную формулу самостоятельно? Нажмите кнопку СТАРТ ниже, чтобы пройти практический тест. |
