Разложение квадратного трёхчлена на множители
Как разложить на множители квадратный трёхчлен
Квадратный трёхчлен — это многочлен вида ax2 + bx + c.
В прошлых уроках мы решали квадратные уравнения. Общий вид таких уравнений выглядел так:
ax2 + bx + c = 0
Левая часть этого уравнения является квадратным трёхчленом.
Одним из полезных преобразований при решении задач является разложение квадратного трёхчлена на множители. Для этого исходный квадратный трёхчлен приравнивают к нулю и решают квадратное уравнение. В этом случае говорят, что выполняется поиск корней квадратного трёхчлена.
Полученные корни x1 и x2 следует подстáвить в следующее выражение, которое и станет разложением:
a(x − x1)(x − x2)
Таким образом, чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители при помощи решения квадратного уравнения, нужно воспользоваться следующей готовой формулой:
ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)
Где левая часть — исходный квадратный трёхчлен.
Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
x2 − 8x + 12
Найдём корни квадратного трёхчлена. Для этого приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим квадратное уравнение:
x2 − 8x + 12 = 0
В данном случае коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента. Чтобы сэкономить время, некоторые подробные вычисления можно пропустить:
Итак, x1 = 6, x2 = 2. Теперь воспользуемся формулой ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2). В левой части вместо выражения ax2 + bx + c напишем свой квадратный трёхчлен x2 − 8x + 12. А в правой части подставим имеющиеся у нас значения. В данном случае a = 1, x1 = 6, x2 = 2
x2 − 8x + 12 = 1(x − 6)(x − 2) = (x − 6)(x − 2)
Если a равно единице (как в данном примере), то решение можно записать покороче:
x2 − 8x + 12 = (x − 6)(x − 2)
Чтобы проверить правильно ли разложен квадратный трёхчлен на множители, нужно раскрыть скобки у правой части получившегося равенства.
Раскроем скобки у правой части равенства, то есть в выражении (x − 6)(x − 2). Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен x2 − 8x + 12
(x − 6)(x − 2) = x2 − 6x − 2x + 12 = x2 − 8x + 12
Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
2x2 − 14x + 24
Приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим уравнение:
2x2 − 14x + 24 = 0
Как и в прошлом примере коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента:
Итак, x1 = 4, x2 = 3. Приравняем квадратный трехчлен 2x2 − 14x + 24 к выражению a(x − x1)(x − x2), где вместо переменных a, x1 и x2 подстáвим соответствующие значения.
В данном случае a = 2
2x2 − 14x + 24 = 2(x − 4)(x − 3)
Выполним проверку. Для этого раскроем скобки у правой части получившегося равенства. Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен 2x2 − 14x + 24
2(x − 4)(x − 3) = 2(x2 − 4x −3x + 12) = 2(x2 − 7x + 12) = 2x2 − 14x + 24
Как это работает
Разложение квадратного трёхчлена на множители происходит, если вместо коэффициентов квадратного трёхчлена подстáвить теорему Виета и выполнить тождественные преобразования.
Для начала рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена равен единице:
x2 + bx + c
Вспоминаем, что если квадратное уравнение является приведённым, то теорема Виета имеет вид:
Тогда приведённый квадратный трехчлен x2 + bx + c можно разложить на множители следующим образом.
Сначала выразим b из уравнения x1 + x2 = −b. Для этого можно умножить обе его части на −1
Переменную c из теоремы Виета выражать не нужно — она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть:
Теперь подставим выраженные переменные b и c в квадратный трёхчлен x2 + bx + c
Раскроем скобки там где это можно:
В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:
Из первых скобок вынесем общий множитель x, из вторых скобок — общий множитель −x2
Далее замечаем, что выражение (x − x1) является общим множителем. Вынесем его за скобки:
Мы пришли к тому, что выражение x2 + bx + c стало равно (x − x1)(x − x2)
x2 + bx + c = (x − x1)(x − x2)
Но это был случай, когда исходный квадратный трёхчлен является приведённым.
В нём коэффициент a равен единице. И соответственно, в формуле разложения такого квадратного трехчлена коэффициент a можно опустить.
Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена не равен единице. Это как раз тот случай, когда в формуле разложения присутствует перед скобками коэффициент a
ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)
Вспоминаем, что если квадратное уравнение не является приведённым, то есть имеет вид ax2 + bx + c = 0, то теорема Виета принимает следующий вид:
Это потому что теорема Виета работает только для приведённых квадратных уравнений. А чтобы уравнение ax2 + bx + c = 0 стало приведённым, нужно разделить обе его части на a
Далее чтобы квадратный трёхчлен вида ax2 + bx + c разложить на множители, нужно вместо b и c подставить соответствующие выражения из теоремы Виета.
Но в этот раз нам следует использовать равенства и
Для начала выразим b и c. В первом равенстве умножим обе части на a. Затем обе части получившегося равенства умножим на −1
Теперь из второго равенства выразим c. Для этого умножим обе его части на a
Теперь подставим выраженные переменные b и с в квадратный трёхчлен ax2 + bx + c. Для наглядности каждое преобразование будем выполнять на новой строчке:
Здесь вместо переменных b и c были подставлены выражения −ax1 − ax2 и ax1x2, которые мы ранее выразили из теоремы Виета. Теперь раскроем скобки там где это можно:
В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:
Теперь из первых скобок вынесем общий множитель ax, а из вторых — общий множитель −ax2
Далее замечаем, что выражение x − x1 тоже является общим множителем.
Вынесем его за скобки:
Вторые скобки содержат общий множитель a. Вынесем его за скобки. Его можно расположить в самом начале выражения:
Мы пришли к тому, что выражение ax2 + bx + c стало равно a(x − x1)(x − x2)
ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)
Отметим, что если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители. Действительно, если не найдены корни квадратного трёхчлена, то нéчего будет подставлять в выражение a(x − x1)(x − x2) вместо переменных x1 и x2.
Если квадратный трёхчлен имеет только один корень, то этот корень одновременно подставляется в x1 и x2.
Например, квадратный трёхчлен x2 + 4x + 4 имеет только один корень −2
Тогда значение −2 в процессе разложения на множители будет подставлено вместо x1 и x2. А значение a в данном случае равно единице. Её можно не записывать, поскольку это ничего не даст:
Скобки внутри скобок можно раскрыть. Тогда получим следующее:
При этом если нужно получить короткий ответ, последнее выражение можно записать в виде (x + 2)2 поскольку выражение (x + 2)(x + 2) это перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен (x + 2)
Примеры разложений
Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
3x2 − 2x − 1
Найдём корни квадратного трёхчлена:
Воспользуемся формулой разложения. В левой части напишем квадратный трёхчлен 3x2 − 2x − 1, а в правой части — его разложение в виде a(x − x1)(x − x2), где вместо a, x1 и x2 подстáвим соответствующие значения:
Во вторых скобках можно заменить вычитание сложением:
Пример 2.
Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
3 − 11x + 6x2
Упорядочим члены так, чтобы старший коэффициент располагался первым, средний — вторым, свободный член — третьим:
6x2 − 11x + 3
Найдём корни квадратного трёхчлена:
Воспользуемся формулой разложения:
Упростим получившееся разложение. Вынесем за первые скобки общий множитель 3
Теперь воспользуемся сочетательным законом умножения. Напомним, что он позволяет перемножать сомножители в любом порядке. Умножим 3 на вторые скобки. Это позвóлит избавиться от дроби в этих скобках:
Пример 3. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
3x2 + 7x − 6
Найдём корни квадратного трёхчлена:
Воспользуемся формулой разложения:
Пример 4. Найдите значение k, при котором разложение на множители трёхчлена 3x2 − 8x + k содержит множитель (x − 2)
Если разложение содержит множитель (x − 2), то один из корней квадратного трёхчлена равен 2.
Пусть корень 2 это значение переменной x1
Чтобы найти значение k, нужно знать чему равен второй корень. Для его определения воспользуемся теоремой Виета.
В данном случае квадратный трёхчлен не является приведённым, поэтому сумма его корней будет равна дроби , а произведение корней — дроби
Выразим из первого равенства переменную x2 и сразу подстáвим найденное значение во второе равенство вместо x2
Теперь из второго равенства выразим k. Так мы найдём его значение.
Пример 5. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
Перепишем данный трёхчлен в удобный для нас вид. Если в первом члене заменить деление умножением, то получим . Если поменять местами сомножители, то получится . То есть коэффициент a станет равным
Коэффициент b можно перевести в обыкновенную дробь. Так проще будет искать дискриминант:
Найдём корни квадратного трёхчлена:
Воспользуемся формулой разложения:
Задания для самостоятельного решения
Задание 1.
Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Показать решение
Задание 2. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Показать решение
Задание 3. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Показать решение
Задание 4. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Показать решение
Задание 5. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Показать решение
Задание 6. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Показать решение
Задание 7. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Показать решение
Задание 8. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Показать решение
Задание 9. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Показать решение
Задание 10. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Показать решение
Задание 11. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Показать решение
Задание 12.
Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Показать решение
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Разложение квадратного уравнения на множители – формула
4.7
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 171.
4.7
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 171.
Квадратное уравнение – это основа большей части задач и примеров школьного курса математики. Разложение квадратного уравнения на множители – процесс необходимый для решения дробно рациональных уравнений.
Формула квадратного уравнения
Давайте разберемся. Квадратное уравнение раскладывать на множители приходится крайне редко.
2-21x-70}\over{7x+14}}= (х-5)$$
Что мы узнали?
Мы разделили понятия квадратного уравнения и квадратного трехчлена, разобрались с понятием формулы разложения на множители квадратного уравнения и привели пример использования этой формулы.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Герман Залуцкий
5/5
Оценка статьи
4.7
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 171.
Факторинг — Фотомат
Исследуйте квадратные уравнения
То, что математика усложняется, не означает, что мы не можем сделать ее немного проще для себя! Факторинг — это один из способов сделать наши расчеты более ясными и легкими для понимания.
А кто бы не хотел упростить математику?
Что значит разложить выражение на множители?
Разложить выражение на множители означает переписать его как произведение двух или более множителей.
Действительно, это еще один яркий момент для распределительного свойства умножения! Мы не используем его для вычисления произведения, но мы можем использовать его для записи выражения в виде произведения.
Факторинг часто используется при решении квадратных уравнений, потому что тогда квадратное выражение переписывается как произведение линейных выражений. Затем, помня о свойстве нулевого произведения, мы знаем, что решения уравнения являются решениями линейных уравнений.
«Подождите… что такое квадратное уравнение?!»
Хороший вопрос! Квадратное уравнение – это уравнение, в котором переменная возведена во вторую степень. (Нажмите на эту ссылку, если вам нужно больше контекста!)
92+bx+c=0$$Чем так полезен факторинг?
Факторинг используется для решения квадратных уравнений. Некоторые выражения можно легко разложить на множители, так что квадратное выражение будет переписано как произведение двух линейных выражений, которые мы все знаем, как решать!
Наиболее распространенный способ разложения на множители — это использование квадрата суммы, квадрата разности, разности квадратов и вынесение на множитель общего множителя.
Как факторизовать
Теперь, когда мы знаем, что такое факторинг и почему он полезен, пришло время увидеть его в действии! Давайте вместе решим некоторые проблемы. 92}=({a}-{b})({a}+{b})$$? Мы собираемся использовать его в нашем выражении:
$$({5x}-{1})({5x}+{1})=0$$
Когда произведение множителей равно $$0$$, хотя бы один фактор равен $$0$$. Итак, разделим уравнение по падежам:
$$5x{-}{1}=0$$
$$5x{+}{1}=0$$
Перенесем константы в правую часть и меняем их знаки:
$$5x=1$$
$$5x={-}1$$
Разделим обе части уравнений на $$5$$:
$$x=\frac15$$
92=0$$Степень может быть равна $$0$$ только тогда, когда основание равно $$0$$, поэтому:
$$t{-}{2}=0$$
Ход константу в правую часть и меняем знак:
$$t=2$$
Это уравнение имеет только одно решение:
$$t=2$$
Мы сделали это снова!
Давайте рассмотрим процесс, чтобы вы могли научиться использовать его с любой проблемой:
Резюме исследования
- Фактор выражения.
- Разделите на возможные случаи.
- Решите уравнения, чтобы получить решения!
Сделай сам!
Развлекаетесь факторингом? Просто хотите немного попрактиковаться, прежде чем работать над чем-то оцениваемым? К счастью для вас, мы собрали несколько практических задач, которые помогут вам отточить свои навыки!
Решить квадратные уравнения, используя факторинг: 92-4=0$$ Решения: Если у вас проблемы с решением, сделайте вдох! Это совершенно нормально и нормально. Если вы не знаете, как поступить, вы всегда можете отсканировать проблему с помощью приложения Photomath, чтобы мы могли помочь вам с другой стороны! Вот краткий обзор того, что вы увидите: / Есть домашнее задание по алгебре?
Зайдите в приложение Photomath, чтобы быстро найти пошаговые решения всех ваших задач по алгебре.
Калькулятор факторизации квадратного уравнения
| Дом | |
| Многочлены | |
| Нахождение наибольшего общего делителя | |
| Факторинг трехчленов | |
| Функция абсолютного значения | |
| Краткий обзор полиномов факторинга | |
| Сложение дробей | |
| Вычитание дробей | |
| Метод ФОЛЬГИ | |
| Графики составных неравенств | |
| Решение абсолютных неравенств | |
| Сложение и вычитание многочленов | |
| Использование наклона | |
| Решение квадратных уравнений | |
| Факторинг | |
| Свойства умножения показателей степени | |
| Завершение квадрата | |
| Решение систем уравнений методом подстановки | |
| Объединение подобных радикальных терминов | |
| Исключение с помощью умножения | |
| Решение уравнений | |
| Теорема Пифагора 1 | |
| Нахождение наименьших общих кратных | |
| Умножение и деление в научной записи | |
| Сложение и вычитание дробей | |
| Решение квадратных уравнений | |
| Сложение и вычитание дробей | |
| Умножение на 111 | |
| Сложение дробей | |
| Умножение и деление рациональных чисел | |
| Умножение на 50 | |
| Решение линейных неравенств с одной переменной | |
| Упрощение кубических корней, содержащих целые числа | |
| Графики составных неравенств | |
| Простые трехчлены как произведения двучленов | |
| Написание линейных уравнений в форме наклона-пересечения | |
| Решение линейных уравнений | |
| Линии и уравнения | |
| Пересечения параболы | |
| Функция абсолютного значения | |
| Решение уравнений | |
| Решение сложных линейных неравенств | |
| Комплексные номера | |
| Факторизация разности двух квадратов | |
| Умножение и деление рациональных выражений | |
| Сложение и вычитание радикалов | |
| Умножение и деление чисел со знаком | |
| Решение систем уравнений | |
| Факторизация противоположности GCF | |
| Умножение специальных многочленов | |
| Свойства экспонентов | |
| Научное обозначение | |
| Умножение рациональных выражений | |
| Сложение и вычитание рациональных выражений с отличающимися знаменателями | |
| Умножение на 25 | |
| Десятичные дроби в дроби | |
| Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата | |
| Частное правило для экспонент | |
| Упрощение квадратных корней | |
| Умножение и деление рациональных выражений | |
| Независимые, противоречивые и зависимые системы уравнений | |
| Склоны | |
| Графические линии в координатной плоскости | |
| Графические функции | |
| Силы десяти | |
| Свойство нулевой мощности экспонентов | |
| Вершина параболы | |
| Рационализация знаменателя | |
| Тест факторизуемости для квадратных трехчленов | |
| Трехчленные квадраты | |
| Решение двухшаговых уравнений | |
| Решение линейных уравнений, содержащих дроби | |
| Умножение на 125 | |
| Свойства экспоненты | |
| Умножение дробей | |
| Сложение и вычитание рациональных выражений с одинаковым знаменателем | |
| Квадратные выражения — Заполнение квадратов | |
| Сложение и вычитание смешанных чисел с разными знаменателями | |
| Решение формулы для заданной переменной | |
| Факторинг трехчленов | |
| Умножение и деление дробей | |
| Умножение и деление комплексных чисел в полярной форме | |
| Уравнения мощности и их графики | |
| Решение линейных систем уравнений подстановкой | |
| Решение полиномиальных уравнений методом факторинга | |
| Законы экспонентов | |
| индекс дома | |
| Системы линейных уравнений | |
| Свойства рациональных показателей | |
| Мощность произведения и мощность частного | |
| Факторинг различий идеальных квадратов | |
| Деление дробей | |
| Разложение полинома на множители путем нахождения GCF | |
| Графики линейных уравнений | |
| шагов в факторинге | |
| Свойство умножения показателей степени | |
| Решение систем линейных уравнений с тремя переменными | |
| Решение экспоненциальных уравнений | |
| Нахождение НОК набора одночленов | |
- Выражение
- Equation
- Inequality
- Contact us
- Simplify
- Factor
- Expand
- GCF
- LCM
- Solve
- Graph
- System
- Solve
- Graph
- System
- Математический решатель на вашем сайте
Калькулятор квадратного уравнения факторизации
Связанные темы:
кубические корни отрицательное число |
приложения, использующие квадратные уравнения |
решатель рациональных выражений |
производные калькуляторы онлайн |
алгебра тупица |
свойство радикальных показателей |
упростить работу |
калькулятор уравнения факторизации |
процентные уравнения |
смешивать числа и дроби |
рабочие листы показателей
| Автор | Сообщение | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| IP-Допи Зарегистрирован: 07. |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| oc_rana Зарегистрирован: 08.03.2007 |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| cmithy_dnl Дата регистрации: 08.01.2002 |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| MoonBuggy Дата регистрации: 23.11.2001 |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| hp_calamom Дата регистрации: 30.03.2005 |
| ||||||
12.2001 
А время экзамена близится. Мне нужен кто-то, кто поможет мне. Есть ли что-то конкретное, что можно сделать, чтобы получить какую-то помощь? У меня есть хороший набор вопросов, которые помогут мне изучить эти темы, но проблема в том, что я просто не могу их разгадать, сколько бы усилий ни прилагал. Пожалуйста, помогите!
Вам просто нужна хорошая программа для прояснения сложных проблем. Вам не нужен репетитор, потому что, с одной стороны, это очень дорого, а во-вторых, его не будет рядом с вами, когда вам понадобится помощь. Программное обеспечение лучше, потому что вам нужно получить его только один раз, и оно будет вашим навсегда. Я рекомендую вам проверить Algebrator, потому что это лучший. Поскольку он может решать практически любые задачи по алгебре, вы наверняка будете использовать его очень долго, как и я. Я купил его много лет назад, когда учился в алгебраическом колледже, но до сих пор иногда им пользуюсь.
Большинство студентов в моем классе работают неполный рабочий день. Наш учитель познакомил нас с этим инструментом, и с тех пор мы все им пользуемся.
Algebrator — действительно отличная программа для алгебры. Я использовал его на нескольких математических занятиях — промежуточной алгебре, предварительной алгебре и базовой математике. Я просто вводил проблему из рабочей книги, и, нажимая «Решить», появлялось пошаговое решение. Программа настоятельно рекомендуется.