Квадратные неполные уравнения решение: Неполные квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений

2+bx+5 = 0$

$$ {\left\{ \begin{array}{c} a+b+5 = 0 \\ 16a+4b+5 = 0 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a+b = -5 \\ 4a+b = -1 \frac{1}{4} \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 3a = 3 \frac{3}{4} \\ b = -a-5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 1 \frac{1}{4} \\ b = -6 \frac{1}{4} \end{array} \right.} $$

(О решении системы двух линейных уравнений – см.§43 справочника для 7 класса)

Неполные квадратные уравнения – формула и примеры

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 158.

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 158.

Неполные квадратные уравнения решаются очень быстро. Главное знать, как решается каждый отдельный подвид неполного уравнения, а их всего 3, имеет свой, давно известный путь решения. Достаточно попробовать решить по одному уравнению из каждого вида, и вы будете свободно ориентироваться в этой теме.

Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.

2=0$$

$$x_1=0$$

$$x_2=0$$

Обратите внимание на то, что в любом случае, для корней квадратного уравнения необходима проверка. Каждый из получившихся корней нужно подставить в исходное уравнение и подсчитать результат.

Для неполных уравнений это особенно важно, потому что все считают их легкими и не акцентируют внимание на подсчетах. Это может привести к разного рода ошибкам. Чаще всего, ученики путают знаки. Вместо + получается – и наоборот. Помните, что знаки это очень важны и за ними нужно следить при переносе и делении чисел. Проверить себя можно, подставив значения в приведенные в статье формулы.

Иногда коэффициент а может быть отрицательным. В этом случае, вам придется делить на отрицательное число. А значит – все знаки уравнения поменяются на противоположные. Будьте внимательны в этих скользких моментах.

Что мы узнали?

Мы дали определение неполного квадратного уравнения. Разобрали виды неполных квадратных уравнений и пути их решения, привели примеры для каждого из них.

Поговорили о скользких моментах, на которых часто случаются ошибки.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

• Нина Середкина

  4/5

• Марина Ковтун

  5/5

Оценка статьи

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 158.

---

А какая ваша оценка?

Модуль 4. Радикалы и квадратичная формула

Перейти к навигацииПерейти к содержанию

Искать:

Квадратные корни продолжают играть важную роль в математике, хотя использование калькулятора говорит о том, что мы по-прежнему уделяем этой теме слишком много времени. Этот блок направлен на рассмотрение и расширение возможностей учащегося манипулировать выражениями с квадратным корнем. Он использует эти навыки для решения неполных квадратных уравнений. Завершение квадрата используется для создания неполных квадратичных уравнений, в конечном итоге уступая место квадратичной формуле.

Через формулу учащимся раскрываются универсальные факты о сумме и произведении корней квадратного уравнения. Эти факты затем используются для создания квадратных уравнений. Наконец, разрабатываются дробные силы с твердо установленной эквивалентностью корней.

• Уравнения квадратного корня

  УРОК/ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

  КЛЮЧ ОТВЕТА

  РЕДАКТИРУЕМЫЙ УРОК

  РЕДАКТИРУЕМЫЙ КЛЮЧ

• Рационализация дробей

  УРОК/ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

  КЛЮЧ ОТВЕТА

  РЕДАКТИРОВАННЫЙ УРОК

  РЕДАКТИРОВАННЫЙ КЛЮЧ

• Квадратичная формула

  УРОК/ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

  КЛЮЧ ОТВЕТА

  РЕДАКТИРУЕМЫЙ УРОК

  РЕДАКТИРУЕМЫЙ КЛЮЧ

• Больше работы с корнями

  УРОК/ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

  КЛЮЧ ОТВЕТА

  РЕДАКТИРУЕМЫЙ УРОК

  РЕДАКТИРУЕМЫЙ КЛЮЧ

• Экспонентная практика

  УРОК/ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

  КЛЮЧ ОТВЕТА

  РЕДАКТИРОВАННЫЙ УРОК

  РЕДАКТИРОВАННЫЙ КЛЮЧ

• Обзор Темы 4 – Радикалы и квадратичная формула

  ОБЗОР МОДУЛЯ

  КЛЮЧ ОТВЕТА

  РЕДАКТИРОВАННЫЙ ОБЗОР

  РЕДАКТИРОВАННЫЙ КЛЮЧ

• Форма оценки Раздела 4 A

  ОЦЕНКА

  КЛЮЧ ОТВЕТА

  РЕДАКТИРУЕМАЯ ОЦЕНКА

  РЕДАКТИРУЕМАЯ КЛЮЧ

• Форма оценки Раздела 4 B

  ОЦЕНКА

  КЛЮЧ ОТВЕТОВ

  РЕДАКТИРУЕМАЯ ОЦЕНКА

  РЕДАКТИРУЕМАЯ КЛЮЧ

• Форма оценки Раздела 4 C

  ОЦЕНКА

  КЛЮЧ ОТВЕТА

  РЕДАКТИРУЕМАЯ ОЦЕНКА

  РЕДАКТИРУЕМАЯ КЛЮЧ

• Форма оценки Раздела 4 D

  ОЦЕНКА

  КЛЮЧ ОТВЕТОВ

  РЕДАКТИРУЕМАЯ ОЦЕНКА

  РЕДАКТИРУЕМАЯ КЛЮЧ

• Блок 4 Выходные билеты

  ОЦЕНКА

  КЛЮЧ ОТВЕТА

  РЕДАКТИРУЕМАЯ ОЦЕНКА

  РЕДАКТИРУЕМАЯ КЛЮЧ

• Раздел 4 – Викторина в середине раздела (урок №7) – Форма A

  ОЦЕНКА

  ОТВЕТЫ

  РЕДАКТИРОВАННАЯ ОЦЕНКА

  РЕДАКТИРОВАННАЯ КЛЮЧ

• Раздел 4 – Викторина в середине раздела (через урок №7) – Форма B

  ОЦЕНКА

  КЛЮЧ ОТВЕТА

  РЕДАКТИРУЕМАЯ ОЦЕНКА

  РЕДАКТИРУЕМАЯ КЛЮЧ

• Блок 4 – Викторина промежуточного блока (через урок №7) – Форма C

  ОЦЕНКА

  КЛЮЧ ОТВЕТА

  РЕДАКТИРОВАННАЯ ОЦЕНКА

  РЕДАКТИРОВАННАЯ КЛЮЧ

• U04.

  AO.01 – Расширенная задача квадратичного моделирования (после урока 7)

  РЕСУРС

  КЛЮЧ ОТВЕТА

  РЕДАКТИРОВАННЫЙ РЕСУРС

  РЕДАКТИРОВАННЫЙ КЛЮЧ

• U04.AO.02 – Практика квадратичных формул

  РЕСУРС

  КЛЮЧ ОТВЕТА

  РЕДАКТИРУЕМЫЙ РЕСУРС

  РЕДАКТИРУЕМЫЙ КЛЮЧ

Получите доступ к дополнительным ресурсам eMath

Зарегистрируйтесь и станьте проверенным учителем для большего доступа.

Мы используем файлы cookie, чтобы предложить вам лучший просмотр, анализировать трафик сайта и персонализировать контент. Узнайте о том, как мы используем файлы cookie и как вы можете ими управлять, в нашей Политике конфиденциальности. Если вы продолжаете использовать этот сайт, вы соглашаетесь на использование нами файлов cookie.

Объяснение урока: Решение квадратных уравнений: Квадратная формула

В этом объяснении мы научимся решать квадратные уравнения, используя квадратичная формула.

Напомним, что квадратное уравнение — это уравнение с одной переменной, где наивысший порядок любого термина равен 2. Это становится более явным в определении ниже.

Определение: квадратное уравнение

Уравнение 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎≠0, с переменной 𝑥 и константы 𝑎, 𝑏 и 𝑐, называется квадратное уравнение (или уравнение второй степени).

Для решения квадратных уравнений можно использовать следующие методы:

• Разложение на множители
• Составление квадрата
• Использование формулы квадрата
• Графическое решение

До сих пор мы встречались с факторингом и завершением квадрата. Мы будем использовать завершение квадрат, чтобы вывести квадратную формулу, что является методом, который мы будем сосредоточив внимание в этом объяснителе.

Если у нас есть квадратное уравнение вида 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎≠0, с переменной 𝑥 и константы 𝑎, 𝑏 и 𝑐, затем используя завершая квадрат, мы можем переставить и решить для 𝑥 следующее.

Сначала разделим на 𝑎, коэффициент 𝑥: 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0𝑥+𝑏𝑎𝑥+𝑐𝑎=0.

Далее вычтем 𝑐𝑎 с обеих сторон: 𝑥+𝑏𝑎𝑥=−𝑐𝑎.

Затем, чтобы получить идеальный квадрат, мы добавим 𝑏2𝑎 в обе стороны: 𝑥+𝑏𝑎𝑥+𝑏2𝑎=−𝑐𝑎+𝑏2𝑎.

Поскольку левая часть уравнения имеет вид 𝑥+2𝑑𝑥+𝑑, идеальный квадрат, то мы можем записать это как (𝑥+𝑑): 𝑥+𝑏2𝑎=−𝑐𝑎+𝑏2𝑎.

Далее мы переставим 𝑥 в качестве подлежащего. Первый, мы квадратный корень с обеих сторон (взяв как положительные, так и отрицательные квадратные корни): 𝑥+𝑏2𝑎=−𝑐𝑎+𝑏2𝑎𝑥+𝑏2𝑎=±−𝑐𝑎+𝑏2𝑎.

Далее выделяем 𝑥: 𝑥=−𝑏2𝑎±−𝑐𝑎+𝑏2𝑎.

Далее упрощаем, раскрывая скобки в радикале и переставляя немного: 𝑥=−𝑏2𝑎±𝑏2𝑎−𝑐𝑎=−𝑏2𝑎±𝑏4𝑎−𝑐𝑎.

Теперь мы можем записать все выражение в радикале над общим знаменателем: 𝑥=−𝑏2𝑎±𝑏4𝑎−4𝑎𝑐4𝑎=−𝑏2𝑎±𝑏−4𝑎𝑐4𝑎.

Так как знаменатель в радикале является полным квадратом, то мы можем квадратный корень это и напишите вне радикала: 𝑥=−𝑏2𝑎±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎. 

Объединяя два члена, поскольку у них один и тот же знаменатель, мы получаем 𝑥=−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎.

Таким образом, в окончательной форме 𝑥=−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎 представляет собой квадратичную формулу, которая используется нахождение решений квадратных уравнений вида 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎≠0. Об этом говорится в определении ниже.

Определение: Квадратная формула

Чтобы решить квадратное уравнение в форме 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎≠0, с переменной 𝑥 и константами 𝑎, 𝑏 и 𝑐 мы можем использовать квадратичная формула для решения для 𝑥: 𝑥=−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎.

Всякий раз, когда мы хотим использовать квадратичную формулу, мы должны гарантировать, что наша квадратичная уравнение равно нулю, при этом оно в развернутом виде и максимально упрощено возможно, чтобы он был в виде 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎≠0. Затем нам нужно определить, что 𝑎, 𝑏 и 𝑐 каждый. После этого мы можем подставить в квадратную формулу и решить для 𝑥. Обычно есть два значения 𝑥, соответствующие положительным и отрицательным квадратным корням из 𝑏−4𝑎𝑐, но иногда бывает только один, а то и вовсе нет решения в зависимости от значений 𝑎, 𝑏 и 𝑐.

Мы обсудим, как решить квадратное уравнение, которое уже имеет вид 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎≠0 в нашем первом пример.

Пример 1. Решение квадратных уравнений с помощью квадратного Формула

Найдите набор решений уравнения 6𝑥−8𝑥+1=0, что дает значения до двух знаков после запятой.

Ответ

Так как уравнение 6𝑥−8𝑥+1=0 является квадратным уравнением, то мы можем использовать один из методов решения квадратичных уравнений. В этом случае мы собираемся использовать квадратная формула для решения. Напомним, что для квадратного уравнения в вид 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎≠0, тогда 𝑥=−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎.

Поскольку 6𝑥−8𝑥+1=0 уже находится в той же форме, что и 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, так как он равен нулю, полностью упрощенный, и записаны в убывающей степени 𝑥, то мы можем идентифицировать значения 𝑎, 𝑏 и 𝑐: 𝑎=6,𝑏=−8,𝑐=1.и

Подставляя эти значения в квадратичную формулу и решая для 𝑥, получаем 𝑥=−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎=−(−8)±(−8)−4(6)(1)2(6)=8±√64−2412=8±√4012=8±2√ 1012=4±√106. 

Поскольку нас просят дать решение с двумя десятичными знаками, то оценка 𝑥, получаем 𝑥=1,19…0,14….или

Таким образом, набор решений уравнения 6𝑥−8𝑥+1=0 равен {0.14,1.19} исправить до 2 знаков после запятой.

В следующем примере мы рассмотрим, как решить квадратное уравнение, которое изначально не имеет вида 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, но перестановкой можно положить в этой форме, а затем решить с помощью квадратичной формулы.

Пример 2. Решение квадратных уравнений с помощью квадратного Формула

Найдите набор решений 𝑥−6(𝑥−1)=2 в ℝ, что дает значения до двух знаков после запятой.

Ответ

Поскольку уравнение 𝑥−6(𝑥−1)=2 содержит член с 𝑥, то это, скорее всего, квадратное уравнение. К проверить, можно упростить, раскрыв скобки и приравняв уравнение к ноль следующим образом: 𝑥−6(𝑥−1)=2𝑥−6𝑥+6=2𝑥−6𝑥+4=0.

Поскольку наибольшая степень в уравнении равна 2, мы можем видеть, что это Квадратное уравнение. Поскольку теперь он записывается в виде 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎≠0, то мы можем применить квадратичную формулу, которая утверждает 𝑥=−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎.

Мы видим, что для 𝑥−6𝑥+4=0, 𝑎=1, 𝑏=−6 и 𝑐=4. Подставив это в квадратичную формулу, мы получаем 𝑥=−(−6)±(−6)−4(1)(4)2(1).

Упрощая, получаем 𝑥=6±√36−162=6±√202=6±2√52=3±√5.

Так как нас просят указать решение с точностью до 2 знаков после запятой, то оценивая 𝑥, мы получаем 𝑥=5,24…𝑥=0,76….или

Итак, набор решений 𝑥−6(𝑥−1)=2 с точностью до 2 знаков после запятой места {0,76,5,24}.

Мы можем использовать решения квадратных уравнений, чтобы найти неизвестные части уравнения, такие как коэффициенты или константы. Мы можем сделать это с помощью подставляя известные и неизвестные части в квадратную формулу и решение неизвестной части. Мы рассмотрим, как это сделать в следующем пример.

Пример 3.

Нахождение неизвестных в квадратных уравнениях с помощью Квадратичная формула

Учитывая, что 𝑥=−2 является корнем уравнения 𝑥−4𝑚𝑥−𝑚−6=0, найти множество возможных значений 𝑚.

Ответ

Так как 𝑥−4𝑚𝑥−𝑚−6=0 имеет вид квадратное уравнение, то мы можем использовать квадратную формулу, чтобы найти значения 𝑚.

Квадратичная формула утверждает, что для уравнения в форме 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎≠0 тогда 𝑥=−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎.

Мы можем видеть, сравнивая 𝑥−4𝑚𝑥−𝑚−6=0 с 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 что 𝑎=1, 𝑏=−4𝑚 и 𝑐=−𝑚−6. Так как мы также знаем, что один из корней уравнения равен 𝑥=−2, то мы можем заменить 𝑎, 𝑏, 𝑐 и 𝑥 в квадратную формулу: 𝑥=−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎−2=−(−4𝑚)±(−4𝑚)−4(−(𝑚−6)(1))2(1).

Упрощая, получаем −2=4𝑚±√16𝑚+4(𝑚−6)2=4𝑚±√16𝑚+4𝑚−242=4𝑚±√20𝑚−242.

Мы можем еще больше упростить, выделив 4 и подставив его вне радикала: −2=4𝑚±√4(5𝑚−6)2=4𝑚±2√(5𝑚−6)2=2𝑚±√(5𝑚−6). 

Далее нужно найти 𝑚. Так как часть уравнения содержит 𝑚, затем после перестановки оно, вероятно, будет формой квадратного уравнения. Таким образом, мы хотим изменить порядок, чтобы он был в форме 𝑎𝑚+𝑏𝑚+𝑐=0, 𝑎≠0, так что мы можем снова применить квадратичную формулу (но на этот раз с другими значениями для 𝑎, 𝑏 и 𝑐).

Переставляя, получаем −2=2𝑚±√(5𝑚−6)−2−2𝑚=±√(5𝑚−6)(−2−2𝑚)=5𝑚−64+8𝑚+4𝑚=5𝑚−60=5𝑚−4𝑚−8𝑚−4− 6𝑚−8𝑚−10=0.

Теперь, когда уравнение имеет вид 𝑎𝑚+𝑏𝑚+𝑐=0, 𝑎≠0, мы можем найти 𝑎, 𝑏 и 𝑐. Сравнивая, мы видим, что 𝑎=1, 𝑏=-8 и 𝑐=-10. Подставляя в квадратную формулу, получаем 𝑚=−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎=−(−8)±(−8)−4(1)(−10)2(1).

Упрощая, получаем 𝑚=8±√64+402=8±√1042=8±2√262=4±√26.

Следовательно, возможные значения 𝑚 равны {4−√26,4+√26}.

В дополнение к квадратным уравнениям, которые содержат квадратичные члены, мы можем иметь уравнения, которые на первый взгляд могут показаться неквадратичными, но с некоторыми перестановки становятся квадратичными. Например, 1𝑥=4𝑥 можно переставить, чтобы получить 1=4𝑥, которое является квадратным уравнением. Следовательно, мы можем решить уравнения, которые после перестановки становятся квадратичными и могут сделать это с помощью квадратичной формулы. В нашем следующем примере мы рассмотрим, как это сделать.

Пример 4. Преобразование уравнения для решения с использованием квадратного уравнения Формула

Найдите набор решений уравнения −5−5𝑥=1𝑥 в ℝ, давая значения до одного десятичного знака.

Ответ

Чтобы решить −5−5𝑥=1𝑥, нужно полезно сначала удалить любые переменные в знаменателях. Для этого мы нужно умножить на высшую степень 𝑥 в знаменателе, то есть 𝑥. Это дает нам −5−5𝑥=1𝑥−5𝑥−5𝑥𝑥=𝑥𝑥−5𝑥−5𝑥=1.

Поскольку наивысшая степень уравнения равна 2, то мы можем видеть, что это Квадратное уравнение. Чтобы решить по квадратной формуле, нужно переставьте, чтобы сделать это в форме 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎≠0. В этом случае полезно переместить термины из левой части в правую, так что коэффициенты положительный (но это не обязательно имеет значение), чтобы было легче сделать расчеты позже: −5𝑥−5𝑥=10=5𝑥+5𝑥+15𝑥+5𝑥+1=0,

Теперь, когда это в форме 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎≠0 мы можем применить квадратичную формулу, которая утверждает 𝑥=−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎.

Сравнение 5𝑥+5𝑥+1=0 с 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, мы видим, что 𝑎=5, 𝑏=5 и 𝑐=1. Подставляя в квадратное формула, мы получаем 𝑥=−5±√5−4(5)(1)2(5).

Упрощая, получаем 𝑥=−5±√25−2010=−5±√510.

Поскольку вопрос требует, чтобы мы нашли набор решений с точностью до одного десятичного знака место, то мы оценим это, дав нам 𝑥=−0,28…𝑥=−0,72.или

Следовательно, множество решений уравнения −5−5𝑥=1𝑥 с точностью до одного десятичного знака равно {−0,3,−0,7}.

В дополнение к уравнениям, которые можно преобразовать в квадратное уравнение, у нас могут быть уравнения, которые сами по себе не являются квадратными, но могут быть решены используя квадратичную формулу, поскольку они находятся в квадратичной форме. Например, 𝑥+2𝑥+1=0 является уравнением четвертой степени, так как его наивысшая степень равна 4, но поскольку он принимает форму 𝑎𝑦+𝑏𝑦+𝑐=0, 𝑎≠0, где переменная 𝑦 представляет 𝑥 или 𝑥+2𝑥+1=0, то можно решается по квадратичной формуле, так как она имеет квадратичную форму.

В следующем примере мы рассмотрим, как решить уравнение четвертой степени, написав его в виде квадратного уравнения и по квадратной формуле.

Пример 5. Использование квадратичной формулы для решения квартики Уравнение

Используя квадратичную формулу, найдите все решения уравнения 𝑥−10𝑥+1=0.

Ответить

Найти решения уравнения 𝑥−10𝑥+1=0 используя квадратную формулу, нам нужно записать уравнение в виде Квадратное уравнение. Мы видим, что у нас есть даже силы 𝑥, то есть мы можем заменить 𝑥 на другая переменная, скажем 𝑦, дает нам 𝑦=𝑥. Это дает нам 𝑥−10𝑥+1=0𝑦−10𝑦+1=0

Теперь мы можем видеть, что 𝑦−10𝑦+1=0 принимает форму квадратное уравнение 𝑎𝑦+𝑏𝑦+𝑐=0, 𝑎≠0. Затем мы можем применить квадратичную формулу для решения для 𝑦, в котором говорится 𝑦=−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎.

Поскольку 𝑎=1, 𝑏=−10 и 𝑐=1, то подстановка дает нам 𝑦=−(−10)±(−10)−4(1)(1)2(1).

Упрощая, получаем 𝑦=10±√100−42=10±√962=10±4√62=5±2√6.

Помните, что мы допускаем 𝑦=𝑥, поэтому 𝑥=5±2√6.

Квадратный корень с обеих сторон и решение для 𝑥 дает нам 𝑥=±5±2√6.

Следовательно, все решения уравнения 𝑥−10𝑥+1=0 𝑥=5+2√6,𝑥=−5+2√6,𝑥=5−2√6,𝑥=−5−2√6.and

В этом объяснении мы обсудили, как решить квадратные уравнения, используя квадратичная формула. Чтобы привести уравнения к требуемому виду, либо переделали уравнение, либо подставили его в квадратное форма. Напомним ключевые моменты.

Ключевые моменты

• Мы можем решать квадратные уравнения вида 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎≠0 по квадратичной формуле 𝑥=−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎.

  No related posts.