- пределы
$\endgroup$
5
$\begingroup$
Как вы заметили, это «$0 \times -\infty$», что является неопределенным, поэтому мы можем использовать правило Лопиталя. Но сначала мы должны последовать предложению Бабака С., заметив, что
$$x \log x = \frac{\log{x}}{1/x}.$$
Принимая предел, мы получаем 92}{x} = \lim \limits_{x \to 0} -x = 0.$$
Если вам нужно освежить в памяти правило Лопиталя, вы можете посмотреть лекцию Адриана Бэннера на эту тему
- Исчисление I — Оптимизация и правило Лопиталя — Лекция 10 (Начало примерно в 1:15:00).
$\endgroup$
1
Подсказка:
- У нас есть неопределенная форма $0 \cdot \infty$
- Пусть $t = \dfrac{1}{x}$, а теперь измените предел, чтобы использовать $t \rightarrow \infty$.
Что вы получаете и что можете использовать?
$\endgroup$
4
$\begingroup$
Подсказка: Предполагая, что вы можете знать правило Hopital, рассмотрите основную функцию следующим образом: $$x\log(x)=\frac{\log(x)}{\frac{1}x}$$, а затем взять этот предел. 9y$ или по индукции и распространены на действительные числа.
$\endgroup$
исчисление — предел $\lim_{x \to 1} \frac{\log{x}}{x-1}$ без L’Hôpital
спросил
Изменено 6 лет, 11 месяцев назад
Просмотрено 5к раз
$\begingroup$
Мне интересно, можно ли определить этот предел без использования правила Лопиталя: $$\lim_{x \to 1} \frac{\log{x}}{x-1}$$
- исчисление
- анализ
- пределы
- пределы без капитала
$\endgroup$
2
$\begingroup$
В ЭТОМ ОТВЕТЕ и ЭТОМ я показал, без использования вычислений, что логарифмическая функция удовлетворяет неравенствам
$$\frac{x-1}{x}\le \log(x)\le x-1$$
Следовательно, для $x>1$ можно написать
$$\frac1x \le \ frac{\log(x)}{x-1}\le 1$$
и для $x<1$
$$1 \le \frac{\log(x)}{x-1}\le \ frac1x$$
, после чего применение теоремы сжатия дает результат $1$.
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Чтобы уточнить комментарий Copper.hat, это , а не требуют, чтобы правило Лопиталя признавало, что
$$\lim_{x\to1}{\log x\over x-1}=\lim_{x\to1}{\log x-\log1\over x -1}=f'(1)\quad\text{где}f(x)=\log x$$
Это просто определение производной. Если вы также знаете, что $f'(x)=1/x$, тогда вы получите
$$\lim_{x\to1}{\log x\over x-1}=1$$
Это может быть отметил, что правило Лопиталя часто используется для решения подобных проблем, но его применение чисто для удобства .
$\endgroup$
$\begingroup$
Перепишите это, используя $t = h-1$, как $$\lim_{t\to 0} \frac{\log(1+t) — 0}{t}.$$
Теперь попытайтесь распознать это как производная известной вам функции.