Примеры решения задач по алгебре. Линейная алгебра и Аналитическая геометрия
- Категория: Линейная алгебра и Аналитическая геометрия
Задача 1.
Дана система трёх линейных уравнений. Найти решение её методом Крамера.
2x + 3y + z = 1
— x + 4y + 2z = — 1
x — 2z — 3z = — 3
Решение.
Запишем формулы Крамера: ; ; .
Здесь: D — определитель системы;
D x – определитель, полученный из определителя системы заменой первого столбца на столбец свободных членов;
D y — определитель, полученный из определителя системы заменой второго столбца на столбец свободных членов;
D z – определитель, полученный из определителя системы заменой третьего столбца на столбец свободных членов.
В нашем случае имеем:
.
.
.
.
Теперь найдем значения неизвестных:
; ; .
Для проверки подставим найденные значения неизвестных в исходную систему и убедимся в правильности решения.
Задача 2.
Даны координаты вершины пирамиды . Сделать
- длину ребра .
- угол между ребрами и
- площадь грани
- уравнение прямой
- уравнение плоскости
- объем пирамиды
,, ,
Решение:
1) Длина ребра равна расстоянию между точками и или модулю
вектора . Расстояние между точками и вычисляется по формуле .
Подставляя в эту формулу исходные данные, получим
2) Угол между ребрами будем искать, используя формулы векторной алгебры:
В нашем случае , .
Чтобы найти координаты вектора, из координат конца вектора следует вычесть координаты начала вектора.
3) Площадь треугольника можно найти, используя свойства скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах и численно равна модулю их векторного произведения.
В нашем случае,
==
=
Имеем,
Итак, площадь грани
4) Уравнение прямой найдем как канонические уравнения прямой в пространстве:
,
где — координаты направляющего вектора прямой, а — координаты точки прямой. В нашем случае , а в качестве точки .
Итак, уравнение прямой имеет вид:
.
В общем виде:
или
5) Уравнение плоскости будем искать как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки , и :
,
,
.
Упрощая, получим: .
6) Объем пирамиды найдем, используя свойство смешанного произведения трех векторов – модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Соответственно
.
Найдем смешанное произведение векторов , и:
Ответы:
- длина ребра равна (ед.)
- угол между ребрами и равен
- площадь грани равна 11.58 (кв. ед.)
- уравнение прямой (в каноническом виде ):
- уравнение плоскости (в общем виде):
- объем пирамиды равен 11 (куб. ед.).
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
| 0. Линейная алгебра и аналитическая геометрия | |
1. 1.1. Матрицы. Операции над матрицами. Определение матрицы | |
| 1.1.2. Сумма матриц | |
| 1.1.3. Знак суммы | |
| 1.1.4. Произведение матриц | |
| 1.2.1. Определители матриц. Определители 2-го и 3-го порядков | |
| 1.2.2. Определитель п-го порядка | |
1. 2.3. Свойства определителей | |
| 1.2.4. Примеры решения задач по теме «Определители» | |
| 1.3.1. Определитель произведения матриц. Обратная матрица. Полураспавшиеся матрицы | |
| 1.3.2. Определитель произведения матриц | |
| 1.3.3. Обратная матрица | |
| 1.3.4. Примеры решения задач по теме «Обратная матрица» | |
2. 1.1. Системы линейных алгебраических уравнений | |
| 2.1.2. Решение с помощью обратной матрицы | |
| 2.1.3. Правило Крамера | |
| 2.1.4. Примеры решения задач по теме «Решение систем с помощью обратной матрицы. Правило Крамера» | |
| 2.2.1. Ранг матрицы. Определение ранга | |
| 2.2.2. Элементарные преобразования матрицы | |
2. 2.3. Приведение матрицы к ступенчатому виду | |
| 2.2.4. Примеры решения задач по теме «Ранг матрицы» | |
| 2.3.1. Решение систем линейных уравнений в общем случае | |
| 2.3.2. Теорема Кронекера-Капелли | |
| 2.3.3. Общее решение системы линейных алгебраических уравнений | |
| 2.3.4. Однородные системы | |
| 2.3.5. Метод Гаусса | |
2. 3.6. Примеры решения задач по теме «Системы уравнений общего вида. Метод Гаусса» | |
| 3.1.1. Аналитическая геометрия. Векторная алгебра | |
| 3.1.2. Линейные операции над векторами | |
| 3.1.3. Координаты вектора и точки | |
| 3.1.4. Линейные операции над векторами в координатах | |
| 3.1.5. Проекция вектора на ось | |
3. 1.6. Скалярное произведение | |
| 3.1.7. Примеры решения задач по теме «Линейные операции над векторами. Скалярное произведение» | |
| 3.2.1. Векторное и смешанное произведения. Векторное произведение | |
| 3.2.2. Смешанное произведение | |
| 3.2.3. Векторное и смешанное произведения векторов, заданных координатами | |
| 3.2.4. Примеры решения задач по теме «Векторное и смешанное произведения» | |
4. 1.1. Прямые и плоскости. Уравнение прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости | |
| 4.1.2. Неполные уравнения прямой | |
| 4.1.3. Уравнение прямой в отрезках | |
| 4.1.4. Взаимное расположение прямых на плоскости | |
| 4.1.5. Каноническое уравнение прямой на плоскости | |
| 4.1.6. Нормальное уравнение прямой | |
4. 1.7. Отклонение и расстояние от точки до прямой | |
| 4.1.8. Примеры решения задач по теме «Уравнение прямой на плоскости» | |
| 4.2.1. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнения прямой в пространстве. Общее уравнение плоскости | |
| 4.2.10. Примеры решения задач по теме «Уравнение плоскости в пространстве» | |
| 4.2.2. Неполные уравнения плоскости | |
| 4.2.3. Уравнение плоскости в отрезках | |
4. 2.4. Взаимное расположение плоскостей | |
| 4.2.5. Уравнение плоскости, проходящей через три точки | |
| 4.2.6. Нормальное уравнение плоскости | |
| 4.2.7. Отклонение и расстояние от точки до плоскости | |
| 4.2.8. Прямая в пространстве | |
| 4.2.9. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью | |
5.1.1. Линейные операторы и кривые 2-го порядка. Линейные операторы | |
| 5.1.2. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису | |
| 5.1.3. Собственные числа и собственные векторы матрицы | |
| 5.1.4. Квадратичные формы и их связь с симметрическими матрицами | |
| 5.1.5. Приведение квадратичной формы к каноническому виду | |
| 5.1.6. Примеры решения задач по теме «Линейные операторы и квадратичные формы» | |
5. 2.1. Кривые и поверхности 2-го порядка. Кривые второго порядка | |
| 5.2.2. Эллипс | |
| 5.2.3. Гипербола | |
| 5.2.4. Парабола | |
| 5.2.5. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду | |
| 5.2.6. Классификация кривых второго порядка | |
| 5.2.7. Поверхности второго порядка |
матриц — Проблемы линейной алгебры?
спросил
Изменено 10 лет, 9 месяцев назад
Просмотрено 13 тысяч раз
$\begingroup$
Есть ли хороший справочник по сложным задачам линейной алгебры? Поскольку я продолжаю сталкиваться с легко формулируемыми задачами линейной алгебры, которые, как мне кажется, мне должен решить , но не вижу очевидного способа начать работу.
Вот пример того типа задачи, о которой я думаю: пусть $A, B$ — матрицы $n\times n$, положим $C = AB-BA$, докажем, что если $AC=CA$, то $C $ нильпотентна. (Я видел этот на сервере KGS Go)
В идеале такой справочник также должен содержать сложные задачи (и методы их решения) об ортогональных матрицах, унитарных матрицах, положительной определенности… надеюсь, все сложнее, чем тот Я написал выше.
- линейная алгебра
- матрицы
$\endgroup$
7
$\begingroup$
Google найдет для вас задач и теорем линейной алгебры В. Прасолова , в которой есть красивые более или менее сложные задачи.
$\endgroup$
$\begingroup$
Сборник задач по линейной алгебре Халмоша. Он содержит проблемы, затем подсказки, затем решения.
Существует множество уровней сложности, и некоторые из задач очень просты, а некоторые сложны. Книга задумана как дополнение к изучению линейной алгебры путем решения задач, поэтому она может не иметь той направленности, которую вы ищете.
$\endgroup$
$\begingroup$
Действительно, Халмос — очень хороший референс. Вы также найдете несколько интересных задач в задачах Беркли по математике и на веб-сайте Международного конкурса математиков
. $\endgroup$
2
$\begingroup$
В дополнение к упомянутым выше, есть Линейная алгебра: сложные задачи для студентов Фучжэнь Чжан
$\endgroup$
$\begingroup$
Позвольте представить вам хорошую ссылку, ИЗОБРАЖЕНИЕ.
В конце IMAGE есть раздел под названием IMAGE Problem Corner: решения старых и новых проблем. Вам может понравиться решать эти проблемы и читать решения других.
См. http://www.math.technion.ac.il/iic/IMAGE/
$\endgroup$
$\begingroup$
вы также можете просмотреть раздел линейной алгебры AoPS.
$\endgroup$
$\begingroup$
Пользуясь случаем, опубликую свою любимую задачу по линейной алгебре. Я называю это 0 не равным 1.
Пусть A — матрица размера nxn 0-1 с ненулевым определителем. Покажите, что в каждой строке и в каждом столбце матрицы A есть единица, и, кроме того, существует такая матрица перестановок P, что диагональ PA состоит из всех единиц.
Пусть B — матрица размера nxn 0-1 с ненулевым определителем. Мы не можем показать, что в каждой строке и в каждом столбце есть 0, поэтому предположим, что B также обладает этим свойством.
Существуют ли такие матрицы перестановок P и Q, что PBQ имеет все нули на диагонали? Если нет, то насколько малый след можно гарантировать?
Герхард «Спросите меня о системном дизайне» Пасеман, 03.03.2012
$\endgroup$
$\begingroup$
Если вы хоть немного знаете итальянский, есть еще один хороший ресурс: Problemi risolti di алгебра lineare , by Broglia, Fortuna, Luminati.
(Кстати, если вы никогда этого не делали, читать учебник по математике на другом языке зачастую проще, чем кажется на первый взгляд)
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
Решение задач по линейной алгебре | Wyzant Спросите эксперта
Линейная алгебра Линейные уравнения
Джим Юмир К.
спросил 13.03.21Класс из 32 учеников состоял из людей в возрасте 18, 19 и 20 лет. Средний их возраст составлял 18,5 лет. Сколько детей каждой возрастной группы было в классе, если 18-летних было на 6 больше, чем 19- и 20-летних вместе взятых? Найдите уравнение и выполните приведение Гаусса-Жордана.
Подписаться І 1
Подробнее
Отчет
1 ответ эксперта
Лучший Новейшие Самый старыйАвтор: ЛучшиеНовыеСамыеСтарые
Кристиан М. ответил 13.03.21
Репетитор
4,8 (44)
Кандидат в MS Statistics предлагает терпеливое, исследовательское и понятное обучение
Смотрите таких репетиторов
Смотрите таких репетиторов
Превратим эти предложения в уравнения.
«Класс из 32 учеников состоял из людей, которым было 18, 19 и 20 лет.»
Пусть x представляет количество 18-летних, пусть y представляет количество 19-летних, и пусть z представляет количество 20-летних.
Тогда x + y + z = 32.
(Примечание: это КОЛИЧЕСТВО УЧАЩИХСЯ каждого возраста. Я не использую x, y или z для обозначения возраста, а скорее количество учеников каждого возраст.)
«Средний их возраст 18,5 лет.»
Среднее значение равно сумме наблюдений (здесь сумма возрастов учащихся), деленной на количество наблюдений (здесь 32). Я не знаю, сколько там учеников каждого возраста, но их средний возраст 18,5 лет. Теперь я могу написать уравнение, которое исследует ВОЗРАСТ, а не количество учеников, как в предыдущем уравнении.
(18x + 19y + 20z) / 32 = 18,5
Это уравнение можно записать как (18/32)x + (19/32)y + (20/32)z = 18,5.
ИЛИ, чтобы с ним было легче работать, особенно если это делается вручную, давайте избавимся от дроби, умножив 32 с обеих сторон, чтобы она лучше подходила для исключения Гаусса-Жордана:
18x + 19y + 20z = 592
Это означает, что общий возраст всех 32 учащихся составляет 592 года.
Весело!
«…число 18-летних было на 6 больше, чем общее количество 19-ти и 20-летних…»
Вернитесь к определениям переменных для x, y и z.
x —> «количество 18-летних»
= —> «было»
6 + —> «на 6 больше»
(y + z) —> «объединенное число 19-ти и 20-ти летних».
Получаем: x = 6 + (y + z). Перестройте это, чтобы подготовить его к исключению Гаусса-Жордана:
x — y — z = 6
Теперь ваша система должна выглядеть так:
x + y + z = 32 (уравнение, обсуждающее счет для каждого возраста учащихся)
18x + 19y + 20z = 592 (уравнение, отражающее совокупный возраст класса, которое мы нашли из данных о среднем возрасте класса)
x — y — z = 6 (уравнение, полученное из знания что членов одной эпохи было больше, чем членов других эпох)
Это ваша система. Я оставлю вас, чтобы сделать исключение Гаусса-Джордана. Надеюсь, это поможет!
Голосовать за 1 Понизить
Подробнее
Отчет
Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ, быстро.
