— а это совокупность линейных неравенств, а не система
Решение систем линейных неравенств
Чтобы
решить систему неравенств мы должны найти значения иксов, которые подойдут всем неравенствам в системе.
Пример: Решим систему \(\begin{cases}x>4\\x\leq7\end{cases}\)
Решение: Первое неравенство становится верным, если икс больше \(4\). То есть, решения первого неравенства – все значения иксов из интервала \((4;\infty)\), или на числовой оси:
Второму неравенству подойдут значения иксов меньшие чем 7, включая саму семерку, то есть любой икс из интервала \((-\infty;7]\) или на числовой оси:
А какие значения подойдут обоим неравенствам? Те, которые принадлежат обоим промежуткам, то есть где промежутки пересекаются.
Ответ: \((4;7]\)
Как вы могли заметить для пересечения решений неравенств в системе удобно использовать числовые оси.
Если в системе находятся требующие преобразований неравенства, то при решении системы каждое неравенство независимо от других
преобразовывается к одному из видов: \(x<c\), \(x>c\), \(x\leq c\), \(x\geq c\). И только после этого ищут общее решение, пересекая решения неравенств на числовой оси.
Пример: Решить систему \(\begin{cases}x-4\geq0\\x-0,3\geq1\end{cases}\)
Решение:
|
\(\begin{cases}x-4\geq0\\x-0,3\geq1\end{cases}\) |
Перенесем \(-4\) и \(-0,3\) в правую сторону, меняя при этом их знак |
|
|
\(\begin{cases}x\geq4\\x\geq1,3\end{cases}\) |
Отметим решения на числовой оси |
|
|
|
Запишем общее решения неравенств |
Ответ: \([4;+\infty)\)
Пример: Решить систему \(\begin{cases}4(x-1)<3x+1\\-3x+7\geq4(1-x)\end{cases}\)
Решение:
|
\(\begin{cases}4(x-1)<3x+1\\-3x+7\geq4(1-x)\end{cases}\) |
Раскроем в каждом неравенстве скобки |
|
| \(\begin{cases}4x-4<3x+1\\-3x+7\geq4-4x\end{cases}\) |
Слагаемые с иксом в одну сторону,слагаемые без икса в другую |
|
|
\(\begin{cases}4x-3x<1+4\\-3x+4x\geq4-7\end{cases}\) |
Приведем подобные слагаемые |
|
|
\(\begin{cases}x<5\\x\geq-3\end{cases}\) |
Объединим решения на числовой оси |
|
| Запишем ответ |
Ответ: \([-3;5)\)
Заметьте, что для решения первой системы мы использовали две числовые оси, пересекая их пунктиром, а для решения второй и третьей – одну ось.
Вы можете сами выбирать сколько осей вам рисовать, оба варианта допустимы. Однако в больших системах (\(3\) или более неравенства) советую для каждого неравенства чертить свою ось.
Системы линейных неравенств и двойные неравенства
Помимо рассмотренных выше примеров, есть особый вид систем линейных неравенств: двойные неравенства. Они притворяются, что совсем не системы, но на самом деле еще какие системы!
Например:
— неравенство \(3<x-1<7\) можно записать как \(\begin{cases}x-1>3\\x-1<7\end{cases}\)
— неравенство \(2x-5<3x+7≤8x\) можно записать как \(\begin{cases}2x-5< 3x+7\\3x+7\leq8x\end{cases}\)
Первое неравенство удобнее решать в виде двойного, из-за того, что в левой и правой части нет переменных. А вот второе лучше решать как систему из-за того, что иксы есть во всех трех частях неравенства.
Системы линейных неравенств | Алгебра
Системы линейных неравенств с одной переменной с помощью тождественных преобразований сводятся к системе из простейших неравенств.
Рассмотрим на примерах, как решить систему линейных неравенств.
Чтобы решить систему, нужно решить каждое из составляющих её неравенств. Только решение принято записывать не по отдельности, а вместе, объединяя их фигурной скобкой.
В каждом из неравенств системы неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:
После упрощения обе части неравенства надо разделить на число, стоящее перед иксом. Первое неравенство делим на положительное число, поэтому знак неравенства не изменяется. Второе неравенство делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства надо изменить на противоположный:
Решение неравенств отмечаем на числовых прямых:
В ответ записываем пересечение решений, то есть ту часть, где штриховка есть на обеих прямых.
Ответ: x∈[-2;1).
В первом неравенстве избавимся от дроби. Для этого обе части умножим почленно на наименьший общий знаменатель 2.
При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется.
Во втором неравенстве раскрываем скобки. Произведение суммы и разности двух выражений равно разности квадратов этих выражений. В правой части — квадрат разности двух выражений.
Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком и упрощаем:
Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. В первом неравенстве делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный. Во втором — делим на положительное число, знак неравенства не изменяется:
Оба неравенства со знаком «меньше» (не существенно, что один знак — строго «меньше», другой — нестрогий, «меньше либо равно»). Можем не отмечать оба решения, а воспользоваться правилом «меньше меньшего, больше большего«. Меньшим является 1, следовательно, система сводится к неравенству
Отмечаем его решение на числовой прямой:
Ответ: x∈(-∞;1].
Раскрываем скобки. В первом неравенстве — произведение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности. Оно равно сумме кубов этих выражений.
Во втором — произведение суммы и разности двух выражений, что равно разности квадратов. Поскольку здесь перед скобками стоит знак «минус», лучше их раскрытие провести в два этапа: сначала воспользоваться формулой, а уже потом раскрывать скобки, меняя знак каждого слагаемого на противоположный.
Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:
Далее обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
Оба знака «больше». Используя правило «больше большего», сводим систему неравенств к одному неравенству. Большее из двух чисел 5, следоветельно,
Решение неравенства отмечаем на числовой прямой и записываем ответ:
Ответ: x∈(5;∞).
Поскольку в алгебре системы линейных неравенств встречается не только в качестве самостоятельных заданий, но и в ходе решения разного рода уравнений, неравенств и т.д., важно вовремя усвоить эту тему.
В следующий раз мы рассмотрим примеры решения систем линейных неравенств в частных случаях, когда одно из неравенств не имеет решений либо его решением является любое число.
Рубрика: Неравенства | Комментариилинейных неравенств | Предварительная алгебра | Линейные функции и графики
Дополнительные темы
по линейным неравенствамПопулярные учебные пособия
по линейным неравенствамКак решить систему неравенств с помощью графика?
Существует множество различных способов решения системы неравенств. В этом уроке вы увидите, как решить такую систему, построив график обоих неравенств и найдя их пересечение. Проверьте это!
Что такое система линейных неравенств?
Система уравнений представляет собой набор уравнений с одинаковыми переменными.
Система неравенств почти такая же, за исключением того, что вы работаете с неравенствами вместо уравнений! Чтобы решить такую систему, нужно найти такие значения переменных, при которых каждое неравенство будет верным одновременно. Этот учебник познакомит вас с системами неравенств.
Как изобразить неравенство на координатной плоскости?
Начертить неравенства на координатной плоскости не так сложно, как может показаться, особенно если знать, что делать! В этом руководстве вы увидите шаги, которые необходимо выполнить, чтобы построить график неравенства.
Как определить, является ли граница частью графика неравенства?
Является ли граница частью графика неравенства? Подсказка: знак неравенства содержит ответ! Узнайте, как проверить и посмотреть, является ли граница частью графика неравенства, посмотрев это руководство.
Как вы решаете и рисуете неравенства из словесной задачи?
Словесные задачи — отличный способ увидеть, как математические приложения применяются в реальном мире! В этом руководстве вы увидите, как построить график нескольких неравенств, чтобы найти решение.
Что такое граница?
Если вы рисуете неравенство на координатной плоскости, вы в конечном итоге создаете границу. Эта граница делит координатную плоскость пополам. В этом уроке вы узнаете об этом виде границы!
Что такое полусамолет?
Если вы рисуете неравенство на координатной плоскости, вы в конечном итоге создаете границу, которая разрезает координатную плоскость пополам. Каждая из этих половин называется полуплоскостью. Узнайте о полуплоскостях, посмотрев этот урок!
Как определить, является ли упорядоченная пара решением линейного неравенства?
Чтобы узнать, является ли упорядоченная пара решением неравенства, подставьте ее в неравенство и упростите. Если вы получаете истинное утверждение, то упорядоченная пара является решением неравенства. Если вы получите ложное утверждение, то упорядоченная пара не является решением.
Взгляните на этот урок и узнайте, как определить, является ли упорядоченная пара решением неравенства!Что такое линейное неравенство?
Линейное неравенство почти такое же, как и линейное уравнение, за исключением того, что знак равенства заменен символом неравенства. Вы обнаружите, что для решения и построения графика линейного неравенства требуется немного больше усилий, но с этим ничего не поделаешь! Посмотрите этот урок и познакомьтесь с линейными неравенствами!
Взгляните на этот урок и узнайте, как определить, является ли упорядоченная пара решением неравенства!Системы линейных неравенств — Club Z! Репетиторство
Введение
Вы когда-нибудь чувствовали, что вас тянут в разные стороны? Как будто у вас слишком много дел и не хватает времени, чтобы сделать их? Вот что происходит, когда вы имеете дело с системами линейных неравенств. Система линейных неравенств — это набор из двух или более линейных неравенств, которые имеют одни и те же переменные. Их можно рассматривать как отдельные линии на графике, которые пересекаются в какой-то точке.
Вы можете использовать системы линейных неравенств для моделирования реальных ситуаций, например, пытаясь найти самый быстрый способ добраться до всех ваших встреч за день. В этом сообщении блога мы рассмотрим, что такое системы линейных неравенств и как их можно использовать для решения реальных задач.
Что такое система линейных неравенств?
Система линейных неравенств представляет собой совокупность двух или более линейных неравенств, которые используют один и тот же набор переменных. Решением системы линейных неравенств является значение или значения переменных, которые делают все неравенства истинными. Другими словами, решение системы линейных неравенств — это набор значений, удовлетворяющий всем ограничениям, представленным системой.
Системы линейных неравенств можно изобразить на координатной плоскости. Графиком системы линейных неравенств называется множество всех точек, удовлетворяющих хотя бы одному неравенству в системе. Каждое неравенство в системе определяет полуплоскость, а график представляет собой пересечение всех полуплоскостей, определяемых неравенствами в системе.
Существует множество применений систем линейных неравенств. Например, предприятия часто используют системы линейных неравенств для определения регионов, в которых они будут размещать свои объекты. Инженеры-дорожники используют системы линейных неравенств для моделирования транспортных потоков и заторов. Ученые используют системы 90–118 линейных неравенств для предсказания путей частиц в жидкостях или других движущихся средах.
Как решить систему линейных неравенств?
Чтобы решить систему линейных неравенств, нам нужно найти значения переменных, при которых все неравенства верны. Мы можем сделать это, изобразив уравнения на координатной плоскости и найдя пересечение графиков. Это будет решением системы.
Типы решений систем линейных неравенств
Существуют три типа решений систем линейных неравенств: графические, алгебраические и численные.
Графические решения являются наиболее интуитивными и могут использоваться для визуализации проблемы.
На графике каждая переменная представлена осью, а набор решений представлен областью пересечения двух осей. Чтобы найти решение графически, нужно найти точки пересечения линий, представляющих уравнения в системе, а затем определить, с какой стороны каждой линии находятся решения.
Алгебраические решения используют алгебру для решения переменных относительно друг друга. Этот метод обычно быстрее, чем построение графика, но его может быть сложно проверить на наличие ошибок. Чтобы решить систему алгебраически, сначала удаляют переменные, используя замену или исключение. Как только все переменные, кроме одной, исключены, эту переменную можно найти в терминах других оставшихся переменных.
Численные решения используют компьютер для аппроксимации решения системы линейных неравенств. Этот метод можно использовать, когда имеется слишком много переменных для алгебраического решения или когда уравнения нелинейны. Численные методы не всегда дают точный ответ, но часто могут дать хорошее приближение.