Логарифм уравнения: Логарифмические уравнения и неравенства — Умскул Учебник

Логарифмические уравнения — интернет энциклопедия для студентов

Определение

Логарифмическое уравнение — это уравнение, в котором неизвестное находится под знаком логарифма.

При решении логарифмических уравнений часто необходимо логарифмировать или потенцировать обе стороны уравнения, что не всегда может привести к эквивалентным уравнениям.

Зарегистрировать алгебраическое выражение означает выразить его логарифм в терминах логарифмов отдельных чисел в выражении.

ПРИМЕР

Задание. Распознать выражение \(\ x=3 b c \)

Решение. В левой и правой части мы добавляем логарифм основания:

\(\ \log _{a} x=\log _{a}(3 b c) \)

В соответствии со свойствами логарифмов, логарифм продукта с правой стороны представляется как сумма логарифмов от каждого из факторов, то есть:

\(\ \log _{a} x=\log _{a} 3+\log _{a} b+\log _{a} c \)

Определение

Если с использованием этого логарифмического результата найдено выражение, из которого получен этот результат, то такая операция называется потенцированием.

{2}-x-2=0 \Rightarrow x_{1}=2, x_{2}=-1 \)

Второй корень не принадлежит ОДЗ, что означает решение \(\ x=2 \)

Ответ: \(\ x=2 \)

3. Логарифмическое уравнение вида \(\ \log _{a} f(x)=\log _{a} g(x) \)

Здесь \(\ a \) положительное число, кроме одного; \(\ f(x) {b} g(x) \) — элементарные алгебраические функции.

Решение логарифмических уравнений этого типа сводится к решению уравнения \(\ f(x)=g(x) \) . Поэтому для решения рассматриваемого типа уравнений \(\ \log _{a} f(x)=\log _{a} g(x) \) достаточно найти все решения уравнения \(\ f(x)=g(x) \) и среди полученных выбрать те, которые принадлежат уравнению ОДЗ \(\ \log _{a} f(x)=\log _{a} g(x) \).Если уравнение \(\ f(x)=g(x) \) не имеет решений, то исходное логарифмическое уравнение не имеет.

ПРИМЕР

Задание: Решить уравнение \(\ \ln (x+1)=\ln (2 x-3) \)

Решение: Найти ОДЗ: \(\ \left\{\begin{array}{l}{x+1>0,} \\ {2 x-3>0}\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x>-1,} \\ {2 x>3}\end{array}\right.

\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x>-1} \\ {x>\frac{3}{2}}\end{array}\right. \Rightarrow\left(\frac{3}{2} ;+\infty\right) \)

Решите: уравнение \(\ x+1=2 x-3 : x=4 \in \) ОДЗ

Таким образом, решение исходного логарифмического уравнения также является этим значением.

Ответ: \(\ x=4 \)

Физика

166

Реклама и PR

31

Педагогика

80

Психология

72

Социология

7

Астрономия

9

Биология

30

Культурология

86

Экология

8

Право и юриспруденция

36

Политология

13

Экономика

49

Финансы

9

История

16

Философия

8

Информатика

20

Право

35

Информационные технологии

6

Экономическая теория

7

Менеджент

719

Математика

338

Химия

20

Микро- и макроэкономика

1

Медицина

5

Государственное и муниципальное управление

2

География

542

Информационная безопасность

2

Аудит

11

Безопасность жизнедеятельности

3

Архитектура и строительство

1

Банковское дело

1

Рынок ценных бумаг

6

Менеджмент организации

2

Маркетинг

238

Кредит

3

Инвестиции

2

Журналистика

1

Конфликтология

15

Этика

9

Формулы дифференцирования Логарифмическая функция Десятичный логарифм Натуральный логарифм Логарифм степени

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Принимаю  Политику  конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

Математика: Справ.

материалы Математика: Справ. материалы

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся.— М.: Просвещение, 1988.— 416 с. В книге дано краткое изложение основных разделов школьных курсов алгебры и начал анализа, геометрии. Книга окажет помощь в систематизации и обобщении знаний по математике. Оглавление СЛОВО К УЧАЩИМСЯ ГЛАВА I. ЧИСЛА § 1. Натуральные числа 2. Арифметические действия над натуральными числами. 3. Деление с остатком. 4. Признаки делимости. 5. Разложение натурального числа на простые множители. 6. Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел. 7. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел. 8. Употребление букв в алгебре. Переменные. § 2. Рациональные числа 10. Равенство дробей. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. 11. Приведение дробей к общему знаменателю. 12. Арифметические действия над обыкновенными дробями. 13. Десятичные дроби. 14. Арифметические действия над десятичными дробями. 15. Проценты. 16. Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь. 17. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь. 18. Координатная прямая. 19. Множество рациональных чисел. § 3. Действительные числа 21. Действительные числа. Числовая прямая. 22 Обозначения некоторых числовых множеств. 23. Сравнение действительных чисел. 25. Числовые промежутки. 26. Модуль действительного числа. 27. Формула расстояния между двумя точками координатной прямой. 28. Правила действий над действительными числами. 29. Свойства арифметических действий над действительными числами. 30. Пропорции. 31. Целая часть числа. Дробная часть числа. 32. Степень с натуральным показателем. 33. Степень с нулевым показателем. Степень с отрицательным целым показателем. 34. Стандартный вид положительного действительного числа. 35. Определение арифметического корня. 36. Корень нечетной степени из отрицательного числа. 37. Степень с дробным показателем. 38. Свойства степеней с рациональными показателями. 39. Приближенные значения чисел. Абсолютная и относительная погрешности. 40. Десятичные приближения действительного числа по недостатку и по избытку. 41. Правило извлечения квадратного корня из натурального числа. 42. Понятие о степени с иррациональным показателем. 43. Свойства степеней с действительными показателями. § 4. Комплексные числа 45. Арифметические операции над комплексными числами. 46. Алгебраическая форма комплексного числа. 47. Отыскание комплексных корней уравнений. ГЛАВА II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ 49. 3. 112. Построение графика функции y = f(x-m)+n 113. График квадратичной функции. 114. Способы построения графика квадратичной функции 115. Построение графика функции y = f(kx). 116. Сжатие и растяжение графиков тригонометрических функций. 117. График гармонического колебания ГЛАВА IV. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 12. Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма 119. Определение логарифма положительного числа по данному основанию. 120. Свойства логарифмов. 121. Переход к новому основанию логарифма. 122. Логарифмирование и потенцирование. 123. Десятичный логарифм. Характеристика и мантисса десятичного логарифма. § 13. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений 125. Формулы сложения и вычитания аргументов. 126. Формулы приведения. 127. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. 128. Формулы двойного угла. 129. Формулы понижения степени. 130. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение. 131. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. 132. Преобразование выражения a cos t + b sin t к виду A sin (t + a). 133. Примеры преобразований выражений, содержащих обратные тригонометрические функции. ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ § 14. Уравнения с одной переменной 135. Равносильность уравнений. 136. Линейные уравнения. 137. Квадратные уравнения. 138. Неполные квадратные уравнения. 139. Теорема Виета. 140. Системы и совокупности уравнений. 141. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля. 142. Понятие следствия уравнения. Посторонние корни. 143. Уравнения с переменной в знаменателе. 144. Область определения уравнения. 145. Рациональные уравнения. 146. Решение уравнения p(x) = 0 методом разложения его левой части на множители. 147. Решение уравнений методом введения новой переменной. 148. Биквадратные уравнения. 149. Решение задач с помощью составления уравнений. 150. Иррациональные уравнения. 151. Показательные уравнения. 152. Логарифмические уравнения. 153. Примеры решения показательно-логарифмических уравнений. 154. Простейшие тригонометрические уравнения. 155. Методы решения тригонометрических уравнений. 156. Универсальная подстановка (для тригонометрических уравнений). 157. Метод введения вспомогательного аргумента (для тригонометрических уравнений). 158. Графическое решение уравнений. 159. Уравнения с параметром. § 15. Уравнения с двумя переменными 161. График уравнения с двумя переменными. 162. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. § 16. Системы уравнений 164. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки. 165. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения. 167. Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными. 168. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными. 169. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления. 170. Системы показательных и логарифмических уравнений. 171. Системы тригонометрических уравнений с двумя переменными. 172. Системы трех уравнений с тремя переменными. 173. Решение задач с помощью составления систем уравнений. Глава VI. НЕРАВЕНСТВА § 17. Решение неравенств с переменной 175. Графическое решение неравенств с одной переменной. 176. Линейные неравенства с одной переменной. 177. Системы неравенств с одной переменной. 178. Совокупность неравенств с одной переменной. 179. Дробно-линейные неравенства. 180. Неравенства второй степени. 181. Графическое решение неравенств второй степени. 182. Неравенства с модулями. 183. Решение рациональных неравенств методом промежутков. 184. Показательные неравенства. 185. Логарифмические неравенства. 186. Иррациональные неравенства. 187. Решение тригонометрических неравенств. 188. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными. § 18. Доказательство неравенств 190. Синтетический метод доказательства неравенств. 191. Доказательство неравенств методом от противного. 192. Использование неравенств при решении уравнений. ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 19. Числовые последовательности 194. Способы задания последовательности. 195. Возрастание и убывание последовательности. 196. Определение арифметической прогрессии. 197. Свойства арифметической прогрессии 198. Определение геометрической прогрессии. 199. Свойства геометрической прогрессии. 200. Понятие о пределе последовательности. 201. Вычисление пределов последовательностей. 202. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q| § 20. Предел функции 204. Вычисление пределов функции при х->оо. 205. Предел функции в точке. Непрерывные функции. 206. Вертикальная асимптота. 207. Вычисление пределов функций в точке. § 21. Производная и ее применения 209. Определение производной. 210. Формулы дифференцирования. Таблица производных. 211. Дифференцирование суммы, произведения, частного. 212. Сложная функция и ее дифференцирование. 213. Физический смысл производной. 214. Вторая производная и ее физический смысл. 215. Касательная к графику функции. 216. Применение производной к исследованию функций на монотонность. 217. Применение производной к исследованию функций на экстремум. 218. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке. 219. Отыскание наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на незамкнутом промежутке. 220. Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин. 221. Применение производной для доказательства тождеств. 222. Применение производной для доказательства неравенств. 223. Общая схема построения графика функции. § 22. Первообразная и интеграл 225. Таблица первообразных. 226. Правила вычисления первообразных. 227. Интеграл. 228. Связь между интегралов и первообразной (формула Ньютона—Лейбница). 229. Правила вычисления интегралов. 230. Использование интеграла для вычисления площадей плоских фигур. ГЕОМЕТРИЯ. ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ 2. Точка. Прямая. 3. Определения. Аксиомы. Теоремы. § 2. Основные свойства простейших геометрических фигур 5. Луч. 6. Окружность. Круг. 7. Полуплоскость. 8. Угол. Градусная мера угла. 9. Смежные и вертикальные углы. 10. Центральные и вписанные углы. 11. Параллельные прямые. 12. Признаки параллельности прямых. 13. Перпендикулярные прямые. 14. Касательная к окружности. 15. Треугольники. 16. Равенство треугольников. 17. Равнобедренный треугольник. 18. Сумма углов треугольника. 19. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора. 20. Окружности, вписанные в треугольник и описанные около треугольника. § 3. Геометрические построения на плоскости 22. Простейшие задачи на построение. 23. Геометрическое место точек на плоскости. § 4. Четырехугольники 25. Параллелограмм. 26. Прямоугольник. Ромб. Квадрат. 27. Трапеция. § 5. Многоугольники 29. Выпуклые многоугольники. 30. Правильные многоугольники. 31. Длина окружности. § 6. Решение треугольников 33. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. 34. Теорема косинусов. Теорема синусов. 35. Решение треугольников. § 7. Площади плоских фигур 37. Площади многоугольников. 38. Площади подобных фигур. 39. Площадь круга. ГЛАВА II. Прямые и плоскости в пространстве § 9. Параллельность прямых и плоскостей 42. Параллельность прямой и плоскости. 43. Параллельные плоскости. § 10. Перпендикулярность прямых и плоскостей 45. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. 46. Перпендикулярность плоскостей. ГЛАВА III. ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ § 11. Многогранники 48. Многогранные углы. Многогранники. 49. Призма. Параллелепипед. Куб. 50. Пираприда. 51. Правильные многогранники. § 12. Тела вращения 53. Конус. 54. Шар. § 13. Изображение пространственных фигур на плоскости 56. Ортогональное проектирование. 57. Геометрическое место точек в пространстве. § 14. Объемы тел 59. Объем параллелепипеда, призмы и пирамиды. 60. Объем цилиндра и конуса. 61. Общая формула объемов тел вращения. § 15. Площади поверхностей тел 63. Понятие площади поверхности. 64. Площади поверхностей тел вращения. ГЛАВА IV. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ § 16. Координаты на плоскости и в пространстве 66. Координаты середины отрезка. § 17. Уравнения фигур на плоскости 68. Пересечение двух окружностей. 69. Уравнение прямой. 70. Пересечение прямой и окружности. § 18. Уравнения фигур в пространстве 72. Уравнение сферы. 73. Взаимное расположение сферы и плоскости. 74. Пересечение двух сфер. ГЛАВА V. РЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР 76. Понятие движения. § 20. Подобие фигур 78. Подобные фигуры. ГЛАВА VI. ВЕКТОРЫ 80. Понятие вектора. 81. Координаты вектора. § 22. Операции над векторами 83. Умножение вектора на число. Коллинеарные векторы. 84. Скалярное произведение векторов. ПРИЛОЖЕНИЯ ГЕОМЕТРИЯ

Объяснение урока: Логарифмические уравнения с одинаковыми основаниями

В этом объяснении мы научимся решать логарифмические уравнения с одинаковыми основаниями, используя законы показателей степени и логарифмы.

Логарифмическое уравнение — это уравнение с неизвестной переменной в части логарифма, обычно аргумента. В случае логарифмические уравнения с одним логарифмом, их можно переписать в экспоненциальной форме, чтобы облегчить их решение. Давайте вспомним определение логарифма, чтобы показать, как это сделать.

Определение: логарифмы

Для показательного уравнения в форме 𝑎=𝑛, где 𝑎>0, это можно записать как логарифмическое уравнение журнал𝑛=𝑥, где 𝑎 — основание логарифма, 𝑛 — аргумент, а 𝑥 — экспонента.

Следовательно, 𝑎=𝑛⇔𝑛=𝑥лог.

Из приведенного выше определения видно, что если в аргументе 𝑛 присутствует неизвестная переменная, то, переписав log𝑛=𝑥 как 𝑎=𝑛 мы можем сделать 𝑛 предметом уравнения, что делает возможным решить для неизвестной переменной.

В первом примере мы обсудим, как найти неизвестную переменную в аргументе, переписав логарифм в его экспоненциальную форму, как подробно описано выше.

Пример 1. Решение логарифмических уравнений с одним логарифмом

Учитывая, что log(𝑣+3)=1, найдите значение 𝑣.

Ответ

Поскольку нам дано логарифмическое уравнение с одним логарифмом, мы можем изменить логарифм, чтобы сделать аргумент, 𝑣+3, субъект, переписав логарифм как показательное уравнение. Напомним, что журнал𝑛=𝑥⟺𝑎=𝑛, где 𝑎>0 и 𝑛>0.

Следовательно, для логарифмического уравнения log(𝑣+3)=1 мы можем переписать это как 12=𝑣+3.

Возводя 12 в степень 1 и находя 𝑣, мы получаем 12=𝑣+312=𝑣+3𝑣=12−3=9. 

Следовательно, значение 𝑣 в логарифмическом уравнении log(𝑣+3)=1 равно 9.

В следующем примере мы решим другое логарифмическое уравнение с одним логарифмом, переписав его как экспоненциальное уравнение, но на этот раз с неизвестным в основе.

Пример 2. Решение логарифмического уравнения с единичным логарифмом

Каково множество решений уравнения log64=2?

Ответ

Поскольку нам дано логарифмическое уравнение с одним логарифмом, с неизвестной переменной в основании, переписав это как показательное уравнение, мы можем легче решить его. Напомним, что журнал𝑛=𝑥⟺𝑎=𝑛, где 𝑎>0 и 𝑛>0.

Следовательно, мы можем преобразовать log64=2, записав его в виде показательного уравнения (𝑥+2)=64.

Мы можем решить это, взяв квадратный корень из обеих частей уравнения, что даст нам 𝑥+2=±8.

Поскольку основание 𝑥+2 должно быть больше нуля, +8 — единственное возможное решение, поэтому мы отбросить −8. Решая для 𝑥, мы тогда получаем 𝑥+2=8𝑥=8−2=6.

Следовательно, набор решений для log64=2 равен {6}.

До сих пор мы рассматривали логарифмические уравнения с одним логарифмом. Далее мы обсудим, как решать логарифмические уравнения с кратными логарифмами по одному основанию.

Вспомним законы логарифмирования для одинаковых оснований и особых значений.

Закон: законы логарифмов для одинаковых оснований и особых значений

Для логарифма с основанием 𝑎, где 𝑎>0,

• log𝑎=1;
• log1=0;
• закон умножения: logloglog𝑥𝑦=𝑥+𝑦, где 𝑥>0 и 𝑦>0;
• закон разделения: logloglog𝑥𝑦=𝑥−𝑦, где 𝑥>0 и 𝑦>0;
• степенной закон: loglog𝑥=𝑛𝑥, где 𝑥>0.

Там, где у нас одинаковые основания, мы можем использовать законы логарифмов, чтобы сначала объединить логарифмы, а затем решить, либо переставляя или приравнивание аргументов, в зависимости от уравнения.

В следующем примере мы покажем, как использовать законы логарифмирования для одинаковых оснований для решения логарифмического уравнения.

Пример 3. Поиск набора решений логарифмического уравнения с одинаковыми основаниями

Определите набор решений уравнения logloglog(𝑥−6)+(𝑥+6)=64 in ℝ.

Ответ

В логарифмическом уравнении logloglog(𝑥−6)+(𝑥+6)=64, как и все части уравнения имеют логарифмы с одинаковым основанием, 8, мы можем применить законы логарифмирования для одинаковых оснований, чтобы упростить и решить.

Поскольку мы добавляем два логарифма в левой части уравнения, мы можем использовать закон умножения логарифмов чтобы упростить это. Закон гласит, что logloglog𝑥𝑦=𝑥+𝑦, где 𝑎>0, 𝑥>0 и 𝑦>0.

Применяя это к левой части, получаем logloglogloglog(𝑥−6)+(𝑥+6)=64(𝑥−6)(𝑥+6)=64.

Теперь, поскольку и левая, и правая части уравнения записаны в виде одинарного логарифма с одним и тем же основанием, поэтому аргументы должны быть равны, что дает нам (𝑥−6)(𝑥+6)=64.

Раскрывая скобки и приравнивая к нулю, получаем 𝑥−6𝑥+6𝑥−36=64𝑥−100=0.

Факторизуя и решая, мы получаем 𝑥−100=0(𝑥−10)(𝑥+10)=0𝑥=10𝑥=−10.или

Теперь, поскольку аргумент логарифма должен быть больше нуля, оба 𝑥−6 и 𝑥+6 должны быть больше нуля. Таким образом, −10 не является допустимым решением, поэтому 𝑥 должно равняться 10.

Следовательно, набор решений уравнения logloglog(𝑥−6)+(𝑥+6)=64 равен {10}.

В следующем примере мы рассмотрим, как использовать несколько законов логарифмирования с одинаковыми основаниями для решения логарифмического уравнения.

Пример 4. Поиск набора решений для логарифмического уравнения с одинаковыми основаниями

Найдите набор решений 4(𝑥+5)−(𝑥−3)=625logloglog в ℝ.

Ответ

В логарифмическом уравнении 4(𝑥+5)−(𝑥−3)=625logloglog, поскольку все части уравнения имеют логарифмы с одним и тем же основанием, 2, мы можем применить законы логарифмирования для одинаковых оснований в чтобы упростить и решить.

Поскольку у нас есть умножение числа на логарифм в первом члене, нам нужно использовать степенной закон для логарифмов, в котором говорится, что loglog𝑥=𝑛𝑥, где 𝑎>0 и 𝑥>0.

Следовательно, 4(𝑥+5)=(𝑥+5)loglog, что дает нам 4(𝑥+5)−(𝑥−3)=625(𝑥+5)−(𝑥−3)=625.logloglogloglogloglog

Далее, как мы вычитаем один логарифм из другого с тем же основанием в левой части уравнения, мы можем упростить это, используя закон деления для логарифмов, который гласит, что logloglog𝑥𝑦=𝑥−𝑦, где 𝑎>0, 𝑥>0 и 𝑦>0.

Применяя этот закон, получаем logloglogloglog(𝑥+5)−(𝑥−3)=625(𝑥+5)(𝑥−3)=625.

Теперь, поскольку и левая, и правая части уравнения записаны в виде единичного логарифма с одинаковое основание, аргументы должны быть равны, что дает нам 𝑥+5𝑥−3=625.

Поскольку и числитель, и знаменатель левой части являются степенью числа 4, мы можем взять положительное и отрицательное четвертый корень, дающий нам 𝑥+5𝑥−3=±√625=±5. 

Решая +5, получаем 𝑥+5𝑥−3=5𝑥+5=5(𝑥−3)𝑥+5=5𝑥−154𝑥=20𝑥=5.

Решая для −5, получаем 𝑥+5𝑥−3=−5𝑥+5=−5(𝑥−3)𝑥+5=−5𝑥+156𝑥=10𝑥=53.

Таким образом, набор решений 4(𝑥+5)−(𝑥−3)=625logloglog составляет 53,5.

В нашем последнем примере мы обсудим, как использовать законы логарифмирования для решения геометрической задачи.

Пример 5. Использование законов логарифмов для решения геометрической задачи

Учитывая, что 𝐴𝐵⟂𝐴𝐶 и 𝐴𝐷⟂𝐵𝐶, определить значение 𝑥. Дайте ответ с точностью до десятых.

Ответ

Как видно на рисунке, у нас есть один большой прямоугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 со стороной 𝐴𝐵 и гипотенузой 𝐵𝐶=𝐵𝐷+𝐷𝐶, с заданными 𝐵𝐷 и 𝐷𝐶, а также меньшим прямоугольный треугольник, 𝐴𝐵𝐷, внутри большего, со стороной 𝐵𝐷 и гипотенузой 𝐴𝐵 дано. Поскольку оба треугольника прямоугольные и имеют общий угол 𝐵, они должны быть подобные треугольники. Следовательно, отношения сторон равны, что дает нам 𝐵𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐵𝐵𝐷, что то же самое, что [𝐴𝐵]=𝐵𝐶×𝐵𝐷. 

Из диаграммы видно, что 𝐴𝐵=8√3,𝐵𝐷=1024=2=102,𝐷𝐶=32=2=52,логлоглоглоглоглоглог и 𝐵𝐶=𝐵𝐷+𝐷𝐶=102+52=152.logloglog

Следовательно, подставляя в [𝐴𝐵]=𝐵𝐶×𝐵𝐷, получаем 8√3=102152192=15022=1921502=32252=±32252=±4√25.

Поскольку мы работаем с длинами сторон треугольников, log2 должен быть положительным, поэтому log2=4√25.

Чтобы найти 𝑥, мы можем переписать это как показательное уравнение, так как журнал𝑛=𝑥⟺𝑎=𝑛, где 𝑎>0 и 𝑛>0.

Следовательно, log2=4√25⟺𝑥=2.√

Чтобы найти 𝑥, вспомним, что если 𝑥=𝑦, то 𝑥=𝑦, давая нам 𝑥=2𝑥=2𝑥=2𝑥=1,8.√√√до ближайшего 10-го

Следовательно, 𝑥 равно 1,8 с точностью до десятых.

В этом объяснении мы обсудили, как решать логарифмические уравнения, используя их экспоненциальные формы и используя законы логарифмы для уравнений с одинаковыми основаниями. Напомним ключевые моменты.

Ключевые моменты

• Логарифмическое уравнение – это уравнение с неизвестной частью логарифма.
• Если логарифмическое уравнение имеет в своей основе или аргументе неизвестное и содержит один логарифм, то мы можем преобразовать его, используя экспоненциальную форму.
• Если логарифмическое уравнение содержит несколько логарифмов с одинаковым основанием, то мы можем использовать законы логарифмов, чтобы упростить его, а затем либо приравнять аргументы, если есть одиночные логарифмы с обеих сторон или запишите его в экспоненциальной форме, если есть логарифм только с одной стороны.

11.5 Логарифмические функции — алгебра среднего уровня

Глава 11: Функции

Логарифмы происходят из богатой истории, простирающейся от вавилонян около 1500–2000 гг. до н.э. до индийского математика Вирасены около 700–800 гг. н.э., а затем быстро развивающейся и расширяющейся в европейской науке с середины 1500-х годов и далее. Логарифмы были разработаны, чтобы сократить умножение и деление, чтобы они соответствовали сложению и вычитанию чисел на числовой прямой. Проще говоря, логарифмы уменьшили сложность этих функций и сохранили свое значение до появления компьютера. Несмотря на это, логарифмы до сих пор используются во многих функциях. Эта тема преподается здесь, поскольку логарифмическая функция является обратной экспоненциальной функции (показанной в 11.4). Мы будем использовать эту функцию для решения как экспоненциальных, так и логарифмических функций.

В общем случае логарифм — это показатель степени, до которого необходимо возвести основание, чтобы получить число, которое вы логарифмируете. Используя вместе логарифмы и экспоненты, мы можем начать идентифицировать полезные отношения.

Рассмотрим 2 ³ . 2 ³ = 2 × 2 × 2 = 8, при записи с использованием логарифмических функций будет выглядеть как [латекс]\log_{2} 8 = 3[/латекс]. Вы читаете это, поскольку логарифмическое основание 2 из 8 равно 3. х = 125[/латекс]. 94 = 3x + 4[/латекс].

Теперь нужно решить алгебраическое уравнение:

[латекс]\begin{array}{rrrrr} 16&=&3x&+&4 \\ -4&&&-&4 \\ \hline \dfrac{12}{3}&=& \dfrac{3x}{3}&& \\ \\ x&=&4&& \end{массив}[/latex]

Наиболее распространенная форма логарифма использует основание 10. Это можно сравнить с наиболее распространенным радикалом квадратного корня. Встречаясь с логарифмами по основанию 10, они часто записываются без показанного основания 10. Чтобы решить их, перепишите в экспоненциальной форме, используя основание 10. 9{-2} = \dfrac{1}{100}[/latex], это означает, что [latex]x = \dfrac{1}{100}[/latex].

Перепишите каждое уравнение в экспоненциальной форме.

1. [латекс]\log_{9}81=2[/латекс]
2. [латекс]\log_{b}a=-16[/латекс]
3. [латекс]\log_{7}\dfrac{1}{49}=-2[/латекс]
4. [латекс]\log_{16}256=2[/латекс]
5. [латекс]\log_{13}169=2[/латекс]
6. [латекс]\log_{11}1=0[/латекс]

Перепишите каждое уравнение в логарифмической форме.