Логарифмическое дифференцирование функций
Метод логарифмического дифференцирования становится пригодным при дифференцировании произведения нескольких функций или их частки. Его удобно применять при дифференцировании выражений, содержащих корни из дробей (функций), а также когда показатель функции также представляет собой функцию
В таких случаях целесообразно обе части выражения сначала прологарифмировать по основанию , а затем приступить к дифференцировке. Этот способ получил название логарифмического дифференцирования. Производную логарифма функции называют логарифмической производной. Суть метода с помощью формул можно описать следующим образом:
имеем сложную функцию вида
к обеим сторонам применяем логарифмирования
находим производные правой и левой части равенства
Приравниваем производные и выражаем
В этом суть метода, дальше все зависит от функции .
Если она представляет собой произведение функций
то по свойствам логарифма он будет равен сумме логарифмов
Если имеем дробь от функций
то применяя логарифмирования получим
Если имеем функцию в степени другой
то по свойствам логарифма получим
В случае корней дифференцировки значительно упрощается
Дальнейшее вычисление производных зависит от сложности самих функций.
Рассмотрим конкретные примеры, чтобы данный материал стал для Вас более понятным и наглядным.
Задача.
Используя логарифмирования найти производную (Дубовик В.П., Юрик И.И. «Высшая математика. Сборник задач»)
1) (5.2.178)
2) (5.2.191)
3) (5.2.195)
4) (5.2.199)
Решение.
Примеры выбрано сложные для того, чтобы раскрыть всю силу метода логарифмического дифференцирования и рассмотреть типичные распространенные примеры.
1) Проведем логарифмирования левой и правой частей
Найдем производную правой части
Производная левой части показана при изложении теоретического материала. Записываем обе части
Далее переносим функцию из знаменателя в правую часть и не забываем поменять ее значение
Несмотря на сложный вид данный пример полностью решено.
2) Используем свойства логарифма к данному примеру
Проводим дифференцирования обеих частей равенства
Сведем к общему знаменателю правую сторону.
В результате математических операций получим
Подставим в исходную равенство, перенеся функцию в правую часть
В результате ряда несложных математических манипуляций получили достаточно компактный конечный результат производной. При исчислении данного примера направления подобный результат пришлось бы искать очень долго.
3) Несмотря на сложный вид данное выражение, на основе свойств степеней, можно переписать в следующем виде
Применим к нему логарифмирования
Производная от правой части будет равна следующему выражению
Здесь для упрощения дальнейших выкладок введено обозначение .
Учитывая производную , окончательно получим
Можно оставлять в таком виде, поскольку суть данного урока научиться применять метод логарифмического дифференцирования. Но если Вы захотите для упрощения свести все к общему знаменателю, то получите следующее выражение
Поверьте это займет у Вас много времени.
4) Проводим логарифмирования функции
Дальше по методике находим производную правой части. Она будет равна выражению
Подставляя в формулу для производной от , получим
На этом решения примера завершен.
Практикуйте с подобными задачами и через некоторое время у Вас не будет никаких трудностей с такого сорта примерами.
Логарифмическое дифференцирование
Содержание статьи
1. Алгоритм дифференцирования
Определение
Функция, обратная к показательной функции f(x) = ax при a ≠ 1 называется логарифмической функцией по основанию а и обозначается logax, т.е.f -1(x) = logax.
Область определения логарифмической функции $D(log_ax) = (0, \infty )\ $
Множество значений логарифмической функции $R(log_ax) = (- \infty ,\infty )$.
Рисунок 1. График логарифмической функции
Логарифмическое дифференцирование является методом дифференцирования функции $y = f(x)$.
{\ln x} \left(\frac{\ln \left(\cos (x-1)\right)}{x} -\frac{\sin (x-1)\ln x}{\cos (x-1)} \right)\]
Сообщество экспертов Автор24
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 15.12.2021
Выполнение любых типов работ по математике
Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами
Подбор готовых материалов по теме
Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы
Калькулятор логарифмического дифференцирования и решатель
Получите подробные решения ваших математических задач с помощью нашего пошагового калькулятора
Логарифмического дифференцирования .
Практикуйте свои математические навыки и учитесь шаг за шагом с помощью нашего математического решателя. Проверьте все наши онлайн-калькуляторы здесь!1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
C
D
A
B
C
D
B
C
D
B
D
B
D
B
D
B
D
B
D
9 0007
D
B
D
f
g
m
n
u
v
w
x
y 9 0.0007 9 0.0007
(◻)
+
—
×
◻/◻
/
÷
◻ 2
◻
√◻
√
◻ √ ◻
◻ √
∞
e
π
ln
журнал
log ◻
LIM
D/DX
D □ x
∫
∫ ◻
| ◻ |
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc
asin
acos
atan
acot
асек
аксс
синх
COSH
TANH
COTH
SECH
CSCH
ASINH
ACOSH
ATANH
ACOTH
ASECH
6669
Пример
Решенные проблемы
Сложные задачи
1
Решенный пример логарифмического дифференцирования
$\frac{d}{dx}\left(x^x\right)$ 9n)=n\cdot\log_a(x)$
$\ln\left(y\right)=x\ln\left(x\right)$
5
Вывести обе части равенства относительно $x$
$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\ влево(х\лн\влево(х\вправо)\вправо)$
6
Применение правила произведения для дифференцирования: $(f\cdot g)’=f’\cdot g+f\cdot g’$, где $f=x$ и $g=\ln\left(x\right) $
$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(x\right)\ln\left(x\ вправо)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$
Промежуточные шаги
Производная линейной функции равна $1$
$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=1\ln\left (x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$
Любое выражение, умноженное на $1$, равно самому себе
$\frac{d }{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right) )\справа)$
7
Производная линейной функции равна $1$
$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ ln\влево(х\вправо)\вправо)$
8
Производная натурального логарифма функции равна производной функции, деленной на эту функцию.
{\prime}\left(\frac{1}{y}\right)=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ пер\влево(х\вправо)\вправо)$ 9х\влево(\лн\влево(х\вправо)+1\вправо)$
Проблемы с математикой?
Доступ к подробным пошаговым решениям тысяч проблем, число которых растет с каждым днем!
Калькулятор логарифмического дифференцирования — eMathHelp
Онлайн-калькулятор вычисляет производную любой функции с помощью логарифмического дифференцирования с указанием шагов. Кроме того, при необходимости он оценит производную в данной точке.
Связанный калькулятор: Калькулятор производных
Функция:
Переменная:
Оставьте пустым для автоматического определения.
Точка:
Оставьте пустым, если вам не нужна производная в конкретной точке.
Если калькулятор что-то не рассчитал, или вы обнаружили ошибку, или у вас есть предложение/отзыв, пожалуйста, напишите его в комментариях ниже.
Ваш ввод
9{\ грех {\ влево (х \ вправо)}} \ вправо)} $ $ $.Перепишите RHS, используя свойства логарифмов: $$$\ln{\left(H{\left(x \right)} \right)} = \ln{\left(x \right)} \sin{\ влево(х\вправо)}$$$.
Дифференцируйте отдельно обе части уравнения: $$$\frac{d}{dx} \left(\ln{\left(H{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac {d}{dx} \left(\ln{\left(x\right)} \sin{\left(x \right)}\right)$$$.
Дифференцировать левую часть уравнения.
Функция $$$\ln{\left(H{\left(x \right)} \right)}$$$ представляет собой композицию $$$f{\left(g{\left(x \right) } \right)}$$$ двух функций $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$ и $$$g{\left(x \ справа)} = Н {\ слева (х \ справа)} $$$.
Применить цепное правило $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{ du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$ $ {\ цвет {красный} \ влево (\ гидроразрыва {d} {dx} \ влево (\ пер {\ влево (Н {\ влево (х \ вправо)} \ вправо)} \ вправо) \ вправо)} = { \color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)\right)}$$
Производная натурального логарифма равна $$$\frac{d}{du} \left(\ln{\left(u \right)}\right ) = \frac{1}{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx } \left(H{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left( H{\left(x \right)}\right)$$
Возврат к старой переменной:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right) }\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)} {{\color{red}\left(H{\left(x \right)}\right)}}$$
Таким образом, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln{\left (H {\ left (x \ right)} \ right)} \ right) = \ frac {\ frac {d} {dx} \ left (H {\ left (x \ right)} \ right)} {H { \влево(х\вправо)}}$$$.
Дифференцировать правую часть уравнения.
Применить правило произведения $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d} {dx} \ влево (е {\ влево (х \ вправо)} \ вправо) г {\ влево (х \ вправо)} + f {\ влево (х \ вправо)} \ гидроразрыва {d} {dx} \ влево (g{\left(x\right)}\right)$$$ с $$$f{\left(x\right)} = \ln{\left(x \right)}$$$ и $$$ г {\ влево (х \ вправо)} = \ грех {\ влево (х \ вправо)} $ $ $:
$ $ {\ цвет {красный} \ влево (\ гидроразрыва {d} {dx} \ влево (\ пер {\ влево (х \ вправо)} \ грех {\ влево (х \ вправо)} \ вправо) \ вправо)} = {\ цвет {красный} \ влево (\ гидроразрыва {d} {dx} \ влево (\ ln {\ left (x \ right)} \ right) \ sin {\ left (x \ right)} + \ ln {\ left (x \ right)} \ frac {d} {dx} \ left (\ грех {\ влево (х \ вправо)} \ вправо) \ вправо)} $ $
Производная натурального логарифма равна $$$\frac{d}{dx} \left(\ln{\left(x \right)}\right) = \frac{1}{x}$$$ :
$$\ln{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln{\left(x \right)}\right)\right)} = \ln{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left( \frac{1}{x}\right)}$$
Производная синуса $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right ) = \cos{\left(x \right)}$$$:
$$\ln{\left(x\right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x\right)}\right) \right)} + \frac{\sin{\left(x\right)}}{x} = \ln{\left(x\right)} {\color{red}\left(\cos{\left( x \right)}\right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$
Таким образом, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln {\ влево (х \ вправо)} \ грех {\ влево (х \ вправо)} \ вправо) = \ пер {\ влево (х \ вправо)} \ соз {\ влево (х \ вправо)} + \ гидроразрыва { \sin{\left(x \right)}}{x}$$$.